§ 15. Разложение многочлена на множители с вынесением общего множителя за скобки

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 2: Многочлены. Страницы 100–105.

Чему научишься

• Понимать, что значит «разложить многочлен на множители».
• Находить общий множитель членов многочлена: число, одночлен или даже скобку.
• Выносить его за скобки и проверять результат умножением.
• Решать уравнения вида $x(x+a)=0$ через разложение на множители.

Разминка

• Как называется свойство $a(b+c)=ab+ac$? Распределительное. Здесь мы будем читать его справа налево.
• Чему равен $\text{НОД}(14;49;35)$? $7$.
• Когда произведение равно нулю? Тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю.
• Чему равно $-(b-a)$? Это $a-b$: если у скобки сменить знак, значит, поменять местами её члены.

Разбираемся

Умножили, а теперь делаем наоборот

В § 13 ты раскрывал скобки: $3a(a+2)=3a^{2}+6a$. А теперь задача обратная: есть сумма $3a^{2}+6a$, надо снова записать её в виде произведения. Это и есть разложение многочлена на множители.

Как найти, что вынести? Ищем то, что есть в каждом члене.

1. Среди коэффициентов берём наибольший общий делитель.
2. Каждую букву берём с наименьшим показателем, который встречается во всех членах.

Возьмём $12a^{3}b^{2}-18a^{2}b^{3}+6a^{2}b$. НОД чисел $12$, $18$, $6$ равен $6$. Буква $a$: наименьший показатель $2$. Буква $b$: наименьший показатель $1$. Общий множитель $6a^{2}b$.

⚠️ Частая ошибка. Если член совпадает с общим множителем, в скобках на его месте остаётся $1$, а не пустота. Например, $x^{2}+x=x(x+1)$.

📌 Правильность разложения проверяют умножением: перемножь скобку и общий множитель, получится исходный многочлен.

Общий множитель может быть скобкой

Бывает, что повторяется целая скобка: $19(3t+2k)-a(3t+2k)+3b(3t+2k)$. Вынесем $(3t+2k)$ и получим $(3t+2k)(19-a+3b)$. Скобка тут как одна большая буква.

Помогает смена знака: $a-b=-(b-a)$

Иногда скобки отличаются только знаком: $(9-c^{3})d+(c^{3}-9)m$. Заменим $c^{3}-9$ на $-(9-c^{3})$. Получим $(9-c^{3})d-(9-c^{3})m=(9-c^{3})(d-m)$.

💡 Если скобки «почти одинаковые», вынеси минус из одной из них, и они станут одинаковыми.

Зачем это? Решаем уравнения

Если уравнение раскладывается в произведение, то оно равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Решим $x^{2}+0{,}5x=0$. Выносим $x$: $x(x+0{,}5)=0$. Тогда $x=0$ или $x=-0{,}5$. Два корня.

👨‍👩‍👧 Родителю. Разложение на множители нужно для уравнений, для сокращения дробей и для формул сокращённого умножения впереди. Если ребёнок путается, пусть всегда делает проверку раскрытием скобок.

🌟 Идею раскладывать выражение на множители использовали ещё математики Древнего Востока. А слово «алгебра» пришло из труда аль-Хорезми, жившего в Хорезме, на территории нынешнего Узбекистана.

Проверь себя

• Что значит «разложить многочлен на множители»? Представить его в виде произведения одночленов и многочленов.
• Каким может быть общий множитель членов многочлена? Числом, одночленом или многочленом (скобкой). Например, в $x(a+b)+y(a+b)$ общий множитель $(a+b)$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 15.1

Разложи на множители: 1) $2a+6$; 2) $6xy+x$; 3) $8m-12n$; 4) $ab-b^{2}$; 5) $c^{2}-c$; 6) $y^{2}+by$.

Как думать. Ищем, что есть в обоих членах: число и буква. Не забываем про $1$, когда член полностью «уходит» в общий множитель.

