§ 14. Деление одночлена и многочлена на одночлен

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 2: Многочлены. Страницы 97–100.

Чему научишься

• Делить одночлен на одночлен: коэффициенты отдельно, степени отдельно.
• Понимать, когда деление без остатка невозможно.
• Делить многочлен на одночлен, разделив на него каждый член.
• Упрощать выражения с делением и находить их значения.

Разминка

• Чему равно $a^{7}:a^{3}$? При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $a^{4}$.
• Как разделить сумму на число? Разделить на число каждое слагаемое и сложить результаты: $(a+b):c=a:c+b:c$.
• Чему равно $a^{n}:a^{n}$ при $a\neq 0$? Единице.
• Как делить десятичную дробь на дробь? Например, $40:0{,}5=80$: делить на $0{,}5$ то же, что умножать на $2$.

Разбираемся

Одночлен на одночлен: числа отдельно, буквы отдельно

Представь, что делишь выручку с кружка на двоих: сначала числа, потом «единицы измерения». Тут так же. Одночлены должны быть в стандартном виде. Потом делим коэффициенты, а у каждой буквы вычитаем показатели.

📌 Чтобы разделить одночлен на одночлен, раздели коэффициенты и примени правило деления степеней с одинаковым основанием.

Возьмём $36x^{3}y^{2}:(0{,}9y)$. Числа: $36:0{,}9=40$. Буква $x$ есть только в делимом, она так и остаётся: $x^{3}$. Буква $y$: $y^{2}:y=y$. Итог: $40x^{3}y$.

⚠️ Частая ошибка. Деление без остатка возможно, только если каждая буква делителя есть в делимом и её показатель там не меньше. Например, $x^{2}:x^{3}$ или $a:b$ одночленом не выразить. Такие выражения станут алгебраическими дробями, их изучают в VI разделе.

Многочлен на одночлен: каждому члену своё деление

Делим сумму на число: $(a+b):c=a:c+b:c$. Так же и с многочленом: делим на одночлен каждый член и складываем.

📌 Чтобы разделить многочлен на одночлен, раздели на него каждый член многочлена и сложи полученные результаты.

Пример: $(12x^{3}y-18x^{2}y^{2}+6xy):(6xy)=2x^{2}-3xy+1$. Обрати внимание на последний член: $6xy:6xy=1$, и единицу терять нельзя.

⚠️ Частая ошибка. Когда член делится сам на себя, получается $1$, а не $0$. И знак члена переходит в ответ вместе с ним.

Если многочлен разделился и получился многочлен, говорят, что он делится нацело на одночлен. Но так бывает не всегда. Например, $(mn+mp-np):(mn)=1+\frac{p}{n}-\frac{p}{m}$ уже не многочлен. Ещё договорённость: в делителе буквы не должны обращать значение в нуль, на нуль делить нельзя.

👨‍👩‍👧 Родителю. Деление можно проверить умножением: ответ, умноженный на делитель, должен вернуть делимое. Попросите ребёнка делать эту проверку на последнем шаге.

🌟 Знак деления «:» ввёл в XVII веке Готфрид Лейбниц. Он же придумал точку для умножения, которой мы пользуемся.

Проверь себя

• Какие преобразования используют при делении одночлена на одночлен? Приводят одночлены к стандартному виду, делят коэффициенты и применяют правило деления степеней с одинаковыми основаниями.
• Как разделить многочлен на одночлен? Разделить каждый член многочлена на этот одночлен и сложить результаты.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 14.1

Выполни деления: 1) $46a^{2}b:(2a)$; 2) $50xy^{2}:(-5y)$; 3) $14x^{2}y^{3}:(-7xy)$; 4) $72cd^{3}:(9cd^{2})$; 5) $\frac{5}{6}a^{2}c^{2}:\left(\frac{3}{5}ac\right)$; 6) $0{,}24k^{4}t:\left(\frac{4}{9}k^{3}t\right)$.

Как думать. Сначала числа, потом по каждой букве вычитаем показатели.

Решение.

