§ 54. Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки — Математика 6 класс, Абылкасымова: разбор и ответы
ААқыл · разбор уроков

Разберём любой номер вместе!

§ 54. Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 10: Линейные уравнения с двумя переменными и их системы. Страницы 156–160.

book: ru-6-matematika-abylkasymova-2018 part: 2 lesson: "54" title: "Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки" pages: 156-160 kind: lesson time: 40 hook: "Если знаешь, что x — это то же самое, что 7 − 5y, то x можно просто заменить. Одна подмена — и из двух неизвестных остаётся одно!"

§ 54. Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки

Чему научишься

  • Выражать одну переменную через другую.
  • Решать системы способом подстановки.
  • Выбирать, какую переменную удобнее выразить.
  • Решать сложные системы со скобками и дробями, сначала упростив их.

Разминка

Это задания № 1268 и № 1269 из прошлого урока.

  • Упрости $-4{,}6(5 - 2y) - 25(0{,}4y + 3) + 97$. $-23 + 9{,}2y - 10y - 75 + 97 = -0{,}8y - 1$.
  • Вырази $y$ из уравнения $2x - y - 5 = 0$. $y = 2x - 5$.
  • Вырази $x$ из уравнения $3x - 6y + 9 = 0$. $3x = 6y - 9$, $x = 2y - 3$.
  • Чему равно $3x + 1$, если $x = 2y$? $3 \cdot 2y + 1 = 6y + 1$. Вместо $x$ подставили $2y$.

💡 Вот и весь новый способ: выразить одну переменную и подставить её в другое уравнение.

Разбираемся

Как «выразить» переменную

Возьмём уравнение $x + 5y - 7 = 0$. Оставим $x$ слева, остальное перенесём вправо с другим знаком: $x = 7 - 5y$. Говорят: $x$ выразили через $y$.

А можно выразить $y$: $5y = 7 - x$, значит, $y = \frac{7 - x}{5}$. Это $y$ выразили через $x$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Проверить, правильно ли выражена переменная, просто: подставьте любое число. Например, при $y = 1$ из $x = 7 - 5y$ получаем $x = 2$. Проверка: $2 + 5 - 7 = 0$ ✓.

Подмена, которая работает

Раз $x$ и $7 - 5y$ — одно и то же число, во втором уравнении вместо $x$ можно написать $7 - 5y$. Решим систему:

$\begin{cases} x + 5y - 7 = 0, \ 3x + 8y + 21 = 0. \end{cases}$

📌 Способ подстановки по шагам.

  1. Из одного уравнения вырази одну переменную через другую.
  2. Подставь это выражение в другое уравнение.
  3. Реши полученное уравнение с одной переменной.
  4. Подставь найденное число в выражение из шага 1 и найди вторую переменную.
  5. Запиши ответ парой $(x; y)$.

Что удобнее выражать

Ищи переменную с коэффициентом 1 или $-1$. В системе $\begin{cases} 4x + y = 10, \ 3x - 2y = 2 \end{cases}$ удобно взять $y = 10 - 4x$: дробей не появится. Если выражать $x$, получим $x = \frac{10 - y}{4}$ — дроби, считать дольше. Ответ всё равно будет тот же.

⚠️ Частая ошибка. Подставляя выражение, забывают про скобки: пишут $3 \cdot 7 - 5y$ вместо $3(7 - 5y)$. Всегда ставь скобки вокруг подставленного выражения!

Сложение или подстановка?

Любую систему можно решить обоими способами — ответ получится одинаковый. Подстановка удобна, когда одна переменная уже выражена или стоит с коэффициентом 1. Сложение удобно, когда коэффициенты противоположные или одинаковые.

