§ 8. Противоположные числа. Целые числа. Рациональные числа

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 2: Рациональные числа и действия над ними. Страницы 67–73.

book: ru-6-matematika-abylkasymova-2018 part: 1 lesson: "8" title: "Противоположные числа. Целые числа. Рациональные числа" pages: 67-73 kind: lesson time: 40 hook: "У каждого числа есть «зеркальный близнец» по ту сторону нуля. Угадаешь, у какого числа близнец — оно само?"

§ 8. Противоположные числа. Целые числа. Рациональные числа

Чему научишься

• Находить число, противоположное данному: для 7 это $-7$, для $-2{,}5$ это 2,5.
• Понимать запись $-a$ и раскрывать «двойной минус»: $-(-a) = a$.
• Отличать натуральные, целые и рациональные числа.
• Делить целые числа на чётные и нечётные, в том числе отрицательные.
• Решать простые уравнения вида $-x = 432$.

Разминка

Это задания № 287 и 288 из прошлого урока.

• Точки $A(3)$, $B(1{,}5)$, $D(5{,}5)$. На сколько единиц каждая удалена от нуля? На 3; 1,5 и 5,5 единицы — столько же, какова координата.
• Где на луче точка, удалённая от нуля на $2\frac{1}{3}$? В точке с координатой $2\frac{1}{3}$. Если единица — 3 клетки, это 7 клеток от нуля.
• Какие числа удалены от нуля на 4 единицы на прямой? Два числа: 4 и $-4$.
• А на 0 единиц? Только сам 0.

💡 Последние два вопроса — ключ к уроку. Числа 4 и $-4$ стоят на одинаковом расстоянии от нуля, но смотрят в разные стороны.

Разбираемся

Зеркало в нуле

Возьми пары: 1 и $-1$; $-4$ и 4; 6,5 и $-6,5$. Чем они отличаются? Только знаком. А на прямой они стоят на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны — как предмет и его отражение в зеркале.

📌 Два числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными. Число 0 противоположно само себе.

Примеры: 345 и $-345$; $-12{,}35$ и 12,35; $67\frac{1}{5}$ и $-67\frac{1}{5}$.

Что значит $-a$

Число, противоположное $a$, записывают как $-a$. Тут легко запутаться: $-a$ — это не обязательно отрицательное число!

• Если $a = 25$, то $-a = -25$.
• Если $a = -42$, то $-a = -(-42) = 42$.

📌 Для любого числа $-(-a) = a$. Два минуса подряд «гасят» друг друга: отражение отражения — снова исходное число.

⚠️ Частая ошибка. Видят $-c$ и сразу говорят «это отрицательное». А если $c = -91$, то $-c = 91$ — положительное. Сначала подставь, потом решай.

👨‍👩‍👧 Родителю. Предложите игру «эхо со сменой знака»: вы называете число, ребёнок — противоположное. Добавьте ловушки: 0, $-(-5)$, $-(-(-2))$. Каждый минус — один поворот, чётное число поворотов возвращает назад.

Целые числа

Натуральные числа: 1, 2, 3, … Противоположные им: $-1$, $-2$, $-3$, … Вместе с нулём они образуют целые числа:

$\ldots,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots$

Целые числа бывают чётными (делятся на 2, оканчиваются на 0, 2, 4, 6, 8) и нечётными (оканчиваются на 1, 3, 5, 7, 9). Знак не важен: $-14$ чётное, $-723$ нечётное. И нуль — чётное число!

Рациональные числа

Добавим к целым ещё и дроби — положительные и отрицательные: $7\frac{1}{2}$, $-25\frac{3}{4}$, $-0{,}09$. Все вместе они называются рациональными числами.

Получается «матрёшка»: натуральные ($N$) лежат внутри целых ($Z$), а целые — внутри рациональных ($Q$). Любое натуральное число — целое, любое целое — рациональное. Обратно не работает: $-3$ целое, но не натуральное.

