§ 9. Модуль числа

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 2: Рациональные числа и действия над ними. Страницы 74–78.

Чему научишься

• Понимать модуль как расстояние от нуля до точки.
• Находить модуль любого числа: $|-7| = 7$, $|0| = 0$.
• Читать записи вроде $|-2{,}5| = 2{,}5$ вслух.
• Считать выражения с модулями.
• Решать уравнения вида $|x| = 11$ и не терять второй корень.

Разминка

Это задания № 312–314 из прошлого урока.

• Расставь на прямой $-6$; $-8$; 3; 5; $-1$. Какое число окажется левее всех? $-8$. Порядок слева направо: $-8$; $-6$; $-1$; 3; 5.
• Точка $A(4)$. Какая координата у точки на 3 клетки правее (единица — 1 клетка)? $4 + 3 = 7$.
• А на 7 клеток левее? $4 - 7 = -3$.
• Сколько клеток от нуля до точки $-3$? А до точки 3? И там, и там по 3 клетки.

💡 Числа $-3$ и 3 разные, а расстояние до нуля у них одно и то же. Это расстояние и есть герой урока.

Разбираемся

Расстояние не бывает отрицательным

Длина отрезка — это расстояние между его концами. Оно не может быть «минус пять сантиметров». Расстояние всегда положительное или равно нулю.

Отметим точки $A(-3)$ и $B(3)$. От нуля до каждой — ровно 3 единичных отрезка.

Что такое модуль

📌 Модуль (или абсолютное значение) числа $a$ — это расстояние от начала отсчёта до точки с координатой $a$. Пишут $|a|$.

Читается $|a|$ так: «модуль числа $a$» или «абсолютное значение числа $a$». Значит:

$|-3| = 3$, $|3| = 3$, $|5| = |-5| = 5$, $\left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}$, $|0| = 0$.

Как найти модуль за секунду

📌 Модуль положительного числа и нуля — само число. Модуль отрицательного — противоположное ему число.

Проще говоря: модуль стирает минус. $|153| = 153$, $\left|-7\frac{8}{13}\right| = 7\frac{8}{13}$.

Запись $|-2{,}5| = 2{,}5$ читают так: «модуль минус двух целых пяти десятых равен двум целым пяти десятым».

⚠️ Частая ошибка. «$|x| = 11$, значит, $x = 11$». Забыли второй ответ! От нуля на 11 шагов можно уйти и вправо, и влево. Поэтому $x = 11$ или $x = -11$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Модуль удобно объяснять через лифт. С 1-го этажа на 4-й и с 1-го на $-2$-й (парковка) — разные этажи, но кнопку ребёнок «видит» по числу пролётов. Спросите: «Сколько этажей проедешь от нуля до $-5$?» — это и есть $|-5|$.

Модуль и противоположные числа

У противоположных чисел модули равны: $|-8| = |8|$. Это понятно: противоположные числа стоят на одном расстоянии от нуля. Поэтому чисел с модулем 10 ровно два: 10 и $-10$. А с модулем 0 — одно: сам 0.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Может ли модуль числа быть отрицательным? Нет. Модуль — расстояние, оно всегда положительное или равно нулю.
• Может ли абсолютное значение быть десятичной дробью? Да: $|-8{,}3| = 8{,}3$.
• Чему равен $|a|$, если $a$ отрицательное? Противоположному числу: $|a| = -a$. Например, $a = -5$, $|a| = -(-5) = 5$.
• Сколько чисел с модулем 10? Два: 10 и $-10$.
• Каким может быть число, если его модуль меньше двух? Назови шесть таких. Любым числом между $-2$ и 2. Например: $-1{,}9$; $-1$; $-0{,}5$; 0; 0,7; 1,5.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 315

Прочитай равенства: 1) $|-50| = 50$; 2) $|111| = 111$; 3) $|-8{,}3| = 8{,}3$; 4) $\left|-\frac{2}{13}\right| = \frac{2}{13}$; 5) $\left|\frac{7}{20}\right| = \frac{7}{20}$; 6) $\left|-8\frac{5}{31}\right| = 8\frac{5}{31}$.

Как думать. Схема: «модуль (числа) … равен …». Не забудь склонять числа.