Решение.

1. $2a+6=2(a+3)$.
2. $6xy+x=x(6y+1)$.
3. $8m-12n=4(2m-3n)$.
4. $ab-b^{2}=b(a-b)$.
5. $c^{2}-c=c(c-1)$.
6. $y^{2}+by=y(y+b)$.

Ответ: 1) $2(a+3)$; 2) $x(6y+1)$; 3) $4(2m-3n)$; 4) $b(a-b)$; 5) $c(c-1)$; 6) $y(y+b)$.

№ 15.2

Разложи на множители: 1) $15ab-8ac+\frac{2}{7}ad$; 2) $-\frac{3}{8}xy+0{,}9xz-15x$; 3) $0{,}1mn+2mk-4m$; 4) $12tk-8tx-7t$; 5) $\frac{3}{4}at+0{,}17ax-5a$; 6) $-\frac{6}{5}dx+\frac{3}{11}dy-21d$.

Как думать. Здесь коэффициенты не имеют общего числового делителя, поэтому выносим только букву.

Решение.

1. Общий множитель $a$: $a\left(15b-8c+\frac{2}{7}d\right)$.
2. Общий множитель $x$: $x\left(-\frac{3}{8}y+0{,}9z-15\right)$.
3. Общий множитель $m$: $m(0{,}1n+2k-4)$.
4. Общий множитель $t$: $t(12k-8x-7)$.
5. Общий множитель $a$: $a\left(\frac{3}{4}t+0{,}17x-5\right)$.
6. Общий множитель $d$: $d\left(-\frac{6}{5}x+\frac{3}{11}y-21\right)$.

Ответ: 1) $a\left(15b-8c+\frac{2}{7}d\right)$; 2) $x\left(-\frac{3}{8}y+0{,}9z-15\right)$; 3) $m(0{,}1n+2k-4)$; 4) $t(12k-8x-7)$; 5) $a\left(\frac{3}{4}t+0{,}17x-5\right)$; 6) $d\left(-\frac{6}{5}x+\frac{3}{11}y-21\right)$.

№ 15.3

Разложи на множители: 1) $3ab+9ac+27ad$; 2) $4xy+8xz-16x$; 3) $0{,}2mn-0{,}8mk+1{,}6m$; 4) $9tk-18tx+27t$; 5) $0{,}75at+\frac{3}{4}ax-\frac{9}{16}a$; 6) $-\frac{2}{3}dx+\frac{4}{9}dy-\frac{8}{9}d$.

Как думать. Теперь у коэффициентов есть общий делитель. Для дробей вынеси наибольшую дробь, на которую они все делятся.

Решение.

1. НОД $3$, общая буква $a$: $3a(b+3c+9d)$.
2. НОД $4$, буква $x$: $4x(y+2z-4)$.
3. $0{,}2m$: $0{,}2m(n-4k+8)$.
4. НОД $9$, буква $t$: $9t(k-2x+3)$.
5. $0{,}75=\frac{3}{4}=\frac{12}{16}$. Все коэффициенты кратны $\frac{3}{16}$ ($\frac{12}{16}$, $\frac{12}{16}$, $\frac{9}{16}$): $\frac{3}{16}a(4t+4x-3)$.
6. Коэффициенты $-\frac{6}{9}$, $\frac{4}{9}$, $-\frac{8}{9}$ кратны $\frac{2}{9}$: $\frac{2}{9}d(-3x+2y-4)$, или $-\frac{2}{9}d(3x-2y+4)$.

Ответ: 1) $3a(b+3c+9d)$; 2) $4x(y+2z-4)$; 3) $0{,}2m(n-4k+8)$; 4) $9t(k-2x+3)$; 5) $\frac{3}{16}a(4t+4x-3)$; 6) $-\frac{2}{9}d(3x-2y+4)$.

