Проверь себя! Раздел I

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 1: Степень с целым показателем. Страницы 74–77.

В этом тесте собрано всё, что ты узнал в разделе «Степень с целым показателем»: свойства степеней, нулевой и отрицательный показатель, стандартный вид, проценты и погрешности. К каждому вопросу есть четыре варианта ответа A–D. Сначала попробуй решить сам, потом смотри ход решения и верную букву.

💡 Если ошибся, не страшно. Найди номер вопроса, вернись к нужному параграфу (§ 1–9) и реши ещё пару таких же примеров.

Решаем упражнения

№ 1

Вычислить $2^{10}\cdot 2^{12} : 2^{21}$. Варианты: A. 4; B. 2; C. 1; D. 8.

Как думать. Основание везде одно — $2$. При умножении показатели складываем, при делении вычитаем.

Решение. $2^{10}\cdot 2^{12} = 2^{22}$, потом $2^{22} : 2^{21} = 2^{1} = 2$.

Ответ: B ($2$).

№ 2

Упростить $a^{35}\cdot a^{19} : (a^{52}\cdot a^{2})$. Варианты: A. $a$; B. $a^{4}$; C. $1$; D. $a^{2}$.

Как думать. Сначала считаем отдельно числитель и знаменатель, а потом делим.

Решение. $a^{35}\cdot a^{19} = a^{54}$ и $a^{52}\cdot a^{2} = a^{54}$. Одинаковые степени делятся в единицу: $a^{54} : a^{54} = a^{0} = 1$.

Ответ: C ($1$).

№ 3

Упростить выражение $\dfrac{x^{10}y^{8}}{x^{9}y^{6}}$ и найти его значение при $x = 2$, $y = 3$. Варианты: A. 24; B. 12; C. 6; D. 18.

Как думать. Сокращаем отдельно по каждой букве: показатели вычитаем.

Решение. $\dfrac{x^{10}}{x^{9}} = x$, $\dfrac{y^{8}}{y^{6}} = y^{2}$. Выражение равно $x y^{2}$. При $x=2$, $y=3$: $2\cdot 3^{2} = 2\cdot 9 = 18$.

Ответ: D ($18$).

№ 4

Вычислить $0{,}2\cdot(-5)^{2} - 3^{3}$. Варианты: A. $-32$; B. $-22$; C. $-2$; D. $52$.

Как думать. Сначала степени, потом умножение, потом вычитание. Помни: $(-5)^{2}$ — это $25$, минус «съедается» чётной степенью.

Решение. $(-5)^{2} = 25$, $0{,}2\cdot 25 = 5$, $3^{3} = 27$. Тогда $5 - 27 = -22$.

Ответ: B ($-22$).

№ 5

Упростить $\dfrac{(m^{3})^{5}\cdot(n^{4})^{3}}{(m^{3})^{4}\cdot(n^{5})^{2}}$. Варианты: A. $m^{23}n^{22}$; B. $m^{7}n^{22}$; C. $m^{3}n^{2}$; D. $m^{7}n^{2}$.

Как думать. Степень в степени: показатели перемножаем. Потом делим одинаковые основания.

Решение. Числитель: $m^{15}n^{12}$. Знаменатель: $m^{12}n^{10}$. Делим: $m^{15-12}n^{12-10} = m^{3}n^{2}$.

Ответ: C ($m^{3}n^{2}$).

№ 6

Представить $\dfrac{x^{4}}{y^{6}}$ в виде произведения степеней. Варианты: A. $x^{4}y^{6}$; B. $x^{-4}y^{6}$; C. $x^{-4}y^{-6}$; D. $x^{4}y^{-6}$.

Как думать. Дробь $\frac{1}{y^{6}}$ равна $y^{-6}$. Перенос из знаменателя в числитель меняет знак показателя.

Решение. $\dfrac{x^{4}}{y^{6}} = x^{4}\cdot\dfrac{1}{y^{6}} = x^{4}y^{-6}$.

Ответ: D ($x^{4}y^{-6}$).

№ 7

Упростить $5^{-3}\cdot 25^{2}$. Варианты: A. $5$; B. $\frac{1}{5}$; C. $25$; D. $\frac{1}{25}$.

Как думать. Приводим всё к основанию $5$: $25 = 5^{2}$.

Решение. $25^{2} = (5^{2})^{2} = 5^{4}$. Тогда $5^{-3}\cdot 5^{4} = 5^{1} = 5$.

Ответ: A ($5$).