Решение.

1. Модуль минус пятидесяти равен пятидесяти.
2. Модуль ста одиннадцати равен ста одиннадцати.
3. Модуль минус восьми целых трёх десятых равен восьми целым трём десятым.
4. Модуль минус двух тринадцатых равен двум тринадцатым.
5. Модуль семи двадцатых равен семи двадцатым.
6. Абсолютное значение числа минус восемь целых пять тридцать первых равно восьми целым пяти тридцать первым.

Ответ: прочитано выше.

№ 316

Найди модуль чисел 38; $-\frac{6}{35}$; $-406$; 0,23; $3\frac{19}{28}$; $-7\frac{8}{41}$; 4,58; 900.

Решение. 38; $\frac{6}{35}$; 406; 0,23; $3\frac{19}{28}$; $7\frac{8}{41}$; 4,58; 900.

Ответ: 38; $\frac{6}{35}$; 406; 0,23; $3\frac{19}{28}$; $7\frac{8}{41}$; 4,58; 900.

№ 317

Из чисел 32; $2\frac{1}{8}$; $-1\frac{1}{2}$; $-2{,}5$; $-32$; $32\frac{1}{3}$; $-2\frac{1}{2}$; $-2{,}125$; $2\frac{1}{16}$; $-2\frac{3}{16}$; $2\frac{1}{8}$ выпиши числа с модулем: 1) 32; 2) 2,5; 3) 2,125; 4) 0,375.

Как думать. Переведи дроби в десятичные: $2\frac{1}{8} = 2{,}125$, $2\frac{1}{2} = 2{,}5$, $\frac{3}{8} = 0{,}375$. Потом «сотри минус» у каждого числа и сравни.

Решение.

1. Модуль 32: 32 и $-32$.
2. Модуль 2,5: $-2{,}5$ и $-2\frac{1}{2}$.
3. Модуль 2,125: $2\frac{1}{8}$ (оно встречается дважды) и $-2{,}125$.
4. Модуль 0,375: у всех чисел целая часть хотя бы 1, поэтому таких чисел нет. Ловушка!

Ответ: 1) 32; $-32$; 2) $-2{,}5$; $-2\frac{1}{2}$; 3) $2\frac{1}{8}$; $-2{,}125$; 4) таких чисел нет.

№ 318

Найди расстояния от начала координат до точек $A(5)$; $B(-8)$; $C\left(-\frac{8}{15}\right)$; $D(6{,}4)$; $F\left(9\frac{3}{8}\right)$.

Решение. Расстояние = модуль координаты: 5; 8; $\frac{8}{15}$; 6,4; $9\frac{3}{8}$.

Ответ: 5; 8; $\frac{8}{15}$; 6,4; $9\frac{3}{8}$.

№ 319

Вычисли: 1) $|-200| + |-76| + |23|$; 2) $|-343| - |299| + |-88|$; 3) $|901| + |-252| - |-348|$; 4) $|116| + |-304| + |-64|$.

Как думать. Сначала находим каждый модуль, потом считаем как обычно.

Решение.

1. $200 + 76 + 23 = 299$.
2. $343 - 299 + 88 = 132$.
3. $901 + 252 - 348 = 805$.
4. $116 + 304 + 64 = 484$.

Ответ: 1) 299; 2) 132; 3) 805; 4) 484.

№ 320

Вычисли: 1) $|-73{,}3| + |9{,}24| - |23|$; 2) $|-66{,}4| - |-8{,}6| + |-23{,}2|$; 3) $|3{,}375| + |-5{,}625| - |-9|$; 4) $|35{,}2| - \left|-2\frac{5}{6}\right| + \left|-29\frac{19}{30}\right|$.

Решение.

1. $73{,}3 + 9{,}24 - 23 = 59{,}54$.
2. $66{,}4 - 8{,}6 + 23{,}2 = 81$.
3. $3{,}375 + 5{,}625 - 9 = 0$.
4. $29\frac{19}{30} - 2\frac{25}{30} = 26\frac{24}{30} = 26{,}8$; $35{,}2 + 26{,}8 = 62$.

Ответ: 1) 59,54; 2) 81; 3) 0; 4) 62.

