§ 11. Многочлены. Степень и стандартный вид многочлена

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 2: Многочлены. Страницы 83–88.

Чему научишься

• Узнавать многочлен, называть его члены, различать двучлен и трёхчлен.
• Приводить подобные члены и записывать многочлен в стандартном виде.
• Находить степень многочлена.
• Считать значение многочлена, предварительно его упростив.
• Располагать члены по возрастанию и убыванию степеней.

Разминка

• Как заменить разность $a-b$ суммой? Прибавить противоположное число: $a+(-b)$.
• Как сложить $3x$ и $5x$? Складываем коэффициенты: $8x$.
• Что такое подобные одночлены? Те, что отличаются только коэффициентами, например $4ab$ и $-ab$.
• Какая степень у $2a^{3}b$? $3+1=4$.
• Что даёт $(-1)^{4}$? Единицу: чётная степень убирает минус.

Разбираемся

Многочлен — это сумма одночленов

Разность $a-b$ и сумма $a+(-b)$ — одно и то же. Такие записи называют алгебраическими суммами. А алгебраическая сумма нескольких одночленов — это многочлен.

Выражения $3+a$, $a^{2}-b^{2}$, $8c+0{,}7d^{2}$, $\frac{2}{9}xy^{2}+z-3$ — многочлены. Одночлены, из которых он составлен, называют его членами. У $25a+\frac{7}{9}xy^{2}-1{,}11n^{4}+10$ четыре члена: $25a$, $\frac{7}{9}xy^{2}$, $-1{,}11n^{4}$ и $10$. Знак перед членом — часть самого члена.

Многочлен из двух членов называют двучленом, из трёх — трёхчленом. Например, $\frac{8}{11}+6c$ и $y^{5}-7{,}3$ — двучлены, а $a^{2}-ab+2$ и $-\frac{5}{7}s-s+s^{3}-k$ при упрощении (после приведения подобных $-\frac{5}{7}s-s$ получится один член) становятся трёхчленом.

⚠️ Частая ошибка. Минус относится к члену, а не «висит» между ними. В $a^{2}-ab+2$ члены такие: $a^{2}$, $-ab$ и $2$.

Приводим подобные: убираем лишние кирпичи

Возьмём $8xy^{2}-1{,}2mx+8{,}3+0{,}7mx-9+mx$. Подобные члены здесь: $-1{,}2mx$, $0{,}7mx$ и $mx$; и ещё числа $8{,}3$ и $-9$.

Многочлен, где каждый член записан в стандартном виде и подобных членов нет, называют многочленом стандартного вида.

📌 Чтобы привести многочлен к стандартному виду: 1) запиши каждый член в стандартном виде; 2) приведи подобные члены.

Степень многочлена

Степень многочлена — наибольшая из степеней его членов, когда многочлен уже в стандартном виде. У $8xy^{2}+0{,}5mx-0{,}7$ степени членов $3$, $2$ и $0$. Значит, степень равна $3$.

⚠️ Частая ошибка. Нельзя искать степень до приведения подобных. В $x^{5}-x^{5}+x^{2}$ после упрощения остаётся $x^{2}$, и степень равна $2$, а не $5$.

Пример из учебника, но с другими числами: $2a\cdot 5b+4ab+3a\cdot(-2b)+b\cdot b$. Члены: $10ab+4ab-6ab+b^{2}$. Приводим: $8ab+b^{2}$. Степень $2$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка проговаривать: «Сначала члены, потом подобные, потом степень». Три шага в одном порядке почти исключают ошибки.

🌟 Слово «многочлен» по-гречески — «поли-ном»: «много имён». Так в старых книгах называли сумму многих слагаемых-«имён».

Проверь себя

• Какое наименьшее число одночленов может содержать многочлен? Как сумма, он имеет минимум два члена. Но одночлен тоже называют многочленом из одного члена.
• Как называется сумма двух, трёх, пяти одночленов? Двучлен, трёхчлен, многочлен из пяти членов (пятичлен).
• Может ли степень многочлена быть нулём или единицей? Да: у числа $5$ степень $0$, у многочлена $2x+1$ степень $1$.
• Пример многочлена второй степени? $x^{2}+3x-1$ или $ab-7$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 11.1

Составь многочлен из одночленов: 1) $a^{2}$; $a$ и $5$; 2) $9x^{3}$; $x$ и $-7$; 3) $0{,}8y$; $-2y$ и $y^{7}$; 4) $-4$; $7b^{3}$ и $d^{4}$; 5) $\frac{4}{15}t^{3}$; $-k$ и $10$; 6) $\frac{19}{5}k^{4}$; $-6{,}3k^{3}$ и $k$.

