§ 6. Длина окружности. Площадь круга. Шар. Сфера

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 1: Отношения и пропорции. Страницы 54–59.

Чему научишься

• Объяснять, что такое число $\pi$ и почему оно примерно 3,14.
• Находить длину окружности по формуле $C = 2\pi R$ и радиус по длине.
• Находить площадь круга по формуле $S = \pi R^2$ и радиус по площади.
• Отличать шар от сферы и круг от окружности.

Разминка

Это задания № 241–244 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Радиус 6 см. Чему равен диаметр? Два радиуса: 12 см.
• Диаметр 14 дм. А радиус? Половина: 7 дм.
• Диаметр круга 0,4 дм. Радиус в миллиметрах? 0,4 дм = 40 мм, радиус 20 мм.
• Точка лежит на окружности радиуса 3 см. Сколько от неё до центра? Ровно 3 см. Внутри круга — меньше 3 см, снаружи — больше.

💡 Запомни связку: диаметр $d = 2R$. Сегодня она понадобится в каждой формуле.

Разбираемся

Опыт с ниткой

Нарисуй циркулем окружность радиусом 2 см. Обложи её ниткой, потом распрями нитку и измерь. Получится около 12,5 см. Раздели на диаметр 4 см — выйдет чуть больше 3.

Повтори с радиусом 1,5 см, 2,5 см, 3 см. Ответ снова «чуть больше трёх»! Это не совпадение.

📌 Длина любой окружности, делённая на её диаметр, — всегда одно и то же число. Его обозначают греческой буквой $\pi$ («пи»). $\pi \approx 3,14$.

🌟 Цифры числа $\pi$ никогда не кончаются и не повторяются по кругу: 3,14159265358979… Компьютеры уже посчитали триллионы его знаков. А 14 марта (3.14) во многих странах отмечают День числа пи.

Формула длины окружности

Если $\frac{C}{d} = \pi$, то $C = \pi d$. А раз $d = 2R$, получаем:

📌 $C = 2\pi R$ — длина окружности радиуса $R$. Читают: «си равно два пи эр».

Пример: колесо велосипеда радиусом 35 см. За один оборот оно проезжает $C = 2 \cdot 3,14 \cdot 35 = 219,8$ см — больше двух метров!

Формула площади круга

📌 $S = \pi R^2$ — площадь круга радиуса $R$. Читают: «эс равно пи эр в квадрате».

Через диаметр: $R = \frac{d}{2}$, поэтому $S = \frac{\pi d^2}{4}$.

Проверим, похоже ли на правду. Ниже круг радиусом 4 клетки. По формуле площадь $3,14 \cdot 16 \approx 50$ клеток. Посчитай клетки сам: целые плюс половинки.

⚠️ Частая ошибка. $\pi R^2$ — это $\pi \cdot R \cdot R$, а не $\pi \cdot R \cdot 2$. Для $R = 3$: $S = 3,14 \cdot 9 = 28,26$, а не $3,14 \cdot 6$. Не путай с длиной окружности!

Как найти радиус, если знаешь ответ

Для длины так же: $R = C : (2\pi)$. Например, при $C = 31,4$ см радиус $31,4 : 6,28 = 5$ см.

Шар и сфера

Арбуз, мандарин, Земля — это шары: внутри они заполнены. Мяч и глобус — это сферы: тонкая оболочка, внутри пусто.

📌 Сфера — поверхность шара. Радиус шара (сферы) — отрезок от центра $O$ до любой точки поверхности.

Получается пара, как на плоскости: окружность — граница круга, сфера — граница шара.

👨‍👩‍👧 Родителю. Устройте дома «охоту»: пусть ребёнок назовёт 3 шара и 3 сферы на кухне. Апельсин — шар, а шарик для пинг-понга — сфера. Заодно спросите: чем отличается круг от окружности?