№ 321

Вычисли: 1) $|345| : |-69|$; 2) $|-0{,}101| \cdot |33|$; 3) $\left|-\frac{40}{81}\right| \cdot \left|-\frac{27}{55}\right|$; 4) $\left|\frac{125}{169}\right| : \left|-\frac{25}{26}\right|$; 5) $|-3{,}8| \cdot \left|-\frac{5}{57}\right|$; 6) $\left|-\frac{35}{93}\right| : |-3{,}72|$.

Решение.

1. $345 : 69 = 5$.
2. $0{,}101 \cdot 33 = 3{,}333$.
3. $\frac{40}{81} \cdot \frac{27}{55} = \frac{8 \cdot 1}{3 \cdot 11} = \frac{8}{33}$.
4. $\frac{125}{169} \cdot \frac{26}{25} = \frac{5 \cdot 2}{13} = \frac{10}{13}$.
5. $3{,}8 = \frac{19}{5}$; $\frac{19}{5} \cdot \frac{5}{57} = \frac{19}{57} = \frac{1}{3}$.
6. $3{,}72 = \frac{93}{25}$; $\frac{35}{93} \cdot \frac{25}{93} = \frac{875}{8649}$.

Ответ: 1) 5; 2) 3,333; 3) $\frac{8}{33}$; 4) $\frac{10}{13}$; 5) $\frac{1}{3}$; 6) $\frac{875}{8649}$.

№ 322

Выполни: 1) $|805| : |-161| + |-53|$; 2) $|-1026| : |-38| + |-27|$; 3) $|-49| \cdot |202| - |-888|$; 4) $|13111| - |-426| \cdot |-29|$.

Как думать. Порядок действий обычный: сначала умножение и деление.

Решение.

1. $805 : 161 = 5$; $5 + 53 = 58$.
2. $1026 : 38 = 27$; $27 + 27 = 54$.
3. $49 \cdot 202 = 9898$; $9898 - 888 = 9010$.
4. $426 \cdot 29 = 12,354$; $13,111 - 12,354 = 757$.

Ответ: 1) 58; 2) 54; 3) 9010; 4) 757.

№ 323

Выполни: 1) $|-106| + |-8{,}2| \cdot \left|-\frac{25}{41}\right|$; 2) $|-1| + |-0{,}85| \cdot \left|\frac{16}{17}\right|$; 3) $\left|-\frac{55}{81}\right| : \left|-\frac{44}{135}\right| + \left|8\frac{11}{12}\right|$; 4) $\left|-2\frac{2}{7}\right| - \left|\frac{303}{400}\right| : \left|-\frac{707}{800}\right|$.

Решение.

1. $8{,}2 = \frac{41}{5}$; $\frac{41}{5} \cdot \frac{25}{41} = 5$; $106 + 5 = 111$.
2. $0{,}85 = \frac{17}{20}$; $\frac{17}{20} \cdot \frac{16}{17} = \frac{16}{20} = 0{,}8$; $1 + 0{,}8 = 1{,}8$.
3. $\frac{55}{81} \cdot \frac{135}{44} = \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{12} = 2\frac{1}{12}$; $2\frac{1}{12} + 8\frac{11}{12} = 11$.
4. $\frac{303}{400} \cdot \frac{800}{707} = \frac{606}{707} = \frac{6}{7}$ (сократили на 101); $2\frac{2}{7} - \frac{6}{7} = \frac{16}{7} - \frac{6}{7} = 1\frac{3}{7}$.

Ответ: 1) 111; 2) 1,8; 3) 11; 4) $1\frac{3}{7}$.

№ 324

Выполни: 1) $|2002| + |-640| \cdot \left|-\frac{33}{64}\right| - |-2300|$; 2) $|-820| : |-4{,}1| - |-8{,}9| \cdot |-1{,}5|$; 3) $|342| \cdot |-0{,}05| - |-16{,}9| + |-93{,}1|$; 4) $|-6{,}8| \cdot |-1{,}25| : |-170| - |-0{,}005|$.

Решение.

