§ 13. Умножение многочленов

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 2: Многочлены. Страницы 93–97.

Чему научишься

• Умножать многочлен на одночлен: каждый член скобки умножается на этот одночлен.
• Умножать многочлен на многочлен по правилу «каждый с каждым».
• Приводить подобные слагаемые после раскрытия скобок и упрощать выражения.
• Находить значения выражений, решать уравнения и неравенства, где сначала надо раскрыть скобки.
• Доказывать тождества: приводить левую часть к правой.

Разминка

• Как раскрыть скобки в $3(a+b)$? По распределительному свойству: $3a+3b$. Число умножаем на каждое слагаемое.
• Чему равно $x\cdot x^{2}$? $x^{3}$: показатели при умножении степеней с одним основанием складываются.
• Как перемножить одночлены $-2ab$ и $5a^{2}$? Отдельно числа и отдельно буквы: $-10a^{3}b$.
• Что значит «привести подобные»? Сложить слагаемые с одинаковой буквенной частью: $5x+3x=8x$.
• Как выглядит многочлен в стандартном виде? Это сумма одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных.

Разбираемся

Скобка на одночлен

Представь: в кондитерской Алматы в каждой коробке лежат $a$ шоколадок и $b$ карамелек. Берём $x$ таких коробок. Всего сладостей: $x(a+b)=xa+xb$. Шоколадки считаем отдельно, карамельки отдельно.

📌 Чтобы умножить многочлен на одночлен, умножь каждый член многочлена на этот одночлен и сложи результаты.

Например: $(30a-7b)\cdot0{,}4x=30a\cdot0{,}4x-7b\cdot0{,}4x=12ax-2{,}8bx$.

⚠️ Частая ошибка. Умножают только первое слагаемое: $2(x+5)=2x+5$. Нет! Двойка «здоровается» со всеми: $2x+10$.

Скобка на скобку: «каждый с каждым»

Чтобы перемножить $(a+c)$ и $(a^{2}-c^{3}+5)$, сначала считаем $(a+c)$ одним числом $x$. Раскрываем по уже знакомому правилу, потом возвращаем $a+c$ на место и раскрываем ещё раз. Получается: каждый член первой скобки умножили на каждый член второй.

📌 Чтобы умножить многочлен на многочлен, умножь каждый член одного на каждый член другого и сложи все произведения. Потом приведи подобные.

Посмотри на площадь прямоугольника со сторонами $x+3$ и $x+2$ (здесь $x=4$). Он разрезан на четыре части, и площадь всего прямоугольника равна сумме площадей частей.

Итого $(x+3)(x+2)=x^{2}+3x+2x+6=x^{2}+5x+6$. Четыре произведения, потому что $2\cdot2=4$ члена. Для трёхчлена на двучлен будет $3\cdot2=6$ произведений.

💡 Перед тем как приводить подобные, посчитай, сколько слагаемых должно получиться: сколько членов в первой скобке, умножь на сколько во второй. Так не потеряешь ни одного.

Пошагово: трёхчлен на двучлен

👨‍👩‍👧 Родителю. Хорошая проверка любого ответа: подставьте вместо буквы небольшое число (например, 1 или 2) в начальное выражение и в результат. Если значения разные, где-то ошибка в знаках.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как умножить многочлен на одночлен? Каждый член многочлена умножить на одночлен и сложить полученные произведения.
• Как умножить двучлен на двучлен? Каждый член первого умножить на каждый член второго: получится четыре произведения. Потом привести подобные.
• Как умножить трёхчлен на двучлен? Так же: шесть произведений, потом приведение подобных.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 13.1

Запиши произведения в виде многочленов: 1) $a(a-c+1)$; 2) $-c(m+n-3)$; 3) $5x(x+y^{2}-5)$; 4) $4y(y+x^{2}-6)$; 5) $-xy(3y^{2}+2x)$; 6) $mn(7-m+8n^{2})$; 7) $2^{2}xy(4x-3y+5xy)$; 8) $-3a^{2}b(2a+5b-7ab)$.

Как думать. Одночлен перед скобкой умножаем на каждый член в скобке. Следи за знаками.

Решение.