№ 8

Представить $\dfrac{a^{2}}{b^{3}c^{-4}}$ в виде произведения степеней. Варианты: A. $a^{2}b^{3}c^{-4}$; B. $a^{2}b^{-3}c^{4}$; C. $a^{-2}b^{-3}c^{-4}$; D. $a^{-2}b^{-3}c^{4}$.

Как думать. Всё, что стоит в знаменателе, переходит в числитель с противоположным знаком показателя.

Решение. $a^{2}$ остаётся в числителе. $b^{3}$ из знаменателя даёт $b^{-3}$. $c^{-4}$ из знаменателя даёт $c^{4}$.

Ответ: B ($a^{2}b^{-3}c^{4}$).

№ 9

Упростить $\dfrac{5a^{9}-3a^{7}}{4a^{8}}$ и найти значение при $a = -1$. Варианты: A. $\frac{1}{2}$; B. $-\frac{1}{2}$; C. $2$; D. $-2$.

Как думать. Можно упростить: вынести $a^{7}$ в числителе и сократить. Или сразу подставить $a=-1$. Сделаем двумя способами для проверки.

Решение. Способ 1: $\dfrac{a^{7}(5a^{2}-3)}{4a^{8}} = \dfrac{5a^{2}-3}{4a}$. При $a=-1$: $\dfrac{5-3}{-4} = -\dfrac{1}{2}$. Способ 2 (подстановка): $a^{9} = -1$, $a^{7} = -1$, $a^{8} = 1$. Числитель $-5 + 3 = -2$, знаменатель $4$. Получаем $-\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: B ($-\frac{1}{2}$).

№ 10

Найти пятую степень числа, если его куб равен $-\frac{1}{8}$. Варианты: A. $\frac{1}{32}$; B. $-0{,}5$; C. $-\frac{1}{32}$; D. $-32$.

Как думать. Сначала найдём само число $n$ из $n^{3} = -\frac{1}{8}$, потом возведём его в пятую.

Решение. $\left(-\frac{1}{2}\right)^{3} = -\frac{1}{8}$, значит $n = -\frac{1}{2}$. Тогда $n^{5} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{5} = -\frac{1}{32}$.

Ответ: C ($-\frac{1}{32}$).

№ 11

На рисунке 1 круговая диаграмма: товары, привезённые в магазин за три дня. В первый день $65%$, в третий $10%$, во второй $x%$. Во второй день привезли столько товаров, сколько равно значению $(3^{5})^{2} : 27^{2} + 13^{2}$. Сколько товаров привезли за три дня? Варианты: A. 900; B. 550; C. 1000; D. 650.

Как думать. Сначала найдём, сколько привезли во второй день. Потом узнаем, какую часть это составляет, и найдём всё целиком.

Решение.

1. $(3^{5})^{2} = 3^{10}$, а $27^{2} = (3^{3})^{2} = 3^{6}$. Тогда $3^{10} : 3^{6} = 3^{4} = 81$. Прибавляем $13^{2} = 169$: $81 + 169 = 250$. Значит, во второй день привезли $250$ товаров.
2. Весь круг $100%$. Второй день: $x = 100 - 65 - 10 = 25%$.
3. $250$ — это $25%$, значит всего $250 : 0{,}25 = 1000$.

Ответ: C ($1000$).

№ 12

Сколько целых чисел лежит на промежутке $\left[5^{2};\ \left(\frac{1}{6}\right)^{-2}\right]$? Варианты: A. 11; B. 10; C. 13; D. 12.

Как думать. Найдём концы промежутка. Отрезок со скобками $[\ ;\ ]$ включает оба конца.

Решение. $5^{2} = 25$. $\left(\frac{1}{6}\right)^{-2} = 6^{2} = 36$. Целые числа от $25$ до $36$ включительно: $36 - 25 + 1 = 12$.

Ответ: D ($12$).

№ 13

Ученики, не участвовавшие в спартакиаде, составляют $30%$ всех учащихся школы. Их число равно значению выражения $18^{22}\cdot 18^{-21}\cdot 20$. Сколько учащихся участвовало? Варианты: A. 360; B. 840; C. 340; D. 860.

Как думать. Сначала число не участвовавших, потом всего учащихся, потом участвовавшие.

Решение.

1. $18^{22}\cdot 18^{-21} = 18^{1} = 18$, тогда $18\cdot 20 = 360$ человек не участвовали.
2. $360$ — это $30%$, значит всего $360 : 0{,}3 = 1200$ учащихся.
3. Участвовали $100% - 30% = 70%$: $1200\cdot 0{,}7 = 840$. Или $1200 - 360 = 840$.