Проверь, как понял

Проверь себя

  • Когда говорят, что $x$ выразили через $y$? А $y$ через $x$? Когда уравнение переписали так, что слева стоит только $x$, а справа — выражение с $y$ (например, $x = 7 - 5y$). И наоборот: слева только $y$, справа выражение с $x$ (например, $y = \frac{7 - x}{5}$).
  • Почему способ назвали способом подстановки? Потому что выражение для одной переменной подставляют в другое уравнение вместо этой переменной.
  • Изменится ли решение, если выразить $x$ через $y$, а не $y$ через $x$? Нет. Решение системы одно и то же, меняется только удобство вычислений.
  • Можно ли одну и ту же систему решить и сложением, и подстановкой? Да. Оба способа дают одинаковый ответ, выбирают тот, что быстрее.
  • Как из $x + 5y - 7 = 0$ получили $x = 7 - 5y$ и $y = \frac{7 - x}{5}$? В первом случае перенесли $5y$ и $-7$ вправо с противоположными знаками. Во втором перенесли $x$ и $-7$: $5y = 7 - x$, затем разделили обе части на 5.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1270

Вырази $y$ через $x$: 1) $x + y = 10$; 2) $x - y = 12{,}5$; 3) $3x + y = 17$; 4) $x + 4y = -5$; 5) $5x + 7y = 1$; 6) $1{,}1x - 2y = 19$.

Как думать. Оставляем слагаемое с $y$ слева, остальное переносим вправо. Если перед $y$ стоит число, делим на него обе части.

Решение.

  1. $y = 10 - x$.
  2. $-y = 12{,}5 - x$, $y = x - 12{,}5$.
  3. $y = 17 - 3x$.
  4. $4y = -5 - x$, $y = -0{,}25x - 1{,}25$.
  5. $7y = 1 - 5x$, $y = \frac{1}{7} - \frac{5}{7}x$.
  6. $-2y = 19 - 1{,}1x$, $y = 0{,}55x - 9{,}5$.

Ответ: 1) $y = 10 - x$; 2) $y = x - 12{,}5$; 3) $y = 17 - 3x$; 4) $y = -0{,}25x - 1{,}25$; 5) $y = \frac{1}{7} - \frac{5}{7}x$; 6) $y = 0{,}55x - 9{,}5$.

№ 1271

Вырази $x$ через $y$: 1) $x + y = 21{,}5$; 2) $x - y = 36$; 3) $4x - y = 19$; 4) $-3x + 4y = 41$; 5) $0{,}5x + y = 4$; 6) $-1{,}5x + 2y = 5$.

Решение.

  1. $x = 21{,}5 - y$.
  2. $x = 36 + y$.
  3. $4x = 19 + y$, $x = \frac{19 + y}{4} = 4{,}75 + 0{,}25y$.
  4. $-3x = 41 - 4y$, $x = \frac{4y - 41}{3}$.
  5. $0{,}5x = 4 - y$, $x = 8 - 2y$.
  6. $-1{,}5x = 5 - 2y$, $x = \frac{2y - 5}{1{,}5} = \frac{4y - 10}{3}$.

Ответ: 1) $x = 21{,}5 - y$; 2) $x = 36 + y$; 3) $x = 4{,}75 + 0{,}25y$; 4) $x = \frac{4y - 41}{3}$; 5) $x = 8 - 2y$; 6) $x = \frac{4y - 10}{3}$.

№ 1272

Вырази одно неизвестное через другое: 1) $2x + y = 15$; 2) $y + 6x = 23$; 3) $0{,}9x - 2y = 18$.

Как думать. Выбираем переменную, которую выразить проще.

Решение.

  1. $y = 15 - 2x$.
  2. $y = 23 - 6x$.
  3. $-2y = 18 - 0{,}9x$, $y = 0{,}45x - 9$.

Ответ: 1) $y = 15 - 2x$; 2) $y = 23 - 6x$; 3) $y = 0{,}45x - 9$ (можно и иначе, например $x = \frac{18 + 2y}{0{,}9}$).

Реши системы (№ 1273–1278)

№ 1273

1) $x = -7 + y$, $2x - 3y = -16$; 2) $y = x - 5$, $4x + y = 10$; 3) $-x = 3 - 2y$, $x - 5y = -6$.

Как думать. Одна переменная уже выражена — сразу подставляем.

Решение.

  1. $2(-7 + y) - 3y = -16$, $-14 - y = -16$, $y = 2$; $x = -7 + 2 = -5$.
  2. $4x + (x - 5) = 10$, $5x = 15$, $x = 3$; $y = 3 - 5 = -2$.
  3. $x = 2y - 3$; $(2y - 3) - 5y = -6$, $-3y = -3$, $y = 1$; $x = 2 - 3 = -1$.