1. $a\cdot a-a\cdot c+a\cdot1=a^{2}-ac+a$.
2. $-cm-cn+3c$.
3. $5x^{2}+5xy^{2}-25x$.
4. $4y^{2}+4x^{2}y-24y$.
5. $-xy\cdot3y^{2}=-3xy^{3}$ и $-xy\cdot2x=-2x^{2}y$.
6. $7mn-m^{2}n+8mn^{3}$.
7. $2^{2}=4$, поэтому $4xy\cdot4x=16x^{2}y$, $4xy\cdot(-3y)=-12xy^{2}$, $4xy\cdot5xy=20x^{2}y^{2}$.
8. $-3a^{2}b\cdot2a=-6a^{3}b$; $-3a^{2}b\cdot5b=-15a^{2}b^{2}$; $-3a^{2}b\cdot(-7ab)=+21a^{3}b^{2}$.

Ответ: 1) $a^{2}-ac+a$; 2) $-cm-cn+3c$; 3) $5x^{2}+5xy^{2}-25x$; 4) $4x^{2}y+4y^{2}-24y$; 5) $-3xy^{3}-2x^{2}y$; 6) $7mn-m^{2}n+8mn^{3}$; 7) $16x^{2}y-12xy^{2}+20x^{2}y^{2}$; 8) $-6a^{3}b-15a^{2}b^{2}+21a^{3}b^{2}$.

№ 13.2

Запиши произведения двучленов в виде многочленов: 1) $(x-a)(x+y)$; 2) $(a+z)(n-m)$; 3) $(t+s)(b+k)$; 4) $(c-d)(x-y)$; 5) $(a+2)(b-3)$; 6) $(4-b)(5+c)$; 7) $(d-4)(t+5)$; 8) $(k-6)(7-d)$.

Как думать. Четыре произведения в каждом примере: первый с первым, первый со вторым, второй с первым, второй со вторым.

Решение.

1. $x\cdot x+x\cdot y-a\cdot x-a\cdot y=x^{2}+xy-ax-ay$.
2. $an-am+zn-zm$.
3. $tb+tk+sb+sk$.
4. $cx-cy-dx+dy$.
5. $ab-3a+2b-6$.
6. $20+4c-5b-bc$.
7. $dt+5d-4t-20$.
8. $7k-kd-42+6d$.

Ответ: 1) $x^{2}+xy-ax-ay$; 2) $an-am+zn-zm$; 3) $bt+kt+bs+ks$; 4) $cx-cy-dx+dy$; 5) $ab-3a+2b-6$; 6) $20+4c-5b-bc$; 7) $dt+5d-4t-20$; 8) $7k-dk-42+6d$.

№ 13.3

Перемножь и приведи подобные: 1) $(x-7)(x+8)$; 2) $(9-y)(y+5)$; 3) $(a+6)(4-a)$; 4) $(2-b)(b+3)$; 5) $(10-c)(9-c)$; 6) $(d+3)(d+11)$.

Как думать. Здесь после раскрытия появятся подобные слагаемые с одной буквой: их складываем.

Решение.

1. $x^{2}+8x-7x-56=x^{2}+x-56$.
2. $9y+45-y^{2}-5y=-y^{2}+4y+45$.
3. $4a-a^{2}+24-6a=-a^{2}-2a+24$.
4. $2b+6-b^{2}-3b=-b^{2}-b+6$.
5. $90-10c-9c+c^{2}=c^{2}-19c+90$.
6. $d^{2}+11d+3d+33=d^{2}+14d+33$.

Ответ: 1) $x^{2}+x-56$; 2) $-y^{2}+4y+45$; 3) $-a^{2}-2a+24$; 4) $-b^{2}-b+6$; 5) $c^{2}-19c+90$; 6) $d^{2}+14d+33$.

№ 13.4

Выполни умножение: 1) $(b+3)(b^{2}-b-7)$; 2) $(2-a)(16-a+a^{2})$; 3) $(a+4)(a^{2}+a-2)$; 4) $(5-b)(4-b-b^{2})$; 5) $(3xy-4)(6+xy)$; 6) $(4nm+3)(nm-8)$.

Как думать. Двучлен на трёхчлен: шесть произведений. Выписывай их по порядку, потом приводи подобные.

Решение.