1. $640 \cdot \frac{33}{64} = 330$; $2002 + 330 - 2300 = 32$.
2. $820 : 4{,}1 = 200$; $8{,}9 \cdot 1{,}5 = 13{,}35$; $200 - 13{,}35 = 186{,}65$.
3. $342 \cdot 0{,}05 = 17{,}1$; $17{,}1 - 16{,}9 + 93{,}1 = 93{,}3$.
4. $6{,}8 \cdot 1{,}25 = 8{,}5$; $8{,}5 : 170 = 0{,}05$; $0{,}05 - 0{,}005 = 0{,}045$.

Ответ: 1) 32; 2) 186,65; 3) 93,3; 4) 0,045.

№ 325

При каких $x$ верно: 1) $|x| = 11$; 2) $|-x| = 6{,}2$; 3) $|-x| = 0{,}07$; 4) $|x| = 29\frac{14}{15}$?

Как думать. $|-x| = |x|$, ведь $x$ и $-x$ на одном расстоянии от нуля. Значит, везде ищем два противоположных числа.

Решение.

1. $x = 11$ или $x = -11$.
2. $x = 6{,}2$ или $x = -6{,}2$.
3. $x = 0{,}07$ или $x = -0{,}07$.
4. $x = 29\frac{14}{15}$ или $x = -29\frac{14}{15}$.

Ответ: 1) $-11$ и 11; 2) $-6{,}2$ и 6,2; 3) $-0{,}07$ и 0,07; 4) $-29\frac{14}{15}$ и $29\frac{14}{15}$.

№ 326

Найди $|-c| : |12{,}7| + |-7500| : |-k|$, если: 1) $c = -25{,}4$, $k = 300$; 2) $c = 31{,}75$, $k = -525$.

Как думать. $|-c| = |c|$ и $|-k| = |k|$, поэтому знаки у $c$ и $k$ ни на что не влияют.

Решение.

1. $25{,}4 : 12{,}7 = 2$; $7500 : 300 = 25$; $2 + 25 = 27$.
2. $31{,}75 : 12{,}7 = 2{,}5$; $7500 : 525 = \frac{100}{7} = 14\frac{2}{7}$; $2\frac{1}{2} + 14\frac{2}{7} = 16\frac{11}{14}$.

Ответ: 1) 27; 2) $16\frac{11}{14}$.

№ 327

Выполни: 1) $\frac{108}{125} \cdot |-2{,}5| + |-14{,}464| : 1{,}6 + |-1760| : |-200|$; 2) $|-36{,}504| : 7{,}2 + \left|-1\frac{151}{200}\right| \cdot |-300| - |-0{,}7719| \cdot 300$.

Решение.

1. $\frac{108}{125} \cdot 2{,}5 = 2{,}16$; $14{,}464 : 1{,}6 = 9{,}04$; $1760 : 200 = 8{,}8$; $2{,}16 + 9{,}04 + 8{,}8 = 20$.
2. $36{,}504 : 7{,}2 = 5{,}07$; $1\frac{151}{200} = 1{,}755$, $1{,}755 \cdot 300 = 526{,}5$; $0{,}7719 \cdot 300 = 231{,}57$; $5{,}07 + 526{,}5 - 231{,}57 = 300$.

Ответ: 1) 20; 2) 300.

№ 328

Реши: 1) $|x| = 28$; 2) $|x| = 4{,}5$; 3) $|x| = 1{,}3$; 4) $|x| = \frac{10}{19}$.

Решение. У каждого уравнения два корня: 1) $\pm 28$; 2) $\pm 4{,}5$; 3) $\pm 1{,}3$; 4) $\pm \frac{10}{19}$.

Ответ: 1) $-28$ и 28; 2) $-4{,}5$ и 4,5; 3) $-1{,}3$ и 1,3; 4) $-\frac{10}{19}$ и $\frac{10}{19}$.

№ 329

Найди корни: 1) $|-x| = 3{,}1$; 2) $|-x| = 82$; 3) $|-x| = \frac{5}{32}$; 4) $|-x| = 17\frac{20}{23}$.

Решение. $|-x| = |x|$, поэтому: 1) $\pm 3{,}1$; 2) $\pm 82$; 3) $\pm \frac{5}{32}$; 4) $\pm 17\frac{20}{23}$.

