§ 7. Положительные числа. Отрицательные числа. Координатная прямая

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 2: Рациональные числа и действия над ними. Страницы 60–66.

book: ru-6-matematika-abylkasymova-2018 part: 1 lesson: "7" title: "Положительные числа. Отрицательные числа. Координатная прямая" pages: 60-66 kind: lesson time: 40 hook: "Можно ли от нуля отнять единицу? В пятом классе ответ был «нельзя». Сегодня узнаешь, что можно, и куда при этом «уходит» число."

§ 7. Положительные числа. Отрицательные числа. Координатная прямая

Чему научишься

• Отличать положительные числа от отрицательных и знать, что нуль — ни то ни другое.
• Строить координатную прямую: начало отсчёта, единичный отрезок, направление.
• Отмечать на прямой точки вроде $A(-6)$ и $B(3{,}5)$ и читать их координаты.
• Находить числа, которые отстоят от данного на несколько единиц.
• Записывать мороз, глубину и убыток со знаком «минус».

Разминка

Это задания № 263 и 264 из прошлого урока. Нарисуй луч в тетради, одна клетка — одна единица.

• Точка $C(8)$. Какая координата у точки на 7 клеток левее? $8 - 7 = $ 1.
• А на 1,5 клетки правее? $8 + 1{,}5 = $ 9,5.
• А на 6,5 клетки левее? $8 - 6{,}5 = $ 1,5.
• Как удобно отметить на луче числа 5, 15, 35? Взять единичный отрезок поменьше, например 1 клетка = 5 единиц. Тогда 5 — 1 клетка, 15 — 3 клетки, 35 — 7 клеток.
• А числа 40, 100, 150? Пусть 1 клетка = 10 единиц: 4, 10 и 15 клеток.
• А 0,5; 2,3; 3,1? Тут нужен крупный отрезок: 10 клеток = 1. Тогда 0,5 — 5 клеток, 2,3 — 23 клетки, 3,1 — 31 клетка.

💡 На луче мы шагаем от нуля только вправо. А что, если шагнуть влево? Луч кончается. Значит, пора его достроить.

Разбираемся

Шаг влево от нуля

На луче легко вычесть: $3 - 1$ — это шаг влево от 3, попадаем в 2. Дальше $2 - 1 = 1$, $1 - 1 = 0$. А $0 - 1$? Луч обрывается в нуле.

Продолжим его влево до целой прямой. Получилась вторая половина — дополнительный луч. На ней и живут числа, которые меньше нуля: $-1$, $-2$, $-3$…

Значит, $0 - 1 = -1$, $-1 - 1 = -2$, $-2 - 1 = -3$. А если от $-3$ отнять 1? Будет $-4$. От $-4$ отнять 1 — будет $-5$.

Плюс, минус и нуль посередине

Числа правее нуля называют положительными: 1; 2; 3,5; $\frac{3}{4}$. У них можно писать знак «+», но обычно его опускают: $+23$ и $23$ — одно и то же число.

Числа левее нуля — отрицательные: $-1$; $-4{,}5$; $-3\frac{1}{2}$. Знак «−» у них писать обязательно.

📌 Нуль — не положительное и не отрицательное число. Он стоит на границе.

⚠️ Частая ошибка. Думают, что $-7$ «больше», чем 1, ведь семь больше одного. Смотри на прямую: $-7$ стоит далеко слева, значит, оно меньше. Подробно сравнивать числа будем в § 10.

Что нужно, чтобы прямая стала координатной

Просто прямая — ещё не «линейка для чисел». Нужны три вещи:

1. Начало отсчёта — точка $O$, в ней число 0 (её называют началом координат).
2. Единичный отрезок $OE$ — длина одной единицы.
3. Положительное направление — стрелка. Обычно вправо или вверх.

Такая прямая называется координатной (или числовой) прямой, а ещё — координатной осью. Все четыре названия означают одно и то же.