Как думать. Просто соедини одночлены знаками плюс, члены с минусом несут свой знак.

Решение.

1. $a^{2}+a+5$.
2. $9x^{3}+x-7$.
3. $0{,}8y-2y+y^{7}$.
4. $-4+7b^{3}+d^{4}$.
5. $\frac{4}{15}t^{3}-k+10$.
6. $\frac{19}{5}k^{4}-6{,}3k^{3}+k$.

Ответ: многочлены выше (порядок членов может быть любым).

№ 11.2

Приведи каждый член к стандартному виду и найди степень: 1) $8xy^{4}x^{3}-9x^{3}yy^{7}+10zz^{5}$; 2) $0{,}2a^{5}bb^{6}-1{,}1xyx^{7}+k^{8}t^{2}k$; 3) $\frac{1}{3}8ac^{5}a-3{,}8t^{8}s^{9}s-b^{6}c^{8}b^{10}$; 4) $nm^{10}n^{2}+\frac{2}{5}c^{8}dd^{7}-t^{4}t^{5}t$.

Как думать. У каждого члена сложи показатели одинаковых букв. Степень многочлена — самая большая степень члена.

Решение.

1. $8x^{4}y^{4}-9x^{3}y^{8}+10z^{6}$. Степени членов $8$, $11$, $6$. Степень многочлена $11$.
2. $0{,}2a^{5}b^{7}-1{,}1x^{8}y+k^{9}t^{2}$. Степени $12$, $9$, $11$. Степень $12$.
3. $\frac{8}{3}a^{2}c^{5}-3{,}8t^{8}s^{10}-b^{16}c^{8}$. Степени $7$, $18$, $24$. Степень $24$.
4. $n^{3}m^{10}+\frac{2}{5}c^{8}d^{8}-t^{10}$. Степени $13$, $16$, $10$. Степень $16$.

Ответ: 1) $8x^{4}y^{4}-9x^{3}y^{8}+10z^{6}$, степень $11$; 2) $0{,}2a^{5}b^{7}-1{,}1x^{8}y+k^{9}t^{2}$, $12$; 3) $\frac{8}{3}a^{2}c^{5}-3{,}8t^{8}s^{10}-b^{16}c^{8}$, $24$; 4) $n^{3}m^{10}+\frac{2}{5}c^{8}d^{8}-t^{10}$, $16$.

№ 11.3

Назови каждый член многочлена: 1) $5x^{4}-6a^{2}c+0{,}8y^{5}$; 2) $-40a^{10}+3{,}8cd^{5}-nm^{3}$; 3) $\frac{8}{3}ab^{3}+\frac{10}{17}d^{10}-1{,}2z$; 4) $5c^{5}-\frac{15}{26}xy^{3}+100$.

Решение и ответ. Члены берём вместе со знаками:

1. $5x^{4}$; $-6a^{2}c$; $0{,}8y^{5}$.
2. $-40a^{10}$; $3{,}8cd^{5}$; $-nm^{3}$.
3. $\frac{8}{3}ab^{3}$; $\frac{10}{17}d^{10}$; $-1{,}2z$.
4. $5c^{5}$; $-\frac{15}{26}xy^{3}$; $100$.

№ 11.4

Приведи подобные члены: 1) $13a-2bc+19bc$; 2) $10nm+9x-20nm$; 3) $0{,}7b^{2}+20a+2{,}9b^{2}$; 4) $5xy-34xy+3{,}3a$; 5) $9{,}3c+4{,}5d^{3}-5{,}1d^{3}$; 6) $0{,}8t^{4}+2{,}4c-2{,}1t^{4}$.

Решение.

1. $-2bc+19bc=17bc$: $13a+17bc$.
2. $10nm-20nm=-10nm$: $-10nm+9x$.
3. $0{,}7+2{,}9=3{,}6$: $3{,}6b^{2}+20a$.
4. $5-34=-29$: $-29xy+3{,}3a$.
5. $4{,}5-5{,}1=-0{,}6$: $9{,}3c-0{,}6d^{3}$.
6. $0{,}8-2{,}1=-1{,}3$: $-1{,}3t^{4}+2{,}4c$.