Ответ: 1) $-3{,}1$ и 3,1; 2) $-82$ и 82; 3) $-\frac{5}{32}$ и $\frac{5}{32}$; 4) $-17\frac{20}{23}$ и $17\frac{20}{23}$.

№ 330

Докажи тождества: 1) $2{,}05 \cdot |-4{,}8| + \frac{42}{55} \cdot \left|-2\frac{3}{4}\right| + |-89{,}06| = 101$; 2) $|-17{,}6| \cdot 3{,}5 - \left|-5\frac{13}{22}\right| : \left|\frac{3}{110}\right| + |-196{,}4| = 53$.

Как думать. «Доказать» значит посчитать левую часть и увидеть, что она равна правой.

Решение.

1. $2{,}05 \cdot 4{,}8 = 9{,}84$; $\frac{42}{55} \cdot \frac{11}{4} = \frac{42}{20} = 2{,}1$; $9{,}84 + 2{,}1 + 89{,}06 = 101$ ✓.
2. $17{,}6 \cdot 3{,}5 = 61{,}6$; $\frac{123}{22} \cdot \frac{110}{3} = 41 \cdot 5 = 205$; $61{,}6 - 205 + 196{,}4 = 258 - 205 = 53$ ✓.

Ответ: обе левые части равны правым: 101 и 53.

Уровень B

№ 331

Отметь на прямой числа, модуль которых равен: 1) 3; 2) 0,5; 3) $4\frac{1}{2}$; 4) 7,5.

Решение. Для каждого модуля — две точки, симметричные относительно нуля: $\pm 3$; $\pm 0{,}5$; $\pm 4{,}5$; $\pm 7{,}5$.

Ответ: $-3$ и 3; $-0{,}5$ и 0,5; $-4\frac{1}{2}$ и $4\frac{1}{2}$; $-7{,}5$ и 7,5.

№ 332

Убедись, что значение $\left|-32\frac{4}{7}\right| - \left|5\frac{11}{15}\right| : \left|-3\frac{14}{27}\right| \cdot \left|20\frac{5}{6}\right| : \left|-59\frac{31}{76}\right| + |0{,}28| + |-19{,}72|$ — целое положительное число.

Как думать. Сначала вся цепочка из деления и умножения, потом сложение и вычитание. Числа подобраны так, что почти всё сократится.

Решение. См. шаги: значение равно 52.

Ответ: 52 — целое положительное число.

№ 333

Докажи, что значение $|-2{,}43| : 11 : \frac{4}{7} \cdot \left|2\frac{6}{7}\right| + |-9{,}875| : |-1{,}25| - 1{,}05$ — целое число.

Как думать. Считаем по порядку слева направо. Деление на $\frac{4}{7}$ — это умножение на $\frac{7}{4}$.

Решение.

1. $2{,}43 : 11 \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{20}{7} = \frac{2{,}43 \cdot 5}{11} = \frac{12{,}15}{11} \approx 1{,}105$.
2. $9{,}875 : 1{,}25 = 7{,}9$.
3. Итого $\frac{12{,}15}{11} + 7{,}9 - 1{,}05 \approx 7{,}95$.

С такими числами целое не получается. Скорее всего, в условии опечатка. Например, если бы вместо 2,43 стояло 2,42, первое слагаемое было бы ровно $2{,}42 \cdot 5 : 11 = 1{,}1$.

Ответ: при данных числах ≈ 7,95; проверь условие у учителя.

№ 334

Выполни: 1) $\left|-44\frac{4}{7}\right| : \left|-1\frac{31}{35}\right| : \left|-3\frac{5}{33}\right| + \left|-20\frac{3}{13}\right| - \left|-17\frac{8}{13}\right|$; 2) $\left|-23\frac{1}{18}\right| : \left|-9\frac{2}{9}\right| : \left|-2\frac{17}{54}\right| + \left|-2\frac{18}{35}\right| : \left|-1\frac{13}{42}\right|$.

Решение.