1. $46:2=23$; $a^{2}:a=a$; $b$ остаётся: $23ab$.
2. $50:(-5)=-10$; $y^{2}:y=y$; $x$ остаётся: $-10xy$.
3. $14:(-7)=-2$; $x^{2}:x=x$; $y^{3}:y=y^{2}$: $-2xy^{2}$.
4. $72:9=8$; $c:c=1$; $d^{3}:d^{2}=d$: $8d$.
5. $\frac{5}{6}:\frac{3}{5}=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{3}=\frac{25}{18}$; $a^{2}:a=a$; $c^{2}:c=c$: $\frac{25}{18}ac$.
6. $0{,}24:\frac{4}{9}=0{,}24\cdot\frac{9}{4}=0{,}54$; $k^{4}:k^{3}=k$; $t:t=1$: $0{,}54k$.

Ответ: 1) $23ab$; 2) $-10xy$; 3) $-2xy^{2}$; 4) $8d$; 5) $\frac{25}{18}ac$ ($1\frac{7}{18}ac$); 6) $0{,}54k$.

№ 14.2

Выполни деления: 1) $(-20a+12ab+18ac):(-2a)$; 2) $(4{,}8b-0{,}6bc-1{,}5bd):(0{,}3b)$; 3) $\left(\frac{14}{15}x^{2}-\frac{32}{25}xy+\frac{54}{5}xz\right):\left(\frac{2}{5}x\right)$; 4) $\left(-\frac{100}{63}nm+\frac{50}{77}nk-\frac{20}{21}nt\right):\left(-\frac{20}{7}n\right)$.

Как думать. Делим каждый член отдельно. Деление на дробь заменяем умножением на перевёрнутую дробь.

Решение.

1. $-20a:(-2a)=10$; $12ab:(-2a)=-6b$; $18ac:(-2a)=-9c$. Итог: $10-6b-9c$.
2. $4{,}8b:0{,}3b=16$; $-0{,}6bc:0{,}3b=-2c$; $-1{,}5bd:0{,}3b=-5d$. Итог: $16-2c-5d$.
3. $\frac{14}{15}\cdot\frac{5}{2}=\frac{7}{3}$, значит $\frac{7}{3}x$. $-\frac{32}{25}\cdot\frac{5}{2}=-\frac{16}{5}$, значит $-\frac{16}{5}y$. $\frac{54}{5}\cdot\frac{5}{2}=27$, значит $27z$.
4. $-\frac{100}{63}\cdot\left(-\frac{7}{20}\right)=\frac{5}{9}$, значит $\frac{5}{9}m$. $\frac{50}{77}\cdot\left(-\frac{7}{20}\right)=-\frac{5}{22}$, значит $-\frac{5}{22}k$. $-\frac{20}{21}\cdot\left(-\frac{7}{20}\right)=\frac{1}{3}$, значит $\frac{1}{3}t$.

Ответ: 1) $10-6b-9c$; 2) $16-2c-5d$; 3) $\frac{7}{3}x-\frac{16}{5}y+27z$; 4) $\frac{5}{9}m-\frac{5}{22}k+\frac{1}{3}t$.

№ 14.3

Упрости выражение: 1) $40x^{2}y:(8x)-6xy$; 2) $2{,}8ab^{2}:(0{,}7b)+1{,}3ab$; 3) $\frac{4}{9}s^{2}t^{2}:\left(\frac{2}{3}st\right)+\frac{1}{3}st$; 4) $8\frac{1}{3}n^{3}m^{3}:\left(1\frac{3}{5}n^{2}m^{2}\right)-1{,}9n$; 5) $8a^{2}b:(4ab)+15ac^{2}:(5c^{2})$; 6) $7{,}5x^{2}y^{2}:(3x^{2}y)-3{,}9my:(12m)$; 7) $2{,}1ab^{2}:\left(\frac{4}{3}b^{2}\right)-2{,}7at^{3}:\left(\frac{8}{9}t^{3}\right)$; 8) $6\frac{1}{4}c^{2}d:\left(2\frac{1}{2}cd\right)+8\frac{1}{4}c^{2}t^{2}:\left(5\frac{1}{2}ct^{2}\right)$.