Запись $A(x)$ читается так: «точка $A$ с координатой $x$». Например, $D(5{,}5)$ — точка $D$ с координатой пять целых пять десятых.

Где встречаются отрицательные числа

Посмотри на уличный термометр. Ниже нуля идут $-10$, $-20$, $-30$ — это мороз. Зимой в Астане бывает $-30\ ^\circ$C, а летом в Шымкенте $+40\ ^\circ$C.

На карте отрицательными числами отмечают глубины. Например, уровень Каспийского моря — около $-28$ м: оно лежит ниже уровня океана.

🌟 Отрицательные числа долго считали «ненастоящими». Признали их в XVII веке, когда Рене Декарт показал их на координатной прямой (1637 г.).

👨‍👩‍👧 Родителю. Хорошая бытовая модель — лифт с подземной парковкой: этажи $-1$, $-2$ ниже первого. Или долг: «у тебя $-200$ тенге» значит, что ты должен 200 тенге.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что обозначает знак «−» в записи числа? Что число отрицательное, то есть на прямой оно стоит левее нуля.
• Для чего нужны отрицательные числа? Чтобы записывать то, что «ниже нуля»: мороз, глубину, убыток, долг, уменьшение. И чтобы от меньшего числа можно было отнять большее.
• Что нужно отметить на прямой, чтобы она стала координатной? Начало отсчёта (точку 0), единичный отрезок и положительное направление.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 265

Из чисел 56; $-43$; 8,9; $-0{,}71$; $-6\frac{2}{9}$; $-35{,}04$; $11\frac{5}{13}$ выпиши сначала отрицательные, потом положительные.

Как думать. Смотри только на знак: есть «минус» — число отрицательное.

Решение. Отрицательные: $-43$; $-0{,}71$; $-6\frac{2}{9}$; $-35{,}04$. Положительные: 56; 8,9; $11\frac{5}{13}$.

Ответ: $-43$; $-0{,}71$; $-6\frac{2}{9}$; $-35{,}04$ и 56; 8,9; $11\frac{5}{13}$.

№ 266

Начерти прямую с единичным отрезком 1 см и отметь числа $-5$; 4; $-3$; 3; $-1$.

Как думать. 1 см — это 2 клетки. Отрицательные числа откладываем влево от 0, положительные — вправо.

Решение. Отметь 0 посередине строки. Затем: $-5$ — 10 клеток влево, $-3$ — 6 клеток влево, $-1$ — 2 клетки влево, 3 — 6 клеток вправо, 4 — 8 клеток вправо.

Ответ: точки $-5$, $-3$, $-1$ слева от нуля; 3 и 4 справа.

№ 267

Единичный отрезок 0,5 см. Отметь точки $A(6)$; $B(-2)$; $C(-4)$; $D(7)$; $E(1)$; $F(-3)$; $K(5)$.

Как думать. 0,5 см — ровно одна клетка. Значит, координата = число клеток от нуля.

Решение. Вправо от 0: $E$ — 1 клетка, $K$ — 5, $A$ — 6, $D$ — 7. Влево: $B$ — 2 клетки, $F$ — 3, $C$ — 4.

Ответ: слева направо: $C$, $F$, $B$, $O$, $E$, $K$, $A$, $D$.

№ 268

Единичный отрезок 2 см. Отметь 1,5; $-2{,}5$; 3; $-0{,}5$; $-2$.

Как думать. 2 см = 4 клетки на единицу, значит, половинка — 2 клетки.

Решение. 1,5 → 6 клеток вправо; 3 → 12 клеток вправо; $-0{,}5$ → 2 клетки влево; $-2$ → 8 клеток влево; $-2{,}5$ → 10 клеток влево.

Ответ: см. рисунок.

№ 269

Единичный отрезок 0,5 см. Отметь $-7$; $-4$; $-1$; 2; 6; 8; 10.

Как думать. Одна единица — одна клетка. Прямая выйдет длиной около 18 клеток, начни 0 не с середины, а чуть левее.