Ответ: 1) $13a+17bc$; 2) $-10nm+9x$; 3) $3{,}6b^{2}+20a$; 4) $-29xy+3{,}3a$; 5) $9{,}3c-0{,}6d^{3}$; 6) $-1{,}3t^{4}+2{,}4c$.

№ 11.5

Приведи подобные члены: 1) $x^{4}+a^{2}-6x^{4}+7a^{2}$; 2) $3y^{3}-ab+8y^{3}+9ab$; 3) $2ab^{2}-nm-5ab^{2}+6nm$; 4) $12c^{2}d-7kt^{2}+8kt^{2}-10c^{2}d$; 5) $a^{8}c+13a^{8}c-a^{2}d$; 6) $4x^{3}y-6an+2{,}1an-7x^{3}y$.

Решение.

1. $-5x^{4}+8a^{2}$.
2. $11y^{3}+8ab$.
3. $-3ab^{2}+5nm$.
4. $2c^{2}d+kt^{2}$.
5. $14a^{8}c-a^{2}d$.
6. $-3x^{3}y-3{,}9an$.

Ответ: 1) $-5x^{4}+8a^{2}$; 2) $11y^{3}+8ab$; 3) $-3ab^{2}+5nm$; 4) $2c^{2}d+kt^{2}$; 5) $14a^{8}c-a^{2}d$; 6) $-3x^{3}y-3{,}9an$.

№ 11.6

Приведи подобные члены: 1) $8\frac{2}{3}x^{3}-16ay^{2}+9ay^{2}-9x^{3}$; 2) $27a^{2}z-24{,}89a^{2}z+3\frac{1}{5}y^{2}-15y^{2}$; 3) $3{,}12ab+7\frac{5}{6}m^{3}-4\frac{1}{6}m^{3}+16{,}82ab$; 4) $19{,}2x^{2}-30\frac{1}{9}kt+31kt-20x^{2}$.

Решение.

1. $8\frac{2}{3}-9=-\frac{1}{3}$; $-16+9=-7$: $-\frac{1}{3}x^{3}-7ay^{2}$.
2. $27-24{,}89=2{,}11$; $3\frac{1}{5}-15=-11\frac{4}{5}$: $2{,}11a^{2}z-11\frac{4}{5}y^{2}$.
3. $3{,}12+16{,}82=19{,}94$; $7\frac{5}{6}-4\frac{1}{6}=3\frac{4}{6}=3\frac{2}{3}$: $19{,}94ab+3\frac{2}{3}m^{3}$.
4. $19{,}2-20=-0{,}8$; $-30\frac{1}{9}+31=\frac{8}{9}$: $-0{,}8x^{2}+\frac{8}{9}kt$.

Ответ: 1) $-\frac{1}{3}x^{3}-7ay^{2}$; 2) $2{,}11a^{2}z-11\frac{4}{5}y^{2}$; 3) $19{,}94ab+3\frac{2}{3}m^{3}$; 4) $-0{,}8x^{2}+\frac{8}{9}kt$.

Уровень B

№ 11.7

Найди значение: 1) $a^{3}b-5a^{3}b+3a^{3}b$ при $a=-6$, $b=-1$; 2) $-xy^{4}+6xy^{4}-4xy^{4}$ при $x=-7$, $y=1$; 3) $0{,}17ab^{2}-ab^{2}+0{,}73ab^{2}$ при $a=-5$, $b=-2$; 4) $4{,}05x^{3}y^{2}-5x^{3}y^{2}+1{,}95x^{3}y^{2}$ при $x=2$, $y=-2$.

Как думать. Сначала приведи подобные (у всех членов одна буквенная часть), потом подставь.

Решение.

1. $(1-5+3)a^{3}b=-a^{3}b=-(-216)(-1)=-216$.
2. $(-1+6-4)xy^{4}=xy^{4}=-7\cdot 1=-7$.
3. $(0{,}17-1+0{,}73)ab^{2}=-0{,}1ab^{2}$; $ab^{2}=-5\cdot 4=-20$; значение $2$.
4. $(4{,}05-5+1{,}95)x^{3}y^{2}=1\cdot x^{3}y^{2}=8\cdot 4=32$.

