§ 53. Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом сложения — Математика 6 класс, Абылкасымова: разбор и ответы
ААқыл · разбор уроков

Разберём любой номер вместе!

§ 53. Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом сложения

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 10: Линейные уравнения с двумя переменными и их системы. Страницы 150–155.

Чему научишься

  • Решать систему, складывая или вычитая её уравнения.
  • Подбирать множители, чтобы одна переменная «сократилась».
  • Узнавать системы, у которых нет решений.
  • Упрощать сложные системы со скобками и дробями перед решением.

Разминка

Это задания № 1245 и № 1246 из прошлого урока, плюс один разогрев.

  • Реши уравнение $5(6x - 7) - 4(7x - 3) = 9x + 26$. $2x - 23 = 9x + 26$, $-7x = 49$, $x = -7$.
  • Упрости $1{,}1m - 2{,}7n$ при $m = a + b$, $n = a - b$. $1{,}1a + 1{,}1b - 2{,}7a + 2{,}7b = -1{,}6a + 3{,}8b$.
  • Чему равна сумма $(x + 2y) + (3x - 2y)$? $4x$ — слагаемые $2y$ и $-2y$ взаимно уничтожились.
  • Если $a = b$ и $c = d$, верно ли, что $a + c = b + d$? Да. К равным числам прибавили равные — получили равные.

💡 Последние два вопроса — весь секрет урока. Складываем уравнения, и одна переменная пропадает.

Разбираемся

Фокус с исчезающей переменной

Посмотри на систему:

$\begin{cases} x + 2y - 5 = 0, \ 3x - 2y + 17 = 0. \end{cases}$

В первом уравнении есть $2y$, во втором $-2y$. Если сложить левые части и правые части, $y$ пропадёт:

$(x + 2y - 5) + (3x - 2y + 17) = 0 + 0$, то есть $4x + 12 = 0$.

Теперь уравнение с одной переменной: $4x = -12$, $x = -3$. Подставим $x = -3$ в первое уравнение: $-3 + 2y - 5 = 0$, $2y = 8$, $y = 4$.

Решение: $(-3; 4)$. Такой приём называют способом сложения.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка обвести карандашом пару слагаемых, которые «съедят» друг друга при сложении. Если такой пары нет, значит, сначала нужно умножить уравнения на подходящие числа.

Когда нужно вычитать

Система $\begin{cases} 8x + 13y - 73 = 0, \ 8x - 12y + 52 = 0. \end{cases}$ Тут одинаковые слагаемые $8x$, а не противоположные. Можно умножить второе уравнение на $-1$ и сложить. А можно просто вычесть второе из первого:

$(8x + 13y - 73) - (8x - 12y + 52) = 0$, то есть $25y - 125 = 0$, $y = 5$.

Подставим: $8x + 65 - 73 = 0$, $8x = 8$, $x = 1$. Решение: $(1; 5)$.

⚠️ Частая ошибка. При вычитании забывают поменять знаки у всех слагаемых второго уравнения: $13y - (-12y)$ — это $25y$, а не $y$. И $-73 - 52 = -125$.

Когда сначала надо умножить

Система $\begin{cases} 4x + 7y - 26 = 0, \ 3x - 8y + 7 = 0. \end{cases}$ Ничего не сокращается. Подберём множители так, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными: 12 и $-12$. Пройди решение по шагам.

📌 Способ сложения по шагам.

  1. Умножь уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными.
  2. Сложи левые и правые части.
  3. Реши получившееся уравнение с одной переменной.
  4. Подставь найденное значение в любое уравнение системы и найди вторую переменную.
  5. Запиши ответ парой $(x; y)$.

Как это выглядит на графике

Система $x + y = 14$, $x - y = 8$. Сложим: $2x = 22$, $x = 11$, тогда $y = 3$. Нажми на точку пересечения прямых — проверь, что это $(11; 3)$.

💡 А если при сложении исчезли обе переменные? Получится либо неверное равенство вроде $0 = 5$ (решений нет, прямые параллельны), либо $0 = 0$ (решений бесконечно много, прямые совпадают).