№ 15.4

Разложи на множители: 1) $16a^{2}b^{3}-32ab^{2}+64abc$; 2) $9x^{3}y^{4}-27x^{2}yz+54xy^{2}$; 3) $\frac{3}{16}a^{4}bc+\frac{7}{32}a^{3}bc-\frac{9}{64}a^{4}b^{2}c$; 4) $\frac{5}{9}x^{8}y^{2}z^{3}+\frac{11}{27}x^{6}y^{3}z^{2}-\frac{11}{54}x^{7}y^{4}z$; 5) $0{,}125m^{2}n^{3}-0{,}25mn+0{,}625m^{2}n$; 6) $328t^{2}k^{3}+82t^{2}k^{2}-246t^{3}k^{2}$; 7) $0{,}09m^{6}n^{5}+0{,}27m^{3}n^{8}-0{,}09m^{3}n^{5}$; 8) $1{,}6t^{11}k^{4}-3{,}2t^{10}k+0{,}8t^{9}k$; 9) $14m^{4}-49m^{2}nk+7m^{2}n$; 10) $-8t^{8}k^{3}y+64t^{3}k^{8}-4t^{3}k^{3}$.

Как думать. Три шага: число, потом каждая буква с наименьшим показателем, потом деление каждого члена.

Решение.

1. НОД $16$; $a$, $b$ в первой степени: $16ab(ab^{2}-2b+4c)$.
2. НОД $9$; $xy$: $9xy(x^{2}y^{3}-3xz+6y)$.
3. Приведём к знаменателю $64$: $\frac{12}{64}$, $\frac{14}{64}$, $\frac{9}{64}$. Общий коэффициент $\frac{1}{64}$, буквы $a^{3}bc$: $\frac{1}{64}a^{3}bc(12a+14-9ab)$.
4. Знаменатель $54$: $\frac{30}{54}$, $\frac{22}{54}$, $\frac{11}{54}$. Общие буквы $x^{6}y^{2}z$: $\frac{1}{54}x^{6}y^{2}z(30x^{2}z^{2}+22yz-11xy^{2})$.
5. НОД чисел $0{,}125$, $0{,}25$, $0{,}625$ равен $0{,}125$; буквы $mn$: $0{,}125mn(mn^{2}-2+5m)$.
6. $328=4\cdot 82$, $246=3\cdot 82$; буквы $t^{2}k^{2}$: $82t^{2}k^{2}(4k+1-3t)$.
7. $0{,}09$ и $0{,}27=3\cdot 0{,}09$; буквы $m^{3}n^{5}$: $0{,}09m^{3}n^{5}(m^{3}+3n^{3}-1)$.
8. $0{,}8$ во всех: $1{,}6=2\cdot 0{,}8$, $3{,}2=4\cdot 0{,}8$; буквы $t^{9}k$: $0{,}8t^{9}k(2t^{2}k^{3}-4t+1)$.
9. $14=7\cdot 2$, $49=7\cdot 7$; буквы $m^{2}$: $7m^{2}(2m^{2}-7nk+n)$.
10. НОД $4$; буквы $t^{3}k^{3}$: $4t^{3}k^{3}(-2t^{5}y+16k^{5}-1)$.

Ответ: 1) $16ab(ab^{2}-2b+4c)$; 2) $9xy(x^{2}y^{3}-3xz+6y)$; 3) $\frac{1}{64}a^{3}bc(12a+14-9ab)$; 4) $\frac{1}{54}x^{6}y^{2}z(30x^{2}z^{2}+22yz-11xy^{2})$; 5) $0{,}125mn(mn^{2}-2+5m)$; 6) $82t^{2}k^{2}(4k+1-3t)$; 7) $0{,}09m^{3}n^{5}(m^{3}+3n^{3}-1)$; 8) $0{,}8t^{9}k(2t^{2}k^{3}-4t+1)$; 9) $7m^{2}(2m^{2}-7nk+n)$; 10) $4t^{3}k^{3}(-2t^{5}y+16k^{5}-1)$.