Решение. Влево от 0: 7, 4 и 1 клетка. Вправо: 2, 6, 8 и 10 клеток.

Ответ: см. описание.

№ 270

Единичный отрезок 1 см. Найди расстояние между $C$ и $D$: 1) $C(-5)$, $D(2)$; 2) $C(-6)$, $D(4)$; 3) $C(-2)$, $D(6)$; 4) $C(-3)$, $D(8)$; 5) $C(-6)$, $D(-1)$; 6) $C(-2)$, $D(2)$.

Как думать. Если точки по разные стороны от нуля, складываем шаги до нуля с каждой стороны. Если по одну сторону — вычитаем.

Решение.

1. $5 + 2 = 7$ см.
2. $6 + 4 = 10$ см.
3. $2 + 6 = 8$ см.
4. $3 + 8 = 11$ см.
5. Обе слева: $6 - 1 = 5$ см.
6. $2 + 2 = 4$ см.

Ответ: 7 см; 10 см; 8 см; 11 см; 5 см; 4 см.

№ 271

Найди числа, которые отстоят от 3 на: 1) 5; 2) 4; 3) 2; 4) 3 единицы.

Как думать. Таких чисел всегда два: одно правее, другое левее.

Решение.

1. $3 + 5 = 8$ и $3 - 5 = -2$.
2. $3 + 4 = 7$ и $3 - 4 = -1$.
3. $3 + 2 = 5$ и $3 - 2 = 1$.
4. $3 + 3 = 6$ и $3 - 3 = 0$.

Ответ: 1) $-2$ и 8; 2) $-1$ и 7; 3) 1 и 5; 4) 0 и 6.

№ 272

Найди числа, которые отстоят от $-2$ на: 1) 3; 2) 1; 3) 5; 4) 2 единицы.

Как думать. Шагаем от $-2$ вправо и влево на нужное число делений.

Решение.

1. Вправо на 3: 1; влево на 3: $-5$.
2. Вправо на 1: $-1$; влево: $-3$.
3. Вправо на 5: 3; влево: $-7$.
4. Вправо на 2: 0; влево: $-4$.

Ответ: 1) $-5$ и 1; 2) $-3$ и $-1$; 3) $-7$ и 3; 4) $-4$ и 0.

№ 273

Найди числа, удалённые: 1) от 5 на 2; 2) от $-4$ на 5; 3) от $-6$ на 6; 4) от 3 на 4; 5) от $-5$ на 3; 6) от $-1$ на 4 единицы.

Решение.

1. 3 и 7.
2. $-9$ и 1.
3. $-12$ и 0.
4. $-1$ и 7.
5. $-8$ и $-2$.
6. $-5$ и 3.

Ответ: 1) 3; 7; 2) $-9$; 1; 3) $-12$; 0; 4) $-1$; 7; 5) $-8$; $-2$; 6) $-5$; 3.

№ 274

Какие из чисел 4; $-4$; 5; $-7$; $-9$; 11; $-10$; 8; $-1$ лежат между: 1) $-5$ и 1; 2) $-8$ и 6; 3) $-2$ и 10; 4) $-10$ и 12?

Как думать. Представь отрезок на прямой и проверяй каждое число: попадает внутрь или нет. Концы отрезка не считаются.

Решение.

1. Между $-5$ и 1: $-4$; $-1$.
2. Между $-8$ и 6: $-7$; $-4$; $-1$; 4; 5.
3. Между $-2$ и 10: $-1$; 4; 5; 8.
4. Между $-10$ и 12: все, кроме самого $-10$: $-9$; $-7$; $-4$; $-1$; 4; 5; 8; 11.

Ответ: 1) $-4$; $-1$; 2) $-7$; $-4$; $-1$; 4; 5; 3) $-1$; 4; 5; 8; 4) $-9$; $-7$; $-4$; $-1$; 4; 5; 8; 11.