Проверь, как понял

Проверь себя

  • Почему способ назвали способом сложения? Потому что левые и правые части уравнений складывают. После этого одна переменная пропадает и остаётся уравнение с одной переменной.
  • Какие действия можно выполнять с левыми и правыми частями уравнений? Почему? Их можно складывать и вычитать. Если к равным числам прибавить (или вычесть) равные, снова получатся равные. Это свойство верных числовых равенств.
  • Можно ли применить способ сложения, если сразу ни одна переменная не исчезает? Можно. Сначала умножаем одно или оба уравнения на такие числа (не нули), чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными. Умножение не меняет решений уравнения.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1247

Реши системы: 1) $x + y = 14$, $x - y = 8$; 2) $x - y = 7$, $x + y = 23$; 3) $x + y = 32$, $x - y = 14$; 4) $x - y = 9$, $x + y = 29$; 5) $2x + y = 11$, $3x - y = 4$; 6) $3x - y = 5$, $4x + y = 9$.

Как думать. Везде есть $y$ и $-y$. Складываем уравнения — $y$ исчезает.

Решение.

  1. $2x = 22$, $x = 11$; $y = 14 - 11 = 3$.
  2. $2x = 30$, $x = 15$; $y = 23 - 15 = 8$.
  3. $2x = 46$, $x = 23$; $y = 32 - 23 = 9$.
  4. $2x = 38$, $x = 19$; $y = 29 - 19 = 10$.
  5. $5x = 15$, $x = 3$; $y = 11 - 6 = 5$.
  6. $7x = 14$, $x = 2$; $y = 9 - 8 = 1$.

Ответ: 1) $(11; 3)$; 2) $(15; 8)$; 3) $(23; 9)$; 4) $(19; 10)$; 5) $(3; 5)$; 6) $(2; 1)$.

№ 1248

Реши систему $x + y = 300$, $x - 0{,}5y = 120$ и узнай: $x$ — на какой угол бегемот может открыть пасть, $y$ — расстояние между его челюстями в сантиметрах.

Как думать. Коэффициенты при $x$ одинаковые — вычитаем второе уравнение из первого.

Решение.

  1. $(x + y) - (x - 0{,}5y) = 300 - 120$, то есть $1{,}5y = 180$, $y = 120$.
  2. $x = 300 - 120 = 180$.

Ответ: бегемот открывает пасть на 180°, расстояние между челюстями — 120 см.

🌟 180° — это развёрнутый угол! Челюсти бегемота могут стать почти одной прямой линией.

№ 1249

Реши систему $0{,}1x + 0{,}01y = 32$, $2x + y = 1200$: $x$ — число видов птиц в Наурызымском заповеднике (Костанайская область), $y$ — примерное число видов растений.

Как думать. Избавимся от десятичных дробей: умножим первое уравнение на 100.

Решение.

  1. $10x + y = 3200$.
  2. Вычтем второе уравнение: $(10x + y) - (2x + y) = 3200 - 1200$, $8x = 2000$, $x = 250$.
  3. $y = 1200 - 2 \cdot 250 = 700$.

Ответ: 250 видов птиц и около 700 видов растений.

Реши систему или докажи, что решений нет (№ 1250–1260)

№ 1250

1) $3{,}2x + 1\frac{4}{5}y - 5 = 0$, $3{,}8x - 1{,}8y - 2 = 0$; 2) $-7{,}12x + 3{,}9y - 3{,}22 = 0$, $-2{,}88x - 3{,}9y - 6{,}78 = 0$.

Как думать. В 1) $1\frac{4}{5} = 1{,}8$ — значит, при $y$ стоят $1{,}8$ и $-1{,}8$. В 2) — $3{,}9$ и $-3{,}9$. Складываем.

Решение.

  1. $3{,}2x + 1{,}8y = 5$ и $3{,}8x - 1{,}8y = 2$. Сложим: $7x = 7$, $x = 1$. Тогда $1{,}8y = 5 - 3{,}2 = 1{,}8$, $y = 1$.
  2. $-7{,}12x + 3{,}9y = 3{,}22$ и $-2{,}88x - 3{,}9y = 6{,}78$. Сложим: $-10x = 10$, $x = -1$. Тогда $3{,}9y = 3{,}22 - 7{,}12 = -3{,}9$, $y = -1$.

Ответ: 1) $(1; 1)$; 2) $(-1; -1)$.

№ 1251

1) $\frac{1}{4}x - 0{,}5y - 1{,}34 = 0$, $-0{,}25x + 0{,}5y - 1{,}34 = 0$; 2) $2x - 0{,}5y - 1{,}4 = 0$, $-2x + 0{,}5y - 0{,}6 = 0$.

Как думать. Тут противоположны коэффициенты и при $x$, и при $y$. После сложения исчезнут обе переменные. Смотрим, что останется.