Проверь, как понял

Проверь себя

• Каким свойством обладает окружность, а каким — круг? Все точки окружности лежат на одинаковом расстоянии от центра (на расстоянии радиуса). У точек круга расстояние до центра не больше радиуса: круг — это окружность вместе со всем, что внутри.
• Что в математике обозначают буквой $\pi$? Отношение длины окружности к её диаметру. Оно одинаково для всех окружностей: $\pi \approx 3,14$.
• Может ли длина окружности быть натуральным числом? Да. Нужно взять радиус $R = 1 : (2\pi)$. Например, $R \approx 0,16$ см даёт $C = 1$ см, а $R = \frac{5}{\pi} \approx 1,59$ см даёт $C = 10$ см.
• Чем шар отличается от сферы? Шар — тело, заполненное внутри. Сфера — только его поверхность.
• Какие предметы похожи на шар, а какие на сферу? Шар: арбуз, мандарин, планеты, бусина. Сфера: мяч, глобус, ёлочная игрушка, мыльный пузырь.

Решаем упражнения

💡 Во всех задачах берём $\pi \approx 3,14$, если не сказано иначе.

Уровень A

№ 245

1) Найди длину окружности при радиусе 5 см; 3,5 м; 12 мм. 2) Найди радиус, если длина окружности 56 см; 7 м; 18,6 м.

Как думать. Вперёд — по формуле $C = 2\pi R$. Назад — делим длину на $2\pi \approx 6,28$.

Решение.

1. $2 \cdot 3,14 \cdot 5 = 31,4$ см; $2 \cdot 3,14 \cdot 3,5 = 21,98$ м; $2 \cdot 3,14 \cdot 12 = 75,36$ мм.
2. $56 : 6,28 \approx 8,92$ см; $7 : 6,28 \approx 1,11$ м; $18,6 : 6,28 \approx 2,96$ м.

Ответ: 1) 31,4 см; 21,98 м; 75,36 мм; 2) ≈ 8,92 см; ≈ 1,11 м; ≈ 2,96 м.

№ 246

1) Найди площадь круга при радиусе 6 см; 12 м; 3,5 см. 2) Найди радиус круга, если его площадь 314 м²; 12,56 м²; 78,5 см².

Как думать. Во второй части делим площадь на 3,14 и ищем число, квадрат которого получился.

Решение.

1. $3,14 \cdot 36 = 113,04$ см²; $3,14 \cdot 144 = 452,16$ м²; $3,14 \cdot 12,25 = 38,465$ см².
2. $314 : 3,14 = 100 = 10^2$ → 10 м; $12,56 : 3,14 = 4 = 2^2$ → 2 м; $78,5 : 3,14 = 25 = 5^2$ → 5 см.

Ответ: 1) 113,04 см²; 452,16 м²; 38,465 см²; 2) 10 м; 2 м; 5 см.

№ 247

Длина окружности арены цирка $40,8\pi$ м. Найди радиус и площадь арены.

Как думать. Длина дана прямо «с пи». Сравни с формулой $2\pi R$: значит, $2R = 40,8$.

Решение.

1. $2\pi R = 40,8\pi$, отсюда $R = 40,8 : 2 = 20,4$ м.
2. $S = \pi \cdot 20,4^2 = 416,16\pi \approx 1306,74$ м².

Ответ: $R = 20,4$ м; $S = 416,16\pi \approx 1306,74$ м².

№ 248

Беговая дорожка — окружность радиусом 23 м. Какова её длина?

Решение. $C = 2 \cdot 3,14 \cdot 23 = 144,44$ м.

Ответ: 144,44 м.

№ 249

Радиус окружности в 2 раза больше радиуса круга площадью $9\pi$ см². Найди длину окружности.

Решение.

1. $\pi R^2 = 9\pi$, значит, $R^2 = 9$, $R = 3$ см.
2. Радиус окружности: $3 \cdot 2 = 6$ см.
3. $C = 2\pi \cdot 6 = 12\pi \approx 37,68$ см.

Ответ: $12\pi \approx 37,68$ см.

№ 250

Какая зависимость прямо или обратно пропорциональна: 1) длины окружности от радиуса; 2) площади круга от радиуса?

Как думать. Увеличь радиус в 2 раза и посмотри, во сколько раз вырастет ответ.

Решение.

1. $C = 2\pi R$: $R$ увеличили в 2 раза — $C$ тоже в 2 раза. Это прямая пропорциональность (коэффициент $2\pi$).
2. $S = \pi R^2$: $R$ увеличили в 2 раза — $S$ выросла в 4 раза. Это ни прямая, ни обратная пропорциональность.

Ответ: 1) прямо пропорциональная; 2) ни прямо, ни обратно пропорциональная.