Как думать. Сначала выполняем деления (они идут раньше сложения), затем приводим подобные члены.

Решение.

1. $40x^{2}y:8x=5xy$; $5xy-6xy=-xy$.
2. $2{,}8ab^{2}:0{,}7b=4ab$; $4ab+1{,}3ab=5{,}3ab$.
3. $\frac{4}{9}:\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$, получаем $\frac{2}{3}st$; $\frac{2}{3}st+\frac{1}{3}st=st$.
4. $8\frac{1}{3}:1\frac{3}{5}=\frac{25}{3}\cdot\frac{5}{8}=\frac{125}{24}$; $n^{3}m^{3}:n^{2}m^{2}=nm$. Получаем $\frac{125}{24}nm-1{,}9n$, подобных членов нет.
5. $8a^{2}b:4ab=2a$; $15ac^{2}:5c^{2}=3a$; $2a+3a=5a$.
6. $7{,}5:3=2{,}5$, получаем $2{,}5y$; $3{,}9:12=0{,}325$, получаем $0{,}325y$; $2{,}5y-0{,}325y=2{,}175y$.
7. $2{,}1:\frac{4}{3}=1{,}575$, получаем $1{,}575a$; $2{,}7:\frac{8}{9}=3{,}0375$, получаем $3{,}0375a$; разность $-1{,}4625a$.
8. $\frac{25}{4}:\frac{5}{2}=\frac{5}{2}$, получаем $2{,}5c$; $\frac{33}{4}:\frac{11}{2}=\frac{3}{2}$, получаем $1{,}5c$; сумма $4c$.

Ответ: 1) $-xy$; 2) $5{,}3ab$; 3) $st$; 4) $\frac{125}{24}nm-1{,}9n$; 5) $5a$; 6) $2{,}175y$; 7) $-1{,}4625a$; 8) $4c$.

№ 14.4

Дана таблица: $A=13x^{5}:x^{3}+48$ при $x=2$ и $B=47x^{7}:x^{4}+97$ при $x=-1$. Какие утверждения верны: 1) $B$ составляет $50%$ от $A$; 2) $A=B+60$; 3) $B=2A-150$; 4) $A>3B$?

Как думать. Упрости каждое выражение, подставь число, получи $A$ и $B$, потом проверяй утверждения.

Решение. $A=13x^{2}+48=13\cdot 4+48=100$. $B=47x^{3}+97=47\cdot(-1)+97=50$.

1. $50$ это половина от $100$: верно.
2. $B+60=110\ne 100$: неверно.
3. $2\cdot 100-150=50=B$: верно.
4. $3B=150>100$, значит $A>3B$ неверно.

Ответ: верны утверждения 1 и 3.

Уровень B

№ 14.5

Найди значение выражения: 1) $90a^{2}b^{2}:(18a^{2}b)+0{,}14a^{2}b:(7ab)$ при $a=-5$; $b=2$; 2) $4{,}95x^{3}y^{4}:(2{,}2x^{3}y^{2})-77x^{5}y^{4}:(0{,}11x^{4}y^{4})$ при $x=\frac{3}{7}$; $y=-\frac{14}{15}$.

Как думать. Лучше сначала упростить, а потом подставлять числа: так считать проще.

Решение.

1. $90a^{2}b^{2}:18a^{2}b=5b$; $0{,}14a^{2}b:7ab=0{,}02a$. Выражение: $5b+0{,}02a=5\cdot 2+0{,}02\cdot(-5)=10-0{,}1=9{,}9$.
2. $4{,}95:2{,}2=2{,}25$, значит $2{,}25y^{2}$. $77:0{,}11=700$, значит $700x$. Выражение: $2{,}25y^{2}-700x$. Здесь $y^{2}=\frac{196}{225}$, и $2{,}25\cdot\frac{196}{225}=1{,}96$. А $700\cdot\frac{3}{7}=300$. Итог: $1{,}96-300=-298{,}04$.

