§ 49. Исследование зависимостей между величинами с использованием графиков реальных процессов

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 9: Зависимости между величинами. Страницы 129–133.

Чему научишься

• Понимать, какие величины связывает график и сколько стоит одна клетка на каждой оси.
• Находить по графику значение одной величины, зная другую.
• Видеть на графике самое большое и самое маленькое значение, участки роста, спада и «отдыха».
• Придумывать свои вопросы к графику и отвечать на них.

Разминка

Это задания № 1202 из прошлого урока. Вспомни: путь = скорость · время, объём = длина · ширина · высота.

• Машина ехала 3 ч со скоростью 56,3 км/ч. Какой путь? $56,3 \cdot 3 = $ 168,9 км.
• Путь 162 км, скорость 81 км/ч. Сколько часов в дороге? $162 : 81 = $ 2 ч.
• За 14 ч проехали 910 км. Какая скорость? $910 : 14 = $ 65 км/ч.
• Коробка 5 см × 8 см × 4,5 см. Объём? $5 \cdot 8 \cdot 4,5 = $ 180 см³.
• Ширина 2 см, высота 20 мм, объём 100 см³. Длина? 20 мм = 2 см, $100 : (2 \cdot 2) = $ 25 см.

💡 В каждой задаче одна величина зависит от других. Сегодня такие зависимости мы будем не считать по формуле, а читать по картинке.

Разбираемся

Как график «рассказывает» историю

Поставь кастрюлю со льдом из морозилки на плиту, а потом вынеси её на мороз. Если каждые несколько минут записывать температуру и отмечать точки, получится ломаная — график реального процесса.

Что видно на таком графике:

• температура растёт от −40° до 0° — это лёд нагревается;
• потом линия идёт ровно по 0° — лёд тает, в кастрюле лёд и вода;
• температура выше 0° — уже вода, она греется примерно до 44° и остывает обратно до 0°;
• снова ровный участок на 0° — вода замерзает (лёд и вода);
• ниже 0° — опять лёд.

📌 Ровный (горизонтальный) участок графика значит: время идёт, а величина не меняется. У воды так бывает ровно при 0 °C, пока лёд тает или вода замерзает.

Три вопроса к любому графику

1. Что от чего зависит? По горизонтали обычно откладывают время (независимая переменная), по вертикали — то, что меняется со временем.
2. Сколько стоит одна клетка? Посмотри на подписи осей: клетка может быть и 1 °C, и 3 часа, и 10 км.
3. Где самое интересное? Самая высокая и самая низкая точки, участки подъёма, спуска и «полки».

⚠️ Частая ошибка. Считать, что одна клетка — всегда единица. На графике температуры за сутки клетка по горизонтали может быть равна 3 ч. Сначала прочитай подписи!

Тренируемся на погоде

Вот как менялась температура воздуха за сутки (значения в отмеченных точках графика):

Ответы на вопросы к этому графику:

• Что изображено? Зависимость температуры воздуха от времени суток.
• Цена клетки? По горизонтали — 3 ч, по вертикали — 1 °C.
• Когда было 1 °C, 4 °C, −1 °C? 1 °C — в 9 ч и в 18 ч; 4 °C — в 15 ч; −1 °C — в 3 ч и в 24 ч.
• Сколько было в 12 ч и в 24 ч? 3 °C и −1 °C.
• Самая высокая и самая низкая? 4 °C (в 15 ч) и −1 °C.
• Разница? $4 - (-1) = 5$ °C.
• Средняя температура (по отмеченным точкам): утром с 6 до 12 ч — $(0 + 1 + 3) : 3 \approx 1,3$ °C; днём с 12 до 18 ч — $(3 + 4 + 1) : 3 \approx 2,7$ °C; вечером с 18 до 23 ч — по точкам 18 ч и 21 ч $(1 + 0) : 2 = 0,5$ °C; ночью с 0 до 6 ч — $(0 - 1 + 0) : 3 \approx -0,3$ °C.

👨‍👩‍👧 Родителю. Откройте прогноз погоды в телефоне — там почти всегда есть график температуры по часам. Попросите ребёнка найти по нему самый тёплый час и разницу между днём и ночью.