Ответ: 1) $-216$; 2) $-7$; 3) $2$; 4) $32$.

№ 11.8

Представь в стандартном виде и назови степени: 1) $22a^{2}-40a^{3}+18a^{2}+29a^{3}+a^{4}$; 2) $-7b^{5}-13b^{6}+15-9b^{5}+34b^{6}$; 3) $41c^{2}+62c^{3}-99-42c^{2}+38c^{3}$; 4) $-52k+k^{4}-18k^{4}+52-k$; 5) $7{,}8x+9{,}1y^{2}-x+1{,}9y^{2}-8{,}7y^{2}$; 6) $0{,}246z^{3}-15{,}2t+16t-z^{3}-0{,}94$; 7) $-29{,}1c^{2}+0{,}17d^{3}-d^{3}+30c^{2}-1{,}1d^{3}$; 8) $40{,}4a^{3}-b^{4}+2{,}6a^{3}-44a^{3}+0{,}73b^{4}$.

Решение.

1. $a^{4}-11a^{3}+40a^{2}$; степень $4$.
2. $21b^{6}-16b^{5}+15$; степень $6$.
3. $100c^{3}-c^{2}-99$; степень $3$.
4. $-17k^{4}-53k+52$; степень $4$.
5. $2{,}3y^{2}+6{,}8x$; степень $2$.
6. $-0{,}754z^{3}+0{,}8t-0{,}94$; степень $3$.
7. $-1{,}93d^{3}+0{,}9c^{2}$; степень $3$.
8. $-a^{3}-0{,}27b^{4}$; степень $4$ (у $a^{3}$: $40{,}4+2{,}6-44=-1$; у $b^{4}$: $-1+0{,}73=-0{,}27$).

Ответ: 1) $a^{4}-11a^{3}+40a^{2}$, 4; 2) $21b^{6}-16b^{5}+15$, 6; 3) $100c^{3}-c^{2}-99$, 3; 4) $-17k^{4}-53k+52$, 4; 5) $2{,}3y^{2}+6{,}8x$, 2; 6) $-0{,}754z^{3}+0{,}8t-0{,}94$, 3; 7) $-1{,}93d^{3}+0{,}9c^{2}$, 3; 8) $-a^{3}-0{,}27b^{4}$, 4.

№ 11.9

То же: 1) $1\frac{3}{7}b^{2}-10a^{3}-\frac{2}{3}b^{2}-\frac{3}{7}b^{2}+9a^{3}$; 2) $-8{,}5c^{4}+17b+6\frac{2}{3}c^{4}+\frac{5}{6}c^{4}-19b$; 3) $2\frac{2}{3}t^{5}+40a^{2}-3\frac{4}{9}t^{5}-41a^{2}+1\frac{1}{3}t^{5}$; 4) $-\frac{6}{7}k^{6}-8{,}8d^{4}+2\frac{6}{11}k^{6}+9d^{4}-\frac{9}{11}k^{6}$.

Как думать. Для дробей приводи к общему знаменателю.

Решение.

1. $b^{2}$: $\frac{10}{7}-\frac{2}{3}-\frac{3}{7}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$; $a^{3}$: $-10+9=-1$. Итог: $\frac{1}{3}b^{2}-a^{3}$, степень $3$.
2. $c^{4}$: $-\frac{51}{6}+\frac{40}{6}+\frac{5}{6}=-1$; $b$: $17-19=-2$. Итог: $-c^{4}-2b$, степень $4$.
3. $t^{5}$: $\frac{24}{9}-\frac{31}{9}+\frac{12}{9}=\frac{5}{9}$; $a^{2}$: $40-41=-1$. Итог: $\frac{5}{9}t^{5}-a^{2}$, степень $5$.
4. $k^{6}$: $-\frac{6}{7}+\frac{28}{11}-\frac{9}{11}=-\frac{6}{7}+\frac{19}{11}=\frac{-66+133}{77}=\frac{67}{77}$; $d^{4}$: $-8{,}8+9=0{,}2$. Итог: $\frac{67}{77}k^{6}+0{,}2d^{4}$, степень $6$.

Ответ: 1) $\frac{1}{3}b^{2}-a^{3}$, 3; 2) $-c^{4}-2b$, 4; 3) $\frac{5}{9}t^{5}-a^{2}$, 5; 4) $\frac{67}{77}k^{6}+0{,}2d^{4}$, 6.