Решение.

  1. $\frac{1}{4} = 0{,}25$. Сложим: $0 \cdot x + 0 \cdot y - 2{,}68 = 0$, то есть $-2{,}68 = 0$. Это неверно при любых $x$ и $y$.
  2. Сложим: $0 \cdot x + 0 \cdot y - 2 = 0$, то есть $-2 = 0$. Тоже неверно.

Ответ: обе системы решений не имеют.

💡 Перепиши 2) так: $2x - 0{,}5y = 1{,}4$ и $2x - 0{,}5y = -0{,}6$. Одно и то же выражение не может равняться сразу двум разным числам. На графике это параллельные прямые.

№ 1252

1) $-2x - 0{,}8y - 1 = 0$, $-2x + 0{,}2y = 0$; 2) $4x - \frac{2}{3}y + 3\frac{2}{3} = 0$, $4x + 3\frac{1}{3}y - \frac{1}{3} = 0$.

Как думать. Коэффициенты при $x$ одинаковые — вычитаем.

Решение.

  1. Вычтем второе из первого: $-0{,}8y - 0{,}2y - 1 = 0$, $-y = 1$, $y = -1$. Из второго: $-2x - 0{,}2 = 0$, $x = -0{,}1$.
  2. Вычтем первое из второго: $3\frac{1}{3}y + \frac{2}{3}y - \frac{1}{3} - 3\frac{2}{3} = 0$, $4y - 4 = 0$, $y = 1$. Из первого: $4x - \frac{2}{3} + \frac{11}{3} = 0$, $4x = -3$, $x = -\frac{3}{4}$.

Ответ: 1) $(-0{,}1; -1)$; 2) $\left(-\frac{3}{4}; 1\right)$.

№ 1253

1) $3^2x + 4^2y - 5^2 = 0$, $10x + 16y - 26 = 0$; 2) $9^2x - 2^3y - 3^5 = 0$, $-19x - 8y + 57 = 0$.

Как думать. Сначала вычислим степени: $3^2 = 9$, $4^2 = 16$, $5^2 = 25$, $9^2 = 81$, $2^3 = 8$, $3^5 = 243$.

Решение.

  1. $9x + 16y = 25$ и $10x + 16y = 26$. Вычтем первое из второго: $x = 1$. Тогда $16y = 16$, $y = 1$.
  2. $81x - 8y = 243$ и $-19x - 8y = -57$. Вычтем второе из первого: $100x = 300$, $x = 3$. Тогда $-8y = 243 - 243 = 0$, $y = 0$.

Ответ: 1) $(1; 1)$; 2) $(3; 0)$.

№ 1254

1) $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = -2$, $2x - y = -3$; 2) $-x + 4y = 52$, $\frac{x}{8} - \frac{y}{7} = -4$.

Как думать. Сначала избавляемся от дробей: умножаем уравнение на общий знаменатель.

Решение.

  1. Первое умножим на 6: $3x - 2y = -12$. Второе умножим на $-2$: $-4x + 2y = 6$. Сложим: $-x = -6$, $x = 6$. Из $2x - y = -3$: $y = 12 + 3 = 15$.
  2. Второе умножим на 56: $7x - 8y = -224$. Первое умножим на 7: $-7x + 28y = 364$. Сложим: $20y = 140$, $y = 7$. Тогда $-x = 52 - 28 = 24$, $x = -24$.

Ответ: 1) $(6; 15)$; 2) $(-24; 7)$.

№ 1255

1) $\frac{2}{7}x - \frac{3}{14}y - \frac{1}{7} = 0$, $x + y - 4 = 0$; 2) $x + 5y - 24 = 0$, $\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y - 3\frac{1}{3} = 0$.

Решение.

  1. Первое умножим на 14: $4x - 3y = 2$. Второе умножим на 3: $3x + 3y = 12$. Сложим: $7x = 14$, $x = 2$; $y = 4 - 2 = 2$.
  2. Второе умножим на 6: $2x + 3y = 20$. Первое умножим на $-2$: $-2x - 10y = -48$. Сложим: $-7y = -28$, $y = 4$; $x = 24 - 20 = 4$.

Ответ: 1) $(2; 2)$; 2) $(4; 4)$.

№ 1256

1) $5x - 8y + 51 = 0$, $2{,}5x + 3y - 23{,}5 = 0$; 2) $6x - 5y + 26 = 0$, $3x + 17y - 65 = 0$.