Проверь пункт 2) на графике: поставь точку пересечения прямых.

Ответ: 1) $(-5; 2)$; 2) $(3; -2)$; 3) $(-1; 1)$.

№ 1274

1) $x + 2y = 0{,}3$, $x = -y + 0{,}5$; 2) $y - 8x = 83{,}1$, $y = -x - 6{,}9$; 3) $21x + y = -15{,}1$, $y = 0{,}9 - x$.

Решение.

  1. $(-y + 0{,}5) + 2y = 0{,}3$, $y = -0{,}2$; $x = 0{,}2 + 0{,}5 = 0{,}7$.
  2. $(-x - 6{,}9) - 8x = 83{,}1$, $-9x = 90$, $x = -10$; $y = 10 - 6{,}9 = 3{,}1$.
  3. $21x + 0{,}9 - x = -15{,}1$, $20x = -16$, $x = -0{,}8$; $y = 0{,}9 + 0{,}8 = 1{,}7$.

Ответ: 1) $(0{,}7; -0{,}2)$; 2) $(-10; 3{,}1)$; 3) $(-0{,}8; 1{,}7)$.

№ 1275

1) $x + y = \frac{4}{3}$, $3x - 2y = -1$; 2) $5x + y = \frac{1}{6}$, $x - 2y = -2\frac{1}{6}$; 3) $y + 2x = -1$, $5x - 4y = 10{,}5$.

Решение.

  1. $y = \frac{4}{3} - x$. $3x - 2\left(\frac{4}{3} - x\right) = -1$, $5x - \frac{8}{3} = -1$, $5x = \frac{5}{3}$, $x = \frac{1}{3}$; $y = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = 1$.
  2. $y = \frac{1}{6} - 5x$. $x - 2\left(\frac{1}{6} - 5x\right) = -\frac{13}{6}$, $11x - \frac{2}{6} = -\frac{13}{6}$, $11x = -\frac{11}{6}$, $x = -\frac{1}{6}$; $y = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1$.
  3. $y = -1 - 2x$. $5x - 4(-1 - 2x) = 10{,}5$, $13x + 4 = 10{,}5$, $x = 0{,}5$; $y = -1 - 1 = -2$.

Ответ: 1) $\left(\frac{1}{3}; 1\right)$; 2) $\left(-\frac{1}{6}; 1\right)$; 3) $(0{,}5; -2)$.

№ 1276

1) $x + 2y = \frac{1}{12}$, $2x - y = -\frac{1}{4}$; 2) $4x - y = 7{,}8$, $8x - 3y = 18{,}6$; 3) $13y - 4x = 17{,}1$, $x + y = 0{,}4$.

Решение.

  1. $y = 2x + \frac{1}{4}$. $x + 2\left(2x + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{12}$, $5x + \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$, $5x = -\frac{5}{12}$, $x = -\frac{1}{12}$; $y = -\frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$.
  2. $y = 4x - 7{,}8$. $8x - 3(4x - 7{,}8) = 18{,}6$, $-4x + 23{,}4 = 18{,}6$, $x = 1{,}2$; $y = 4{,}8 - 7{,}8 = -3$.
  3. $x = 0{,}4 - y$. $13y - 4(0{,}4 - y) = 17{,}1$, $17y - 1{,}6 = 17{,}1$, $17y = 18{,}7$, $y = 1{,}1$; $x = 0{,}4 - 1{,}1 = -0{,}7$.

Ответ: 1) $\left(-\frac{1}{12}; \frac{1}{12}\right)$; 2) $(1{,}2; -3)$; 3) $(-0{,}7; 1{,}1)$.

№ 1277

1) $x - y = -\frac{5}{7}$, $4x + 3y = -4\frac{6}{7}$; 2) $10x - 3y = \frac{94}{9}$, $x + y = -\frac{14}{9}$; 3) $9x + 2y = -\frac{19}{7}$, $y - x = \frac{10}{21}$.

Как думать. Дроби некрасивые, но схема та же. Выражаем переменную из уравнения, где коэффициенты равны 1.

Решение.

