§ 51. Линейное уравнение с двумя переменными

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 10: Линейные уравнения с двумя переменными и их системы. Страницы 142–146.

Чему научишься

• Узнавать линейное уравнение с двумя переменными $ax + by + c = 0$.
• Проверять, является ли пара чисел $(x; y)$ решением уравнения.
• Выражать одну переменную через другую.
• Получать равносильные уравнения: переносить слагаемые, умножать и делить обе части.

Разминка

Это задания № 1220 из прошлого урока. Считаем с отрицательными числами.

• $a = 2$, $b : a = 8$. Чему равно $b$? $b = 8 \cdot 2 = $ 16.
• $b = -0,5$, $a : b = -100$. Найди $a$. $a = -100 \cdot (-0,5) = $ 50.
• $a = -3$, $a + b = -10$. Найди $b$. $b = -10 - (-3) = $ −7.
• $a = 1,5$, $a \cdot b = -15$. Найди $b$. $b = -15 : 1,5 = $ −10.

💡 В каждом вопросе мы знали одно число и связь между двумя — и находили второе. Сегодня будет то же самое, только второе число можно выбрать каким угодно.

Разбираемся

Уравнение с двумя «неизвестными»

Тетрадь стоит 2 тысячи тенге, ручка — 3 тысячи. У Айгерим 6 тысяч тенге, и она хочет потратить их целиком. Если купить $x$ тетрадей и $y$ ручек, получится $2x + 3y = 6$, или $2x + 3y - 6 = 0$.

Это линейное уравнение с двумя переменными.

📌 Уравнение вида $ax + by + c = 0$, где $a$, $b$, $c$ — числа, причём $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, называют линейным уравнением с двумя переменными $x$ и $y$.

Примеры: $-2x + 7y = 0$; $12x - 11y + 5 = 0$.

Решение — это пара чисел

Айгерим может купить 3 тетради и 0 ручек: $2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 - 6 = 0$ ✓. Или 0 тетрадей и 2 ручки: $0 + 6 - 6 = 0$ ✓. Каждое решение — пара чисел, её пишут в скобках: $(3; 0)$, $(0; 2)$. Первым всегда стоит $x$, вторым — $y$.

📌 Решение уравнения с двумя переменными — пара чисел, которая при подстановке вместо $x$ и $y$ даёт верное равенство. Говорят: пара удовлетворяет уравнению.

🌟 Говори правильно. Запись $(x; y)$ читают: «пара икс, игрек». Например, $(6; 7)$ — «пара шесть, семь».

⚠️ Частая ошибка. Перепутать порядок. Пара $(3; 0)$ подходит к $2x + 3y - 6 = 0$, а $(0; 3)$ — нет: $0 + 9 - 6 = 3 \ne 0$. Первое число всегда подставляем вместо $x$!

Сколько решений?

Если задача про магазин, $x$ и $y$ — целые и не отрицательные. Но в математике можно брать любые числа. Подставим любое $x$ — получим обычное уравнение с одним $y$ и найдём его. Например, $x = 1,5$: $3 + 3y - 6 = 0$, $y = 1$. Пара $(1,5; 1)$ — тоже решение!

Раз $x$ можно выбирать бесконечно многими способами, решений бесконечно много. Посмотри: решения уравнения $2x + 3y - 6 = 0$ ложатся на одну прямую.

💡 Если $b = 0$, а $a \ne 0$, решений тоже бесконечно много. Например, $3x + 0 \cdot y - 6 = 0$: $x = 2$, а $y$ — любое. Подходят $(2; 0)$, $(2; 5)$, $(2; -100)$…

📌 Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все его решения (множество решений).

Равносильные уравнения: что можно делать

Два уравнения равносильны, если у них одни и те же решения. Чтобы упростить уравнение и не потерять решения, можно:

1. Переносить слагаемые из одной части в другую, меняя знак. $2x + 3y = -7x + 8y$ равносильно $2x + 7x = 8y - 3y$, то есть $9x = 5y$, или $9x - 5y = 0$.
2. Умножать или делить обе части на одно и то же число, не равное нулю. $6x + 8y - 10 = 0$ делим на 2 — получаем $3x + 4y - 5 = 0$. А $3,7x - 4,8y + 2 = 0$ умножаем на 10 — получаем $37x - 48y + 20 = 0$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Это те же правила, что для уравнений с одной переменной из § 28. Если ребёнок путается, напомните: «Что делали с уравнением $2x + 5 = 11$? Здесь всё так же».