1. $\frac{312}{7} \cdot \frac{35}{66} = \frac{260}{11}$; $\frac{260}{11} \cdot \frac{33}{104} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$.
2. $20\frac{3}{13} - 17\frac{8}{13} = 2\frac{8}{13}$; $7\frac{1}{2} + 2\frac{8}{13} = 9\frac{29}{26} = 10\frac{3}{26}$.
3. Во втором: $\frac{415}{18} \cdot \frac{9}{83} = \frac{5}{2}$; $\frac{5}{2} \cdot \frac{54}{125} = \frac{27}{25}$.
4. $\frac{88}{35} \cdot \frac{42}{55} = \frac{48}{25}$; $\frac{27}{25} + \frac{48}{25} = 3$.

Ответ: 1) $10\frac{3}{26}$; 2) 3.

№ 335

Реши: 1) $7|x| - 5|x| = 13$; 2) $1{,}1|x| + 4{,}9|x| = 27$; 3) $\frac{2}{3}|x| - 8{,}5 + \frac{1}{7}|x| = 0$; 4) $\frac{5}{12}|x| - 3{,}8 + \frac{1}{9}|x| = 0$.

Как думать. Считай $|x|$ одной «коробкой». Сложи коробки, найди, чему равна одна. Потом вспомни, что $x$ — два противоположных числа.

Решение.

1. $2|x| = 13$, $|x| = 6{,}5$, $x = \pm 6{,}5$.
2. $6|x| = 27$, $|x| = 4{,}5$, $x = \pm 4{,}5$.
3. $\frac{14}{21}|x| + \frac{3}{21}|x| = \frac{17}{21}|x| = 8{,}5$; $|x| = \frac{17}{2} \cdot \frac{21}{17} = 10{,}5$; $x = \pm 10{,}5$.
4. $\frac{15}{36}|x| + \frac{4}{36}|x| = \frac{19}{36}|x| = 3{,}8$; $|x| = 3{,}8 \cdot \frac{36}{19} = 7{,}2$; $x = \pm 7{,}2$.

Ответ: 1) $\pm 6{,}5$; 2) $\pm 4{,}5$; 3) $\pm 10{,}5$; 4) $\pm 7{,}2$.

Уровень C

№ 336

Найди отрицательный корень: 1) $8|x| - 5|x| - 17 + 10|x| = 0$; 2) $49|x| - 32|x| = 28{,}7 + 22{,}3$.

Решение.

1. $13|x| = 17$, $|x| = \frac{17}{13} = 1\frac{4}{13}$. Отрицательный корень: $-1\frac{4}{13}$.
2. $17|x| = 51$, $|x| = 3$. Отрицательный корень: $-3$.

Ответ: 1) $-1\frac{4}{13}$; 2) $-3$.

№ 337

Найди положительный корень: 1) $56{,}36|x| - 110{,}1 + 3{,}64|x| - 59|x| = 89{,}9$; 2) $16{,}877|x| + 0{,}123|x| - 405{,}4 - 15|x| = 84{,}6$.

Решение.

1. $(56{,}36 + 3{,}64 - 59)|x| = 1 \cdot |x|$; $|x| = 89{,}9 + 110{,}1 = 200$. Положительный корень 200.
2. $(16{,}877 + 0{,}123 - 15)|x| = 2|x|$; $2|x| = 84{,}6 + 405{,}4 = 490$; $|x| = 245$.

Ответ: 1) 200; 2) 245.

№ 338

Запиши по два числа, при которых верно: 1) $-|-|-|-k||| = k$; 2) $-|-|-|-k||| = -k$.

Как думать. Распутываем изнутри. $|-k| = |k|$. Дальше каждый модуль «съедает» минус перед собой, а последний минус остаётся снаружи. Это задача повышенной трудности.

Решение.

1. Изнутри: $|-k| = |k|$; $|-|k|| = |k|$; $|-|k|| = |k|$. Снаружи один минус: всё выражение равно $-|k|$.
2. Случай 1: $-|k| = k$. Так бывает, когда $k$ отрицательное или нуль. Например, $k = -3$: $-|-3| = -3$ ✓.
3. Случай 2: $-|k| = -k$, то есть $|k| = k$. Так бывает, когда $k$ положительное или нуль. Например, $k = 5$.

Ответ: 1) например, $-3$ и $-10$; 2) например, 5 и 8 (в обоих случаях подходит и 0).