1. $b^{3}-b^{2}-7b+3b^{2}-3b-21=b^{3}+2b^{2}-10b-21$.
2. $32-2a+2a^{2}-16a+a^{2}-a^{3}=-a^{3}+3a^{2}-18a+32$.
3. $a^{3}+a^{2}-2a+4a^{2}+4a-8=a^{3}+5a^{2}+2a-8$.
4. $20-5b-5b^{2}-4b+b^{2}+b^{3}=b^{3}-4b^{2}-9b+20$.
5. $18xy+3x^{2}y^{2}-24-4xy=3x^{2}y^{2}+14xy-24$.
6. $4n^{2}m^{2}-32nm+3nm-24=4n^{2}m^{2}-29nm-24$.

Ответ: 1) $b^{3}+2b^{2}-10b-21$; 2) $-a^{3}+3a^{2}-18a+32$; 3) $a^{3}+5a^{2}+2a-8$; 4) $b^{3}-4b^{2}-9b+20$; 5) $3x^{2}y^{2}+14xy-24$; 6) $4m^{2}n^{2}-29mn-24$.

№ 13.5

Перемножь: 1) $(a^{3}-2a-4)(-a+5)$; 2) $(7b-20)(2-b+4b^{2})$; 3) $(-3c^{2}+c-9)(5c+6)$; 4) $(4-3d+2d^{2})(1-7d)$.

Как думать. Трёхчлен на двучлен. Здесь особенно легко ошибиться со знаком «минус», поэтому выписывай каждое произведение отдельно.

Решение.

1. $-a^{4}+5a^{3}+2a^{2}-10a+4a-20=-a^{4}+5a^{3}+2a^{2}-6a-20$.
2. $14b-7b^{2}+28b^{3}-40+20b-80b^{2}=28b^{3}-87b^{2}+34b-40$.
3. $-15c^{3}-18c^{2}+5c^{2}+6c-45c-54=-15c^{3}-13c^{2}-39c-54$.
4. $4-28d-3d+21d^{2}+2d^{2}-14d^{3}=-14d^{3}+23d^{2}-31d+4$.

Ответ: 1) $-a^{4}+5a^{3}+2a^{2}-6a-20$; 2) $28b^{3}-87b^{2}+34b-40$; 3) $-15c^{3}-13c^{2}-39c-54$; 4) $-14d^{3}+23d^{2}-31d+4$.

№ 13.6

Перемножь: 1) $(ab+7)(8-ab)$; 2) $(xy+11)(xy-12)$; 3) $(1{,}5-6nm)(8nm+2{,}5)$; 4) $(9st-1{,}6)(10+1{,}8st)$.

Как думать. Можно считать $ab$ одной буквой, например $u$. Тогда $(u+7)(8-u)$ — совсем простой пример.

Решение.

1. $8ab-a^{2}b^{2}+56-7ab=-a^{2}b^{2}+ab+56$.
2. $x^{2}y^{2}-12xy+11xy-132=x^{2}y^{2}-xy-132$.
3. $12nm+3{,}75-48n^{2}m^{2}-15nm=-48n^{2}m^{2}-3nm+3{,}75$.
4. $90st+16{,}2s^{2}t^{2}-16-2{,}88st=16{,}2s^{2}t^{2}+87{,}12st-16$.

Ответ: 1) $-a^{2}b^{2}+ab+56$; 2) $x^{2}y^{2}-xy-132$; 3) $-48m^{2}n^{2}-3mn+3{,}75$; 4) $16{,}2s^{2}t^{2}+87{,}12st-16$.

№ 13.7

Упрости выражение: 1) $8(3n-2m)-5(2n-m)$; 2) $-11(4x+3y)-9(2y-3x)$; 3) $-1{,}2(5x-6y)+1{,}4(5y-3x)$; 4) $(x-4a)(5a+8x)-(6a-7x)(3x-2a)$; 5) $(6c+d)(8c-9d)+(-10d+2c)(11c-4d)$; 6) $\left(\frac{2}{3}b-5k\right)(6k-0{,}3b)-\left(3k+\frac{5}{6}b\right)(6b-1{,}8k)$; 7) $\left(\frac{1}{7}x-\frac{1}{8}y\right)(7y-8x)+\left(\frac{1}{7}y-\frac{1}{8}x\right)(7x-8y)$.

Как думать. Сначала раскрой все скобки, потом приведи подобные. Если перед скобкой минус, меняй знаки всех членов.

Решение.