Выражаем одну переменную через другую

Часто нужно записать $y$ «через $x$». Оставляем $y$ одну в левой части. Например, $2x + 3y - 6 = 0$:

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какой формулой записывают линейное уравнение с двумя переменными? $ax + by + c = 0$, где $a$ и $b$ не равны нулю одновременно.
• Что является решением такого уравнения? Пара чисел $(x; y)$, которая превращает уравнение в верное равенство.
• Сколько решений может иметь линейное уравнение с двумя переменными? Бесконечно много.
• Когда говорят, что пара чисел удовлетворяет уравнению? Когда эта пара — его решение.
• Какие уравнения называют равносильными? Те, у которых все решения одинаковые.
• Какие преобразования можно делать и почему? Переносить слагаемые с противоположным знаком; умножать и делить обе части на число, не равное нулю. Это следует из свойств верных числовых равенств, поэтому решения не теряются и не появляются новые.
• Почему $(0; 0)$, $(7; 2)$, $(14; 4)$, $(28; 8)$ удовлетворяют уравнению $-2x + 7y = 0$, а $(1; 1)$ и $(5; 2)$ — нет? Подставим: $-2 \cdot 7 + 7 \cdot 2 = 0$, $-28 + 28 = 0$, $-56 + 56 = 0$ — верно. А $-2 + 7 = 5 \ne 0$ и $-10 + 14 = 4 \ne 0$.
• Почему $(11,5; 13)$ — решение уравнения $12x - 11y + 5 = 0$? $12 \cdot 11,5 - 11 \cdot 13 + 5 = 138 - 143 + 5 = 0$ — верно.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1222

Линейное ли уравнение с двумя переменными: 1) $12x + 3y + 5 = 0$; 2) $-7x + 8y - 4 = 0$; 3) $1\frac{2}{3}x - 8y = 0$; 4) $3,5x + 0 \cdot y + 150$?

Как думать. Сверяем с видом $ax + by + c = 0$. Важно, чтобы $a$ и $b$ не были оба нулями. Число $c$ может быть и нулём.

Решение.

1. Да: $a = 12$, $b = 3$, $c = 5$.
2. Да: $a = -7$, $b = 8$, $c = -4$.
3. Да: $a = 1\frac{2}{3}$, $b = -8$, $c = 0$.
4. Здесь не хватает «$= 0$» — записано выражение, а не уравнение. Если дописать $3,5x + 0 \cdot y + 150 = 0$, то это линейное уравнение: $a = 3,5 \ne 0$, а $b = 0$ — так можно.

Ответ: 1) да; 2) да; 3) да; 4) как записано — это не уравнение; уравнение $3,5x + 0 \cdot y + 150 = 0$ — линейное.

№ 1223

Докажи, что пары удовлетворяют уравнению $2x + 3y - 6 = 0$: 1) $x = 3$, $y = 0$; 2) $x = 0$, $y = 2$; 3) $x = -1,5$, $y = 3$; 4) $x = 9$, $y = -4$.

Как думать. Подставляем и проверяем, получается ли 0.

Решение.

1. $2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 - 6 = 6 - 6 = 0$ ✓
2. $2 \cdot 0 + 3 \cdot 2 - 6 = 6 - 6 = 0$ ✓
3. $2 \cdot (-1,5) + 3 \cdot 3 - 6 = -3 + 9 - 6 = 0$ ✓
4. $2 \cdot 9 + 3 \cdot (-4) - 6 = 18 - 12 - 6 = 0$ ✓

Ответ: все четыре пары удовлетворяют уравнению.

№ 1224

Докажи, что $(2; 1)$, $(0; 0,2)$, $(-0,5; 0)$, $(12; 5)$, $(10; 4,2)$ — решения уравнения $-2x + 5y - 1 = 0$.

Решение.