Ответ: 1) $9{,}9$; 2) $-298{,}04$.

№ 14.6

Сравни значения выражений: 1) $76a^{2}b^{2}:(38ab)$ и $3ab$ при $a=-2$; $b=3$; 2) $-5xy$ и $105x^{3}y^{2}:(-21x^{2}y)$ при $x=0{,}2$; $y=7$; 3) $a^{5}b^{4}:(a^{3}b^{3})$ и $a^{7}b^{9}:(a^{6}b^{8})$ при $a=-2$; $b=-2$; 4) $33c^{4}d^{2}:(1{,}1c^{3}d)$ и $20cd$ при $c=0{,}5$; $d=-0{,}1$; 5) $6a^{2}b:(0{,}5ab)$ и $8ab^{2}:(0{,}2ab)$ при $a=2$; $b=3$; 6) $3{,}5n^{3}m:(7nm)$ и $5{,}7nm^{4}:(19m^{3})$ при $n=-1$; $m=1$.

Как думать. Упрощаем каждое выражение, подставляем, сравниваем числа.

Решение.

1. $76a^{2}b^{2}:38ab=2ab=-12$; $3ab=-18$. Так как $-12>-18$, первое больше.
2. $105x^{3}y^{2}:(-21x^{2}y)=-5xy$, то есть выражения одинаковы. Оба равны $-5\cdot 0{,}2\cdot 7=-7$.
3. $a^{5}b^{4}:a^{3}b^{3}=a^{2}b=4\cdot(-2)=-8$; $a^{7}b^{9}:a^{6}b^{8}=ab=4$. Первое меньше.
4. $33c^{4}d^{2}:1{,}1c^{3}d=30cd=30\cdot(-0{,}05)=-1{,}5$; $20cd=-1$. Первое меньше.
5. $6a^{2}b:0{,}5ab=12a=24$; $8ab^{2}:0{,}2ab=40b=120$. Первое меньше.
6. $3{,}5n^{3}m:7nm=0{,}5n^{2}=0{,}5$; $5{,}7nm^{4}:19m^{3}=0{,}3nm=-0{,}3$. Первое больше.

Ответ: 1) $-12>-18$; 2) $-7=-7$; 3) $-8<4$; 4) $-1{,}5<-1$; 5) $24<120$; 6) $0{,}5>-0{,}3$.

№ 14.7

Докажи тождество: 1) $(200x^{4}y^{3}-55x^{3}y^{2}):(5x^{3}y^{2})+11=40xy$; 2) $1{,}1a-(12{,}1a^{3}b^{2}-44a^{2}b^{2}):(11a^{2}b^{2})=4$; 3) $1{,}6s^{4}t:(0{,}04s^{3}t)-41{,}22s=-1{,}22s$; 4) $(8{,}47n^{5}m^{4}+77n^{4}m^{3}):(7{,}7n^{4}m^{3})-10=1{,}1nm$.

Как думать. Преобразуем левую часть. Если она сведётся к правой, тождество доказано.

Решение.

1. $200x^{4}y^{3}:5x^{3}y^{2}=40xy$; $55x^{3}y^{2}:5x^{3}y^{2}=11$. Получаем $40xy-11+11=40xy$.
2. $12{,}1a^{3}b^{2}:11a^{2}b^{2}=1{,}1a$; $44a^{2}b^{2}:11a^{2}b^{2}=4$. Скобка равна $1{,}1a-4$. Тогда $1{,}1a-(1{,}1a-4)=1{,}1a-1{,}1a+4=4$.
3. $1{,}6s^{4}t:0{,}04s^{3}t=40s$. Получаем $40s-41{,}22s=-1{,}22s$.
4. $8{,}47:7{,}7=1{,}1$, значит $1{,}1nm$; $77:7{,}7=10$. Получаем $1{,}1nm+10-10=1{,}1nm$.

Ответ: во всех четырёх пунктах левая часть равна правой, тождества доказаны.