Попробуй сам: путь до озера

Арман шёл из дома к озеру 2 ч, полчаса купался и 1 ч возвращался. Нажми на точку графика — увидишь, где он был.

По графику: до озера 6 км, туда скорость $6 : 2 = 3$ км/ч, обратно $6 : 1 = 6$ км/ч — назад он почти бежал.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Приведи примеры реальных процессов, которые можно изобразить графиком. Какие величины в них участвуют? Рост ребёнка по годам (возраст и рост); заряд телефона (время и процент заряда); поездка из Алматы в Конаев (время и пройденный путь); остывание чая (время и температура); наполнение бака водой (время и объём).
• Как по графику нагревания и остывания узнать, лёд в кастрюле или вода? Посмотреть на температуру: ниже 0 °C — лёд, выше 0 °C — вода, ровно 0 °C (горизонтальный участок) — лёд и вода вместе.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1203

График движения яхты: первые 40 мин она шла без паруса и прошла 10 км, а к 80-й минуте была уже в 50 км от старта (это под парусом). Сколько км под парусом, сколько без паруса, где была яхта через 1 ч?

Как думать. Излом графика в точке (40 мин; 10 км) — здесь подняли парус. До излома — путь без паруса, после — под парусом.

Решение.

1. Под парусом: от 10 км до 50 км, это $50 - 10 = 40$ км.
2. Без паруса: от 0 до 10 км, то есть 10 км.
3. 1 ч = 60 мин. Под парусом яхта за 40 мин проходит 40 км, то есть 1 км в минуту. За 20 мин после 40-й минуты — 20 км. Значит, через 1 ч она в $10 + 20 = 30$ км от старта.

Ответ: 1) 40 км; 2) 10 км; 3) 30 км.

№ 1204

График качества знаний семиклассников по четвертям: примерно 50 %, 75 %, 40 %, 80 %. Придумай вопросы и ответь на них.

Как думать. Задаём вопросы про наибольшее и наименьшее значение, про рост и падение, про среднее.

Решение. Пример вопросов и ответов:

1. В какой четверти качество знаний самое высокое? В 4-й — 80 %.
2. В какой самое низкое? В 3-й — 40 %.
3. На сколько процентов упало качество со 2-й по 3-ю четверть? $75 - 40 = 35$ %.
4. На сколько выросло с 3-й по 4-ю? $80 - 40 = 40$ %.
5. Каково среднее качество за год? $(50 + 75 + 40 + 80) : 4 = 245 : 4 = 61,25$ %.

Ответ: например, лучшая четверть — 4-я (80 %), худшая — 3-я (40 %), среднее за год ≈ 61 %.

💡 3-я четверть самая длинная и зимняя — может, поэтому качество в ней проседает? Хороший вопрос для обсуждения в классе.

№ 1205

Туристы шли из лагеря к озеру, отдохнули там 1,5 ч и вернулись. На графике: подъём до 5 км за 2 деления, «полка» на 5 км длиной 2 деления, спуск до 0 за 1 деление. Сколько км до озера, сколько времени ушло на обратный путь, сколько км всего?

Как думать. На оси времени нет чисел. Зато мы знаем, что отдых длился 1,5 ч — это «полка» в 2 деления. Отсюда находим цену деления.

Решение.

1. До озера — самая высокая точка графика: 5 км.
2. Одно деление: $1,5 : 2 = 0,75$ ч = 45 мин. Обратный путь занял 1 деление — 45 мин.
3. Туда 5 км и обратно 5 км: $5 + 5 = 10$ км.

Ответ: 1) 5 км; 2) 0,75 ч (45 мин); 3) 10 км.

⚠️ Частая ошибка. Ответить «5 км» на вопрос «сколько всего прошли». График показывает расстояние от лагеря, а не весь путь. Вернувшись, туристы снова на нуле, но прошли-то 10 км!

Уровень B

№ 1206

График температуры воздуха за двое суток. Придумай задания и выполни их.

Как думать. Значения на плавной кривой читаем приблизительно — с точностью до 1–2 градусов.