№ 251

Сфера «Нұр Әлем» на ЭКСПО-2017 в Астане. 1) Диаметр: $(5,6 + 89,7 - 56,007 + 40,707)$ м. 2) Высота здания: $(7,4 \cdot 56,56 : 8,08 + 48,2)$ м.

Решение.

1. $5,6 + 89,7 = 95,3$; $95,3 - 56,007 = 39,293$; $39,293 + 40,707 = 80$ м.
2. $7,4 \cdot 56,56 = 418,544$; $418,544 : 8,08 = 51,8$; $51,8 + 48,2 = 100$ м.

Ответ: диаметр 80 м, высота 100 м.

🌟 «Нұр Әлем» — одно из самых больших сферических зданий в мире. Внутри музей энергии будущего на 8 этажах.

Уровень B

№ 252

8 круглых клумб радиусом 0,8 м. На 1 м² сажают 11 цветков. Сколько нужно цветков?

Решение.

1. Площадь одной клумбы: $3,14 \cdot 0,64 = 2,0096$ м².
2. Всех восьми: $2,0096 \cdot 8 = 16,0768$ м².
3. Цветков: $16,0768 \cdot 11 \approx 176,8$, то есть около 177.

Ответ: примерно 177 цветков.

№ 253

Диаметр колеса $\frac{3}{4}$ м, оно делает $233\frac{1}{3}$ оборота в минуту. Какова скорость машины?

Как думать. Один оборот — это путь, равный длине окружности колеса.

Решение. См. шаги выше. Если взять $\pi \approx \frac{22}{7}$, выходит ровно 550 м/мин = 33 км/ч.

Ответ: ≈ 549,5 м/мин (около 33 км/ч).

№ 254

Радиус одной окружности 16 м, другой — на 5 м больше (рис. 15). Найди площадь кольца между ними.

Как думать. Кольцо — это большой круг без маленького, как бублик без дырки.

Решение.

1. Больший радиус: $16 + 5 = 21$ м.
2. $S = \pi \cdot 21^2 - \pi \cdot 16^2 = \pi(441 - 256) = 185\pi$.
3. $185 \cdot 3,14 = 580,9$ м².

Ответ: $185\pi \approx 580,9$ м².

№ 255

На каждой стороне квадрата со стороной 4 см снаружи построен полукруг (рис. 16). Найди площадь фигуры.

Как думать. Четыре полукруга — это два целых круга. Радиус каждого — половина стороны, 2 см.

Решение.

1. Квадрат: $4 \cdot 4 = 16$ см².
2. Два круга радиусом 2 см: $2 \cdot 3,14 \cdot 2^2 = 25,12$ см².
3. Вместе: $16 + 25,12 = 41,12$ см².

Ответ: 41,12 см².

№ 256

В квадрат со стороной 2,6 см вписан круг (рис. 17). Найди радиус круга. Во сколько раз площадь квадрата больше площади круга (до сотых)?

Как думать. Круг касается всех сторон, значит, его диаметр равен стороне квадрата.

Решение.

1. $R = 2,6 : 2 = 1,3$ см.
2. Квадрат: $2,6^2 = 6,76$ см². Круг: $3,14 \cdot 1,69 = 5,3066$ см².
3. $6,76 : 5,3066 \approx 1,27$.

Ответ: 1,3 см; примерно в 1,27 раза.

💡 Ответ 1,27 не зависит от размера квадрата! Это $4 : \pi$. Любой вписанный круг занимает чуть меньше 80% своего квадрата.

№ 257

Из прямоугольника вырезали полукруг (рис. 18). Измерь и найди площадь и периметр оставшейся фигуры.

Как думать. Полукруг вырезан у короткой стороны, его диаметр равен ширине прямоугольника $b$. Площадь: прямоугольник минус полкруга. Периметр: две длинные стороны, одна короткая и дуга вместо второй короткой.

Решение. Формулы: $S = ab - \frac{\pi b^2}{8}$, $P = 2a + b + \frac{\pi b}{2}$. Пример: длина $a = 4$ см, ширина $b = 2$ см (радиус полукруга 1 см).

