§ 2. Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 1: Степень с целым показателем. Страницы 28–32.

Чему научишься

• Умножать степени с одинаковыми основаниями, складывая показатели.
• Объяснять, почему это правило верно.
• Раскладывать степень на произведение двух и трёх степеней.
• Находить пропущенный показатель в равенстве.
• Работать с показателями, в которых стоят буквы.

Разминка

Задания 1.17–1.19 из прошлого параграфа были как раз об этом. Вот что из них стоит помнить.

• Чему равно $2^{3}\cdot2^{4}$ и как записать ответ степенью? Три двойки и четыре двойки дают семь двоек: $2^{7}=128$.
• Верно ли, что $(-6)^{7}\cdot(-6)^{2}=(-6)^{14}$? Нет. Семь и два надо сложить, а не умножить: получится $(-6)^{9}$.
• Что такое основание и показатель? Основание — повторяемый множитель, показатель — сколько раз он повторяется.

Разбираемся

Посчитаем множители руками

Возьмём $a^{6}\cdot a^{2}$. Выпишем всё:

$a^{6}\cdot a^{2}=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{6\text{ раз}}\cdot\underbrace{a\cdot a}{2\text{ раза}}=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{6+2\text{ раз}}=a^{8}.$

Основание осталось тем же, а показатели сложились.

Правило в общем виде

📌 Если основание одно и то же, то $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$. Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, основание оставляем, показатели складываем.

Доказательство то же, что и с примером: $m$ множителей и ещё $n$ множителей составляют вместе $m+n$ множителей.

Правило работает и для трёх, и для десяти степеней сразу: $x^{6}\cdot x^{5}\cdot x^{2}\cdot x=x^{6+5+2+1}=x^{14}$. Не забывай: у голой буквы $x$ показатель равен $1$.

💡 Основанием может быть что угодно: число, дробь, отрицательное число и даже целое выражение в скобках: $(x+y)^{3}\cdot(x+y)^{15}=(x+y)^{18}$.

Где правило не работает

⚠️ Частая ошибка 1. $2^{3}\cdot2^{4}=2^{7}$, а не $4^{7}$ и не $2^{12}$. Основание не меняется, показатели не перемножаются.

⚠️ Частая ошибка 2. Если основания разные, показатели складывать нельзя: $2^{3}\cdot3^{4}$ не равно $6^{7}$. Тут правило молчит.

Обратный ход: разложить степень

Правило работает и справа налево. Степень $a^{31}$ можно разбить на любые две степени с суммой показателей 31: $a^{19}\cdot a^{12}$, $a^{20}\cdot a^{11}$ и так далее. Ответ не единственный, и это нормально.

Буквы в показателе

Показатель тоже может быть выражением: $5^{k}\cdot5^{4}=5^{k+4}$. Складываем всё как обычно, просто результат останется с буквой. Например, $8^{4n}\cdot8^{n}=8^{5n}$, потому что $4n+n=5n$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка своими словами объяснить, почему показатели складываются. Если он расскажет про «сколько всего множителей получилось», значит, правило понято, а не вызубрено.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какой знак у произведения двух степеней с нечётными показателями и одинаковым отрицательным основанием? Положительный. Например, $(-2)^{3}\cdot(-2)^{5}=(-2)^{8}=256$: сумма двух нечётных показателей чётная, а значит, минусы разбиваются на пары.
• Какими могут быть основания и показатели, чтобы можно было применить правило? Основания должны быть одинаковыми, а сами они могут быть любыми числами и выражениями. Показатели в этом параграфе натуральные.
• Почему $d^{3}\cdot d^{7}\cdot d\cdot d^{11}=d^{22}$? Складываем все показатели: $3+7+1+11=22$ (не забываем, что у $d$ без показателя он равен 1).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 2.1

Представьте в виде степени: 1) $x^{5}x^{12}$; 2) $y^{4}y^{11}$; 3) $z^{20}z^{6}$; 4) $40^{20}\cdot40^{3}$; 5) $0{,}3^{7}\cdot0{,}3^{29}$; 6) $8{,}4^{3}\cdot8{,}4^{15}$; 7) $\left(\frac{2}{7}\right)^{31}\cdot\left(\frac{2}{7}\right)^{6}$; 8) $\left(\frac{15}{19}\right)^{3}\cdot\left(\frac{15}{19}\right)^{19}$; 9) $\left(4\frac{4}{9}\right)^{14}\cdot\left(4\frac{4}{9}\right)^{28}$; 10) $(-5)^{4}\cdot(-5)^{11}$; 11) $\left(-\frac{1}{3}\right)^{4}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^{8}$; 12) $(-6{,}2)^{6}\cdot(-6{,}2)^{7}$; 13) $(-c)^{10}\cdot(-c)^{51}$; 14) $\left(-\frac{d}{2}\right)^{9}\cdot\left(-\frac{d}{2}\right)^{9}$; 15) $(-1{,}4k)^{5}\cdot(-1{,}4k)^{20}$.