1. $24n-16m-10n+5m=14n-11m$.
2. $-44x-33y-18y+27x=-17x-51y$.
3. $-6x+7{,}2y+7y-4{,}2x=-10{,}2x+14{,}2y$.
4. Первое: $5ax+8x^{2}-20a^{2}-32ax=8x^{2}-27ax-20a^{2}$. Второе: $18ax-12a^{2}-21x^{2}+14ax=-21x^{2}+32ax-12a^{2}$. Вычитаем: $8x^{2}-27ax-20a^{2}+21x^{2}-32ax+12a^{2}=29x^{2}-59ax-8a^{2}$.
5. Первое: $48c^{2}-54cd+8cd-9d^{2}=48c^{2}-46cd-9d^{2}$. Второе: $22c^{2}-8cd-110cd+40d^{2}=22c^{2}-118cd+40d^{2}$. Сумма: $70c^{2}-164cd+31d^{2}$.
6. Первое: $4bk-0{,}2b^{2}-30k^{2}+1{,}5bk=-0{,}2b^{2}+5{,}5bk-30k^{2}$. Второе: $18bk-5{,}4k^{2}+5b^{2}-1{,}5bk=5b^{2}+16{,}5bk-5{,}4k^{2}$. Разность: $-5{,}2b^{2}-11bk-24{,}6k^{2}$.
7. Первое: $xy-\frac{8}{7}x^{2}-\frac{7}{8}y^{2}+xy$. Второе: $xy-\frac{8}{7}y^{2}-\frac{7}{8}x^{2}+xy$. Сумма: $4xy-\left(\frac{8}{7}+\frac{7}{8}\right)(x^{2}+y^{2})=4xy-\frac{113}{56}x^{2}-\frac{113}{56}y^{2}$, то есть $4xy-2\frac{1}{56}x^{2}-2\frac{1}{56}y^{2}$.

Ответ: 1) $14n-11m$; 2) $-17x-51y$; 3) $-10{,}2x+14{,}2y$; 4) $29x^{2}-8a^{2}-59ax$; 5) $70c^{2}-164cd+31d^{2}$; 6) $-5{,}2b^{2}-11bk-24{,}6k^{2}$; 7) $4xy-2\frac{1}{56}x^{2}-2\frac{1}{56}y^{2}$.

№ 13.8

Найди значение выражения: 1) $8a^{2}(a-5)-4a(a^{2}-7)$ при $a=3$; 2) $b(-9b^{2}+1)+3b(3b^{2}+b)$ при $b=-2$; 3) $(3x-4)(8x+2)-24x^{2}-2$ при $x=2$; 4) $(c^{2}+3)(c-9)-c^{2}(c-6)$ при $c=-5$.

Как думать. Выгоднее сначала упростить, а потом подставлять: числа получатся меньше.

Решение.

1. $8a^{3}-40a^{2}-4a^{3}+28a=4a^{3}-40a^{2}+28a$. При $a=3$: $108-360+84=-168$.
2. $-9b^{3}+b+9b^{3}+3b^{2}=3b^{2}+b$. При $b=-2$: $12-2=10$.
3. $24x^{2}+6x-32x-8-24x^{2}-2=-26x-10$. При $x=2$: $-52-10=-62$.
4. $c^{3}-9c^{2}+3c-27-c^{3}+6c^{2}=-3c^{2}+3c-27$. При $c=-5$: $-75-15-27=-117$.

Ответ: 1) $-168$; 2) $10$; 3) $-62$; 4) $-117$.

№ 13.9

Реши уравнение: 1) $3x(x^{2}-8)-3x^{3}=12$; 2) $(x+8)(5x-6)-20=5x^{2}$; 3) $18y^{3}-2y(1+9y^{2})=6{,}5$; 4) $53-8y(1-3y)=24y^{2}$.

Как думать. Раскрываем скобки. Старшие степени (с $x^{3}$ или $x^{2}$) сократятся, и останется простое уравнение.

Решение.

1. $3x^{3}-24x-3x^{3}=12$, то есть $-24x=12$, $x=-0{,}5$.
2. $5x^{2}-6x+40x-48-20=5x^{2}$, то есть $34x=68$, $x=2$.
3. $18y^{3}-2y-18y^{3}=6{,}5$, то есть $-2y=6{,}5$, $y=-3{,}25$.
4. $53-8y+24y^{2}=24y^{2}$, то есть $8y=53$, $y=\frac{53}{8}=6\frac{5}{8}$.