Уровень C

Тут начинаются трудные задачи. Не страшно, если не получится сразу: попытка уже растит мозг!

№ 14.8

1) Найди наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству $(20x^{5}-14x^{4}):0{,}2x^{4}\ge(99x^{7}-x^{6}):x^{6}-29$. 2) Найди наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $(36x^{13}-5x^{10}):x^{9}-5>(72x^{5}+300x):2x$.

Как думать. Выполни деления, получится линейное неравенство. Решай его как обычно.

Решение.

1. $(20x^{5}-14x^{4}):0{,}2x^{4}=100x-70$; $(99x^{7}-x^{6}):x^{6}=99x-1$. Неравенство: $100x-70\ge 99x-1-29$, то есть $100x-70\ge 99x-30$. Переносим: $x\ge 40$. Наименьшее целое $40$.
2. $(36x^{13}-5x^{10}):x^{9}=36x^{4}-5x$; $(72x^{5}+300x):2x=36x^{4}+150$. Неравенство: $36x^{4}-5x-5>36x^{4}+150$. Сокращаем $36x^{4}$: $-5x>155$, значит $x<-31$ (знак меняется при делении на $-5$). Наибольшее целое $-32$.

Ответ: 1) $40$; 2) $-32$.

№ 14.9

Пусть $A=(46a^{4}b^{3}+12a^{3}b^{2}):(2a^{3}b^{2})-23ab$, а $B$ составляет $50%$ от $A$. Нужно обклеить обоями стену прямоугольной формы размером $A$ м $\times$ $B$ м, в которой есть дверь $0{,}9$ м $\times$ $2$ м. Найди площадь стены, которую нужно обклеить.

Как думать. Упрости $A$: переменные должны уйти. Потом найди $B$, площадь стены и вычти дверь.

Решение.

1. $46a^{4}b^{3}:2a^{3}b^{2}=23ab$; $12a^{3}b^{2}:2a^{3}b^{2}=6$. Значит $A=23ab+6-23ab=6$.
2. $B=0{,}5\cdot 6=3$.
3. Площадь стены $6\cdot 3=18$ м$^{2}$. Дверь: $0{,}9\cdot 2=1{,}8$ м$^{2}$.
4. Обклеить нужно $18-1{,}8=16{,}2$ м$^{2}$.

Ответ: $16{,}2$ м$^{2}$.

Готовимся к следующей теме

№ 14.10

Даны одночлены: $9yax^{3}$; $-8yx$; $3xy^{2}n^{3}$; $4xy$; $5xay^{5}$; $-3xy$; $-9xay^{5}$. Найди общий множитель, входящий в каждый из них.

Как думать. Смотрим, какие буквы есть в каждом одночлене и с каким наименьшим показателем.

Решение. Буква $x$ есть везде, наименьший показатель $1$. Буква $y$ тоже везде, наименьший показатель $1$. Буквы $a$ и $n$ есть не во всех. Коэффициенты $9$, $-8$, $3$, $4$, $5$, $-3$, $-9$ общего делителя больше $1$ не имеют.

Ответ: $xy$.

№ 14.11

Вынеси общий множитель за скобки с помощью распределительного свойства: 1) $2a+2b$; 2) $xy+xz$; 3) $8c-10d$; 4) $abc-abd$.

Как думать. Это распределительное свойство, прочитанное справа налево: $ab+ac=a(b+c)$.

Решение.

1. общий множитель $2$: $2(a+b)$.
2. общий множитель $x$: $x(y+z)$.
3. $\text{НОД}(8;10)=2$: $2(4c-5d)$.
4. общий множитель $ab$: $ab(c-d)$.

Ответ: 1) $2(a+b)$; 2) $x(y+z)$; 3) $2(4c-5d)$; 4) $ab(c-d)$.

Шпаргалка

• Одночлены перед делением приводи к стандартному виду.
• Делитель не должен быть равен нулю.
• Выражения с делением сначала упрощай, потом подставляй числа.

Мини-тест