  1. $x = y - \frac{5}{7}$. $4\left(y - \frac{5}{7}\right) + 3y = -\frac{34}{7}$, $7y - \frac{20}{7} = -\frac{34}{7}$, $7y = -2$, $y = -\frac{2}{7}$; $x = -\frac{2}{7} - \frac{5}{7} = -1$.
  2. $y = -\frac{14}{9} - x$. $10x - 3\left(-\frac{14}{9} - x\right) = \frac{94}{9}$, $13x + \frac{42}{9} = \frac{94}{9}$, $13x = \frac{52}{9}$, $x = \frac{4}{9}$; $y = -\frac{14}{9} - \frac{4}{9} = -2$.
  3. $y = x + \frac{10}{21}$. $9x + 2x + \frac{20}{21} = -\frac{57}{21}$, $11x = -\frac{77}{21} = -\frac{11}{3}$, $x = -\frac{1}{3}$; $y = -\frac{7}{21} + \frac{10}{21} = \frac{1}{7}$.

Ответ: 1) $\left(-1; -\frac{2}{7}\right)$; 2) $\left(\frac{4}{9}; -2\right)$; 3) $\left(-\frac{1}{3}; \frac{1}{7}\right)$.

№ 1278

1) $4x + 9y - 9 = 0$, $5x - 6y - 17 = 0$; 2) $1{,}5x - 1{,}2y + 18 = 0$, $0{,}7x - 1{,}8y + 14{,}6 = 0$.

Как думать. Коэффициентов, равных 1, нет. Выражаем любую переменную, а дроби убираем умножением.

Решение.

  1. $x = \frac{9 - 9y}{4}$. $5 \cdot \frac{9 - 9y}{4} - 6y = 17$. Умножим на 4: $45 - 45y - 24y = 68$, $-69y = 23$, $y = -\frac{1}{3}$; $x = \frac{9 + 3}{4} = 3$.
  2. Первое умножим на $\frac{10}{3}$: $5x - 4y + 60 = 0$, откуда $x = 0{,}8y - 12$. Подставим: $0{,}7(0{,}8y - 12) - 1{,}8y + 14{,}6 = 0$, $0{,}56y - 8{,}4 - 1{,}8y + 14{,}6 = 0$, $-1{,}24y = -6{,}2$, $y = 5$; $x = 4 - 12 = -8$.

Ответ: 1) $\left(3; -\frac{1}{3}\right)$; 2) $(-8; 5)$.

Уровень B

№ 1279

1) $5(x + y) = 7 + 4x$, $3(x + y) = 4 - y$; 2) $3(x - y) = 17 + 2x$, $2(y - x) = 13 - x$.

Как думать. Раскрываем скобки, переносим переменные влево — получаем обычную систему.

Решение.

  1. $5x + 5y = 7 + 4x$ → $x + 5y = 7$. $3x + 3y = 4 - y$ → $3x + 4y = 4$. Из первого $x = 7 - 5y$: $3(7 - 5y) + 4y = 4$, $21 - 11y = 4$, $y = \frac{17}{11} = 1\frac{6}{11}$; $x = 7 - \frac{85}{11} = -\frac{8}{11}$.
  2. $3x - 3y = 17 + 2x$ → $x - 3y = 17$. $2y - 2x = 13 - x$ → $-x + 2y = 13$. Из первого $x = 17 + 3y$: $-17 - 3y + 2y = 13$, $-y = 30$, $y = -30$; $x = 17 - 90 = -73$.

Ответ: 1) $\left(-\frac{8}{11}; 1\frac{6}{11}\right)$; 2) $(-73; -30)$.

💡 Ответ в 1) некрасивый, но верный. Проверка: $-\frac{8}{11} + 5 \cdot \frac{17}{11} = \frac{77}{11} = 7$ ✓.

№ 1280

1) $10(x + y) = 30 + 8x$, $9(x - y) = -49 - 8y$; 2) $21(x - y) = 48 + 20x$, $19(y + x) = 100 + 12y$.

Решение.

  1. $2x + 10y = 30$ → $x = 15 - 5y$. $9x - y = -49$: $135 - 45y - y = -49$, $-46y = -184$, $y = 4$; $x = 15 - 20 = -5$.
  2. $x - 21y = 48$ → $x = 48 + 21y$. $19x + 7y = 100$: $912 + 399y + 7y = 100$, $406y = -812$, $y = -2$; $x = 48 - 42 = 6$.