Решение. Пример заданий и ответов:

1. Найди самую высокую температуру в первый день и время. Около 30 °C, примерно в 11 ч.
2. Найди самую высокую температуру во второй день. Около 22 °C, примерно в 13 ч.
3. На сколько градусов первый день был жарче в самый тёплый час? $30 - 22 = 8$ °C.
4. Найди самую низкую температуру за двое суток. Около 2–3 °C поздно вечером первого дня (около 22 ч).
5. На сколько упала температура в первый день от максимума до минимума? Примерно $30 - 2,5 \approx 27$ °C.
6. Когда температура почти не менялась? Примерно с 19 до 21 ч первого дня (около 11 °C) и около 5–8 ч утра второго дня (около 8 °C).

Ответ: например, максимум около 30 °C (1-й день) и 22 °C (2-й день); минимум около 2–3 °C.

Уровень C

№ 1207

График скоростей двух машин: I — от 90 км/ч в начале до 120 км/ч через 6 ч; II — от 60 км/ч в начале до 180 км/ч через 7 ч. Придумай вопросы и ответь на них.

Как думать. Здесь по вертикали не путь, а скорость. Растущий график значит, что машина разгоняется.

Решение. Пример вопросов и ответов:

1. Какая скорость у каждой машины в начале? I — 90 км/ч, II — 60 км/ч.
2. Какая скорость в конце движения? I — 120 км/ч (через 6 ч), II — 180 км/ч (через 7 ч).
3. На сколько выросла скорость каждой? I: $120 - 90 = 30$ км/ч; II: $180 - 60 = 120$ км/ч.
4. Какая машина разгонялась быстрее? II: за час примерно на $120 : 7 \approx 17$ км/ч, а I — на $30 : 6 = 5$ км/ч.
5. Когда скорости были равны? Графики пересекаются примерно через 2,5 ч, скорость около 100 км/ч.
6. Сколько времени ехала каждая? I — 6 ч, II — 7 ч.

Ответ: например, скорости сравнялись примерно через 2,5 ч (около 100 км/ч); вторая машина разгонялась быстрее.

Готовимся к следующей теме

№ 1208

Радиус окружности $m$ см. Запиши формулу длины окружности через радиус и площади круга через диаметр.

Как думать. Помним: $C = 2\pi r$, $S = \pi r^2$, а радиус — половина диаметра.

Решение.

1. Длина окружности: $C = 2\pi m$ см.
2. Диаметр $d = 2m$, радиус $r = \frac{d}{2}$, поэтому $S = \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Ответ: $C = 2\pi m$; $S = \frac{\pi d^2}{4}$.

№ 1209

Коробка длиной 0,5 м, шириной $m$ см, высотой $n$ см. Найди объём. Какие значения могут принимать $m$ и $n$?

Как думать. Сначала переведём всё в одни единицы: 0,5 м = 50 см.

Решение.

1. $V = 50 \cdot m \cdot n = 50mn$ см³.
2. Ширина — это длина отрезка, значит, $m > 0$.
3. Высота тоже: $n > 0$.

Ответ: $V = 50mn$ см³; $m > 0$; $n > 0$ (любые положительные числа).

№ 1210

Заполни таблицу: радиус 30 мм; диаметр 4,4 см; площадь круга $81\pi$; длина окружности $5,6\pi$ дм — найди недостающее в каждом столбце.

Как думать. Всё вычисляем через радиус: $d = 2r$, $C = 2\pi r$, $S = \pi r^2$. В третьем столбце площадь, конечно, в м² (квадратных метрах), а не в м³.

Решение.

Пояснения: $2,2^2 = 4,84$; $r^2 = 81$, значит, $r = 9$; $2\pi r = 5,6\pi$, значит, $r = 2,8$ и $2,8^2 = 7,84$.

Ответ: в таблице.

Шпаргалка

• Сначала читаем подписи осей и цену деления.
• Найти значение: от числа на одной оси идём до графика, потом к другой оси.
• Наибольшее и наименьшее значения — самая высокая и самая низкая точки.
• Разница температур: из большей вычитаем меньшую, помня про минус: $4 - (-1) = 5$.
• Расстояние от дома на графике — не то же, что весь пройденный путь.

Мини-тест