Повторение

№ 339

Найди $x$ в пропорции $\dfrac{11\frac{4}{9} : 10{,}3}{x} = \dfrac{2{,}137 + 17{,}863}{43}$.

Решение.

1. $11\frac{4}{9} = \frac{103}{9}$, $10{,}3 = \frac{103}{10}$; $\frac{103}{9} \cdot \frac{10}{103} = \frac{10}{9}$.
2. $2{,}137 + 17{,}863 = 20$.
3. $\frac{10}{9} : x = \frac{20}{43}$, значит, $x = \frac{10}{9} \cdot \frac{43}{20} = \frac{43}{18} = 2\frac{7}{18}$.

Ответ: $2\frac{7}{18}$.

№ 340

Лодка плыла 3 ч по течению и 4 ч против. Скорость течения 3 км/ч, скорость по течению 8 км/ч. Найди весь путь.

Как думать. Против течения скорость меньше собственной на скорость течения.

Решение.

1. Собственная скорость: $8 - 3 = 5$ км/ч.
2. Против течения: $5 - 3 = 2$ км/ч.
3. Путь: $8 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 24 + 8 = 32$ км.

Ответ: 32 км.

№ 341

Реши уравнение $\left(8\frac{2}{3} - 2{,}5y\right) : 9\frac{8}{11} = \frac{55}{214}$.

Решение.

1. Делимое = частное · делитель: $8\frac{2}{3} - 2{,}5y = \frac{55}{214} \cdot \frac{107}{11} = \frac{5}{2} = 2{,}5$.
2. $2{,}5y = 8\frac{2}{3} - 2\frac{1}{2} = 6\frac{1}{6} = \frac{37}{6}$.
3. $y = \frac{37}{6} : \frac{5}{2} = \frac{37}{15} = 2\frac{7}{15}$.

Ответ: $2\frac{7}{15}$.

Готовимся к следующей теме

№ 342

Сравни: 1102 и 1012; 6,37 и 6,037; $8\frac{4}{5}$ и $8\frac{1}{7}$.

Как думать. Сравниваем поразрядно слева направо. У дробей с одинаковой целой частью сравниваем дробные части.

Решение.

1. $1102 > 1012$: сотен 1 против 0.
2. $6{,}37 > 6{,}037$: десятых 3 против 0.
3. $\frac{4}{5} > \frac{1}{7}$, значит, $8\frac{4}{5} > 8\frac{1}{7}$.

Ответ: $1102 > 1012$; $6{,}37 > 6{,}037$; $8\frac{4}{5} > 8\frac{1}{7}$.

№ 343

1) Расставь по возрастанию: 2,5; $3\frac{1}{3}$; 17; $2\frac{1}{6}$; 16,9; 3,3. 2) Расставь по убыванию: 0,05; $\frac{1}{2}$; 14,07; $3\frac{1}{7}$; $4\frac{1}{4}$; 4,3.

Как думать. Сначала по целой части, потом сравниваем дробные: $\frac{1}{6} < 0{,}5$, $0{,}3 < \frac{1}{3}$, $\frac{1}{4} = 0{,}25 < 0{,}3$.

Решение.

1. $2\frac{1}{6}$; 2,5; 3,3; $3\frac{1}{3}$; 16,9; 17.
2. 14,07; 4,3; $4\frac{1}{4}$; $3\frac{1}{7}$; $\frac{1}{2}$; 0,05.

Ответ: 1) $2\frac{1}{6} < 2{,}5 < 3{,}3 < 3\frac{1}{3} < 16{,}9 < 17$; 2) $14{,}07 > 4{,}3 > 4\frac{1}{4} > 3\frac{1}{7} > \frac{1}{2} > 0{,}05$.

Шпаргалка

• Модуль положительного числа и нуля — само число.
• Модуль отрицательного числа — противоположное ему число: «модуль стирает минус».
• У противоположных чисел модули равны: $|-a| = |a|$.
• Уравнение $|x| = a$ при $a > 0$ имеет два корня: $a$ и $-a$.
• В выражениях сначала находим модули, потом считаем по обычным правилам.

Мини-тест