Ответ: 1) $(-5; 4)$; 2) $(6; -2)$.

№ 1281

1) $\frac{x}{9} - \frac{y}{6} = -1$, $5x - y = 72$; 2) $\frac{x}{8} + \frac{y}{12} = -1$, $6x + y = -120$.

Решение.

  1. Первое умножим на 18: $2x - 3y = -18$. Из второго $y = 5x - 72$. Подставим: $2x - 15x + 216 = -18$, $-13x = -234$, $x = 18$; $y = 90 - 72 = 18$.
  2. Первое умножим на 24: $3x + 2y = -24$. Из второго $y = -120 - 6x$. Подставим: $3x - 240 - 12x = -24$, $-9x = 216$, $x = -24$; $y = -120 + 144 = 24$.

Ответ: 1) $(18; 18)$; 2) $(-24; 24)$.

№ 1282

1) $6(x + y) - 5y = x + 8$, $10x - 7(y - x) = -y + 46$; 2) $49y - 31(x + y) = 14 - 27x$, $13(x - y) + 14y = 12x + 13$.

Решение.

  1. Первое: $6x + y = x + 8$ → $5x + y = 8$ → $y = 8 - 5x$. Второе: $17x - 7y = -y + 46$ → $17x - 6y = 46$. Подставим: $17x - 48 + 30x = 46$, $47x = 94$, $x = 2$; $y = 8 - 10 = -2$.
  2. Первое: $18y - 31x = 14 - 27x$ → $-4x + 18y = 14$ → $-2x + 9y = 7$. Второе: $13x + y = 12x + 13$ → $x + y = 13$ → $x = 13 - y$. Подставим: $-26 + 2y + 9y = 7$, $11y = 33$, $y = 3$; $x = 10$.

Ответ: 1) $(2; -2)$; 2) $(10; 3)$.

№ 1283

1) $1{,}5(x + 2y) - 4(y - 3x) - 13{,}5 = 0$, $2(y - 3x) + 2{,}5(x + 2y) + 3{,}5 = 0$; 2) $4{,}5(x - 4y) + 3(y + 3x) + 1{,}5 = 0$, $5(x + 2y) - 3{,}5(y - 2x) - 18{,}5 = 0$.

Решение.

  1. Первое: $13{,}5x - y - 13{,}5 = 0$ → $y = 13{,}5x - 13{,}5$. Второе: $-3{,}5x + 7y + 3{,}5 = 0$. Подставим: $-3{,}5x + 94{,}5x - 94{,}5 + 3{,}5 = 0$, $91x = 91$, $x = 1$; $y = 0$.
  2. Первое: $13{,}5x - 15y + 1{,}5 = 0$; умножим на $\frac{2}{3}$: $9x - 10y + 1 = 0$ → $x = \frac{10y - 1}{9}$. Второе: $12x + 6{,}5y - 18{,}5 = 0$; умножим на 2: $24x + 13y = 37$. Подставим и умножим на 9: $24(10y - 1) + 117y = 333$, $357y = 357$, $y = 1$; $x = \frac{9}{9} = 1$.

Ответ: 1) $(1; 0)$; 2) $(1; 1)$.

Уровень C

№ 1284

1) $(x - 4)y + 13 = x(y - 3) + 15 - 2(x - 4)$, $(x + 5) + xy = 8x - 9 + y(x + 5)$; 2) $25 - 4(x + 7) = x(1 + y) - 4 - y(x + 7)$, $y(6 - x) + 18 = x(2 - y) + 24$.

Как думать. Раскрываем скобки. Слагаемые $xy$ есть в обеих частях — они взаимно уничтожаются, и система становится линейной.

Решение.

  1. Первое: $xy - 4y + 13 = xy - 3x + 15 - 2x + 8$ → $-4y + 13 = -5x + 23$ → $5x - 4y = 10$. Второе: $x + 5 + xy = 8x - 9 + xy + 5y$ → $7x + 5y = 14$. Из первого $x = 2 + 0{,}8y$. Подставим: $14 + 5{,}6y + 5y = 14$, $10{,}6y = 0$, $y = 0$; $x = 2$.
  2. Шаги — в виджете выше: $x = 3$, $y = 2$.