№ 275

Какие из чисел $-2{,}3$; $7\frac{2}{3}$; 5,5; $-1{,}9$; 4; $-0{,}5$; $-4\frac{1}{7}$; $-3\frac{5}{6}$ лежат между: 1) $-2$ и 3; 2) $-3$ и 5; 3) $-4$ и 7; 4) $-5$ и 8?

Как думать. Сначала прикинь место каждого числа: $-4\frac{1}{7}$ чуть левее $-4$, $-3\frac{5}{6}$ чуть правее $-4$, $-2{,}3$ чуть левее $-2$.

Решение.

1. Между $-2$ и 3: $-1{,}9$; $-0{,}5$.
2. Между $-3$ и 5: $-2{,}3$; $-1{,}9$; $-0{,}5$; 4.
3. Между $-4$ и 7: $-3\frac{5}{6}$; $-2{,}3$; $-1{,}9$; $-0{,}5$; 4; 5,5.
4. Между $-5$ и 8: все восемь чисел.

Ответ: 1) $-1{,}9$; $-0{,}5$; 2) $-2{,}3$; $-1{,}9$; $-0{,}5$; 4; 3) $-3\frac{5}{6}$; $-2{,}3$; $-1{,}9$; $-0{,}5$; 4; 5,5; 4) все числа.

Уровень B

№ 276

Назови пять чисел между: 1) $-9$ и 7; 2) $-5$ и 6.

Как думать. Подойдёт любое число внутри отрезка, хоть целое, хоть дробное.

Решение. Например:

1. $-8$; $-3$; 0; 2,5; 6.
2. $-4$; $-1$; 0; 3; 5,9.

Ответ: например, $-8$; $-3$; 0; 2,5; 6 и $-4$; $-1$; 0; 3; 5,9.

№ 277

Запиши координаты точек на рисунках 29 и 30. На рис. 29 единица — 1 клетка; слева от $O$: $T$ — 8 клеток, $S$ — 6, $K$ — 4; справа: $B$ — 5, $A$ — 7, $M$ — 11. На рис. 30 единица — 2 клетки; слева: $M$ — 9 клеток, $N$ — 7, $C$ — 3; справа: $R$ — 5, $Q$ — 9, $S$ — 11.

Как думать. Число клеток делим на длину единицы в клетках. Слева от нуля ставим «минус».

Решение.

1. Рис. 29: клетки и есть единицы. $T(-8)$, $S(-6)$, $K(-4)$, $B(5)$, $A(7)$, $M(11)$.
2. Рис. 30: делим на 2. $M(-4{,}5)$, $N(-3{,}5)$, $C(-1{,}5)$, $R(2{,}5)$, $Q(4{,}5)$, $S(5{,}5)$.

Ответ: 1) $A(7)$; $B(5)$; $M(11)$; $K(-4)$; $S(-6)$; $T(-8)$; 2) $M(-4{,}5)$; $N(-3{,}5)$; $C(-1{,}5)$; $R(2{,}5)$; $Q(4{,}5)$; $S(5{,}5)$.

№ 278

Запиши знаками: 1) пять градусов мороза; 2) прибыль $a$ тенге; 3) глубина озера 150 метров; 4) в комнате 21 градус тепла.

Как думать. Мороз и глубина — «ниже нуля», ставим минус. Тепло и прибыль — плюс.

Решение.

1. $-5\ ^\circ$C.
2. $+a$ тг.
3. $-150$ м.
4. $+21\ ^\circ$C.

Ответ: $-5\ ^\circ$C; $+a$ тг; $-150$ м; $+21\ ^\circ$C.

№ 279

Единичный отрезок 3 см. Отметь 1; $-2$; 0,5; $-1{,}6$; $1\frac{5}{6}$; $\frac{1}{6}$.

Как думать. 3 см = 6 клеток. Удобно: одна шестая — это ровно 1 клетка, половинка — 3 клетки.

Решение.