№ 15.5

Разложи на множители: 1) $12(a+b)-c(a+b)+5d(a+b)$; 2) $14(m-n)+x(m-n)-3x(m-n)$; 3) $-1{,}5(x+y)+x(x+y)-y(x+y)+(x+y)$; 4) $(t+k)-8x(t+k)-16(t+k)$; 5) $(c+d)x-(c+d)y+5(c+d)+5xy(c+d)$; 6) $5a(3a-8)-3b(3a-8)+9ab(3a-8)-(3a-8)$; 7) $7y(7x-y)+x(7x-y)-7xy(7x-y)+(7x-y)$; 8) $(a+b)^{2}(x+y)-x(a+b)^{2}-y(a+b)^{2}+(a+b)^{2}$.

Как думать. В каждом члене есть одна и та же скобка. Выносим её, а в новой скобке собираем остатки.

Решение.

1. $(a+b)(12-c+5d)$.
2. $(m-n)(14+x-3x)=(m-n)(14-2x)$.
3. $(x+y)(-1{,}5+x-y+1)=(x+y)(x-y-0{,}5)$.
4. $(t+k)(1-8x-16)=(t+k)(-8x-15)=-(t+k)(8x+15)$.
5. $(c+d)(x-y+5+5xy)$.
6. $(3a-8)(5a-3b+9ab-1)$.
7. $(7x-y)(7y+x-7xy+1)$.
8. $(a+b)^{2}(x+y-x-y+1)=(a+b)^{2}$.

Ответ: 1) $(a+b)(12-c+5d)$; 2) $(m-n)(14-2x)$; 3) $(x+y)(x-y-0{,}5)$; 4) $-(t+k)(8x+15)$; 5) $(c+d)(x-y+5+5xy)$; 6) $(3a-8)(5a-3b+9ab-1)$; 7) $(7x-y)(x+7y-7xy+1)$; 8) $(a+b)^{2}$.

№ 15.6

Даны многочлены $x^{3}-2x^{2}$, $x^{6}+2x^{4}$, $3-6x$. Выпиши те, у которых общий множитель равен: 1) $x^{3}$; 2) $x-2$.

Как думать. Разложи каждый многочлен на множители и посмотри, что получилось.

Решение. $x^{3}-2x^{2}=x^{2}(x-2)$. $x^{6}+2x^{4}=x^{4}(x^{2}+2)=x^{3}\cdot x(x^{2}+2)$. $3-6x=3(1-2x)$.

1. Множитель $x^{3}$ есть только у $x^{6}+2x^{4}$. В $x^{3}-2x^{2}$ меньшая степень: $x^{2}$.
2. Множитель $x-2$ есть только у $x^{3}-2x^{2}$.

Ответ: 1) $x^{6}+2x^{4}$; 2) $x^{3}-2x^{2}$.

Уровень B

№ 15.7

Разложи на множители: 1) $4b(7-8a)+a(8a-7)-(14-16a)+(7-8a)ab$; 2) $3x(5y-4)-y(4-5y)+(15y-12)-3xy(4-5y)$; 3) $mn(m-3n)-m(m-3n)-n(m-3n)+8(6n-2m)$; 4) $\left(-\frac{2}{3}t+k\right)x-\left(k-\frac{2}{3}t\right)y+(3k-2t)xy-(-2t+3k)$.

Как думать. Скобки отличаются знаком или множителем. Приведи их к одной и той же, потом выноси.

Решение.