🌟 Буква $Q$ — от итальянского quoziente, «частное». Любое рациональное число можно записать как частное двух целых: $-0{,}5 = \frac{-1}{2}$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Для каждой ли десятичной дроби есть противоположная десятичная дробь? Да. Для 0,16 это $-0{,}16$, для $-41{,}4$ это 41,4. Меняем только знак.
• Число $d$ отрицательное. Что можно сказать про $-d$? Оно положительное. Например, $d = -3$, тогда $-d = 3$.
• Число $b$ не положительное. Что можно сказать про $-b$? «Не положительное» значит отрицательное или нуль. Тогда $-b$ положительное или нуль, то есть не отрицательное.
• Пример противоположных четырёхзначных чисел? Например, 2026 и $-2026$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 289

Из чисел 5; $-7$; 0,61; 12,78; $-55$; 200; $-0{,}09$; $-33$ выпиши: 1) положительные; 2) отрицательные.

Решение. Смотрим на знак «минус».

1. 5; 0,61; 12,78; 200.
2. $-7$; $-55$; $-0{,}09$; $-33$.

Ответ: 1) 5; 0,61; 12,78; 200; 2) $-7$; $-55$; $-0{,}09$; $-33$.

№ 290

Из чисел $-11{,}4$; $\frac{8}{19}$; $-\frac{1}{50}$; $-10{,}1$; 777,7; $-6\frac{5}{6}$ выпиши положительные и отрицательные.

Решение.

1. Положительные: $\frac{8}{19}$; 777,7.
2. Отрицательные: $-11{,}4$; $-\frac{1}{50}$; $-10{,}1$; $-6\frac{5}{6}$.

Ответ: 1) $\frac{8}{19}$; 777,7; 2) $-11{,}4$; $-\frac{1}{50}$; $-10{,}1$; $-6\frac{5}{6}$.

№ 291

Запиши числа, противоположные числам: 7; $-29$; 105; $-39$; $-6{,}22$; $\frac{4}{9}$; $-\frac{15}{17}$; 41,4; $-8\frac{10}{13}$.

Как думать. Был минус — убираем. Не было — ставим.

Решение. $-7$; 29; $-105$; 39; 6,22; $-\frac{4}{9}$; $\frac{15}{17}$; $-41{,}4$; $8\frac{10}{13}$.

Ответ: $-7$; 29; $-105$; 39; 6,22; $-\frac{4}{9}$; $\frac{15}{17}$; $-41{,}4$; $8\frac{10}{13}$.

№ 292

Запиши противоположные числа для: $-5$; 24; $-\frac{8}{23}$; 8,8; $-0{,}49$; $-6\frac{4}{9}$; $-500$; $-76{,}76$.

Решение. 5; $-24$; $\frac{8}{23}$; $-8{,}8$; 0,49; $6\frac{4}{9}$; 500; 76,76.

Ответ: 5; $-24$; $\frac{8}{23}$; $-8{,}8$; 0,49; $6\frac{4}{9}$; 500; 76,76.

№ 293

Заполни таблицу: в верхней строке $k$, в нижней $-k$. Даны $k = 15$; $-k = 29$; $k = 4{,}8$; $k = -7{,}2$; $-k = 9\frac{5}{8}$; $k = -\frac{6}{7}$; $-k = -4\frac{2}{3}$.

Как думать. В каждом столбце два противоположных числа. Знаешь одно — пиши второе со сменой знака.

Решение.

Ответ: в таблице.

№ 294

Заполни таблицу $t$ и $-t$. Даны $t = -64$; $-t = -368$; $t = 9{,}4$; $-t = -\frac{7}{12}$; $-t = -1\frac{4}{17}$; $t = \frac{28}{31}$; $-t = 300$.

Решение.

Ответ: в таблице.

№ 295

Найди $-c$, если: 1) $c = -91$; $\frac{8}{13}$; 5,8; $-3{,}2$; $4\frac{1}{7}$; 2) $c = 40$; $-2{,}2$; $\frac{9}{16}$; $-220$; $-5\frac{4}{15}$.

