§ 52. Системы линейных уравнений с двумя переменными

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 10: Линейные уравнения с двумя переменными и их системы. Страницы 147–149.

book: ru-6-matematika-abylkasymova-2018 part: 2 lesson: "52" title: "Системы линейных уравнений с двумя переменными" pages: 147-149 kind: lesson time: 40 hook: "У уравнения x + y = 7 решений бесконечно много. Но стоит добавить второе условие — и останется одна-единственная пара. Давай её поймаем!"

§ 52. Системы линейных уравнений с двумя переменными

Чему научишься

• Понимать, что такое система двух уравнений и как её записывают.
• Проверять, является ли пара чисел решением системы.
• Отличать равносильные системы от неравносильных.
• Находить неизвестные коэффициенты, если решение системы известно.

Разминка

Это задания № 1233 и № 1234 из прошлого урока. Реши в уме или на черновике.

• Стороны прямоугольника $a \le 7\frac{3}{8}$ см и $b \le 400$ см. Что можно сказать о площади? $S \le 7\frac{3}{8} \cdot 400 = 2950$. Площадь не больше 2950 см².
• А если $a \ge 4{,}25$ и $b \ge 8{,}4$? $S \ge 4{,}25 \cdot 8{,}4 = 35{,}7$. Площадь не меньше 35,7 см².
• Упрости $6a - 20b$, если $a = \frac{1}{2}(m - n)$, $b = 0{,}5(m + n)$. $3(m - n) - 10(m + n) = 3m - 3n - 10m - 10n = -7m - 13n$.
• Подходит ли пара $(3; 4)$ к уравнению $x + y = 7$? А пара $(2; 5)$? Обе подходят: $3 + 4 = 7$ и $2 + 5 = 7$.

💡 Последний вопрос — ключ к уроку. Одному уравнению с двумя переменными подходит очень много пар. Чтобы выбрать одну, нужно второе условие.

Разбираемся

Загадка про два условия

Арман и Дана вместе собрали 7 яблок. У Даны яблок вдвое больше, чем у Армана, но без двух. Сколько яблок у каждого?

Пусть у Армана $x$ яблок, у Даны $y$. Первое условие: $x + y = 7$. Второе: $y = 2x - 2$, то есть $2x - y = 2$. Нам нужны числа, которые подходят сразу к обоим уравнениям.

Фигурная скобка — знак «одновременно»

Такие уравнения пишут вместе под фигурной скобкой:

$\begin{cases} x + y - 7 = 0, \ 2x - y - 2 = 0. \end{cases}$

Это система двух линейных уравнений с двумя переменными. Скобка говорит: «оба равенства должны выполняться в одно и то же время».

📌 Решение системы — пара чисел $(x; y)$, при которой каждое уравнение системы превращается в верное равенство. Решить систему — найти все такие пары или доказать, что их нет.

Проверяем пару

Возьмём пару $(3; 4)$: $3 + 4 - 7 = 0$ — верно; $2 \cdot 3 - 4 - 2 = 0$ — верно. Значит, $(3; 4)$ — решение: у Армана 3 яблока, у Даны 4.

А пара $(2; 5)$? Первое уравнение: $2 + 5 - 7 = 0$ — верно. Второе: $2 \cdot 2 - 5 - 2 = -3$, а не 0. Одного «да» мало, пара не решение.

⚠️ Частая ошибка. Подставили пару в первое уравнение, получили верно — и сразу пишут «является решением». Нет! Проверять надо все уравнения системы.

Посмотрим на картинке

Каждое линейное уравнение с двумя переменными — это прямая на координатной плоскости. Решение системы — точка, где прямые пересекаются. Поставь точку туда, где они встречаются.

💡 Две прямые могут пересечься (одно решение), идти параллельно (решений нет) или совпасть (решений бесконечно много). Других вариантов у системы двух линейных уравнений не бывает.

Равносильные системы

📌 Две системы равносильны, если у них одни и те же решения.