Как думать. Основание в каждом примере одно и то же, значит, оставляем его и складываем показатели.

Решение.

1. $5+12=17$. 2. $4+11=15$. 3. $20+6=26$. 4. $20+3=23$. 5. $7+29=36$. 6. $3+15=18$. 7. $31+6=37$. 8. $3+19=22$. 9. $14+28=42$. 10. $4+11=15$. 11. $4+8=12$. 12. $6+7=13$. 13. $10+51=61$. 14. $9+9=18$. 15. $5+20=25$.

Ответ: 1) $x^{17}$; 2) $y^{15}$; 3) $z^{26}$; 4) $40^{23}$; 5) $0{,}3^{36}$; 6) $8{,}4^{18}$; 7) $\left(\frac{2}{7}\right)^{37}$; 8) $\left(\frac{15}{19}\right)^{22}$; 9) $\left(4\frac{4}{9}\right)^{42}$; 10) $(-5)^{15}$; 11) $\left(-\frac{1}{3}\right)^{12}$; 12) $(-6{,}2)^{13}$; 13) $(-c)^{61}$; 14) $\left(-\frac{d}{2}\right)^{18}$; 15) $(-1{,}4k)^{25}$.

№ 2.2

Представьте в виде степени: 1) $(3-a)^{4}\cdot(3-a)^{10}$; 2) $(x+y)^{3}\cdot(x+y)^{15}$; 3) $(2b-3)^{6}\cdot(2b-3)^{23}$; 4) $\left(\frac{1}{2}c+2\right)^{21}\cdot\left(\frac{1}{2}c+2\right)^{14}$; 5) $\left(4-\frac{2}{3}t\right)^{19}\cdot\left(4-\frac{2}{3}t\right)^{2}$; 6) $(9{,}2-k)^{15}\cdot(9{,}2-k)^{34}$.

Как думать. Скобку с выражением считаем одним целым основанием.

Решение. Складываем показатели: 1) $4+10=14$; 2) $3+15=18$; 3) $6+23=29$; 4) $21+14=35$; 5) $19+2=21$; 6) $15+34=49$.

Ответ: 1) $(3-a)^{14}$; 2) $(x+y)^{18}$; 3) $(2b-3)^{29}$; 4) $\left(\frac{1}{2}c+2\right)^{35}$; 5) $\left(4-\frac{2}{3}t\right)^{21}$; 6) $(9{,}2-k)^{49}$.

№ 2.3

Запишите степень в виде произведения двух степеней с теми же основаниями: 1) $9^{10}$; 2) $\left(\frac{2}{3}\right)^{8}$; 3) $\left(-\frac{4}{11}\right)^{15}$; 4) $(-20)^{7}$; 5) $\left(5\frac{1}{9}\right)^{40}$; 6) $(-d)^{41}$; 7) $(8{,}5c)^{14}$; 8) $\left(-3\frac{2}{3}x\right)^{13}$.

Как думать. Разбей показатель на два слагаемых любым способом. Вариантов много, подойдёт любой.

Решение. Например: 1) $10=4+6$; 2) $8=3+5$; 3) $15=7+8$; 4) $7=3+4$; 5) $40=15+25$; 6) $41=20+21$; 7) $14=6+8$; 8) $13=5+8$.

Ответ: 1) $9^{4}\cdot9^{6}$; 2) $\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{5}$; 3) $\left(-\frac{4}{11}\right)^{7}\cdot\left(-\frac{4}{11}\right)^{8}$; 4) $(-20)^{3}\cdot(-20)^{4}$; 5) $\left(5\frac{1}{9}\right)^{15}\cdot\left(5\frac{1}{9}\right)^{25}$; 6) $(-d)^{20}\cdot(-d)^{21}$; 7) $(8{,}5c)^{6}\cdot(8{,}5c)^{8}$; 8) $\left(-3\frac{2}{3}x\right)^{5}\cdot\left(-3\frac{2}{3}x\right)^{8}$ (возможны другие разбиения).