1. $S = 4 \cdot 2 - \frac{3,14 \cdot 1^2}{2} = 8 - 1,57 = 6,43$ см².
2. Дуга: $\frac{2 \cdot 3,14 \cdot 1}{2} = 3,14$ см. $P = 4 + 4 + 2 + 3,14 = 13,14$ см.

Ответ: для прямоугольника 4 см × 2 см: $S = 6,43$ см², $P = 13,14$ см. Подставь свои измерения.

Уровень C

№ 258

Эратосфен в 240 г. до н. э. нашёл радиус Земли: $a$ км, где $a$ — НОК чисел 7 и $10^3$. Найди $a$.

Решение. 7 и 1000 не имеют общих делителей, кроме 1. Значит, НОК $= 7 \cdot 1000 = 7000$.

Ответ: 7000 км.

№ 259

Сегодня радиус Земли $b$ км, где $b$ — это $\frac{1}{7}$ от 44 597. Найди $b$.

Решение. $44,597 : 7 = 6371$.

Ответ: 6371 км.

🌟 Сравни: Эратосфен ошибся меньше чем на 10%, не выходя из Египта! Он измерял тени от палок в двух городах.

№ 260

Поверхность Земли около $506\frac{2}{3}$ млн км², Луны — 38 млн км². Какую часть от Земли составляет Луна?

Решение. $38 : 506\frac{2}{3} = 38 : \frac{1520}{3} = \frac{38 \cdot 3}{1520} = \frac{114}{1520} = \frac{3}{40}$.

Ответ: $\frac{3}{40}$ (то есть 7,5%).

№ 261

Поверхность одного шара 108 см², другого — 300 см². Во сколько раз меньше краски нужно для первого?

Решение. Краски нужно столько, какова площадь: $300 : 108 = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$.

Ответ: в $2\frac{7}{9}$ раза.

Подготовьте сообщение

№ 262

Подготовь сообщение о числе $\pi$.

Как думать. Хорошее сообщение — 5–7 фактов и один опыт, который можно показать классу.

Решение. Пример плана:

1. Что такое $\pi$: отношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей.
2. Опыт: обмотать ниткой банку, измерить, разделить на диаметр.
3. Древность: в Вавилоне брали 3,125, в Египте — около 3,16. Архимед доказал, что $\pi$ между $3\frac{10}{71}$ и $3\frac{1}{7}$.
4. Буквой $\pi$ число стали обозначать в XVIII веке (её закрепил Леонард Эйлер).
5. Знаков после запятой бесконечно много, и они не повторяются периодом.
6. 14 марта — День числа пи.

Ответ: пример выше; факты проверь по энциклопедии.

Готовимся к следующей теме

№ 263

Отметь на луче точку $C(8)$. Найди координату точки, которая от $C$: 1) левее на 7 клеток; 2) правее на 1,5 клетки; 3) левее на 6,5 клетки.

Как думать. Вправо — прибавляем, влево — вычитаем.

Решение. 1) $8 - 7 = 1$; 2) $8 + 1,5 = 9,5$; 3) $8 - 6,5 = 1,5$.

Ответ: 1) 1; 2) 9,5; 3) 1,5.

№ 264

Начерти числовой луч, подбери единичный отрезок и отметь: 1) 5, 15, 35; 2) 40, 100, 150; 3) 0,5; 2,3; 3,1.

Как думать. Единичный отрезок выбираем под числа. Большие числа — маленький шаг на одну единицу, дроби — крупный отрезок с делениями.

Решение.

1. Одна клетка — 5 единиц: 5 — 1 клетка, 15 — 3 клетки, 35 — 7 клеток.
2. Одна клетка — 10 единиц: 40 — 4 клетки, 100 — 10 клеток, 150 — 15 клеток.
3. Единица — 10 клеток (одна клетка = 0,1): 0,5 — 5 клеток, 2,3 — 23 клетки, 3,1 — 31 клетка.

Ответ: точки стоят на 1, 3, 7; на 4, 10, 15; на 5, 23, 31 клетке от начала луча.

Шпаргалка

• $\pi \approx 3,14$ — одинаково для всех окружностей.
• Длина окружности: $C = 2\pi R = \pi d$.
• Площадь круга: $S = \pi R^2$ (радиус умножаем сам на себя!).
• Радиус по площади: $R^2 = S : \pi$.
• Окружность — граница круга, сфера — граница шара.

Мини-тест