Как думать. В обеих системах коэффициент при $x$ во втором уравнении ровно вдвое меньше. Умножаем второе на $-2$.

Решение.

  1. $5x - 8y = -51$ и $-5x - 6y = -47$. Сложим: $-14y = -98$, $y = 7$. Тогда $5x = -51 + 56 = 5$, $x = 1$.
  2. $6x - 5y = -26$ и $-6x - 34y = -130$. Сложим: $-39y = -156$, $y = 4$. Тогда $6x = -26 + 20 = -6$, $x = -1$.

Ответ: 1) $(1; 7)$; 2) $(-1; 4)$.

№ 1257

1) $8x + 7y + 53 = 0$, $4x - 5y + 1 = 0$; 2) $7x + 9y + 48 = 0$, $6x + 3y + 27 = 0$.

Решение.

  1. $8x + 7y = -53$. Второе умножим на $-2$: $-8x + 10y = 2$. Сложим: $17y = -51$, $y = -3$. Из $4x - 5y = -1$: $4x = -1 - 15 = -16$, $x = -4$.
  2. $7x + 9y = -48$. Второе умножим на $-3$: $-18x - 9y = 81$. Сложим: $-11x = 33$, $x = -3$. Из $6x + 3y = -27$: $3y = -27 + 18 = -9$, $y = -3$.

Ответ: 1) $(-4; -3)$; 2) $(-3; -3)$.

№ 1258

1) $\frac{1}{3}x + 0{,}25y = 0$, $29x - 2{,}5y = -97$; 2) $0{,}75x + \frac{1}{8}y + 1 = 0$, $1{,}3x - 0{,}65y = 0$.

Решение.

  1. Шаги — в виджете выше. $x = -3$, $y = 4$.
  2. Первое умножим на 8: $6x + y = -8$. Второе разделим на $0{,}65$: $2x - y = 0$. Сложим: $8x = -8$, $x = -1$; $y = 2x = -2$.

Ответ: 1) $(-3; 4)$; 2) $(-1; -2)$.

№ 1259

1) $36x - 3y - 39 = 0$, $37x + 2y - 35 = 0$; 2) $13x + 4y + 17 = 0$, $12x - 3y + 9 = 0$.

Решение.

  1. Первое разделим на 3: $12x - y = 13$, затем умножим на 2: $24x - 2y = 26$. Второе: $37x + 2y = 35$. Сложим: $61x = 61$, $x = 1$; $y = 12 - 13 = -1$.
  2. Первое умножим на 3: $39x + 12y = -51$. Второе умножим на 4: $48x - 12y = -36$. Сложим: $87x = -87$, $x = -1$. Тогда $4y = -17 + 13 = -4$, $y = -1$.

Ответ: 1) $(1; -1)$; 2) $(-1; -1)$.

№ 1260

1) $3x + 7y - 3 = 0$, $7x + 9y - 7 = 0$; 2) $6x - 13y + 1 = 0$, $5x + 10y - 20 = 0$.

Решение.

  1. Первое умножим на 7: $21x + 49y = 21$. Второе умножим на $-3$: $-21x - 27y = -21$. Сложим: $22y = 0$, $y = 0$. Тогда $3x = 3$, $x = 1$.
  2. Второе разделим на 5: $x + 2y = 4$, умножим на $-6$: $-6x - 12y = -24$. Первое: $6x - 13y = -1$. Сложим: $-25y = -25$, $y = 1$; $x = 4 - 2 = 2$.

Ответ: 1) $(1; 0)$; 2) $(2; 1)$.

Уровень B

№ 1261

1) $2x - 3y + 1 + (x - y + 5) = 0$, $5x + 7y - 7 - (8x + y + 1) = 0$; 2) $7x + 9y - 14 + (y - 5x - 11) + 3 = 0$, $11x + y - 9 + (4y - 9x - 7) = 0$.

Как думать. Сначала раскрываем скобки и приводим подобные. Получится обычная система.

Решение.

  1. Первое: $3x - 4y + 6 = 0$, то есть $3x - 4y = -6$. Второе: $5x + 7y - 7 - 8x - y - 1 = 0$, то есть $-3x + 6y = 8$. Сложим: $2y = 2$, $y = 1$. Тогда $3x = -6 + 4 = -2$, $x = -\frac{2}{3}$.
  2. Первое: $2x + 10y - 22 = 0$, то есть $2x + 10y = 22$. Второе: $2x + 5y - 16 = 0$, то есть $2x + 5y = 16$. Вычтем: $5y = 6$, $y = 1{,}2$. Тогда $2x = 16 - 6 = 10$, $x = 5$.