№ 2.4

Вместо звёздочки запишите число: 1) $a^{31}=a^{19}\cdot a^{}$; 2) $b^{24}=b^{}\cdot b^{16}$; 3) $(-d)^{52}=(-d)^{34}\cdot(-d)^{}$; 4) $(xy)^{9}=(xy)^{3}\cdot(xy)^{}$; 5) $\left(\frac{k}{3}\right)^{20}=\left(\frac{k}{3}\right)^{10}\cdot\left(\frac{k}{3}\right)^{}$; 6) $(1{,}3t)^{}:(1{,}3t)^{8}=(1{,}3t)^{13}$.

Как думать. Сумма показателей справа должна дать показатель слева. Нужное число найдём вычитанием.

Решение.

1. $31-19=12$. 2. $24-16=8$. 3. $52-34=18$. 4. $9-3=6$. 5. $20-10=10$.
2. Здесь деление: неизвестное минус $8$ равно $13$, значит, $*=13+8=21$. Проверка: $21-8=13$.

Ответ: 1) $12$; 2) $8$; 3) $18$; 4) $6$; 5) $10$; 6) $21$.

№ 2.5

Вместо звёздочки запишите число: 1) $x^{40}=x^{9}\cdot x^{}\cdot x^{23}$; 2) $a^{}\cdot a^{5}\cdot a^{23}=a^{41}$; 3) $(ab)^{}\cdot(ab)\cdot(ab)^{9}=(ab)^{14}$; 4) $\left(\frac{c}{4}\right)^{20}\cdot\left(\frac{c}{4}\right)^{}=\frac{c}{4}\cdot\left(\frac{c}{4}\right)^{25}$; 5) $(-k)^{5}\cdot(-k)^{}\cdot(-k)^{5}=(-k)^{15}$; 6) $\left(\frac{2}{5}y\right)^{6}\cdot\left(\frac{2}{5}y\right)^{}=\frac{2}{5}y\cdot\left(\frac{2}{5}y\right)^{8}$.

Как думать. Составляем уравнение на показатели: сумма слева равна сумме справа.

Решение.

1. $9++23=40$, значит, $=40-32=8$.
2. $+5+23=41$, значит, $=41-28=13$.
3. $+1+9=14$, значит, $=4$ (у $(ab)$ показатель 1).
4. $20+=1+25$, значит, $=26-20=6$.
5. $5++5=15$, значит, $=5$.
6. $6+=1+8$, значит, $=3$.

Ответ: 1) $8$; 2) $13$; 3) $4$; 4) $6$; 5) $5$; 6) $3$.

№ 2.6

Запишите в виде степени: 1) число $2$: произведение $4\cdot2^{13}$; 2) число $5$: произведение $625\cdot5^{4}$; 3) число $4$: произведение $256\cdot4^{7}$; 4) число $3$: произведение $3^{20}\cdot243$.

Как думать. Надо, чтобы всё стало степенями одного основания. Для этого превращаем обычное число в степень нужного основания.

Решение.

1. $4=2^{2}$, значит, $2^{2}\cdot2^{13}=2^{15}$.
2. $625=5^{4}$, значит, $5^{4}\cdot5^{4}=5^{8}$.
3. $256=4^{4}$ (так как $4\cdot4=16$, $16\cdot16=256$), значит, $4^{4}\cdot4^{7}=4^{11}$.
4. $243=3^{5}$, значит, $3^{20}\cdot3^{5}=3^{25}$.

Ответ: 1) $2^{15}$; 2) $5^{8}$; 3) $4^{11}$; 4) $3^{25}$.

Уровень B

№ 2.7

Упростите: 1) $5^{k}\cdot5^{4}$; 2) $6^{m}\cdot6^{10}$; 3) $1{,}7^{7}\cdot1{,}7^{c}$; 4) $(-4)^{3}\cdot(-4)^{d}$; 5) $\left(\frac{6}{13}\right)^{c}\cdot\left(\frac{6}{13}\right)^{6}$; 6) $(-5{,}2)^{9}\cdot(-5{,}2)^{n}$; 7) $8^{4n}\cdot8^{n}$; 8) $(-3)^{3k}\cdot(-3)^{8k}$; 9) $3{,}7^{8n}\cdot3{,}7^{8n}$.

Как думать. Складываем показатели, даже если в них буквы. Одинаковые буквы собираем: $4n+n=5n$.

Решение. 1) $k+4$; 2) $m+10$; 3) $7+c$; 4) $3+d$; 5) $c+6$; 6) $9+n$; 7) $4n+n=5n$; 8) $3k+8k=11k$; 9) $8n+8n=16n$.

Ответ: 1) $5^{k+4}$; 2) $6^{m+10}$; 3) $1{,}7^{7+c}$; 4) $(-4)^{3+d}$; 5) $\left(\frac{6}{13}\right)^{c+6}$; 6) $(-5{,}2)^{9+n}$; 7) $8^{5n}$; 8) $(-3)^{11k}$; 9) $3{,}7^{16n}$.