Например, умножим второе уравнение на 2. Получим систему $\begin{cases} x + y = 7, \ 4x - 2y = 4. \end{cases}$ Её решение — та же пара $(3; 4)$, значит, системы равносильны.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка проговорить: «Пара — решение системы, если она подходит к первому и ко второму уравнению». Слово «и» здесь главное.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Для чего нужны системы двух уравнений с двумя переменными? Чтобы найти пары чисел, которые подчиняются сразу двум условиям. Так решают задачи, где неизвестных две и про них известны два факта.
• Что является решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными? Пара чисел $(x; y)$, которая превращает каждое уравнение системы в верное равенство.
• Какие системы называют равносильными? Те, у которых решения одинаковые.
• Равносильны ли системы, если у одной решение только $(2; 1)$, а у другой — только $(1; 2)$? Нет. В паре первое число — $x$, второе — $y$. Пары $(2; 1)$ и $(1; 2)$ разные.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1235

Проверь, являются ли пары $(1; -1)$ и $(-1; -1)$ решениями систем: 1) $2{,}7x - 8{,}1y = 11{,}8$, $16x - 15y = 1$; 2) $21x - 20y = -16$, $9x - 10y = 1$.

Как думать. Подставляем пару в первое уравнение. Если уже там неверно — дальше можно не проверять.

Решение.

1. Пара $(1; -1)$: $2{,}7 \cdot 1 - 8{,}1 \cdot (-1) = 2{,}7 + 8{,}1 = 10{,}8$, а нужно 11,8 — не решение. Пара $(-1; -1)$: $-2{,}7 + 8{,}1 = 5{,}4$, а нужно 11,8 — не решение.

2. Пара $(1; -1)$: $21 + 20 = 41$, а нужно $-16$ — не решение. Пара $(-1; -1)$: $-21 + 20 = -1$, а нужно $-16$ — не решение. Второе уравнение она, кстати, решает: $-9 + 10 = 1$. Но одного уравнения мало.

Ответ: ни одна из пар не является решением ни первой, ни второй системы.

№ 1236

Докажи, что $(-5; -5)$ — решение, а $(5; -5)$ — нет, для систем: 1) $5x - 3{,}6y = -7$, $8{,}4x - 9y = 3$; 2) $-7{,}2x + 11y = -19$, $5{,}8x - 13y = 36$.

Как думать. Чтобы доказать «является» — проверяем оба уравнения. Чтобы доказать «не является» — достаточно одного неверного равенства.

Решение.

1. $(-5; -5)$: $5 \cdot (-5) - 3{,}6 \cdot (-5) = -25 + 18 = -7$ ✓; $8{,}4 \cdot (-5) - 9 \cdot (-5) = -42 + 45 = 3$ ✓. $(5; -5)$: $25 + 18 = 43$, а не $-7$ ✗.

2. $(-5; -5)$: $-7{,}2 \cdot (-5) + 11 \cdot (-5) = 36 - 55 = -19$ ✓; $5{,}8 \cdot (-5) - 13 \cdot (-5) = -29 + 65 = 36$ ✓. $(5; -5)$: $-36 - 55 = -91$, а не $-19$ ✗.

Ответ: доказано: $(-5; -5)$ — решение обеих систем, $(5; -5)$ — нет.

№ 1237

Какие из пар $(3; -3)$, $(-3; -3)$, $(-3; 3)$, $(3; 3)$ подходят к системам: 1) $-10x + 13y + 9 = 0$, $27x - 19y + 24 = 0$; 2) $6{,}5x + 8{,}1y - 4{,}89 = 0$, $-14x - 23y - 27 = 0$?

Как думать. Сначала отсеиваем пары по первому уравнению, оставшиеся проверяем во втором.

Решение.

1. Первое уравнение, выражение $-10x + 13y + 9$:

• $(3; -3)$: $-30 - 39 + 9 = -60$ ✗;
• $(-3; -3)$: $30 - 39 + 9 = 0$ ✓;
• $(-3; 3)$: $30 + 39 + 9 = 78$ ✗;
• $(3; 3)$: $-30 + 39 + 9 = 18$ ✗.

Пара $(-3; -3)$ во втором уравнении: $27 \cdot (-3) - 19 \cdot (-3) + 24 = -81 + 57 + 24 = 0$ ✓.

2. Первое уравнение, выражение $6{,}5x + 8{,}1y - 4{,}89$:

• $(3; -3)$: $19{,}5 - 24{,}3 - 4{,}89 = -9{,}69$ ✗;
• $(-3; -3)$: $-19{,}5 - 24{,}3 - 4{,}89 = -48{,}69$ ✗;
• $(-3; 3)$: $-19{,}5 + 24{,}3 - 4{,}89 = -0{,}09$ ✗ (почти, но не нуль!);
• $(3; 3)$: $19{,}5 + 24{,}3 - 4{,}89 = 38{,}91$ ✗.