1. $(2; 1)$: $-4 + 5 - 1 = 0$ ✓
2. $(0; 0,2)$: $0 + 1 - 1 = 0$ ✓
3. $(-0,5; 0)$: $1 + 0 - 1 = 0$ ✓
4. $(12; 5)$: $-24 + 25 - 1 = 0$ ✓
5. $(10; 4,2)$: $-20 + 21 - 1 = 0$ ✓

Ответ: все пары — решения.

№ 1225

Какие из пар $(1; -5)$, $(1,25; 2)$, $(-5; 1)$, $(-1,25; -2)$, $(0; -12)$, $(2,75; 0)$ — решения уравнения 1) $7x - y = 12$; 2) $4x + 3y = 11$?

Как думать. Подставляем каждую пару в левую часть и сравниваем с правой.

Решение.

Ответ: 1) $(1; -5)$ и $(0; -12)$; 2) $(1,25; 2)$ и $(2,75; 0)$.

№ 1226

Вырази $x$ через $y$: 1) $x - 3y + 5 = 0$; 2) $-2x + y - 7 = 0$; 3) $5x + 11y - 3 = 0$; 4) $-7x + 6y - 1 = 0$.

Как думать. Оставляем слагаемое с $x$ слева, остальное переносим вправо с противоположным знаком. Потом делим на число перед $x$.

Решение.

1. $x = 3y - 5$.
2. $-2x = 7 - y$, делим на −2: $x = \frac{y - 7}{2} = 0,5y - 3,5$.
3. $5x = 3 - 11y$, $x = \frac{3 - 11y}{5} = 0,6 - 2,2y$.
4. $-7x = 1 - 6y$, $x = \frac{6y - 1}{7}$.

Ответ: 1) $x = 3y - 5$; 2) $x = 0,5y - 3,5$; 3) $x = 0,6 - 2,2y$; 4) $x = \frac{6y - 1}{7}$.

№ 1227

Вырази $y$ через $x$: 1) $9x + y - 16 = 0$; 2) $5x + 3y + 1 = 0$; 3) $11x - y + 20 = 0$; 4) $6x - 12y + 19 = 0$.

Как думать. Тот же приём, только оставляем $y$.

Решение.

1. $y = 16 - 9x$.
2. $3y = -5x - 1$, $y = -\frac{5x + 1}{3}$.
3. $-y = -11x - 20$, умножаем на −1: $y = 11x + 20$.
4. $-12y = -6x - 19$, делим на −12: $y = \frac{6x + 19}{12} = 0,5x + 1\frac{7}{12}$.

Ответ: 1) $y = 16 - 9x$; 2) $y = -\frac{5x + 1}{3}$; 3) $y = 11x + 20$; 4) $y = \frac{6x + 19}{12}$.

Уровень B

№ 1228

Докажи, что равносильны: 1) $1,5x + 8y - 9 = 0$ и $1,5x = 9 - 8y$; 2) $3x + 6y - 2,4 = 0$ и $x + 2y - 0,8 = 0$.

Как думать. Покажем, что одно уравнение получается из другого разрешёнными преобразованиями.

Решение.

1. В первом уравнении переносим $8y$ и $-9$ вправо с противоположными знаками: $1,5x = 9 - 8y$. Это второе уравнение. Перенос слагаемых даёт равносильное уравнение.
2. Делим обе части первого уравнения на 3 (это не ноль): $x + 2y - 0,8 = 0$. Получили второе уравнение.

Ответ: уравнения в каждой паре равносильны.

№ 1229

При каком $m$ пара будет решением: 1) $mx + 8y - 1 = 0$, пара $(-3; 0,5)$; 2) $-9x + my + 4 = 0$, пара $\left(\frac{7}{9}; -2\right)$?

Как думать. Подставляем $x$ и $y$. Остаётся уравнение с одной буквой $m$ — решаем его.

Решение.

1. $m \cdot (-3) + 8 \cdot 0,5 - 1 = 0$, то есть $-3m + 3 = 0$, $m = 1$.
2. $-9 \cdot \frac{7}{9} + m \cdot (-2) + 4 = 0$, то есть $-7 - 2m + 4 = 0$, $-2m = 3$, $m = -1,5$.

Ответ: 1) $m = 1$; 2) $m = -1,5$.