№ 2.8

Пусть $A=5^{9}\cdot5^{10}$, $B=9^{16}\cdot9^{3}$, $C=7^{8}\cdot7^{17}$. На какую цифру оканчивается значение $3A+9B-2C$?

Как думать. Сначала упрощаем степени по правилу, потом работаем только с последними цифрами.

Решение. См. шаги выше: $5+1-4=2$.

Замечание: всё число отрицательное (так как $2C$ гораздо больше, чем $3A+9B$), поэтому по модулю оно оканчивается на $8$. Цифра $2$ получается, если смотреть на остаток при делении на $10$.

Ответ: $2$ (по правилу последних цифр).

№ 2.9

Запишите в виде произведения трёх степеней с теми же основаниями: 1) $15^{13n}$; 2) $(-42)^{8m}$; 3) $\left(\frac{9}{16}\right)^{20t}$; 4) $(-1{,}1)^{11k}$.

Как думать. Показатель надо разбить на три слагаемых, чтобы их сумма была равна исходному показателю. Подойдёт любое разбиение.

Решение.

1. $13n=5n+4n+4n$.
2. $8m=3m+3m+2m$.
3. $20t=5t+7t+8t$.
4. $11k=k+4k+6k$.

Ответ: 1) $15^{5n}\cdot15^{4n}\cdot15^{4n}$; 2) $(-42)^{3m}\cdot(-42)^{3m}\cdot(-42)^{2m}$; 3) $\left(\frac{9}{16}\right)^{5t}\cdot\left(\frac{9}{16}\right)^{7t}\cdot\left(\frac{9}{16}\right)^{8t}$; 4) $(-1{,}1)^{k}\cdot(-1{,}1)^{4k}\cdot(-1{,}1)^{6k}$ (возможны другие разбиения).

№ 2.10

Запишите в виде произведения трёх степеней с теми же основаниями: 1) $(-100)^{6k}$; 2) $99^{7k}$; 3) $\left(8\frac{3}{5}\right)^{17t}$; 4) $7{,}7^{3k}$.

Как думать. Так же, как в № 2.9: разбиваем показатель на три слагаемых.

Решение.

1. $6k=2k+2k+2k$.
2. $7k=k+2k+4k$.
3. $17t=5t+5t+7t$.
4. $3k=k+k+k$.

Ответ: 1) $(-100)^{2k}\cdot(-100)^{2k}\cdot(-100)^{2k}$; 2) $99^{k}\cdot99^{2k}\cdot99^{4k}$; 3) $\left(8\frac{3}{5}\right)^{5t}\cdot\left(8\frac{3}{5}\right)^{5t}\cdot\left(8\frac{3}{5}\right)^{7t}$; 4) $7{,}7^{k}\cdot7{,}7^{k}\cdot7{,}7^{k}$ (возможны другие разбиения).

№ 2.11

Представьте степень в виде произведения одинаковых множителей разными способами: 1) $a^{3}$; 2) $(-6)^{4}$; 3) $\left(\frac{5}{18}\right)^{5}$; 4) $(x+y)^{4}$.

Как думать. Самый простой способ: выписать основание столько раз, сколько показатель. Другие способы получаются, если сначала разложить степень на две и каждую записать как произведение.

Решение.

1. $a^{3}=a\cdot a\cdot a$. Можно и так: $a^{3}=a\cdot a^{2}$.
2. $(-6)^{4}=(-6)\cdot(-6)\cdot(-6)\cdot(-6)$. Или так: $(-6)^{4}=(-6)^{2}\cdot(-6)^{2}=36\cdot36$.
3. $\left(\frac{5}{18}\right)^{5}$ — пять множителей $\frac{5}{18}$. Другой способ: $\left(\frac{5}{18}\right)^{2}\cdot\left(\frac{5}{18}\right)^{3}$.
4. $(x+y)^{4}=(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)$. Или: $(x+y)^{2}\cdot(x+y)^{2}$.

Ответ: см. решение: основная запись и хотя бы один альтернативный способ для каждого пункта.

Уровень C

№ 2.12

Вместо звёздочки запишите выражение: 1) $a^{k}\cdot a^{}=a^{k+n}$; 2) $b^{}\cdot b^{3n}=b^{m+3n}$; 3) $(cd)^{}=(cd)^{2t}\cdot(cd)^{5}$; 4) $(5z)^{6}\cdot(5z)^{}=(5z)^{6+3k}$.

Как думать. От итогового показателя вычитаем тот, что уже есть. Для п. 3 звёздочка стоит слева, и там показатель надо сложить.