Решение.

1. $-(-91) = 91$; $-\frac{8}{13}$; $-5{,}8$; $-(-3{,}2) = 3{,}2$; $-4\frac{1}{7}$.
2. $-40$; 2,2; $-\frac{9}{16}$; 220; $5\frac{4}{15}$.

Ответ: 1) 91; $-\frac{8}{13}$; $-5{,}8$; 3,2; $-4\frac{1}{7}$; 2) $-40$; 2,2; $-\frac{9}{16}$; 220; $5\frac{4}{15}$.

№ 296

Найди $d$, если: 1) $-d = 14$; $-45$; 87; $-209$; 2) $-d = 90{,}9$; $3\frac{3}{4}$; $-1{,}3$; $-7\frac{2}{19}$.

Как думать. $d$ противоположно $-d$. Значит, снова меняем знак.

Решение.

1. $d = -14$; 45; $-87$; 209.
2. $d = -90{,}9$; $-3\frac{3}{4}$; 1,3; $7\frac{2}{19}$.

Ответ: 1) $-14$; 45; $-87$; 209; 2) $-90{,}9$; $-3\frac{3}{4}$; 1,3; $7\frac{2}{19}$.

№ 297

Вставь цифры вместо звёздочек так, чтобы числа были противоположными: 1) 91,*3 и $-91{,}3$*; 2) $-275{,}$*7 и 2*5,47.

Как думать. У противоположных чисел цифры одинаковые, отличается только знак. Сравни цифры на одних и тех же местах.

Решение.

1. Во втором числе после запятой 3 и *, в первом * и 3. Значит, обе звёздочки — 3: 91,33 и $-91{,}33$.
2. В первом после запятой *7, во втором 47 — звёздочка 4. В первом целая часть 275 — значит, во втором 2*5 = 275, звёздочка 7.

Ответ: 1) 91,33 и $-91{,}33$; 2) $-275{,}47$ и 275,47.

№ 298

Реши уравнения: 1) $-x = 432$; 2) $-y = -1000$; 3) $-t = \frac{6}{19}$; 4) $-z = -5{,}32$.

Как думать. Если $-x = a$, то $x = -a$. Меняем знак у правой части.

Решение. 1) $x = -432$; 2) $y = 1000$; 3) $t = -\frac{6}{19}$; 4) $z = 5{,}32$.

Ответ: 1) $-432$; 2) 1000; 3) $-\frac{6}{19}$; 4) 5,32.

№ 299

Реши: 1) $-x = -41{,}6$; 2) $-y = 30{,}1$; 3) $-t = -12\frac{1}{3}$; 4) $-z = -\frac{4}{21}$.

Решение. 1) $x = 41{,}6$; 2) $y = -30{,}1$; 3) $t = 12\frac{1}{3}$; 4) $z = \frac{4}{21}$.

Ответ: 1) 41,6; 2) $-30{,}1$; 3) $12\frac{1}{3}$; 4) $\frac{4}{21}$.

Уровень B

№ 300

Урожайность в Казахстане с 2003 по 2008 год (ц/га): пшеница 10,3; 8,4; 9,5; 11,7; 13; 9,7. Картофель 139; 134; 150; 154; 155,8; 143,7. Овощи 177; 186; 196; 201; 211; 204. Сахарная свёкла 210; 197; 209; 241; 249; 204,3. Подсолнечник 6,8; 5,9; 6,3; 5,9; 5,9; 4,1. Как менялась урожайность из года в год? Запиши со знаками «+» и «−».

Как думать. Из нового значения вычитаем старое. Выросло — пишем «+», упало — «−».

Решение.

Например, пшеница: $10{,}3 \to 8{,}4$ — упала на $10{,}3 - 8{,}4 = 1{,}9$, пишем $-1{,}9$.

Ответ: в таблице (в ц/га).

