§ 50. Прямая пропорциональность и её график

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 9: Зависимости между величинами. Страницы 134–141.

Чему научишься

• Узнавать прямую пропорциональность в жизни и записывать её формулой $y = kx$.
• Находить значение $y$ по $x$ и коэффициент $k$ по одной паре чисел.
• Строить график $y = kx$ всего по одной точке.
• Читать по графику путь, время, стоимость.

Разминка

Это задания № 1208–1210 из прошлого урока: формулы круга.

• Радиус $m$ см. Длина окружности? $C = 2\pi m$ см.
• Как найти площадь круга по диаметру $d$? $S = \frac{\pi d^2}{4}$, ведь радиус — половина диаметра.
• Радиус 30 мм. Длина окружности? $2\pi \cdot 30 = 60\pi$ мм.
• Длина окружности $5,6\pi$ дм. Радиус? $5,6 : 2 = 2,8$ дм.

💡 Заметил? Если радиус увеличить в 2 раза, длина окружности тоже вырастет в 2 раза. $C = 2\pi r$ — это и есть прямая пропорциональность, о которой сегодня урок. Только $k$ здесь равно $2\pi$.

Разбираемся

Во сколько раз — во столько же раз

Одна булочка стоит 150 тенге. Две — 300, три — 450. Во сколько раз больше булочек, во столько раз больше платишь. Такие величины называют прямо пропорциональными.

Ещё примеры:

• стоимость покупки и цена одной вещи, если берёшь одинаковое количество;
• путь и время, если скорость одна и та же;
• сделанная работа и время, если работаешь в одном темпе.

📌 Прямая пропорциональность — это зависимость, которую можно записать формулой $y = kx$, где $k$ — постоянное число, не равное нулю. Число $k$ называют коэффициентом пропорциональности.

В примерах выше $k$ — это количество вещей, скорость, производительность. Например, машина едет со скоростью 50 км/ч: путь $y = 50x$, где $x$ — время в часах.

⚠️ Частая ошибка. Считать, что $y = 3x + 1$ — тоже прямая пропорциональность. Нет! Там есть «$+1$». Прямая пропорциональность — это только $y = kx$, без прибавок. Проверка: при $x = 0$ должно получиться $y = 0$.

Строим график $y = 3x$

Подставим несколько $x$ и найдём $y$:

Отметим точки на координатной плоскости. Они выстраиваются в одну линию! Сколько бы точек мы ни добавляли, все лягут на прямую, проходящую через начало координат.

📌 График прямой пропорциональности $y = kx$ — прямая, проходящая через начало координат $O(0; 0)$.

Почему хватит одной точки

Точка $O(0; 0)$ лежит на любом таком графике: $k \cdot 0 = 0$. А через две точки проходит ровно одна прямая. Значит, достаточно найти ещё одну точку и провести прямую через неё и $O$.

Построим $y = 0,5x$. Возьмём $x = 2$: $y = 0,5 \cdot 2 = 1$. Поставь точку $A$ сам!

Теперь через $O$ и $A(2; 1)$ проводим прямую — это и есть график $y = 0,5x$.

💡 Если $k > 0$, прямая идёт «в гору» слева направо (через I и III четверти). Если $k < 0$ — «под гору» (через II и IV четверти). Чем больше $k$ по модулю, тем круче прямая.

Читаем график движения

Машина едет со скоростью 50 км/ч: $y = 50x$. По графику легко узнать путь за любое время и наоборот: за 9 ч — 450 км, а 200 км машина проедет за 4 ч.