1. $8a-7=-(7-8a)$ и $14-16a=2(7-8a)$. Получаем $4b(7-8a)-a(7-8a)-2(7-8a)+ab(7-8a)=(7-8a)(4b-a-2+ab)$.
2. $4-5y=-(5y-4)$ и $15y-12=3(5y-4)$. Получаем $3x(5y-4)+y(5y-4)+3(5y-4)+3xy(5y-4)=(5y-4)(3x+y+3+3xy)$.
3. $6n-2m=-2(m-3n)$. Получаем $(m-3n)(mn-m-n-16)$.
4. $-2t+3k=3k-2t$; $-\frac{2}{3}t+k=k-\frac{2}{3}t=\frac{1}{3}(3k-2t)$. Вынесем $(3k-2t)$: $(3k-2t)\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y+xy-1\right)$.

Ответ: 1) $(7-8a)(4b-a-2+ab)$; 2) $(5y-4)(3x+y+3+3xy)$; 3) $(m-3n)(mn-m-n-16)$; 4) $(3k-2t)\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y+xy-1\right)$.

№ 15.8

Реши уравнения: 1) $x^{2}+6x=0$; 2) $x^{2}-5x=0$; 3) $\frac{7}{8}x+x^{2}=0$; 4) $\frac{12}{13}x-x^{2}=0$; 5) $x+\frac{2}{3}x^{2}=0$; 6) $x-\frac{7}{9}x^{2}=0$; 7) $\frac{1}{25}x+\frac{1}{125}x^{2}=0$; 8) $\frac{1}{49}x-\frac{1}{343}x^{2}=0$.

Как думать. Выноси $x$ за скобки: $x\cdot(\ldots)=0$. Приравняй к нулю каждый множитель.

Решение.

1. $x(x+6)=0$: $x=0$ или $x=-6$.
2. $x(x-5)=0$: $0$ или $5$.
3. $x\left(\frac{7}{8}+x\right)=0$: $0$ или $-\frac{7}{8}$.
4. $x\left(\frac{12}{13}-x\right)=0$: $0$ или $\frac{12}{13}$.
5. $x\left(1+\frac{2}{3}x\right)=0$: $x=0$ или $\frac{2}{3}x=-1$, $x=-\frac{3}{2}=-1{,}5$.
6. $x\left(1-\frac{7}{9}x\right)=0$: $x=0$ или $x=\frac{9}{7}=1\frac{2}{7}$.
7. $x\left(\frac{1}{25}+\frac{1}{125}x\right)=0$: $x=0$ или $\frac{x}{125}=-\frac{1}{25}$, $x=-5$.
8. $x\left(\frac{1}{49}-\frac{1}{343}x\right)=0$: $x=0$ или $\frac{x}{343}=\frac{1}{49}$, $x=7$.

Ответ: 1) $0$; $-6$; 2) $0$; $5$; 3) $0$; $-\frac{7}{8}$; 4) $0$; $\frac{12}{13}$; 5) $0$; $-1{,}5$; 6) $0$; $1\frac{2}{7}$; 7) $0$; $-5$; 8) $0$; $7$.

№ 15.9

Реши уравнения: 1) $z(2z-5)+5(2z-5)=0$; 2) $3(4-z)-7z(z-4)=0$; 3) $z(0{,}5z+5)-6(5+0{,}5z)=0$; 4) $z(8-z)+z-8=0$.

Как думать. Найди общую скобку (если надо, смени знак), вынеси её и приравняй множители к нулю.

Решение.

1. $(2z-5)(z+5)=0$: $z=2{,}5$ или $z=-5$.
2. $-7z(z-4)=7z(4-z)$. Получаем $(4-z)(3+7z)=0$: $z=4$ или $z=-\frac{3}{7}$.
3. $(0{,}5z+5)(z-6)=0$: $z=-10$ или $z=6$.
4. $z-8=-(8-z)$. Получаем $(8-z)(z-1)=0$: $z=8$ или $z=1$.

Ответ: 1) $2{,}5$; $-5$; 2) $4$; $-\frac{3}{7}$; 3) $-10$; $6$; 4) $1$; $8$.