№ 301

Население в 2008 и 2009 году: Алматинская область 1 643 278 и 1 667 143; Астана 602 684 и 639 311; Костанайская область 894 192 и 889 368; Северо-Казахстанская область 635 921 и 648 236. На сколько изменилось население? Запиши со знаками.

Решение.

1. Алматинская: $1,667,143 - 1,643,278 = 23,865$ — рост, $+23,865$.
2. Астана: $639,311 - 602,684 = 36,627$ — рост, $+36,627$.
3. Костанайская: $894,192 - 889,368 = 4824$ — убыль, $-4824$.
4. Северо-Казахстанская: $648,236 - 635,921 = 12,315$ — рост, $+12,315$.

Ответ: $+23,865$; $+36,627$; $-4824$; $+12,315$ человек.

№ 302

*Вставь числа вместо звёздочек: 1) $-33 = *$; 2) $-(+46) = *$; 3) $-(-10) = $.

Решение. 1) $-33$; 2) $-(+46) = -46$; 3) $-(-10) = 10$.

Ответ: 1) $-33$; 2) $-46$; 3) 10.

№ 303

Вставь числа: 1) $-(-89{,}1) = $; 2) $-(+32) = -$; 3) $-(-) = -7{,}5$.*

Как думать. В п. 3 «минус минус» гасятся: $-(-*) = *$.

Решение. 1) 89,1; 2) $-(+32) = -32$, звёздочка 32; 3) $* = -7{,}5$.

Ответ: 1) 89,1; 2) 32; 3) $-7{,}5$.

№ 304

Найди $c$: 1) $-c = 12{,}3 - 12\frac{2}{15}$; 2) $-c = 8\frac{5}{12} - 8{,}25$; 3) $-c = \frac{15}{28} \cdot \frac{35}{36} + \frac{13}{48}$; 4) $-c = 13\frac{4}{7} : 3\frac{13}{21} + 6{,}25$.

Как думать. Сначала вычисли правую часть. Получишь $-c$. Потом смени знак — это и будет $c$.

Решение.

1. $12{,}3 - 12\frac{2}{15} = 12\frac{9}{30} - 12\frac{4}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$; $c = -\frac{1}{6}$.
2. $8\frac{5}{12} - 8\frac{3}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$; $c = -\frac{1}{6}$.
3. $\frac{15}{28} \cdot \frac{35}{36} = \frac{25}{48}$; $\frac{25}{48} + \frac{13}{48} = \frac{38}{48} = \frac{19}{24}$; $c = -\frac{19}{24}$.
4. См. шаги выше: $c = -10$.

Ответ: 1) $-\frac{1}{6}$; 2) $-\frac{1}{6}$; 3) $-\frac{19}{24}$; 4) $-10$.

№ 305

При каких $z$ верны равенства: 1) $40 + (-z) = 0$; 2) $8{,}6 - (-z) = 0$; 3) $(-z) - 50{,}2 = 0$; 4) $-67 + (-z) = 0$; 5) $-39 - (-z) = 0$; 6) $-(-z) + 100 = 0$; 7) $-(-z) - 2{,}22 = 0$; 8) $-555 + (-z) = 0$?

Как думать. Сумма двух чисел равна нулю, когда они противоположные. А разность равна нулю, когда числа равны. Так что можно рассуждать без правил действий с минусами.

Решение.

1. $40$ и $-z$ противоположны: $-z = -40$, $z = 40$.
2. $8{,}6$ и $-z$ равны: $-z = 8{,}6$, $z = -8{,}6$.
3. $-z = 50{,}2$, $z = -50{,}2$.
4. $-z$ противоположно $-67$: $-z = 67$, $z = -67$.
5. $-39 = -z$, $z = 39$.
6. $-(-z) = z$; $z + 100 = 0$, $z = -100$.
7. $z - 2{,}22 = 0$, $z = 2{,}22$.
8. $-z = 555$, $z = -555$.

Ответ: 1) 40; 2) $-8{,}6$; 3) $-50{,}2$; 4) $-67$; 5) 39; 6) $-100$; 7) 2,22; 8) $-555$.