👨‍👩‍👧 Родителю. В поездке спросите: «Едем 80 км/ч. Сколько проедем за 2 часа? А за полчаса?» Это та же формула $y = 80x$, только в жизни.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что называют прямой пропорциональностью? Зависимость, которую можно задать формулой $y = kx$, где $k$ — число, не равное нулю.
• Приведи пример прямой пропорциональности. Стоимость тетрадей по 120 тенге: $y = 120x$, где $x$ — число тетрадей. Ещё: путь при скорости 60 км/ч: $s = 60t$.
• Что является графиком прямой пропорциональности? Прямая, проходящая через начало координат.
• Принадлежат ли графику $y = 2x$ точки $A(1; 2)$ и $B(2; 1)$? $A$ — да: $2 \cdot 1 = 2$. $B$ — нет: $2 \cdot 2 = 4 \ne 1$.
• Почему путь пропорционален времени при одной скорости? Во сколько раз дольше едешь, во столько раз больше проезжаешь: $s = vt$, и $v$ постоянна.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1211

Машина едет $t$ ч со скоростью 110 км/ч. Запиши формулу пути и найди путь при $t = 1,5$; $4$; $2\frac{1}{6}$.

Как думать. Путь = скорость · время, значит, $s = 110t$.

Решение.

1. $s = 110 \cdot 1,5 = 165$ км.
2. $s = 110 \cdot 4 = 440$ км.
3. $s = 110 \cdot 2\frac{1}{6} = 110 \cdot \frac{13}{6} = \frac{1430}{6} = 238\frac{1}{3}$ км.

Ответ: $s = 110t$; 165 км; 440 км; $238\frac{1}{3}$ км.

№ 1212

Найди $y$: 1) $y = 1,7x$ при $x = -2$; 0; 3,8; −6,4; 2) $y = -0,8x$ при $x = 8$; 0; −2,6; −5; 3) $y = \frac{1}{3}x$ при $x = -18$; 7; 5,16; −23,4; 4) $y = -4\frac{3}{7}x$ при $x = 49$; −2,8; 0,07; 57,4.

Как думать. Подставляем $x$ и умножаем. Следим за знаком: плюс на минус даёт минус, минус на минус — плюс. В пункте 4 удобно перевести $-4\frac{3}{7} = -\frac{31}{7}$.

Решение.

1. $1,7 \cdot (-2) = -3,4$; $1,7 \cdot 0 = 0$; $1,7 \cdot 3,8 = 6,46$; $1,7 \cdot (-6,4) = -10,88$.
2. $-0,8 \cdot 8 = -6,4$; $0$; $-0,8 \cdot (-2,6) = 2,08$; $-0,8 \cdot (-5) = 4$.
3. $\frac{1}{3} \cdot (-18) = -6$; $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$; $5,16 : 3 = 1,72$; $-23,4 : 3 = -7,8$.
4. $-\frac{31}{7} \cdot 49 = -217$; $-\frac{31}{7} \cdot (-2,8) = 31 \cdot 0,4 = 12,4$; $-\frac{31}{7} \cdot 0,07 = -31 \cdot 0,01 = -0,31$; $-\frac{31}{7} \cdot 57,4 = -31 \cdot 8,2 = -254,2$.

Если в пункте 2 понимать формулу буквально как $y = -0,8$, то $y$ при любом $x$ равен $-0,8$. Но в теме про $y = kx$ явно имелось в виду $y = -0,8x$.

Ответ: 1) −3,4; 0; 6,46; −10,88; 2) −6,4; 0; 2,08; 4; 3) −6; $2\frac{1}{3}$; 1,72; −7,8; 4) −217; 12,4; −0,31; −254,2.

№ 1213

Заполни таблицу и построй графики: $y = -2,5x$ при $x = 2$; $y = 1\frac{1}{2}x$, где $y = 6$; $y = 3,5x$ при $x = -2$; $y = -3\frac{5}{10}x$, где $y = 7$.

Как думать. Если известен $x$ — умножаем на $k$. Если известен $y$ — делим $y$ на $k$: $x = y : k$. Заметь: $-3\frac{5}{10} = -3,5$.

Решение.

1. $y = -2,5 \cdot 2 = -5$.
2. $x = 6 : 1,5 = 4$.
3. $y = 3,5 \cdot (-2) = -7$.
4. $x = 7 : (-3,5) = -2$.