Уровень C

№ 1230

Напиши уравнение, равносильное данному: 1) $x + 2y = 0,4$; 2) $-6x + y = -1,2$; 3) $\frac{5}{6}x - 1,2y = 1$; 4) $2,5x - 3\frac{1}{7}y - 3,5 = 0$.

Как думать. Вариантов бесконечно много. Удобнее всего умножить на такое число, чтобы ушли дроби и запятые.

Решение. Примеры:

1. Умножим на 5: $5x + 10y = 2$.
2. Умножим на 5: $-30x + 5y = -6$.
3. Умножим на 30: $25x - 36y = 30$.
4. $3\frac{1}{7} = \frac{22}{7}$. Умножим на 14: $35x - 44y - 49 = 0$.

Ответ: например, $5x + 10y = 2$; $-30x + 5y = -6$; $25x - 36y = 30$; $35x - 44y - 49 = 0$.

Повторение

№ 1231

Число видов позвоночных животных в Красной книге Казахстана равно значению выражения $\left(23\frac{5}{7} - 25\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-2\frac{2}{41}\right) \cdot 30 + 1\frac{2}{3} : \frac{1}{3}$. Найди его.

Решение.

1. $23\frac{5}{7} - 25\frac{2}{3} = -\left(25\frac{14}{21} - 23\frac{15}{21}\right) = -1\frac{20}{21} = -\frac{41}{21}$.
2. $-\frac{41}{21} \cdot \left(-\frac{84}{41}\right) = \frac{84}{21} = 4$.
3. $4 \cdot 30 = 120$.
4. $1\frac{2}{3} : \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \cdot 3 = 5$.
5. $120 + 5 = 125$.

Ответ: 125 видов.

№ 1232

Число видов беспозвоночных в Красной книге Казахстана — наименьшее нечётное решение системы $4x + 16,8 \ge 404,8$ и $6x - 4,5 \le 655,5$. Найди его.

Как думать. Решаем каждое неравенство, берём общую часть и ищем в ней наименьшее нечётное число.

Решение.

1. $4x \ge 404,8 - 16,8 = 388$, $x \ge 97$.
2. $6x \le 655,5 + 4,5 = 660$, $x \le 110$.
3. Решения системы: $97 \le x \le 110$.
4. Наименьшее нечётное число здесь — само 97.

Ответ: 97.

🌟 В Красную книгу Казахстана заносят редких и исчезающих животных: снежного барса, джейрана, сайгака, розового фламинго. Точные числа видов в разных изданиях книги отличаются.

Готовимся к следующей теме

№ 1233

Что можно сказать о площади $S$ прямоугольника со сторонами $a$ см и $b$ см, если 1) $a \le 7\frac{3}{8}$, $b \le 400$; 2) $a \ge 4,25$, $b \ge 8,4$?

Как думать. Стороны положительные. Неравенства с положительными частями одного знака можно перемножать: если $a \le 7\frac{3}{8}$ и $b \le 400$, то $ab \le 7\frac{3}{8} \cdot 400$.

Решение.

1. $7\frac{3}{8} \cdot 400 = 7,375 \cdot 400 = 2950$, значит, $S \le 2950$ см² (и, конечно, $S > 0$).
2. $4,25 \cdot 8,4 = 35,7$, значит, $S \ge 35,7$ см².

Ответ: 1) $S \le 2950$ см²; 2) $S \ge 35,7$ см².

№ 1234

Упрости $6a - 20b$, если $a = \frac{1}{2}(m - n)$ и $b = 0,5(m + n)$.

Как думать. Подставляем вместо $a$ и $b$ их выражения, раскрываем скобки, приводим подобные. Внимание к минусу перед скобкой!

Решение. $6a - 20b = 3m - 3n - 10m - 10n = -7m - 13n$.

Ответ: $-7m - 13n$.

Шпаргалка

• Проверка решения: подставь $x$ и $y$ и посмотри, верно ли равенство.
• Выразить $y$ через $x$: оставь $y$ одну слева, раздели на число перед ней.
• Подставь любое $x$ — получишь своё $y$, а значит, ещё одно решение.
• Неизвестный коэффициент $m$ находим подстановкой пары в уравнение.

Мини-тест