Ответ: 1) $-0{,}5$; 2) $2$; 3) $-3{,}25$; 4) $6\frac{5}{8}$.

№ 13.10

Даны $A=6a^{3}-5$, $B=a$, $C=a^{4}-2$. 1) Составь выражение $A\cdot B-6C$. 2) Реши неравенство $A\cdot B-6\cdot C\le12$. 3) Найди наименьшее целое число, которое подходит.

Как думать. Подставляем многочлены вместо букв. После упрощения неравенство станет совсем простым.

Решение.

1. $A\cdot B-6C=(6a^{3}-5)a-6(a^{4}-2)=6a^{4}-5a-6a^{4}+12=12-5a$.
2. $12-5a\le12$, значит $-5a\le0$. Делим на $-5$ и меняем знак неравенства: $a\ge0$.
3. Целые числа от $0$ и выше. Наименьшее — $0$.

Ответ: 1) $12-5a$; 2) $a\ge0$, то есть $[0;+\infty)$; 3) $0$.

Уровень B

№ 13.11

Реши неравенство: 1) $0{,}8x(5x-0{,}8)+0{,}04x\le4x^{2}-12$; 2) $9x^{2}-11\ge9x(x-2)-3$; 3) $(4x-5)(6-3x)-4<(1-2x)(7+6x)$; 4) $(1{,}8x+1)(5x-1)-2{,}2x>9x^{2}-4$.

Как думать. Как и в уравнениях: раскрой скобки, перенеси всё в одну сторону. Квадраты сократятся. Не забудь: при делении на отрицательное число знак неравенства меняется.

Решение.

1. Левая часть: $4x^{2}-0{,}64x+0{,}04x=4x^{2}-0{,}6x$. Тогда $-0{,}6x\le-12$, $x\ge20$.
2. $9x^{2}-11\ge9x^{2}-18x-3$, значит $18x\ge8$, $x\ge\frac{4}{9}$.
3. Слева: $24x-12x^{2}-30+15x-4=-12x^{2}+39x-34$. Справа: $7+6x-14x-12x^{2}=-12x^{2}-8x+7$. Получаем $47x<41$, $x<\frac{41}{47}$.
4. Слева: $9x^{2}-1{,}8x+5x-1-2{,}2x=9x^{2}+x-1$. Тогда $x-1>-4$, $x>-3$.

Ответ: 1) $[20;+\infty)$; 2) $\left[\frac{4}{9};+\infty\right)$; 3) $\left(-\infty;\frac{41}{47}\right)$; 4) $(-3;+\infty)$.

№ 13.12

Докажи тождество: 1) $(7x-3)(4-8x)+2x(28x-26)=-12$; 2) $1{,}1x^{2}(x^{2}-10)-x(1{,}1x^{3}-9x)=-2x^{2}$; 3) $(-y^{3}+5y)2y-10y^{2}(1+0{,}2y^{2})=-4y^{4}$; 4) $(2{,}5a+b^{2})(-4a)+2a(5a-b^{2})=-6ab^{2}$.

Как думать. Доказать тождество — значит преобразовать левую часть и получить правую.

Решение.

1. $28x-56x^{2}-12+24x+56x^{2}-52x=-12$. Все $x$ и $x^{2}$ сократились. Верно.
2. $1{,}1x^{4}-11x^{2}-1{,}1x^{4}+9x^{2}=-2x^{2}$. Верно.
3. $-2y^{4}+10y^{2}-10y^{2}-2y^{4}=-4y^{4}$. Верно.
4. $-10a^{2}-4ab^{2}+10a^{2}-2ab^{2}=-6ab^{2}$. Верно.

Ответ: во всех четырёх случаях левая часть равна правой, тождества доказаны.

№ 13.13

Найди значение выражения: 1) $(x-4)(x^{2}+2x-5)-x^{3}$ при $x=-\frac{4}{5}$; 2) $(a^{2}-a+9)(2a+1)-2a^{3}$ при $a=-\frac{3}{8}$; 3) $24y^{3}-3(8y^{2}-1)(y+6)$ при $y=-\frac{2}{3}$; 4) $40m^{3}-(5m^{2}+m-2)(8m+3)$ при $m=\frac{7}{10}$.

Как думать. Упрощаем: кубы сократятся. Потом подставляем дробь в простое выражение.

Решение.