Графики: каждая — прямая через $O(0; 0)$ и найденную точку: $(2; -5)$, $(4; 6)$, $(-2; -7)$, $(-2; 7)$. Первая и четвёртая идут «под гору» ($k < 0$), вторая и третья — «в гору».

Ответ: $y = -5$; $x = 4$; $y = -7$; $x = -2$.

№ 1214

Та же четвёрка формул: $y = -2,5x$, где $y = -10$; $y = 1\frac{1}{2}x$ при $x = 4$; $y = 3,5x$, где $y = -3,5$; $y = -3\frac{5}{10}x$ при $x = 2$. Заполни таблицу и построй графики.

Как думать. Формулы те же, что в № 1213, поэтому графики те же — меняются только точки на них.

Решение.

1. $x = -10 : (-2,5) = 4$.
2. $y = 1,5 \cdot 4 = 6$.
3. $x = -3,5 : 3,5 = -1$.
4. $y = -3,5 \cdot 2 = -7$.

Точки для графиков: $(4; -10)$, $(4; 6)$, $(-1; -3,5)$, $(2; -7)$ — проводим прямые через них и начало координат.

Ответ: $x = 4$; $y = 6$; $x = -1$; $y = -7$.

Уровень B

№ 1215

Построй график зависимости стоимости 5 одинаковых вещей от их цены.

Как думать. Стоимость = цена · количество. Количество 5, значит, $C = 5p$ — прямая пропорциональность с $k = 5$.

Решение.

1. Формула: $C = 5p$, где $p$ — цена одной вещи.
2. Цена не может быть отрицательной, поэтому берём только $p \ge 0$ (точнее, $p > 0$).
3. Возьмём точку: цена 200 тг — стоимость 1000 тг. Проводим луч из начала координат через эту точку.

Ответ: график — луч $C = 5p$ из начала координат через точку (200; 1000).

№ 1216

Построй график зависимости периметра квадрата от его стороны.

Как думать. У квадрата 4 равные стороны: $P = 4a$. Сторона — положительное число.

Решение.

1. Формула: $P = 4a$, $a > 0$.
2. Точка: $a = 1$ см — $P = 4$ см.
3. Проводим луч от начала координат через $(1; 4)$. Саму точку $O$ «выкалываем»: квадрата со стороной 0 не бывает.

Ответ: луч $P = 4a$ при $a > 0$, проходит через $(1; 4)$, $(2; 8)$, $(3; 12)$.

№ 1217

Для $y = -4x$ составь таблицу при $-3 \le x \le 3$ с шагом 1. По ней найди $y$ при $x = -1,5$; 2; 0; 2,5.

Как думать. Подставляем целые $x$ от −3 до 3. Для половинок смотрим «посередине» между соседними значениями — график ведь прямая.

Решение.

1. $x = -1,5$ — посередине между −2 и −1, значит, $y$ посередине между 8 и 4: $y = 6$.
2. $x = 2$: $y = -8$.
3. $x = 0$: $y = 0$.
4. $x = 2,5$ — между 2 и 3, $y$ посередине между −8 и −12: $y = -10$.

Ответ: 6; −8; 0; −10.

Уровень C

№ 1218

Дано $y = 0,25x - \frac{5}{6}$. Сравни: 1) $y(-1)$ и $y(0)$; 2) $y(4)$ и $y(-8)$.

Как думать. $y(-1)$ — это значение $y$ при $x = -1$. Можно посчитать, а можно рассудить: $k = 0,25 > 0$, значит, чем больше $x$, тем больше $y$.

Решение.

1. $y(-1) = -0,25 - \frac{5}{6} = -1\frac{1}{12}$; $y(0) = -\frac{5}{6}$. Так как $-1\frac{1}{12} < -\frac{5}{6}$, то $y(-1) < y(0)$.
2. $y(4) = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$; $y(-8) = -2 - \frac{5}{6} = -2\frac{5}{6}$. Значит, $y(4) > y(-8)$.