№ 306

Какие чётные и нечётные числа лежат между: 1) $-5{,}8$ и 9,1; 2) $-4{,}2$ и 10,01; 3) $-12{,}3$ и $-4{,}4$; 4) $-0{,}9$ и 1,8; 5) $-6{,}4$ и 0,6; 6) $-8{,}1$ и $-7{,}9$?

Как думать. Чётность бывает только у целых чисел. Найди целые числа внутри промежутка и раздели их на чётные и нечётные.

Решение.

1. Целые от $-5$ до 9. Чётные: $-4$; $-2$; 0; 2; 4; 6; 8. Нечётные: $-5$; $-3$; $-1$; 1; 3; 5; 7; 9.
2. От $-4$ до 10. Чётные: $-4$; $-2$; 0; 2; 4; 6; 8; 10. Нечётные: $-3$; $-1$; 1; 3; 5; 7; 9.
3. От $-12$ до $-5$. Чётные: $-12$; $-10$; $-8$; $-6$. Нечётные: $-11$; $-9$; $-7$; $-5$.
4. Только 0 и 1. Чётное: 0. Нечётное: 1.
5. От $-6$ до 0. Чётные: $-6$; $-4$; $-2$; 0. Нечётные: $-5$; $-3$; $-1$.
6. Только $-8$ — оно чётное. Нечётных нет.

Ответ: см. решение.

Уровень C

№ 307

Найди: 1) $-(-(-(-(-a))))$ при $a = -50$; 9,09; $-20\frac{10}{13}$; 2) $-(-(-(-(-(-(-(-c)))))))$ при $c = 81$; $-4\frac{5}{7}$; $-\frac{9}{23}$.

Как думать. Посчитай минусы. Каждая пара гасит друг друга. Чётное число минусов — получаем само число, нечётное — противоположное.

Решение.

1. Пять минусов — нечётно, выражение равно $-a$: $-(-50) = 50$; $-9{,}09$; $20\frac{10}{13}$.
2. Восемь минусов — чётно, выражение равно $c$: 81; $-4\frac{5}{7}$; $-\frac{9}{23}$.

Ответ: 1) 50; $-9{,}09$; $20\frac{10}{13}$; 2) 81; $-4\frac{5}{7}$; $-\frac{9}{23}$.

№ 308

Найди: 1) $-b$, если $b = 1{,}55 \cdot \frac{25}{31} + 3\frac{29}{30} : 0{,}4$; 2) $b$, если $-b = \left(13\frac{1}{32} - 9\frac{9}{16}\right) : 27{,}75 + 1{,}375$.

Решение.

1. $1{,}55 = \frac{31}{20}$, $\frac{31}{20} \cdot \frac{25}{31} = \frac{25}{20} = 1\frac{1}{4}$.
2. $3\frac{29}{30} : 0{,}4 = \frac{119}{30} \cdot \frac{5}{2} = \frac{119}{12} = 9\frac{11}{12}$.
3. $b = 1\frac{3}{12} + 9\frac{11}{12} = 11\frac{2}{12} = 11\frac{1}{6}$, тогда $-b = -11\frac{1}{6}$.
4. Во втором: $13\frac{1}{32} - 9\frac{18}{32} = 3\frac{15}{32} = \frac{111}{32}$.
5. $27{,}75 = \frac{111}{4}$, $\frac{111}{32} : \frac{111}{4} = \frac{4}{32} = 0{,}125$.
6. $0{,}125 + 1{,}375 = 1{,}5$. Это $-b$, значит, $b = -1{,}5$.

Ответ: 1) $-11\frac{1}{6}$; 2) $-1{,}5$.

Подготовь сообщение

№ 309

Подготовь сообщение о рациональных числах.