№ 15.10

Разложи на множители: 1) $(0{,}16a+0{,}32b)a-(0{,}64b+1{,}28a)b$; 2) $(0{,}09a-0{,}81b)b-(0{,}81b-7{,}29a)a$; 3) $(4{,}9x-3{,}43y)xy-(3{,}43y-4{,}9x)x$; 4) $\left(\frac{7}{9}ab-k\right)a-\left(k-\frac{7}{9}ab\right)k-\left(k-\frac{7}{9}ab\right)b$; 5) $(2{,}5xy+1{,}25m)+(1{,}25m+2{,}5xy)y-(1{,}25m+2{,}5xy)x$.

Как думать. Сделай скобки одинаковыми и вынеси их. В десятичных дробях ищи общий множитель вроде $0{,}16$ или $0{,}09$.

Решение.

1. Чтобы вышла общая скобка, нужно $0{,}16a+0{,}32b=0{,}16(a+2b)$ и $0{,}64a+1{,}28b=0{,}64(a+2b)$. Тогда $0{,}16(a+2b)a-0{,}64(a+2b)b=0{,}16(a+2b)(a-4b)$. Это совпадает с ответом учебника.
2. Здесь удобная скобка получается, если читать $(0{,}09b-0{,}81a)b-(0{,}81b-7{,}29a)a$. Тогда $0{,}09(b-9a)b-0{,}81(b-9a)a=(b-9a)(0{,}09b-0{,}81a)=0{,}09(b-9a)^{2}$.
3. $-(3{,}43y-4{,}9x)=4{,}9x-3{,}43y$. Получаем $(4{,}9x-3{,}43y)xy+(4{,}9x-3{,}43y)x=(4{,}9x-3{,}43y)x(y+1)$. Можно вынести ещё $0{,}49$: $0{,}49x(y+1)(10x-7y)$.
4. $k-\frac{7}{9}ab=-\left(\frac{7}{9}ab-k\right)$. Получаем $\left(\frac{7}{9}ab-k\right)a+\left(\frac{7}{9}ab-k\right)k+\left(\frac{7}{9}ab-k\right)b=\left(\frac{7}{9}ab-k\right)(a+b+k)$.
5. Общая скобка $(2{,}5xy+1{,}25m)$: $(2{,}5xy+1{,}25m)(1+y-x)$. Можно вынести $2{,}5$ и получить $2{,}5(xy+0{,}5m)(1+y-x)$.

📕 В условии п. 1 напечатано «$(0{,}64b+1{,}28a)b$», но ответ учебника получается для «$(0{,}64a+1{,}28b)b$»: только тогда в обеих скобках стоит $a+2b$. В п. 2 тоже, судя по всему, переставлены буквы: общая скобка получается для «$(0{,}09b-0{,}81a)b$».

Ответ: 1) $0{,}16(a+2b)(a-4b)$; 2) $0{,}09(b-9a)^{2}$ (для исправленного условия); 3) $0{,}49x(y+1)(10x-7y)$; 4) $\left(\frac{7}{9}ab-k\right)(a+b+k)$; 5) $2{,}5(xy+0{,}5m)(1+y-x)$.

Уровень C

Это самые трудные задания. Если получилось хотя бы начать, ты уже молодец!

№ 15.11

Разложи на множители: 1) $\left(\frac{121}{144}mnx+\frac{22}{12}mx\right)-n\left(\frac{11}{12}n+2\right)+\frac{1}{2}\left(4+1\frac{5}{6}n\right)$; 2) $(169abc-196cbax)+(13^{2}y-14^{2}yx)-(14^{2}x-13^{2})$; 3) $(225x^{2}yz^{3}-289yz)-(15^{2}x^{2}z^{2}-17^{2})+(17^{2}-225x^{2}z^{2})$; 4) $(450tk^{3}-225k^{2})+t(8t^{2}k-4t)-2\left(\frac{1}{2}-tk\right)$.

Как думать. Это задачи на «разглядеть». Заметь числа вроде $169=13^{2}$ и подбирай общую скобку.

Решение.