Ответ: 1) только $(-3; -3)$; 2) ни одна пара.

№ 1238

Докажи, что у системы бесконечно много решений: 1) $4x + 5y = 1{,}5$, $8x + 10y = 3$; 2) $1{,}2x - 1{,}7y = -4{,}4$, $-6x + 8{,}5y = 22$.

Как думать. Если одно уравнение получается из другого умножением на число, то по сути это одно и то же уравнение. А у одного уравнения с двумя переменными решений бесконечно много.

Решение.

1. Умножим первое уравнение на 2: $8x + 10y = 3$ — это ровно второе уравнение. Любая пара, подходящая к первому, подходит и ко второму. Например, $(0; 0{,}3)$, $(1; -0{,}5)$, $(-1; 1{,}1)$ и так далее.

2. Умножим первое уравнение на $-5$: $-6x + 8{,}5y = 22$ — снова второе уравнение. Например, подходят пары $(2; 4)$ и $(10{,}5; 10)$, и ещё бесконечно много других.

Ответ: в обеих системах второе уравнение равносильно первому, поэтому решений бесконечно много.

💡 На картинке это две совпадающие прямые: у них общие все точки.

Уровень B

№ 1239

Равносильны ли системы: 1) $6x - 8y - 1{,}2 = 0$, $3x + 5y - 0{,}2 = 0$ и $3x = 0{,}6 + 4y$, $15x = -1 - 25y$; 2) $10x - 7y - 1 = 0$, $-1{,}2y + 6x + 5 = 0$ и $0{,}7y = x - 0{,}1$, $y = 5x + 4\frac{1}{6}$?

Как думать. Переносим всё в левую часть и сравниваем уравнения: не получается ли одно из другого умножением на число.

Решение.

1. $3x = 0{,}6 + 4y$ → $3x - 4y - 0{,}6 = 0$. Умножим на 2: $6x - 8y - 1{,}2 = 0$ — совпадает с первым уравнением первой системы. $15x = -1 - 25y$ → $15x + 25y + 1 = 0$. А второе уравнение первой системы, умноженное на 5: $15x + 25y - 1 = 0$. Свободные члены разные: $+1$ и $-1$. Проверим решения. Первая система: $3x + 5y = 0{,}2$ и $3x - 4y = 0{,}6$; вычтем: $9y = -0{,}4$. Вторая: $3x + 5y = -0{,}2$ и $3x - 4y = 0{,}6$; вычтем: $9y = -0{,}8$. Значения $y$ разные — значит, и решения разные.

2. $0{,}7y = x - 0{,}1$ → умножим на 10: $7y = 10x - 1$ → $10x - 7y - 1 = 0$ ✓ (первое уравнение). $y = 5x + 4\frac{1}{6}$ → умножим на $1{,}2$: $1{,}2y = 6x + 5$ → $-1{,}2y + 6x + 5 = 0$ ✓ (второе уравнение). Уравнения попарно равносильны, значит, и системы равносильны.

Ответ: 1) нет; 2) да.

№ 1240

Подбором найди хотя бы одно решение: 1) $x + y = 10$, $xy = 16$; 2) $x - y = 5$, $xy = 24$.

Как думать. Вторые уравнения тут не линейные, поэтому самый простой путь — подбор. Перебираем пары для одного уравнения и проверяем другое.

Решение.

1. Пары с суммой 10: $1 \cdot 9 = 9$, $2 \cdot 8 = 16$ ✓. Подходят $(2; 8)$ и $(8; 2)$.

2. Произведение 24 дают 1 и 24, 2 и 12, 3 и 8, 4 и 6. Разность 5 только у пары $8 - 3 = 5$: решение $(8; 3)$. Не забудь отрицательные числа: $-3 - (-8) = 5$ и $(-3) \cdot (-8) = 24$, значит, $(-3; -8)$ тоже подходит.

Ответ: 1) $(2; 8)$ и $(8; 2)$; 2) $(8; 3)$ и $(-3; -8)$.

Уровень C

№ 1241

Найди $a$ и $b$, если пара $(3; -4)$ — решение системы: 1) $ax - 0{,}5y - 14 = 0$, $-2x + by - 11{,}6 = 0$; 2) $-\frac{5}{6}x + by = -28{,}5$, $ax - 3y = 14\frac{2}{3}$.