1. 1 → 6 клеток вправо.
2. $-2$ → 12 клеток влево.
3. 0,5 → 3 клетки вправо.
4. $-1{,}6$ → $1{,}6 \cdot 6 = 9{,}6$ клетки влево (почти 10 клеток, чуть ближе к нулю).
5. $1\frac{5}{6}$ → $6 + 5 = 11$ клеток вправо.
6. $\frac{1}{6}$ → 1 клетка вправо.

Ответ: см. решение.

№ 280

Единичный отрезок 2 см. Отметь $A(1)$; $B(-1{,}5)$; $C\left(\frac{1}{4}\right)$; $D(-2{,}5)$; $F(-2)$; $T\left(\frac{3}{4}\right)$; $K(3{,}5)$.

Как думать. 2 см = 4 клетки, значит, четверть — 1 клетка.

Решение. Вправо от 0: $C$ — 1 клетка, $T$ — 3, $A$ — 4, $K$ — 14 клеток. Влево: $B$ — 6 клеток, $F$ — 8, $D$ — 10.

Ответ: слева направо: $D$, $F$, $B$, $O$, $C$, $T$, $A$, $K$.

№ 281

Отметь на прямой точки $E(-3)$; $S(4)$; $K(-1)$; $H(-8)$; $P(7)$.

Решение. Возьми единицу в 1 клетку. $H$ — 8 клеток влево, $E$ — 3 влево, $K$ — 1 влево, $S$ — 4 вправо, $P$ — 7 вправо.

Ответ: см. рисунок.

Уровень C

№ 282

1) На рис. 31 и 32 единица не отмечена. Найди её и запиши координаты. Рис. 31: число 2 стоит на 8 клеток правее $O$; $C$ — 7 клеток влево, $B$ — 3 влево, $A$ — 2 вправо, $N$ — 4, $M$ — 5, $K$ — 10. Рис. 32: число 3 на 6 клеток правее $O$; $E$ — 9 клеток влево, $D$ — 7, $C$ — 3; $B$ — 2 вправо, $A$ — 9, $J$ — 11. 2) Запиши два числа, одинаково удалённые от $-2$. Сколько таких пар?

Как думать. Если 2 единицы = 8 клеток, то одна единица = 4 клетки. Дальше делим клетки на 4. Это задача повышенной трудности.

Решение.

1. Рис. 31: единица — 4 клетки. $C\left(-\frac{7}{4}\right) = C\left(-1\frac{3}{4}\right)$; $B\left(-\frac{3}{4}\right)$; $A\left(\frac{2}{4}\right) = A\left(\frac{1}{2}\right)$; $N(1)$; $M\left(\frac{5}{4}\right) = M(1{,}25)$; $K\left(\frac{10}{4}\right) = K(2{,}5)$.
2. Рис. 32: 3 единицы = 6 клеток, единица — 2 клетки. $E(-4{,}5)$; $D(-3{,}5)$; $C(-1{,}5)$; $B(1)$; $A(4{,}5)$; $J(5{,}5)$.
3. От $-2$ шагнём на 1 вправо и на 1 влево: $-1$ и $-3$. Шагать можно на любое расстояние (1; 2; 0,5…), поэтому таких пар бесконечно много.

Ответ: 1) $C\left(-1\frac{3}{4}\right)$; $B\left(-\frac{3}{4}\right)$; $A\left(\frac{1}{2}\right)$; $N(1)$; $M(1{,}25)$; $K(2{,}5)$ и $E(-4{,}5)$; $D(-3{,}5)$; $C(-1{,}5)$; $B(1)$; $A(4{,}5)$; $J(5{,}5)$; 2) например, $-3$ и $-1$; пар бесконечно много.

Подготовь сообщение

№ 283

Подготовь сообщение о том, как Рене Декарт помог признать отрицательные числа.

Как думать. Хватит 5–6 предложений: кто такой, что придумал, почему это важно.