1. $\frac{121}{144}mnx+\frac{22}{12}mx=\frac{11}{12}mx\left(\frac{11}{12}n+2\right)$. Последний член: $\frac{1}{2}\left(4+\frac{11}{6}n\right)=2+\frac{11}{12}n=\frac{11}{12}n+2$. Значит, общая скобка $\left(\frac{11}{12}n+2\right)$: $\left(\frac{11}{12}n+2\right)\left(\frac{11}{12}mx-n+1\right)$.
2. $169=13^{2}$, $196=14^{2}$. Раскрываем: $13^{2}abc-14^{2}abcx+13^{2}y-14^{2}xy-14^{2}x+13^{2}$. Группируем: $13^{2}(abc+y+1)-14^{2}x(abc+y+1)=(169-196x)(abc+y+1)$.
3. Раскрываем скобки: $225x^{2}yz^{3}-289yz-225x^{2}z^{2}+289+289-225x^{2}z^{2}$. Группируем: $225x^{2}z^{2}(yz-2)-289(yz-2)=(yz-2)(225x^{2}z^{2}-289)$.
4. Раскрываем: $450tk^{3}-225k^{2}+8t^{3}k-4t^{2}-1+2tk$. Сгруппируем по $(2tk-1)$: $225k^{2}(2tk-1)+4t^{2}(2tk-1)+(2tk-1)=(2tk-1)(225k^{2}+4t^{2}+1)$.

Ответ: 1) $\left(\frac{11}{12}n+2\right)\left(\frac{11}{12}mx-n+1\right)$; 2) $(169-196x)(abc+y+1)$; 3) $(yz-2)(225x^{2}z^{2}-289)$; 4) $(2tk-1)(225k^{2}+4t^{2}+1)$.

№ 15.12

Реши уравнения: 1) $(7x-5)x=1{,}5-2{,}1x$; 2) $(1-8x)x=11{,}2x-1{,}4$; 3) $\left(1{,}7x-\frac{1}{3}\right)x=\frac{1}{2}(3-15{,}3x)$; 4) $\left(\frac{x}{7}-1\frac{6}{7}\right)x=\frac{1}{35}(3{,}9-0{,}3x)$.

Как думать. Перенеси всё в одну часть и разложи на множители. Получится произведение скобок, равное нулю.

Решение.

1. $(7x-5)x+2{,}1x-1{,}5=0$; $2{,}1x-1{,}5=0{,}3(7x-5)$. Тогда $(7x-5)(x+0{,}3)=0$: $x=\frac{5}{7}$ или $x=-0{,}3$.
2. $11{,}2x-1{,}4=1{,}4(8x-1)$. Уравнение: $(1-8x)x-1{,}4(8x-1)=0$, то есть $(1-8x)(x+1{,}4)=0$: $x=\frac{1}{8}$ или $x=-1{,}4$.
3. $3-15{,}3x=-9\left(1{,}7x-\frac{1}{3}\right)$, значит правая часть $=-4{,}5\left(1{,}7x-\frac{1}{3}\right)$. Уравнение: $\left(1{,}7x-\frac{1}{3}\right)(x+4{,}5)=0$. Отсюда $x=-4{,}5$ или $1{,}7x=\frac{1}{3}$, $x=\frac{10}{51}$.
4. $\frac{x}{7}-1\frac{6}{7}=\frac{x-13}{7}$; $3{,}9-0{,}3x=-0{,}3(x-13)$. Уравнение: $\frac{(x-13)x}{7}+\frac{0{,}3}{35}(x-13)=0$, то есть $(x-13)\left(\frac{x}{7}+\frac{3}{350}\right)=0$. Отсюда $x=13$ или $x=-\frac{3}{50}=-0{,}06$.

Ответ: 1) $-0{,}3$; $\frac{5}{7}$; 2) $-1{,}4$; $\frac{1}{8}$; 3) $-4{,}5$; $\frac{10}{51}$; 4) $-0{,}06$; $13$.