Как думать. Пара — решение, значит, после подстановки $x = 3$, $y = -4$ оба равенства верные. В каждом уравнении остаётся одна неизвестная буква.

Решение.

1. $3a - 0{,}5 \cdot (-4) - 14 = 0$ → $3a + 2 - 14 = 0$ → $3a = 12$ → $a = 4$. $-2 \cdot 3 + b \cdot (-4) - 11{,}6 = 0$ → $-6 - 4b - 11{,}6 = 0$ → $-4b = 17{,}6$ → $b = -4{,}4$.

2. $-\frac{5}{6} \cdot 3 - 4b = -28{,}5$ → $-2{,}5 - 4b = -28{,}5$ → $-4b = -26$ → $b = 6{,}5$. $3a - 3 \cdot (-4) = 14\frac{2}{3}$ → $3a + 12 = 14\frac{2}{3}$ → $3a = \frac{8}{3}$ → $a = \frac{8}{9}$.

Ответ: 1) $a = 4$, $b = -4{,}4$; 2) $a = \frac{8}{9}$, $b = 6{,}5$.

№ 1242

Подготовь сообщение о том, что системы линейных уравнений с двумя неизвестными умели решать ещё в Древнем Вавилоне, с начала II тысячелетия до н. э.

Как думать. Сообщение — 5–7 предложений: где, когда, как записывали, пример задачи. Подробности лучше уточнить по энциклопедии.

Решение. Пример сообщения:

🌟 Около 4000 лет назад писцы Вавилона (на землях нынешнего Ирака) записывали задачи клинописью на глиняных табличках. Среди них есть задачи про два поля: известна их общая площадь и разница урожаев, а найти надо площадь каждого. Сегодня мы записали бы такую задачу системой двух уравнений. Букв $x$ и $y$ у вавилонян не было: условие описывали словами и решали по готовому «рецепту». Позже похожие задачи решали в Китае: в книге «Математика в девяти книгах» описан приём, очень похожий на наш способ сложения. Привычную буквенную запись придумали в Европе только в XVI–XVII веках.

Ответ: пример сообщения выше (факты и даты проверьте по источнику).

Повторение

№ 1243

Найди наименьшее и наибольшее натуральные числа, при которых верно $|8x - 5| \le 11$.

Как думать. Модуль не больше 11 — значит, число $8x - 5$ лежит между $-11$ и $11$.

Решение.

1. $-11 \le 8x - 5 \le 11$.
2. Прибавим 5: $-6 \le 8x \le 16$.
3. Разделим на 8: $-0{,}75 \le x \le 2$.
4. Натуральные числа на этом отрезке: 1 и 2.

Ответ: наименьшее 1, наибольшее 2.

№ 1244

Найди объём прямоугольного параллелепипеда: длина 4 см, ширина — 75% длины, высота в 5 раз больше половины ширины.

Решение.

1. Ширина: $4 \cdot 0{,}75 = 3$ см.
2. Половина ширины: $1{,}5$ см; высота: $5 \cdot 1{,}5 = 7{,}5$ см.
3. Объём: $4 \cdot 3 \cdot 7{,}5 = 90$ см³.

Ответ: 90 см³.

Готовимся к следующей теме

№ 1245

Реши уравнение $5(6x - 7) - 4(7x - 3) = 9x + 26$.

Решение.

1. Раскроем скобки: $30x - 35 - 28x + 12 = 9x + 26$.
2. Упростим левую часть: $2x - 23 = 9x + 26$.
3. Перенесём: $2x - 9x = 26 + 23$, $-7x = 49$, $x = -7$.

Ответ: $x = -7$.

№ 1246

Упрости $1{,}1m - 2{,}7n$, если $m = a + b$, $n = a - b$.

Как думать. Вместо $m$ и $n$ подставляем выражения в скобках. Такая подстановка скоро пригодится для решения систем.

Решение. $1{,}1(a + b) - 2{,}7(a - b) = 1{,}1a + 1{,}1b - 2{,}7a + 2{,}7b = -1{,}6a + 3{,}8b$.

Ответ: $-1{,}6a + 3{,}8b$.

Шпаргалка

• Пару проверяем в каждом уравнении системы.
• Одно неверное равенство — и пара уже не решение.
• Если уравнение умножить на число, не равное нулю, система останется равносильной.
• В паре $(x; y)$ порядок важен: $(2; 1)$ и $(1; 2)$ — разные пары.

Мини-тест