№ 11.10

Найди значения многочленов: 1) $5x^{3}-8x^{5}+44-10x^{3}+7x^{5}-68$ при $x=-2$; 2) $-7y^{2}+13y^{6}-71+3y^{2}+59-11y^{6}$ при $y=3$; 3) $37+12a^{4}-a^{3}-40+4a^{3}+10a^{4}$ при $a=-3$; 4) $-100-29b^{3}+51b^{6}-52b^{6}+27b^{3}+200$ при $b=2$; 5) $\frac{1}{3}x^{4}+\frac{7}{9}x^{3}-2{,}5-x^{3}-x^{4}+6$ при $x=1$; 6) $72-\frac{4}{5}a^{5}+\frac{3}{4}a^{3}+\frac{2}{5}a^{5}-a^{3}-69$ при $a=-1$; 7) $80{,}3+\frac{3}{8}y^{2}-79{,}4-y^{2}-\frac{5}{6}y^{3}+y^{3}$ при $y=-1$; 8) $-\frac{11}{17}b^{5}+99{,}1+\frac{8}{13}b+b^{5}-\frac{5}{13}b-100$ при $b=1$.

Решение. Упрощаем, затем подставляем.

1. $-x^{5}-5x^{3}-24$; при $x=-2$: $32+40-24=48$.
2. $2y^{6}-4y^{2}-12$; при $y=3$: $1458-36-12=1410$.
3. $22a^{4}+3a^{3}-3$; при $a=-3$: $1782-81-3=1698$.
4. $-b^{6}-2b^{3}+100$; при $b=2$: $-64-16+100=20$.
5. $-\frac{2}{3}x^{4}-\frac{2}{9}x^{3}+3{,}5$; при $x=1$: $-\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\frac{7}{2}=\frac{47}{18}=2\frac{11}{18}$.
6. $-\frac{2}{5}a^{5}-\frac{1}{4}a^{3}+3$; при $a=-1$: $\frac{2}{5}+\frac{1}{4}+3=3{,}65$.
7. $0{,}9-\frac{5}{8}y^{2}+\frac{1}{6}y^{3}$; при $y=-1$: $0{,}9-\frac{5}{8}-\frac{1}{6}=\frac{13}{120}$.
8. $\frac{6}{17}b^{5}+\frac{3}{13}b-0{,}9$; при $b=1$: $\frac{6}{17}+\frac{3}{13}-\frac{9}{10}=\frac{129}{221}-\frac{9}{10}=-\frac{699}{2210}$.

Ответ: 1) $48$; 2) $1410$; 3) $1698$; 4) $20$; 5) $2\frac{11}{18}$; 6) $3{,}65$; 7) $\frac{13}{120}$; 8) $-\frac{699}{2210}$.

№ 11.11

Найди значение: 1) $0{,}7ab-49+a-1{,}2ab+47$ при $a=\frac{2}{3}$, $b=\frac{9}{16}$; 2) $53-5{,}3xy-y+4{,}8xy-6y$ при $x=\frac{4}{13}$, $y=\frac{13}{7}$; 3) $mn+8m+9{,}2n-9mn-10n$ при $m=\frac{3}{4}$, $n=\frac{5}{8}$; 4) $13{,}2c+d-cd-10d-8cd$ при $c=\frac{5}{3}$, $d=\frac{14}{3}$.

Как думать. Хитрость: произведение $ab$ или $xy$ часто красиво считается целиком.

Решение.

1. $-0{,}5ab+a-2$. $ab=\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{16}=\frac{3}{8}$: $-\frac{3}{16}+\frac{2}{3}-2=\frac{-9+32-96}{48}=-\frac{73}{48}=-1\frac{25}{48}$.
2. $53-0{,}5xy-7y$. $xy=\frac{4}{7}$: $53-\frac{2}{7}-13=40-\frac{2}{7}=39\frac{5}{7}$.
3. $-8mn+8m-0{,}8n$. $mn=\frac{15}{32}$: $-\frac{15}{4}+6-\frac{1}{2}=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$.
4. $13{,}2c-9d-9cd$. $13{,}2\cdot\frac{5}{3}=22$; $9d=42$; $cd=\frac{70}{9}$, $9cd=70$: $22-42-70=-90$.