№ 15.13

Реши уравнения: 1) $x(14x^{2}-49x)-8x(2x-7)=0$; 2) $9x(125x-25x^{2})-x(15x-3x^{2})=0$; 3) $9y(0{,}81y^{2}-0{,}9y)=10y(0{,}1-0{,}09y)$; 4) $8y\left(\frac{3}{4}y^{2}-\frac{9}{16}y\right)=\frac{1}{7}y^{2}-\frac{3}{28}y$.

Как думать. Сначала вынеси что можно внутри скобок, потом общий множитель всего уравнения.

Решение.

1. $14x^{2}-49x=7x(2x-7)$. Получаем $7x^{2}(2x-7)-8x(2x-7)=x(2x-7)(7x-8)=0$. Корни: $0$; $3{,}5$; $\frac{8}{7}=1\frac{1}{7}$.
2. $125x-25x^{2}=25x(5-x)$ и $15x-3x^{2}=3x(5-x)$. Получаем $225x^{2}(5-x)-3x^{2}(5-x)=222x^{2}(5-x)=0$. Корни: $0$; $5$.
3. $0{,}81y^{2}-0{,}9y=0{,}9y(0{,}9y-1)$ и $0{,}1-0{,}09y=0{,}1(1-0{,}9y)$. Получаем $8{,}1y^{2}(0{,}9y-1)=y(1-0{,}9y)$, то есть $y(0{,}9y-1)(8{,}1y+1)=0$. Корни: $0$; $\frac{10}{9}$; $-\frac{10}{81}$.
4. $8y\left(\frac{3}{4}y^{2}-\frac{9}{16}y\right)=6y^{3}-4{,}5y^{2}=6y^{2}\left(y-\frac{3}{4}\right)$. Правая часть $\frac{1}{7}y\left(y-\frac{3}{4}\right)$. Получаем $y\left(y-\frac{3}{4}\right)\left(6y-\frac{1}{7}\right)=0$. Корни: $0$; $\frac{3}{4}$; $\frac{1}{42}$.

Ответ: 1) $0$; $1\frac{1}{7}$; $3{,}5$; 2) $0$; $5$; 3) $0$; $\frac{10}{9}$; $-\frac{10}{81}$; 4) $0$; $\frac{3}{4}$; $\frac{1}{42}$.

Готовимся к следующей теме

№ 15.14

Выполни умножение: 1) $(5+a)(5-a)$; 2) $(a+4)(a-4)$; 3) $(c+7)(c-7)$; 4) $(d+8)(8-d)$; 5) $(m+n)(m-4)$; 6) $(k+t)(k-t)$.

Как думать. «Каждый с каждым», как в § 13. Посмотри, что станет со средними членами: у первых четырёх они уничтожаются.

Решение.

1. $25-5a+5a-a^{2}=25-a^{2}$.
2. $a^{2}-4a+4a-16=a^{2}-16$.
3. $c^{2}-7c+7c-49=c^{2}-49$.
4. $64-8d+8d-d^{2}=64-d^{2}$.
5. $m^{2}-4m+mn-4n$.
6. $k^{2}-kt+kt-t^{2}=k^{2}-t^{2}$.

💡 Заметил закономерность? $(p+q)(p-q)=p^{2}-q^{2}$. Это формула сокращённого умножения, о ней будет целый раздел V.

Ответ: 1) $25-a^{2}$; 2) $a^{2}-16$; 3) $c^{2}-49$; 4) $64-d^{2}$; 5) $m^{2}-4m+mn-4n$; 6) $k^{2}-t^{2}$.

Шпаргалка

• В скобках на месте члена, совпавшего с множителем, остаётся $1$.
• Из уравнения $x(x+a)=0$ получаем корни $0$ и $-a$.
• Общим множителем может быть число, одночлен или многочлен.

Мини-тест