Ответ: B ($840$).

№ 14

Прямоугольник разделён на равные части (рис. 2): 10 клеток по длине, 5 по ширине. Сторона одной клетки равна значению $3^{-2}\cdot 27$ см. Закрашено 10 клеток, которые образуют отдельные части. Нужно ответить на 4 вопроса.

Как думать. Сначала найдём сторону клетки: $3^{-2}\cdot 27 = \frac{27}{9} = 3$ см. Площадь клетки $3\cdot 3 = 9$ см².

Решение.

1. Всего клеток: $10\cdot 5 = 50$. Прямоугольник разделён на $50$ равных частей.
2. Закрашено $10$ клеток, площадь одной $9$ см². Закрашенная площадь: $10\cdot 9 = 90$ см².
3. Закрашенные клетки образуют шесть частей: четыре одиночные клетки (периметр каждой $4\cdot 3 = 12$ см), горизонтальная полоска из трёх клеток (периметр $8\cdot 3 = 24$ см) и вертикальная полоска из трёх клеток (тоже $24$ см). Соседние по диагонали клетки не склеиваются: у них нет общей стороны. Сумма: $4\cdot 12 + 24 + 24 = 96$ см.
4. Не закрашено $50 - 10 = 40$ клеток, то есть $\frac{40}{50}\cdot 100% = 80%$.

Ответ: 1) C ($50$); 2) B ($90$ см²); 3) A ($96$ см); 4) D ($80%$).

№ 15

По таблице 1: $A = 2^{9}\cdot 4^{8}\cdot 8^{-8}$ и $B = 3^{40}\cdot 9^{-15} : 27^{3}$. Найти: 1) $(A\cdot B)^{2}$; 2) $A^{-2}\cdot B$; 3) $(A^{2})^{3} - B^{4}$; 4) $B^{3} : A^{-3}$.

Как думать. Сначала упростим $A$ и $B$ — приведём к одному основанию.

Решение. $A = 2$, $B = 3$.

1. $(A\cdot B)^{2} = (2\cdot 3)^{2} = 36$. Вариант C.
2. $A^{-2}\cdot B = \dfrac{1}{4}\cdot 3 = 0{,}75$. Вариант B.
3. $(A^{2})^{3} = A^{6} = 2^{6} = 64$; $B^{4} = 3^{4} = 81$. Разность $64 - 81 = -17$. Вариант B.
4. $B^{3} : A^{-3} = 27 : \dfrac{1}{8} = 27\cdot 8 = 216$. Вариант C.

Ответ: 1) C ($36$); 2) B ($0{,}75$); 3) B ($-17$); 4) C ($216$).

№ 16

Записать величину $81,300$ млн км в стандартном виде. Варианты: A. $81{,}3\cdot 10^{10}$ км; B. $0{,}813\cdot 10^{11}$ км; C. $8{,}13\cdot 10^{10}$ км; D. $8{,}13\cdot 10^{6}$ км.

Как думать. Сначала переведём в километры: «млн» — это $10^{6}$. Потом поставим запятую после первой цифры.

Решение. $81,300$ млн $= 81,300\cdot 10^{6} = 8{,}13\cdot 10^{4}\cdot 10^{6} = 8{,}13\cdot 10^{10}$ км. Варианты A и B не стандартные: у A значащая часть $81{,}3$, у B — $0{,}813$. Вариант D даёт неверный порядок.

Ответ: C ($8{,}13\cdot 10^{10}$ км).

№ 17

Длина полотна лежит в пределах $19\pm 0{,}03$ м. Какую длину полотно иметь не может? Варианты: A. $19{,}02$ м; B. $18{,}97$ м; C. $18{,}96$ м; D. $19{,}03$ м.

Как думать. Запись $19\pm 0{,}03$ значит $18{,}97 \le L \le 19{,}03$. Ищем вариант за границами.

Решение. Нижняя граница $19 - 0{,}03 = 18{,}97$, верхняя $19 + 0{,}03 = 19{,}03$. Числа $19{,}02$, $18{,}97$ и $19{,}03$ лежат в промежутке (границы включены). Число $18{,}96$ меньше $18{,}97$, оно не подходит.

Ответ: C ($18{,}96$ м).

Шпаргалка

Ответы теста:

• Если в задании степень с отрицательным показателем, сначала запиши её дробью.
• Если в задании разные основания ($4$, $8$, $9$, $27$), приведи их к одному.
• Если в задаче проценты и степени, сначала посчитай степени, потом проценты.