Ответ: 1) $\left(-\frac{2}{3}; 1\right)$; 2) $(5; 1{,}2)$.

№ 1262

1) $3(x - 2) - 2(y + 1) = -1$, $5(x + 3) - 8(y - 2) = 45$; 2) $-6(4 - x) + 4(y + 5) = -2$, $11(1 + x) - 9(7 - y) = -45$.

Решение.

  1. Раскроем скобки: $3x - 2y = 7$ и $5x - 8y = 14$. Первое умножим на $-4$: $-12x + 8y = -28$. Сложим со вторым: $-7x = -14$, $x = 2$. Тогда $2y = 6 - 7 = -1$, $y = -0{,}5$.
  2. Раскроем скобки: $6x + 4y = 2$, то есть $3x + 2y = 1$; и $11x + 9y = 7$. Первое умножим на 9, второе на $-2$: $27x + 18y = 9$ и $-22x - 18y = -14$. Сложим: $5x = -5$, $x = -1$. Тогда $2y = 1 + 3 = 4$, $y = 2$.

Ответ: 1) $(2; -0{,}5)$; 2) $(-1; 2)$.

№ 1263

1) $\frac{x - 4y}{5} - \frac{x - 5y}{6} = 0$, $\frac{3x + y}{2} + \frac{x + 10y}{3} = 2$; 2) $\frac{7x + y}{4} - \frac{13x - y}{3} = -4$, $\frac{x + 6y}{14} - \frac{8x - 3y}{10} = 0$.

Как думать. Умножаем каждое уравнение на общий знаменатель. Числитель держим в скобках, чтобы не потерять знаки.

Решение.

  1. Первое умножим на 30: $6(x - 4y) - 5(x - 5y) = 0$, то есть $x + y = 0$. Второе умножим на 6: $3(3x + y) + 2(x + 10y) = 12$, то есть $11x + 23y = 12$. Первое умножим на $-11$ и сложим: $12y = 12$, $y = 1$, $x = -1$.
  2. Первое умножим на 12: $3(7x + y) - 4(13x - y) = -48$, то есть $-31x + 7y = -48$. Второе умножим на 70: $5(x + 6y) - 7(8x - 3y) = 0$, то есть $-51x + 51y = 0$, откуда $y = x$. Подставим: $-31x + 7x = -48$, $x = 2$, $y = 2$.

Ответ: 1) $(-1; 1)$; 2) $(2; 2)$.

№ 1264

Найди $3x_0 - 5y_0$, если $(x_0; y_0)$ — решение системы: 1) $17x - 30y = 12$, $-5x + 6y = -12$; 2) $29x + 3y = -23$, $19x - 21y = -61$.

Решение.

  1. Второе умножим на 5: $-25x + 30y = -60$. Сложим с первым: $-8x = -48$, $x = 6$. Тогда $6y = -12 + 30 = 18$, $y = 3$. Значение: $3 \cdot 6 - 5 \cdot 3 = 18 - 15 = 3$.
  2. Первое умножим на 7: $203x + 21y = -161$. Сложим со вторым: $222x = -222$, $x = -1$. Тогда $3y = -23 + 29 = 6$, $y = 2$. Значение: $3 \cdot (-1) - 5 \cdot 2 = -13$.

Ответ: 1) 3; 2) $-13$.

Уровень C

№ 1265

1) $(3 - 7x)y + 7y(x + 9) = 264$, $x(4 - y) = y(8 - x) - 34$; 2) $-x(1 - 12y) + 4y(-3x + 2) = 26$, $y(x + 6) = x(y - 3) - 3$; 3) $(x - 2)y - x(y + 1) = 2 - 3(x - 2)$, $(x + 5)y - y(x - 2) = -42 + 4(x + 5)$.

Как думать. Здесь есть произведения $xy$. Не пугайся: после раскрытия скобок они сокращаются, и система становится линейной.

Решение.