Ответ: 1) $-1\frac{25}{48}$; 2) $39\frac{5}{7}$; 3) $1\frac{3}{4}$; 4) $-90$.

№ 11.12

Известно, что $A=x^{5}-x^{10}+6x^{5}-3x^{10}$, $B=12x^{3}-8x^{6}-13x^{6}+7x^{3}$. Докажи, что при $x=1$ значение $A+B$ равно наименьшему натуральному числу.

Как думать. Приведи подобные в $A$ и $B$, подставь $x=1$ и сложи. Наименьшее натуральное число — единица.

Решение. $A=7x^{5}-4x^{10}$, при $x=1$: $7-4=3$. $B=19x^{3}-21x^{6}$, при $x=1$: $19-21=-2$. $A+B=3+(-2)=1$.

Ответ: $A+B=1$ — наименьшее натуральное число, что и требовалось доказать.

Уровень C

Дальше — на аккуратность: попробуй сам, прежде чем читать решение.

№ 11.13

Расположи члены по возрастанию степеней: 1) $x^{2}-3x^{4}+5x^{5}+x$; 2) $-1{,}7y^{5}+2{,}8y^{4}+y-y^{6}$; 3) $11a+11-a^{5}+1{,}9a^{4}$; 4) $4{,}8b^{6}-b^{8}-10b+b^{2}$.

Решение. Сначала меньшая степень, потом большая.

1. $x+x^{2}-3x^{4}+5x^{5}$.
2. $y+2{,}8y^{4}-1{,}7y^{5}-y^{6}$.
3. $11+11a+1{,}9a^{4}-a^{5}$.
4. $-10b+b^{2}+4{,}8b^{6}-b^{8}$.

Ответ: 1) $x+x^{2}-3x^{4}+5x^{5}$; 2) $y+2{,}8y^{4}-1{,}7y^{5}-y^{6}$; 3) $11+11a+1{,}9a^{4}-a^{5}$; 4) $-10b+b^{2}+4{,}8b^{6}-b^{8}$.

№ 11.14

Расположи члены по убыванию степеней: 1) $6x^{8}-7x^{7}+9x^{11}+x^{10}$; 2) $-1{,}7y^{5}+2{,}8y^{4}+y-y^{6}$; 3) $-10+b^{2}-4b^{3}-5b+b^{5}$; 4) $2x^{3}-3x^{2}-8x^{9}-7x^{8}$.

Решение. Сначала большая степень.

1. $9x^{11}+x^{10}+6x^{8}-7x^{7}$.
2. $-y^{6}-1{,}7y^{5}+2{,}8y^{4}+y$.
3. $b^{5}-4b^{3}+b^{2}-5b-10$.
4. $-8x^{9}-7x^{8}+2x^{3}-3x^{2}$.

Ответ: 1) $9x^{11}+x^{10}+6x^{8}-7x^{7}$; 2) $-y^{6}-1{,}7y^{5}+2{,}8y^{4}+y$; 3) $b^{5}-4b^{3}+b^{2}-5b-10$; 4) $-8x^{9}-7x^{8}+2x^{3}-3x^{2}$.

№ 11.15

Сравни значения многочленов: 1) $2{,}25x^{3}-16x^{2}$ и $-2{,}5x^{4}+3x^{3}$ при $x=-2$; 2) $3{,}6x^{3}-1{,}875x^{4}$ и $0{,}125x^{5}-x^{9}$ при $x=2$; 3) $1{,}9b^{7}-b^{6}-2b^{7}$ и $-2{,}4b^{4}+b^{5}+2{,}3b^{4}$ при $b=-1$; 4) $\frac{1}{3}a^{10}+\frac{2}{7}a^{7}-\frac{2}{3}a^{10}$ и $\frac{6}{7}a^{9}-a^{8}-\frac{2}{7}a^{9}$ при $a=-1$.

Решение. Считаем оба значения и сравниваем.

1. $x=-2$: $2{,}25\cdot(-8)-16\cdot 4=-18-64=-82$; $-2{,}5\cdot 16+3\cdot(-8)=-40-24=-64$. $-82<-64$.
2. $x=2$: $3{,}6\cdot 8-1{,}875\cdot 16=28{,}8-30=-1{,}2$; $0{,}125\cdot 32-512=4-512=-508$. $-1{,}2>-508$.
3. $b=-1$: $-1{,}9-1+2=-0{,}9$; $-2{,}4-1+2{,}3=-1{,}1$. $-0{,}9>-1{,}1$.
4. $a=-1$: $\frac{1}{3}-\frac{2}{7}-\frac{2}{3}=-\frac{13}{21}$; $-\frac{6}{7}-1+\frac{2}{7}=-\frac{11}{7}=-\frac{33}{21}$. $-\frac{13}{21}>-\frac{33}{21}$.