Решение. Пример сообщения:

«Рене Декарт (1596–1650) — французский математик, физик и философ. Долгое время учёные Европы не доверяли отрицательным числам и называли их „ложными“. В 1637 году Декарт в книге „Геометрия“ предложил изображать числа точками на прямой: положительные — по одну сторону от нуля, отрицательные — по другую. Так отрицательные числа получили наглядный смысл. От его имени происходит выражение „декартовы координаты“. Без его идеи не было бы ни графиков, ни карт с координатами, ни GPS в телефоне».

Ответ: пример выше.

🌟 Под портретом Декарта иногда пишут годы жизни с ошибкой. Правильно: он родился в 1596 году и умер в 1650-м.

Повторение

№ 284

Вычисли: $\left(2\frac{11}{13} - 18\frac{7}{13} : 10\frac{1}{24}\right) : \frac{15}{62} - 2{,}4$.

Как думать. Числа 241 появятся и в числителе, и в знаменателе — они сократятся.

Решение. См. шаги выше.

Ответ: $1\frac{11}{15}$.

№ 285

Найди неизвестный член пропорции: $\dfrac{y}{2{,}8 + 8{,}7} = \dfrac{2\frac{3}{5}}{10 - 7{,}7}$.

Как думать. Упрости знаменатели, потом воспользуйся основным свойством пропорции.

Решение.

1. $2{,}8 + 8{,}7 = 11{,}5$; $10 - 7{,}7 = 2{,}3$; $2\frac{3}{5} = 2{,}6$.
2. $\dfrac{y}{11{,}5} = \dfrac{2{,}6}{2{,}3}$, значит, $y = \dfrac{11{,}5 \cdot 2{,}6}{2{,}3} = 5 \cdot 2{,}6 = 13$.

Ответ: 13.

№ 286

1) Плот проплывает 60 км за 24 ч, катер по течению — за $4\frac{2}{7}$ ч. Найди собственную скорость катера. 2) Площадь круга $36\pi$ см². Найди длину окружности.

Как думать. Плот плывёт со скоростью течения. Катер по течению = своя скорость + течение.

Решение.

1. Скорость течения: $60 : 24 = 2{,}5$ км/ч.
2. Скорость катера по течению: $60 : 4\frac{2}{7} = 60 \cdot \frac{7}{30} = 14$ км/ч.
3. Собственная: $14 - 2{,}5 = 11{,}5$ км/ч.
4. Круг: $\pi r^2 = 36\pi$, значит, $r^2 = 36$, $r = 6$ см. Длина окружности $2\pi r = 12\pi$ см.

Ответ: 1) 11,5 км/ч; 2) $12\pi$ см.

Готовимся к следующей теме

№ 287

Отметь на координатном луче $A(3)$, $B(1{,}5)$, $D(5{,}5)$. На сколько единиц они удалены от начала координат?

Решение. От 0 до точки — столько единиц, какова координата: $A$ — 3, $B$ — 1,5, $D$ — 5,5.

Ответ: на 3; 1,5 и 5,5 единицы.

№ 288

Изобрази на луче точки, удалённые от начала на 5, на $2\frac{1}{3}$ и на $3\frac{2}{3}$ единицы.

Как думать. Из-за третей удобно взять единицу в 3 клетки.

Решение. 5 → 15 клеток; $2\frac{1}{3}$ → 7 клеток; $3\frac{2}{3}$ → 11 клеток от нуля.

Ответ: точки с координатами 5; $2\frac{1}{3}$; $3\frac{2}{3}$.

Шпаргалка

• Правее нуля — положительные, левее — отрицательные, нуль — граница.
• Знак «+» у положительных можно не писать: $+23 = 23$.
• Координатная прямая = точка $O$ + отрезок $OE$ + стрелка.
• Мороз, глубина, убыток записываются со знаком «−».
• Расстояние между $-5$ и 2: $5 + 2 = 7$ единиц.

Мини-тест