1. $x^{3}+2x^{2}-5x-4x^{2}-8x+20-x^{3}=-2x^{2}-13x+20$. При $x=-\frac{4}{5}$: $-2\cdot\frac{16}{25}+\frac{52}{5}+20=-\frac{32}{25}+\frac{260}{25}+\frac{500}{25}=\frac{728}{25}=29{,}12$.
2. $2a^{3}+a^{2}-2a^{2}-a+18a+9-2a^{3}=-a^{2}+17a+9$. При $a=-\frac{3}{8}$: $-\frac{9}{64}-\frac{51}{8}+9=\frac{-9-408+576}{64}=\frac{159}{64}=2\frac{31}{64}$.
3. $24y^{3}-3(8y^{3}+48y^{2}-y-6)=24y^{3}-24y^{3}-144y^{2}+3y+18=-144y^{2}+3y+18$. При $y=-\frac{2}{3}$: $-144\cdot\frac{4}{9}-2+18=-64-2+18=-48$.
4. $40m^{3}-(40m^{3}+15m^{2}+8m^{2}+3m-16m-6)=-23m^{2}+13m+6$. При $m=\frac{7}{10}$: $-23\cdot0{,}49+9{,}1+6=-11{,}27+15{,}1=3{,}83$.

Ответ: 1) $\frac{728}{25}=29{,}12$; 2) $\frac{159}{64}=2\frac{31}{64}$; 3) $-48$; 4) $3{,}83=\frac{383}{100}$.

№ 13.14

Реши уравнение: 1) $(x^{2}+1)(x-2)-x^{3}=-2x^{2}$; 2) $(3-y)(1-y^{2})+3y^{2}=y^{3}$; 3) $(z+6)(z+5)-(z-2)z=30$; 4) $3a(a-3)+a(2-3a)=-100{,}59$.

Как думать. Опять раскрываем скобки и сокращаем самые старшие степени.

Решение.

1. $x^{3}-2x^{2}+x-2-x^{3}=-2x^{2}$, значит $x-2=0$, $x=2$.
2. $3-3y^{2}-y+y^{3}+3y^{2}=y^{3}$, значит $3-y=0$, $y=3$.
3. $z^{2}+11z+30-z^{2}+2z=30$, значит $13z=0$, $z=0$.
4. $3a^{2}-9a+2a-3a^{2}=-7a$. Тогда $-7a=-100{,}59$, $a=14{,}37$.

Ответ: 1) $2$; 2) $3$; 3) $0$; 4) $14{,}37$.

Уровень C

Здесь задачи потруднее. Не страшно, если сразу не выйдет: сама попытка уже делает тебя сильнее.

№ 13.15

Стороны участка прямоугольной формы равны $x^{3}-1$ и $2+3x^{3}$. 1) Напиши формулу площади. 2) Найди площадь при $x=2$.

Как думать. Площадь прямоугольника — произведение сторон. Перемножаем два двучлена.

Решение.

1. $S=(x^{3}-1)(2+3x^{3})=2x^{3}+3x^{6}-2-3x^{3}=3x^{6}-x^{3}-2$.
2. При $x=2$: $x^{3}=8$, значит стороны $7$ и $26$, $S=7\cdot26=182$. По формуле: $3\cdot64-8-2=182$. Совпало.

Ответ: 1) $S=3x^{6}-x^{3}-2$; 2) $182$ (в тех же единицах площади, что и стороны в квадрате).

№ 13.16

Реши уравнение: 1) $(x+10)(x-9)-(x-8)^{2}=0$; 2) $(x+11)(x+9)-(x-3)(x+40)=0$; 3) $(x-6)(7+x)+(3-x)(3+x)=0$; 4) $(x-4)(4+x)-(1-x)(9-x)=0$.

Как думать. Квадрат $(x-8)^{2}$ — это $(x-8)(x-8)$, перемножаем скобки. Квадраты $x^{2}$ сокращаются, остаётся линейное уравнение.

Решение.

1. $x^{2}+x-90-(x^{2}-16x+64)=17x-154=0$, $x=\frac{154}{17}=9\frac{1}{17}$.
2. $x^{2}+20x+99-(x^{2}+37x-120)=-17x+219=0$, $x=\frac{219}{17}=12\frac{15}{17}$.
3. $x^{2}+x-42+9-x^{2}=x-33=0$, $x=33$.
4. $x^{2}-16-(9-10x+x^{2})=10x-25=0$, $x=2{,}5$.