Решение. Пример сообщения:

«Рациональные числа — это все числа, которые можно записать дробью $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное число. Сюда входят натуральные числа, нуль, отрицательные целые и все обыкновенные и десятичные дроби со знаком „+“ или „−“. Название происходит от латинского ratio — „отношение“, „деление“. Обозначают их буквой $Q$. Натуральные числа ($N$) — часть целых ($Z$), а целые — часть рациональных. Между любыми двумя рациональными числами всегда найдётся ещё одно, например их среднее. Но есть и числа, которые не рациональны, например $\pi$».

Ответ: пример выше.

Повторение

№ 310

1) 25 м ткани стоят 15 000 тг. Сколько стоят 36 м? 2) Длина окружности $5{,}4\pi$ см. Найди площадь круга. 3) Что больше: 56% от 400 или 16% от 1400?

Решение.

1. Один метр: $15,000 : 25 = 600$ тг; 36 м: $600 \cdot 36 = 21,600$ тг.
2. $2\pi r = 5{,}4\pi$, значит, $r = 2{,}7$ см; $S = \pi \cdot 2{,}7^2 = 7{,}29\pi$ см².
3. $400 \cdot 0{,}56 = 224$; $1400 \cdot 0{,}16 = 224$. Числа равны.

Ответ: 1) 21 600 тг; 2) $7{,}29\pi$ см²; 3) они равны (по 224).

№ 311

Найди, на сколько сантиметров в день растёт бамбук: $4{,}2 \cdot (3{,}302 - 24{,}102) : (-1{,}6) \cdot \frac{2}{3}$.

Как думать. Тут встретятся отрицательные числа. Правила действий с ними будут позже, а пока хватит одного: два минуса при умножении и делении дают плюс. В скобке выйдет минус, и делитель тоже с минусом — значит, ответ положительный.

Решение.

1. $3{,}302 - 24{,}102 = -20{,}8$ (из меньшего вычли большее, разность $20{,}8$ со знаком «−»).
2. $4{,}2 \cdot 20{,}8 = 87{,}36$; со знаком: $-87{,}36$.
3. $-87{,}36 : (-1{,}6) = 54{,}6$ (минус на минус — плюс).
4. $54{,}6 \cdot \frac{2}{3} = 36{,}4$.

Ответ: 36,4 см в день.

🌟 Это правда: некоторые виды бамбука вырастают почти на метр за сутки! Это одно из самых быстрорастущих растений на Земле.

Готовимся к следующей теме

№ 312

Изобрази на координатной прямой числа $-6$; $-8$; 3; 5; $-1$.

Решение. Единица — 1 клетка. Влево от нуля: 1, 6 и 8 клеток. Вправо: 3 и 5 клеток. Слева направо получится: $-8$; $-6$; $-1$; 3; 5.

Ответ: порядок точек слева направо: $-8$; $-6$; $-1$; 3; 5.

№ 313

Построй прямую с единицей 1 см, отметь четыре точки и запиши их координаты.

Как думать. Точки выбираешь сам. Главное — правильно отсчитать сантиметры (2 клетки).

Решение. Например: $A(-3)$ — 6 клеток влево; $B(-1{,}5)$ — 3 клетки влево; $C(2)$ — 4 клетки вправо; $D(4{,}5)$ — 9 клеток вправо.

Ответ: например, $A(-3)$, $B(-1{,}5)$, $C(2)$, $D(4{,}5)$.

№ 314

Отметь $A(4)$. Отметь точку на 3 клетки правее и на 7 клеток левее. Запиши их координаты.

Как думать. Возьмём единичный отрезок в 1 клетку. Правее — прибавляем, левее — отнимаем.

Решение. $4 + 3 = 7$; $4 - 7 = -3$.

Ответ: $B(7)$ и $C(-3)$ (если единица — 1 клетка).

Шпаргалка

• Противоположные числа стоят на одинаковом расстоянии от нуля по разные стороны.
• $-a$ не всегда отрицательное: при $a = -42$ получаем $-a = 42$.
• Чётное число минусов перед числом — минусы исчезают, нечётное — остаётся один.
• $N \subset Z \subset Q$: натуральные внутри целых, целые внутри рациональных.
• Если $-x = a$, то $x = -a$.

Мини-тест