Ответ: 1) $(2; 0)$; 2) $(3; 2)$.

№ 1285

1) $\frac{4x - 3}{2} + \frac{5y + 1}{3} = 12{,}5$, $1{,}5x - 0{,}7y = -3{,}4$; 2) $2{,}3x - 1{,}9y = 0{,}8$, $\frac{4 - 3y}{4} + \frac{-5x - 2}{3} = -4{,}5$.

Решение.

  1. Первое умножим на 6: $3(4x - 3) + 2(5y + 1) = 75$ → $12x + 10y = 82$ → $6x + 5y = 41$ → $y = \frac{41 - 6x}{5}$. Второе умножим на 10: $15x - 7y = -34$. Подставим и умножим на 5: $75x - 7(41 - 6x) = -170$, $117x = 117$, $x = 1$; $y = \frac{35}{5} = 7$.
  2. Второе умножим на 12: $3(4 - 3y) + 4(-5x - 2) = -54$ → $-20x - 9y = -58$ → $x = \frac{58 - 9y}{20}$. Первое умножим на 10: $23x - 19y = 8$. Подставим и умножим на 20: $23(58 - 9y) - 380y = 160$, $1334 - 587y = 160$, $y = 2$; $x = \frac{58 - 18}{20} = 2$.

Ответ: 1) $(1; 7)$; 2) $(2; 2)$.

№ 1286

1) $\frac{x - y}{7} - \frac{y + x}{8} = \frac{5}{8}$, $1{,}6x + 5y = -2$; 2) $\frac{y + x}{5} - \frac{y - x}{6} = 0{,}6$, $8{,}5x - 13y = -82{,}5$.

Решение.

  1. Первое умножим на 56: $8(x - y) - 7(y + x) = 35$ → $x - 15y = 35$ → $x = 35 + 15y$. Подставим во второе: $1{,}6(35 + 15y) + 5y = -2$, $56 + 29y = -2$, $y = -2$; $x = 35 - 30 = 5$.
  2. Первое умножим на 30: $6(y + x) - 5(y - x) = 18$ → $11x + y = 18$ → $y = 18 - 11x$. Подставим во второе: $8{,}5x - 13(18 - 11x) = -82{,}5$, $151{,}5x - 234 = -82{,}5$, $151{,}5x = 151{,}5$, $x = 1$; $y = 7$.

Ответ: 1) $(5; -2)$; 2) $(1; 7)$.

№ 1287

Точка $A(x_0; y_0)$ — решение системы $9{,}4x - 0{,}2y + 20{,}8 = 0$, $-6{,}5x - 2{,}5y + 12 = 0$. Найди: 1) $2x_0 - 5y_0$; 2) $0{,}5y_0 + 0{,}2x_0$.

Решение.

  1. Из первого: $0{,}2y = 9{,}4x + 20{,}8$, $y = 47x + 104$.
  2. Во второе: $-6{,}5x - 2{,}5(47x + 104) + 12 = 0$, $-124x - 248 = 0$, $x = -2$.
  3. $y = -94 + 104 = 10$. Точка $A(-2; 10)$.
  4. $2 \cdot (-2) - 5 \cdot 10 = -54$; $0{,}5 \cdot 10 + 0{,}2 \cdot (-2) = 5 - 0{,}4 = 4{,}6$.

Ответ: 1) $-54$; 2) $4{,}6$.

Повторение

№ 1288

Упрости $-8{,}5(x + 2y) + 1{,}7(5x - 4y) - x - 11y$.

Решение. $-8{,}5x - 17y + 8{,}5x - 6{,}8y - x - 11y = -x - 34{,}8y$.

Ответ: $-x - 34{,}8y$.

№ 1289

Найди 60% от числа $x = \dfrac{2{,}8 \cdot 0{,}65 - 2{,}3}{97\frac{4}{7} : 136{,}6 \cdot (-0{,}07)}$.

Решение.