Решение.

1. $(k+n)-k=n$.
2. $(m+3n)-3n=m$.
3. $2t+5$.
4. $(6+3k)-6=3k$.

Ответ: 1) $n$; 2) $m$; 3) $2t+5$; 4) $3k$.

№ 2.13

Вместо звёздочки запишите выражение: 1) $c^{k}\cdot c^{}=c^{2k+1}$; 2) $d^{5k}\cdot d^{}=d^{8k+2}$; 3) $z^{6k}\cdot z^{}=z^{10k+10}$; 4) $m^{}\cdot m^{13k}=m^{16k+13}$.

Как думать. Из итогового показателя вычитаем показатель известного множителя. Буквенные части вычитаем отдельно от чисел.

Решение.

1. $(2k+1)-k=k+1$.
2. $(8k+2)-5k=3k+2$.
3. $(10k+10)-6k=4k+10$.
4. $(16k+13)-13k=3k+13$. Вычитаем $13k$ из $16k$ и оставляем $+13$.

Ответ: 1) $k+1$; 2) $3k+2$; 3) $4k+10$; 4) $3k+13$.

№ 2.14

Докажите, что верно равенство: 1) $x^{k+4n-9}\cdot x^{7-3k}\cdot x^{6+2k-4n}=x^{4}$; 2) $x^{5m+11}\cdot x^{20-4m+2n}\cdot x^{m-2n-30}=x^{2m+1}$.

Как думать. «Доказать» значит показать, что слева получится ровно то, что справа. Основание одинаковое, поэтому складываем три показателя и смотрим, что останется.

Решение.

1. Показатель слева: $(k+4n-9)+(7-3k)+(6+2k-4n)$. Буквы $k$: $k-3k+2k=0$. Буквы $n$: $4n-4n=0$. Числа: $-9+7+6=4$. Получили $x^{4}$.
2. Показатель слева: $(5m+11)+(20-4m+2n)+(m-2n-30)$. Буквы $m$: $5m-4m+m=2m$. Буквы $n$: $2n-2n=0$. Числа: $11+20-30=1$. Получили $x^{2m+1}$.

Обе части равны, значит, равенства верны.

Ответ: доказано: в п. 1 показатель слева равен $4$, в п. 2 равен $2m+1$.

Готовимся к следующей теме

Следующий параграф про деление степеней. Эти задания подведут к главному правилу.

№ 2.15

Сократите дроби, результат запишите степенью: 1) $\frac{3^{5}}{3^{4}}$; 2) $\frac{4^{4}}{4^{5}}$; 3) $\frac{(2{,}3)^{4}}{(2{,}3)^{3}}$; 4) $\frac{(-0{,}8)^{3}}{(-0{,}8)^{2}}$.

Как думать. Выпиши множители сверху и снизу и вычеркни одинаковые пары.

Решение.

1. Сверху пять троек, снизу четыре. Четыре пары уходят, остаётся одна тройка: $3^{1}=3$.
2. Сверху четыре четвёрки, снизу пять. Остаётся одна четвёрка в знаменателе: $\frac{1}{4}$. (Запись такой дроби степенью узнаешь позже.)
3. Сверху четыре множителя $2{,}3$, снизу три. Остаётся $2{,}3$.
4. Сверху три множителя $-0{,}8$, снизу два. Остаётся $-0{,}8$.

Заметь: в п. 1, 3, 4 показатели вычитаются.

Ответ: 1) $3$; 2) $\frac{1}{4}$; 3) $2{,}3$; 4) $-0{,}8$.

№ 2.16

Выпишите верные равенства: 1) $\frac{2^{9}}{2^{3}}=2^{3}$; 2) $\frac{7^{8}}{7^{4}}=7^{4}$; 3) $\frac{(0{,}25)^{12}}{(0{,}25)^{4}}=(0{,}25)^{8}$.

Как думать. Сократи общие множители: сколько множителей останется после сокращения?

Решение.

1. Сверху девять двоек, снизу три. Останется $9-3=6$ двоек, то есть $2^{6}$, а не $2^{3}$. Неверно.
2. $8-4=4$, получаем $7^{4}$. Верно.
3. $12-4=8$, получаем $(0{,}25)^{8}$. Верно.

Ответ: верны равенства 2) и 3).

Шпаргалка

• Правило: $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$.
• Основания обязаны быть одинаковыми, показатели складываем.
• Показатель, которого не видно, равен 1.
• Если показатели с буквами, складываем и буквы, и числа отдельно.
• Чтобы найти неизвестный показатель, вычитаем известное из итога.

Мини-тест