Ответ: 1) $y(-1) < y(0)$; 2) $y(4) > y(-8)$.

💡 Эта формула — не прямая пропорциональность (есть $-\frac{5}{6}$), но её график тоже прямая, только не через начало координат.

№ 1219

Для $y = kx$ найди $k$, если: 1) $y(2) = 6,4$; 2) $y\left(-\frac{1}{11}\right) = -3$; 3) $y(-0,7) = 70$; 4) $y\left(8\frac{5}{6}\right) = -\frac{8}{9}$.

Как думать. Запись $y(2) = 6,4$ значит: при $x = 2$ получилось $y = 6,4$. Тогда $k = y : x$.

Решение.

1. $k = 6,4 : 2 = 3,2$.
2. $k = -3 : \left(-\frac{1}{11}\right) = 3 \cdot 11 = 33$.
3. $k = 70 : (-0,7) = -100$.
4. $k = -\frac{8}{9} : \frac{53}{6} = -\frac{16}{159}$.

Ответ: 1) 3,2; 2) 33; 3) −100; 4) $-\frac{16}{159}$.

Готовимся к следующей теме

№ 1220

Заполни таблицу из шести столбцов: в каждом известны два числа ($a$, $b$ или результат действия), найди $a$, $b$, $a + b$, $a - b$, $b - a$, $a \cdot b$, $a : b$, $b : a$.

Как думать. Сначала находим недостающее из $a$, $b$ по данному действию, потом считаем остальное. Данные: 1) $a = 2$, $b : a = 8$; 2) $b = -0,5$, $a : b = -100$; 3) $a = -3$, $a + b = -10$; 4) $b = 0,5$, $b - a = -0,3$; 5) $a = 1,5$, $a \cdot b = -15$; 6) $b = 0,5$, $a - b = 0,2$.

Решение. Сначала недостающие числа: 1) $b = 8 \cdot 2 = 16$; 2) $a = -100 \cdot (-0,5) = 50$; 3) $b = -10 + 3 = -7$; 4) $a = 0,5 + 0,3 = 0,8$; 5) $b = -15 : 1,5 = -10$; 6) $a = 0,5 + 0,2 = 0,7$.

Ответ: в таблице.

№ 1221

Найди $a \cdot c : k$, если $a = 18\frac{1}{6}$, $c = -9\frac{1}{12}$, $k = 5,9$.

Как думать. Переводим всё в обыкновенные дроби: $a = \frac{109}{6}$, $c = -\frac{109}{12}$, $k = \frac{59}{10}$. Знак результата — минус (один множитель отрицательный).

Решение.

1. $a \cdot c = -\frac{109 \cdot 109}{6 \cdot 12} = -\frac{11,881}{72}$.
2. $-\frac{11,881}{72} : \frac{59}{10} = -\frac{11,881 \cdot 10}{72 \cdot 59} = -\frac{118,810}{4248} = -\frac{59,405}{2124}$.
3. Выделяем целую часть: $-27\frac{2057}{2124} \approx -27,97$.

Ответ: $-\frac{59,405}{2124} = -27\frac{2057}{2124} \approx -27,97$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Ответ получается «некрасивым» — это нормально, ошибки здесь нет. Если ребёнок сомневается, проверьте на калькуляторе: $18,1667 \cdot (-9,0833) : 5,9 \approx -27,97$.

Шпаргалка

• $y = kx$: во сколько раз растёт $x$, во столько же раз растёт $y$.
• При $x = 0$ всегда $y = 0$.
• Чтобы построить график, найди одну точку и проведи прямую через неё и $O$.
• Точка лежит на графике, если её координаты дают верное равенство.
• $y = kx + b$ при $b \ne 0$ — уже не прямая пропорциональность.

Мини-тест