  1. Числитель: $1{,}82 - 2{,}3 = -0{,}48$.
  2. $97\frac{4}{7} = \frac{683}{7}$; $\frac{683}{7} : 136{,}6 = \frac{683}{956{,}2} = \frac{5}{7}$ (ведь $136{,}6 \cdot 5 = 683$).
  3. Знаменатель: $\frac{5}{7} \cdot (-0{,}07) = -0{,}05$.
  4. $x = -0{,}48 : (-0{,}05) = 9{,}6$.
  5. 60% от 9,6: $9{,}6 \cdot 0{,}6 = 5{,}76$.

Ответ: 5,76.

№ 1290

Найди $5{,}4m - n : 30 + 2{,}65$ при $m = 8\frac{7}{9}$, $n = 4{,}2$.

Решение.

  1. $5{,}4 \cdot 8\frac{7}{9} = 5{,}4 \cdot \frac{79}{9} = 0{,}6 \cdot 79 = 47{,}4$.
  2. $4{,}2 : 30 = 0{,}14$.
  3. $47{,}4 - 0{,}14 + 2{,}65 = 49{,}91$.

Ответ: 49,91.

Готовимся к следующей теме

№ 1291

Длина прямоугольника 2,8 дм, ширина в 4 раза меньше. Найди сторону квадрата с такой же площадью.

Решение.

  1. Ширина: $2{,}8 : 4 = 0{,}7$ дм.
  2. Площадь: $2{,}8 \cdot 0{,}7 = 1{,}96$ дм².
  3. $1{,}4 \cdot 1{,}4 = 1{,}96$, значит, сторона квадрата 1,4 дм.

Ответ: 1,4 дм.

№ 1292

Купили $x$ кг помидоров по 215 тг/кг и $y$ кг огурцов по 190 тг/кг. Составь формулу сдачи с 2000 тг и вычисли её для: 1) $x = 1{,}5$, $y = 0{,}5$; 2) $x = 0{,}5$, $y = 1{,}5$; 3) $x = \frac{3}{4}$, $y = 1\frac{1}{4}$; 4) $x = 2\frac{3}{4}$, $y = 3\frac{1}{4}$.

Как думать. Сдача = 2000 минус стоимость покупки. Стоимость = цена × масса для каждого овоща.

Решение. $C = 2000 - (215x + 190y)$.

  1. $215 \cdot 1{,}5 + 190 \cdot 0{,}5 = 322{,}5 + 95 = 417{,}5$; сдача $1582{,}5$ тг.
  2. $107{,}5 + 285 = 392{,}5$; сдача $1607{,}5$ тг.
  3. $215 \cdot 0{,}75 + 190 \cdot 1{,}25 = 161{,}25 + 237{,}5 = 398{,}75$; сдача $1601{,}25$ тг.
  4. $215 \cdot 2{,}75 + 190 \cdot 3{,}25 = 591{,}25 + 617{,}5 = 1208{,}75$; сдача $791{,}25$ тг.

Ответ: $C = 2000 - (215x + 190y)$; 1) 1582,5 тг; 2) 1607,5 тг; 3) 1601,25 тг; 4) 791,25 тг.

№ 1293

Сколько решений у системы: 1) $6x + y = 7$, $-4x + y = 2$; 2) $y + x = 5$, $y = -x + 5$?

Как думать. В 1) коэффициенты при $x$ разные — прямые пересекаются, решение одно. В 2) перепиши второе уравнение: $y + x = 5$. Это то же самое, что первое.

Решение.

  1. Вычтем второе из первого: $10x = 5$, $x = 0{,}5$; $y = 7 - 3 = 4$. Одно решение $(0{,}5; 4)$.
  2. Уравнения одинаковые, поэтому подходит любая пара с суммой 5: $(0; 5)$, $(1; 4)$, $(2{,}5; 2{,}5)$ и так далее.

Ответ: 1) одно решение; 2) бесконечно много решений.

Шпаргалка

  • Из одного уравнения вырази переменную: $x = 7 - 5y$.
  • Подставь в другое уравнение в скобках: $3(7 - 5y) + 8y + 21 = 0$.
  • Реши уравнение с одной переменной.
  • Вычисли вторую переменную по выражению из первого шага.
  • Проверь пару в обоих уравнениях.

Мини-тест

← § 53. Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом сложения · § 55. Решение задач с помощью составления систем уравнений →