Ответ: 1) первое меньше; 2) первое больше; 3) первое больше; 4) первое больше.

№ 11.16

Докажи, что при заданных значениях переменных значения многочленов равны: 1) $11\frac{1}{9}ab^{2}-18\frac{2}{3}ab^{2}+5\frac{1}{6}ab^{2}+\frac{8}{9}ab^{2}+26{,}6$ и $47{,}8a^{2}b-6{,}3a^{2}b-40{,}5a^{2}b-\frac{6}{7}a^{2}b$ при $a=0{,}7$, $b=5$; 2) $2{,}2c^{3}d^{2}-2\frac{1}{3}c^{3}d^{2}+\frac{7}{15}c^{3}d^{2}$ и $2\frac{2}{9}c^{4}d-2{,}5c^{4}d+\frac{1}{18}c^{4}d$ при $c=3$, $d=-2$.

Как думать. «Докажи» значит: посчитай оба значения и покажи, что они совпали.

Решение.

1. Первый: $11\frac{1}{9}+\frac{8}{9}=12$; $12-18\frac{2}{3}+5\frac{1}{6}=-1\frac{1}{2}$. Получаем $-1{,}5ab^{2}+26{,}6$. При $a=0{,}7$, $b=5$: $ab^{2}=17{,}5$, значение $-26{,}25+26{,}6=0{,}35$. Второй: $47{,}8-6{,}3-40{,}5=1$; $1-\frac{6}{7}=\frac{1}{7}$, то есть $\frac{1}{7}a^{2}b$. $a^{2}b=0{,}49\cdot 5=2{,}45$, значение $0{,}35$. Оба $0{,}35$, равенство доказано.
2. Первый: $\frac{11}{5}-\frac{7}{3}+\frac{7}{15}=\frac{33-35+7}{15}=\frac{1}{3}$, то есть $\frac{1}{3}c^{3}d^{2}=\frac{1}{3}\cdot 27\cdot 4=36$. Второй: $\frac{20}{9}-\frac{5}{2}+\frac{1}{18}=\frac{40-45+1}{18}=-\frac{2}{9}$, то есть $-\frac{2}{9}c^{4}d=-\frac{2}{9}\cdot 81\cdot(-2)=36$. Оба $36$.

Ответ: 1) оба значения $0{,}35$; 2) оба значения $36$.

Готовимся к следующей теме

№ 11.17

Даны одночлены $17ya^{3}$; $-8ya^{3}$; $3a^{2}n^{3}$; $4$; $12xy^{5}$; $a^{2}n^{3}$; $-5xy^{5}$. Назови одночлены, отличающиеся только коэффициентами.

Решение. Ищем одинаковую буквенную часть.

• $17ya^{3}$ и $-8ya^{3}$ — часть $ya^{3}$.
• $3a^{2}n^{3}$ и $a^{2}n^{3}$ — часть $a^{2}n^{3}$.
• $12xy^{5}$ и $-5xy^{5}$ — часть $xy^{5}$. Число $4$ пары не имеет.

Ответ: $17ya^{3}$ и $-8ya^{3}$; $3a^{2}n^{3}$ и $a^{2}n^{3}$; $12xy^{5}$ и $-5xy^{5}$.

№ 11.18

Запиши многочлен, противоположный многочлену: 1) $x^{2}-3x+5a$; 2) $y-2x+3$; 3) $-y^{2}-3a^{3}-5$; 4) $8a^{4}-3a+5$.

Как думать. Противоположный многочлен получается заменой знаков всех членов.

Решение и ответ.

1. $-x^{2}+3x-5a$.
2. $-y+2x-3$, то есть $2x-y-3$.
3. $y^{2}+3a^{3}+5$.
4. $-8a^{4}+3a-5$.

Шпаргалка

• Порядок: члены в стандартный вид, подобные, степень.
• Подставляй числа только после упрощения.
• Дроби и смешанные числа приводи к общему знаменателю.

Мини-тест