Ответ: 1) $9\frac{1}{17}$; 2) $12\frac{15}{17}$; 3) $33$; 4) $2{,}5$.

№ 13.17

Реши неравенство: 1) $(a+6)(a-5)-a^{2}\le0$; 2) $a^{2}-(a-2)(a+4)>0$; 3) $(2a-1)(a-4)-2a^{2}\ge0$; 4) $3a^{2}+(2-a)(4+3a)<0$.

Как думать. Раскрываем скобки: квадраты уйдут, получится линейное неравенство. Когда делим на $-9$ или $-2$, знак разворачиваем.

Решение.

1. $a^{2}+a-30-a^{2}=a-30\le0$, $a\le30$.
2. $a^{2}-(a^{2}+2a-8)=-2a+8>0$, $a<4$.
3. $2a^{2}-9a+4-2a^{2}=4-9a\ge0$, $a\le\frac{4}{9}$.
4. $3a^{2}+8+2a-3a^{2}=2a+8<0$, $a<-4$.

Ответ: 1) $(-\infty;30]$; 2) $(-\infty;4)$; 3) $\left(-\infty;\frac{4}{9}\right]$; 4) $(-\infty;-4)$.

№ 13.18

Докажи тождество: 1) $b(b-4)+(b-8)(b+9)-2(b-3)^{2}=9b-90$; 2) $(c+2)^{2}-(c-4)(3-c)-0{,}5(4c^{2}-1)=16{,}5-3c$; 3) $(d-4)(d^{2}+d+1)-d(d^{2}-3)=-3d^{2}-4$; 4) $(k+7)(k-6)-2(k-2)^{2}+(k-3)^{2}=3k-41$.

Как думать. Квадрат выражения — это произведение двух одинаковых скобок. Раскрываем всё в левой части и смотрим, что получилось.

Решение.

1. $b^{2}-4b+b^{2}+b-72-2(b^{2}-6b+9)=2b^{2}-3b-72-2b^{2}+12b-18=9b-90$.
2. $(c+2)^{2}=c^{2}+4c+4$; $(c-4)(3-c)=-c^{2}+7c-12$; $0{,}5(4c^{2}-1)=2c^{2}-0{,}5$. Всего: $c^{2}+4c+4+c^{2}-7c+12-2c^{2}+0{,}5=-3c+16{,}5$.
3. $d^{3}-3d^{2}-3d-4-d^{3}+3d=-3d^{2}-4$.
4. $k^{2}+k-42-2(k^{2}-4k+4)+k^{2}-6k+9=k^{2}+k-42-2k^{2}+8k-8+k^{2}-6k+9=3k-41$.

Ответ: левая часть равна правой во всех случаях, тождества доказаны.

Готовимся к следующей теме

№ 13.19

Не считая, сравни: 1) $(12{,}4+13{,}5):3$ и $12{,}4:3+13{,}5$; 2) $(5{,}1-0{,}34):1{,}7$ и $5{,}1-0{,}34:1{,}7$; 3) $(400-120):40$ и $400:40-120:40$.

Как думать. Сумму (разность) можно делить на число почленно: каждое слагаемое делим на это число. Посмотри, делят ли во втором выражении оба слагаемых.

Решение.

1. Левая часть: $12{,}4:3+13{,}5:3$. В правой части второе слагаемое $13{,}5$ осталось неделённым. Значит, правая часть больше (то есть на $13{,}5-13{,}5:3$).
2. Левая: $5{,}1:1{,}7-0{,}34:1{,}7=3-0{,}2=2{,}8$. Правая: $5{,}1-0{,}34:1{,}7=5{,}1-0{,}2=4{,}9$. Левая меньше. Ведь $5{,}1:1{,}7=3<5{,}1$.
3. Левая: $280:40=7$. Правая: $10-3=7$. Равны: здесь делили оба слагаемых.

Ответ: 1) первое меньше второго; 2) первое меньше второго; 3) равны.

Шпаргалка

• Правило: $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.
• Не теряй знаки: $(x-3)(x+2)=x^{2}+2x-3x-6=x^{2}-x-6$.
• В уравнениях и неравенствах старшие степени после раскрытия часто сокращаются.
• При делении неравенства на отрицательное число знак меняется.

Мини-тест