  1. Первое: $3y - 7xy + 7xy + 63y = 264$, $66y = 264$, $y = 4$. Второе: $4x - xy = 8y - xy - 34$, $4x = 8y - 34 = 32 - 34 = -2$, $x = -0{,}5$.
  2. Первое: $-x + 12xy - 12xy + 8y = 26$, то есть $-x + 8y = 26$. Второе: $xy + 6y = xy - 3x - 3$, то есть $3x + 6y = -3$, или $x + 2y = -1$. Сложим с первым: $10y = 25$, $y = 2{,}5$. Тогда $x = -1 - 5 = -6$.
  3. Первое: $xy - 2y - xy - x = 2 - 3x + 6$, то есть $2x - 2y = 8$, или $x - y = 4$. Второе: $xy + 5y - xy + 2y = -42 + 4x + 20$, то есть $4x - 7y = 22$. Первое умножим на $-4$: $-4x + 4y = -16$. Сложим: $-3y = 6$, $y = -2$; $x = 4 + (-2) = 2$.

Ответ: 1) $(-0{,}5; 4)$; 2) $(-6; 2{,}5)$; 3) $(2; -2)$.

Повторение

№ 1266

Что можно сказать о площади квадрата со стороной $a$ см, если: 1) $a \le \frac{1}{2}$; 2) $a \ge 0{,}2$; 3) $\frac{1}{3} \le a \le 0{,}6$?

Как думать. $S = a^2$. Для положительных чисел: чем больше сторона, тем больше площадь, поэтому неравенство сохраняется при возведении в квадрат.

Решение.

  1. $S \le \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ см².
  2. $S \ge 0{,}2^2 = 0{,}04$ см².
  3. $\frac{1}{9} \le S \le 0{,}36$ см².

Ответ: 1) $S \le \frac{1}{4}$ см²; 2) $S \ge 0{,}04$ см²; 3) $\frac{1}{9}$ см² $\le S \le 0{,}36$ см².

№ 1267

Вычисли $\dfrac{7\frac{9}{16} : \frac{33}{80} - 21\frac{5}{6}}{\left(51\frac{4}{9} - 49{,}75\right) : 8\frac{17}{36} + 6{,}8}$.

Решение.

  1. $7\frac{9}{16} : \frac{33}{80} = \frac{121}{16} \cdot \frac{80}{33} = \frac{55}{3} = 18\frac{1}{3}$.
  2. Числитель: $18\frac{1}{3} - 21\frac{5}{6} = 18\frac{2}{6} - 21\frac{5}{6} = -3\frac{1}{2}$.
  3. $51\frac{4}{9} - 49\frac{3}{4} = 51\frac{16}{36} - 49\frac{27}{36} = 1\frac{25}{36} = \frac{61}{36}$.
  4. $\frac{61}{36} : 8\frac{17}{36} = \frac{61}{36} \cdot \frac{36}{305} = \frac{1}{5} = 0{,}2$.
  5. Знаменатель: $0{,}2 + 6{,}8 = 7$.
  6. $-3{,}5 : 7 = -0{,}5$.

Ответ: $-0{,}5$.

Готовимся к следующей теме

№ 1268

Упрости $-4{,}6(5 - 2y) - 25(0{,}4y + 3) + 97$.

Решение. $-23 + 9{,}2y - 10y - 75 + 97 = -0{,}8y - 1$.

Ответ: $-0{,}8y - 1$.

№ 1269

Вырази одну переменную через другую: 1) $2x - y - 5 = 0$; 2) $3x - 6y + 9 = 0$; 3) $2{,}7x + 15y + 83 = 0$; 4) $-52x + 76y + 89 = 0$.

Как думать. Оставляем одну переменную слева, всё остальное переносим вправо. Удобнее выражать ту переменную, у которой коэффициент 1 или делит остальные числа.

Решение.

  1. $y = 2x - 5$.
  2. $3x = 6y - 9$, $x = 2y - 3$.
  3. $15y = -2{,}7x - 83$, $y = -0{,}18x - \frac{83}{15}$ (или $y = -0{,}18x - 5\frac{8}{15}$).
  4. $76y = 52x - 89$, $y = \frac{52x - 89}{76}$ (или $x = \frac{76y + 89}{52}$).

Ответ: 1) $y = 2x - 5$; 2) $x = 2y - 3$; 3) $y = -0{,}18x - 5\frac{8}{15}$; 4) $y = \frac{52x - 89}{76}$.

Шпаргалка

  • Ищи пару противоположных коэффициентов: $2y$ и $-2y$, $5x$ и $-5x$.
  • Нет такой пары — умножь уравнения, например на 3 и на $-4$.
  • После сложения реши уравнение с одной переменной.
  • Подставь найденное число и найди вторую переменную.
  • Ответ — пара $(x; y)$. Проверь её в обоих уравнениях.

Мини-тест

← § 52. Системы линейных уравнений с двумя переменными · § 54. Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки →