§ 16. Разложение многочлена на множители способом группировки — Алгебра 7 класс, Абылкасымова: разбор и ответы
Ookul.kz · разбор уроков

Разберём любой номер вместе!

§ 16. Разложение многочлена на множители способом группировки

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 2: Многочлены. Страницы 105–109.

Чему научишься

  • Понимать, когда общего множителя на все слагаемые нет и нужна группировка.
  • Раскладывать четырёхчлены и шестичлены на множители по алгоритму из трёх шагов.
  • Делать группировку разными способами и проверять результат умножением.
  • Раскладывать трёхчлены вида $x^2+px+q$, разбивая среднее слагаемое на два.
  • Решать уравнения, где левая часть раскладывается на множители, а правая равна нулю.

Разминка

Помнишь вынесение общего множителя за скобки из прошлого параграфа? Три вопроса, чтобы разогреться.

  • Как вынести общий множитель в выражении $6x+9y$? Общий множитель 3: $6x+9y=3(2x+3y)$.
  • Как проверить, что разложение верное? Раскрыть скобки обратно и получить исходный многочлен.
  • Чему равно произведение, если один из множителей равен нулю? Нулю: $0\cdot 17=0$.

Разбираемся

Когда вынести нечего

Возьмём многочлен $ax+ay+bx+by$. У всех четырёх слагаемых общего множителя нет: в первом есть $a$ и $x$, в последнем $b$ и $y$. Но слагаемые можно собрать в пары, и в каждой паре общий множитель найдётся.

💡 Группировка — это умение переставить слагаемые и взять их в скобки так, чтобы в каждой скобке нашёлся свой общий множитель.

Три шага

Покажем на многочлене $20a-4ab+5c-bc$.

  1. Собираем пары с общим множителем: $(20a+5c)+(-4ab-bc)$.
  2. Выносим множитель из каждой пары: $5(4a+c)-b(4a+c)$.
  3. Выносим общую скобку: $(4a+c)(5-b)$.

Скобки $(4a+c)$ в обеих частях получились одинаковыми. Это главный сигнал, что группировка удалась. Если скобки разные, пары собраны неудачно: пробуй другие.

Два способа, один результат

Многочлен можно группировать по-разному. Разложим $nt-mt-4t+5n-5m-20$.

Способ 1: по столбцам, где есть общие $n$, $m$ и число: $(nt+5n)-(mt+5m)-(4t+20)=n(t+5)-m(t+5)-4(t+5)=(t+5)(n-m-4)$.

Способ 2: по «первой тройке» и «второй тройке»: $(nt-mt-4t)+(5n-5m-20)=t(n-m-4)+5(n-m-4)=(t+5)(n-m-4)$.

Ответ один и тот же, потому что разложение на множители единственное с точностью до порядка.

📌 Алгоритм. 1) Распредели слагаемые по группам с общим множителем. 2) Вынеси общий множитель в каждой группе. 3) Вынеси общую скобку.

Когда слагаемых не хватает

Многочлен $z^2+14z+33$ — трёхчлен, в пары его не соберёшь. Хитрость: разбей среднее слагаемое $14z$ на сумму $3z+11z$. Почему именно так? Потому что $3\cdot 11=33$ и $3+11=14$.

$z^2+14z+33=z^2+11z+3z+33=z(z+11)+3(z+11)=(z+11)(z+3)$.

⚠️ Частая ошибка. Забыть знак при вынесении минуса. Если выносишь $-b$ из $-4ab-bc$, то внутри скобки знаки меняются на противоположные... нет, не меняются: $-4ab-bc=-b(4a+c)$, внутри остаются плюсы. А вот при вынесении $-3$ из $-3x+6$ получится $-3(x-2)$. Всегда проверяй раскрытием скобок.

Зачем это нужно: уравнения

Решим $y^2+2y-63=0$. Разложим левую часть: $y^2+2y-63=y^2-7y+9y-63=y(y-7)+9(y-7)=(y-7)(y+9)$.

Получилось $(y-7)(y+9)=0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $y-7=0$ или $y+9=0$. Значит, $y=7$ или $y=-9$.

🌟 Так, разложением на множители, люди решали квадратные уравнения задолго до появления формул корней. Эта идея пригодится тебе и в 8 классе.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка после каждого разложения умножить скобки обратно. Это 30 секунд, зато ошибка в знаке находится сразу. Если скобки после вынесения получились разными, не переписывайте всё: достаточно переставить слагаемые.

Проверь, как понял

Проверь себя

  • В каких случаях для разложения многочлена на множители можно применить способ группировки? Когда общего множителя у всех слагаемых нет, но слагаемые можно собрать в группы, и в каждой группе общий множитель есть. Иногда для этого одно слагаемое сначала заменяют суммой двух.
  • Каков алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки? 1) Распределить слагаемые по группам с общим множителем. 2) Вынести общий множитель в каждой группе. 3) Вынести общую скобку, которая получилась.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 16.1

Разложи на множители способом группировки: 1) $x+xy+a+ay$; 2) $4+2m+2n+mn$; 3) $kt+t-2k-2$; 4) $ab+ac+7b+7c$; 5) $am+an+4m+4n$; 6) $xz+yz-3x-3y$.

Как думать. Четыре слагаемых: собираем их в две пары, в каждой ищем общий множитель. Если скобки совпали, ты на верном пути.

Решение.

  1. $(x+xy)+(a+ay)=x(1+y)+a(1+y)=(1+y)(x+a)$.
  2. $(4+2m)+(2n+mn)=2(2+m)+n(2+m)=(2+m)(2+n)$.
  3. $(kt+t)-(2k+2)=t(k+1)-2(k+1)=(k+1)(t-2)$.
  4. $(ab+ac)+(7b+7c)=a(b+c)+7(b+c)=(b+c)(a+7)$.
  5. $(am+an)+(4m+4n)=a(m+n)+4(m+n)=(m+n)(a+4)$.
  6. $(xz+yz)-(3x+3y)=z(x+y)-3(x+y)=(x+y)(z-3)$.

Ответ: 1) $(1+y)(x+a)$; 2) $(2+m)(2+n)$; 3) $(k+1)(t-2)$; 4) $(b+c)(a+7)$; 5) $(m+n)(a+4)$; 6) $(x+y)(z-3)$.

№ 16.2

Разложи на множители: 1) $9x+xy+8y+72$; 2) $bx-4b+ax-4a$; 3) $4a-ay-by+4b$; 4) $7ax-ay+7bx-by$; 5) $11ay-by-77a+7b$; 6) $13x-ax+13y-ay$.

Как думать. Здесь слагаемые стоят вперемешку. Ищи пары, которые делят общую букву или число, и не бойся переставить слагаемые.

Решение.

  1. Переставим: $(9x+xy)+(8y+72)=x(9+y)+8(y+9)=(y+9)(x+8)$.
  2. $(bx-4b)+(ax-4a)=b(x-4)+a(x-4)=(x-4)(a+b)$.
  3. $(4a-ay)+(4b-by)=a(4-y)+b(4-y)=(4-y)(a+b)$.
  4. $(7ax-ay)+(7bx-by)=a(7x-y)+b(7x-y)=(7x-y)(a+b)$.
  5. $(11ay-by)-(77a-7b)=y(11a-b)-7(11a-b)=(11a-b)(y-7)$.
  6. $(13x-ax)+(13y-ay)=x(13-a)+y(13-a)=(13-a)(x+y)$.

Ответ: 1) $(y+9)(x+8)$; 2) $(x-4)(a+b)$; 3) $(4-y)(a+b)$; 4) $(7x-y)(a+b)$; 5) $(11a-b)(y-7)$; 6) $(13-a)(x+y)$. Ответы 5 и 6 совпадают с учебником.

№ 16.3

Разложи на множители, в многочленах есть дроби и десятичные числа: 1) $0{,}5xt+yt+0{,}5xk+yk$; 2) $xk+0{,}5yk+xt+0{,}5yt$; 3) $0{,}7ax-bx+0{,}7ay-by$; 4) $\frac{2}{3}by-ay+\frac{2}{3}bx-ax$; 5) $\frac{5}{6}a-ax+\frac{5}{6}b-bx$; 6) $\frac{7}{8}ax-a+\frac{7}{8}bx-b$.

Как думать. Дроби и десятичные числа не меняют идею: группируем так же, а скобка с дробью просто остаётся в ответе.

Решение.

  1. $t(0{,}5x+y)+k(0{,}5x+y)=(0{,}5x+y)(t+k)$.
  2. $k(x+0{,}5y)+t(x+0{,}5y)=(x+0{,}5y)(k+t)$.
  3. $x(0{,}7a-b)+y(0{,}7a-b)=(0{,}7a-b)(x+y)$.
  4. $y\left(\frac{2}{3}b-a\right)+x\left(\frac{2}{3}b-a\right)=\left(\frac{2}{3}b-a\right)(x+y)$.
  5. $a\left(\frac{5}{6}-x\right)+b\left(\frac{5}{6}-x\right)=\left(\frac{5}{6}-x\right)(a+b)$.
  6. $a\left(\frac{7}{8}x-1\right)+b\left(\frac{7}{8}x-1\right)=\left(\frac{7}{8}x-1\right)(a+b)$.

Ответ: 1) $(0{,}5x+y)(t+k)$; 2) $(x+0{,}5y)(k+t)$; 3) $(0{,}7a-b)(x+y)$; 4) $\left(\frac{2}{3}b-a\right)(x+y)$; 5) $\left(\frac{5}{6}-x\right)(a+b)$; 6) $\left(\frac{7}{8}x-1\right)(a+b)$.

№ 16.4

Разложи на множители: 1) $2ax+3bx+10a+15b$; 2) $3my-2ny-9m+6n$; 3) $7ax+8ay-28x-32y$; 4) $48m+56n-6am-7an$; 5) $12{,}1y-4{,}4z+8yz-22y^2$; 6) $0{,}09t-0{,}07k+27at-21ak$.

Как думать. Теперь в парах общие множители — числа: 5, 3, 4, 8. Подбирай пары так, чтобы после вынесения скобки совпали.

Решение.

  1. $x(2a+3b)+5(2a+3b)=(2a+3b)(x+5)$.
  2. $y(3m-2n)-3(3m-2n)=(3m-2n)(y-3)$.
  3. $a(7x+8y)-4(7x+8y)=(7x+8y)(a-4)$.
  4. $8(6m+7n)-a(6m+7n)=(6m+7n)(8-a)$.
  5. $(12{,}1y-4{,}4z)+(8yz-22y^2)=1{,}1(11y-4z)+2y(4z-11y)=1{,}1(11y-4z)-2y(11y-4z)=(11y-4z)(1{,}1-2y)$.
  6. $(0{,}09t-0{,}07k)+(27at-21ak)=0{,}01(9t-7k)+3a(9t-7k)=(9t-7k)(0{,}01+3a)$.

Ответ: 1) $(2a+3b)(x+5)$; 2) $(3m-2n)(y-3)$; 3) $(7x+8y)(a-4)$; 4) $(6m+7n)(8-a)$; 5) $(11y-4z)(1{,}1-2y)$; 6) $(9t-7k)(0{,}01+3a)$. Пункты 5 и 6 совпали с учебником.

№ 16.5

Разложи на множители: 1) $a-0{,}25b+4ax-bx$; 2) $0{,}6b-3{,}5x+1{,}2by-7xy$; 3) $\frac{1}{7}ax+\frac{1}{3}bx+3a+7b$; 4) $\frac{3}{8}by-\frac{2}{7}xy-21b+16x$; 5) $4x-5b-\frac{x^2}{5}+\frac{xb}{4}$; 6) $3by-4nx+\frac{aby}{4}-\frac{anx}{3}$; 7) $20xy-21ab+\frac{5}{6}xyc-\frac{7}{8}abc$; 8) $x-6a+\frac{xy}{3}-2ay$; 9) $\frac{abx}{9}+\frac{cax}{27}-3b-c$; 10) $\frac{abm}{3}+\frac{abn}{4}-4m-3n$; 11) $\frac{kxy}{5}-\frac{txy}{3}+3k-5t$; 12) $4tx+7kx+\frac{ty}{7}+\frac{ky}{4}$.

Как думать. Это упражнение на внимательность. Главная хитрость: найти, где спрятан «скрытый» двучлен вроде $4a-b$ или $3k-5t$, и подобрать числовой множитель, чтобы он проявился.

Решение.

  1. $(a-0{,}25b)+(4ax-bx)=0{,}25(4a-b)+x(4a-b)=(4a-b)(0{,}25+x)$.
  2. $(0{,}6b-3{,}5x)+(1{,}2by-7xy)=0{,}1(6b-35x)+0{,}2y(6b-35x)=(6b-35x)(0{,}1+0{,}2y)$.
  3. $\left(\frac{1}{7}ax+3a\right)+\left(\frac{1}{3}bx+7b\right)=\frac{a}{7}(x+21)+\frac{b}{3}(x+21)=(x+21)\left(\frac{a}{7}+\frac{b}{3}\right)$.
  4. $\left(\frac{3}{8}by-21b\right)+\left(16x-\frac{2}{7}xy\right)=\frac{3b}{8}(y-56)-\frac{2x}{7}(y-56)=(y-56)\left(\frac{3b}{8}-\frac{2x}{7}\right)$.
  5. $\left(4x-\frac{x^2}{5}\right)+\left(\frac{xb}{4}-5b\right)=\frac{x}{5}(20-x)-\frac{b}{4}(20-x)=(20-x)\left(\frac{x}{5}-\frac{b}{4}\right)$.
  6. $\left(3by+\frac{aby}{4}\right)-\left(4nx+\frac{anx}{3}\right)=\frac{by}{4}(12+a)-\frac{nx}{3}(12+a)=(12+a)\left(\frac{by}{4}-\frac{nx}{3}\right)$.
  7. $\left(20xy+\frac{5}{6}xyc\right)-\left(21ab+\frac{7}{8}abc\right)=\frac{5xy}{6}(24+c)-\frac{7ab}{8}(24+c)=(24+c)\left(\frac{5xy}{6}-\frac{7ab}{8}\right)$.
  8. $\left(x+\frac{xy}{3}\right)-(6a+2ay)=\frac{x}{3}(3+y)-2a(3+y)=(3+y)\left(\frac{x}{3}-2a\right)$.
  9. $\left(\frac{abx}{9}+\frac{cax}{27}\right)-(3b+c)=\frac{ax}{27}(3b+c)-(3b+c)=(3b+c)\left(\frac{ax}{27}-1\right)$.
  10. $\left(\frac{abm}{3}+\frac{abn}{4}\right)-(4m+3n)=\frac{ab}{12}(4m+3n)-(4m+3n)=(4m+3n)\left(\frac{ab}{12}-1\right)$.
  11. $\left(\frac{kxy}{5}-\frac{txy}{3}\right)+(3k-5t)=\frac{xy}{15}(3k-5t)+(3k-5t)=(3k-5t)\left(\frac{xy}{15}+1\right)$.
  12. $(4tx+7kx)+\left(\frac{ty}{7}+\frac{ky}{4}\right)=x(4t+7k)+\frac{y}{28}(4t+7k)=(4t+7k)\left(x+\frac{y}{28}\right)$.

Проверь хотя бы один пункт умножением. Например, в пункте 5: $(20-x)\left(\frac{x}{5}-\frac{b}{4}\right)=4x-5b-\frac{x^2}{5}+\frac{xb}{4}$ — совпало.

Ответ: 1) $(4a-b)(0{,}25+x)$; 2) $(6b-35x)(0{,}1+0{,}2y)$; 3) $(x+21)\left(\frac{a}{7}+\frac{b}{3}\right)$; 4) $(y-56)\left(\frac{3b}{8}-\frac{2x}{7}\right)$; 5) $(20-x)\left(\frac{x}{5}-\frac{b}{4}\right)$; 6) $(12+a)\left(\frac{by}{4}-\frac{nx}{3}\right)$; 7) $(24+c)\left(\frac{5xy}{6}-\frac{7ab}{8}\right)$; 8) $(3+y)\left(\frac{x}{3}-2a\right)$; 9) $(3b+c)\left(\frac{ax}{27}-1\right)$; 10) $(4m+3n)\left(\frac{ab}{12}-1\right)$; 11) $(3k-5t)\left(\frac{xy}{15}+1\right)$; 12) $(4t+7k)\left(x+\frac{y}{28}\right)$.

Ответы учебника по 16.5 в файле ответов отсутствуют. Каждое разложение проверено умножением скобок.

№ 16.6

Найди значение выражения: 1) $6x^2-6xy+8x+8y$ при $x=-4$, $y=2$; 2) $b^2+bc+ab+ac$ при $a=-1$, $b=-2$, $c=-0{,}5$; 3) $3xy-x^3y^3-6+2x^2y^2$ при $x=\frac{2}{3}$, $y=\frac{3}{4}$.

Как думать. В пунктах 1 и 2 сначала раскладываем группировкой, потом подставляем: так считать легче. В пункте 3 разложение не нужно: заметь, что $xy$ получается красивым числом.

Решение.

  1. $6x^2-6xy+8x+8y=6x(x-y)+8(x+y)$. При $x=-4$, $y=2$: $x-y=-6$, $x+y=-2$. Получаем $6\cdot(-4)\cdot(-6)+8\cdot(-2)=144-16=128$.
  2. $b^2+bc+ab+ac=b(b+c)+a(b+c)=(b+c)(b+a)$. При $a=-1$, $b=-2$, $c=-0{,}5$: $b+c=-2{,}5$, $b+a=-3$, произведение $(-2{,}5)\cdot(-3)=7{,}5$.
  3. $xy=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$. Тогда $x^3y^3=\frac{1}{8}$, $x^2y^2=\frac{1}{4}$. Выражение равно $3\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{8}-6+2\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{2}-\frac{1}{8}-6+\frac{1}{2}=2-\frac{1}{8}-6=-4\frac{1}{8}$.

Ответ: 1) 128; 2) 7,5; 3) $-4\frac{1}{8}$, то есть $-\frac{33}{8}$.

Уровень B

№ 16.7

Разложи на множители, группируя по три слагаемых: 1) $am+an+ak+bm+bn+bk$; 2) $ax+bx+cx+ay+by+cy$; 3) $mx+my+mz-nx-ny-nz$; 4) $ta+tb+tc-ak-bk-ck$; 5) $am-an-ak-bm+bn+bk$; 6) $ax-bx-cx-ay+by+cy$.

Как думать. Шесть слагаемых делим на две тройки. В каждой тройке находим общий множитель, и снова должны получиться одинаковые скобки из трёх слагаемых.

Решение.

  1. $a(m+n+k)+b(m+n+k)=(m+n+k)(a+b)$.
  2. $x(a+b+c)+y(a+b+c)=(a+b+c)(x+y)$.
  3. $m(x+y+z)-n(x+y+z)=(x+y+z)(m-n)$.
  4. $t(a+b+c)-k(a+b+c)=(a+b+c)(t-k)$.
  5. $a(m-n-k)-b(m-n-k)=(m-n-k)(a-b)$. Проверка знаков второй тройки: $-b(m-n-k)=-bm+bn+bk$ — так и есть.
  6. $x(a-b-c)-y(a-b-c)=(a-b-c)(x-y)$. Проверка: $-y(a-b-c)=-ay+by+cy$.

Ответ: 1) $(m+n+k)(a+b)$; 2) $(a+b+c)(x+y)$; 3) $(x+y+z)(m-n)$; 4) $(a+b+c)(t-k)$; 5) $(m-n-k)(a-b)$; 6) $(a-b-c)(x-y)$. Пункты 1–4 совпали с учебником.

№ 16.8

Разложи на множители, разбив среднее слагаемое на два: 1) $a^2+2a-15$; 2) $b^2+3b-28$; 3) $x^2+15x+54$; 4) $y^2-5y+6$; 5) $m^2+15m+56$; 6) $n^2-n-110$; 7) $k^2-17k+72$; 8) $t^2-2t-63$.

Как думать. Для $x^2+px+q$ ищем два числа: их произведение равно $q$, а сумма равна $p$. Эти числа и «разделят» среднее слагаемое.

Решение.

  1. Числа 5 и $-3$ ($5\cdot(-3)=-15$, $5-3=2$): $a^2-3a+5a-15=a(a-3)+5(a-3)=(a-3)(a+5)$.
  2. Числа 7 и $-4$ ($-28$ и $3$): $b^2-4b+7b-28=b(b-4)+7(b-4)=(b-4)(b+7)$.
  3. Числа 6 и 9: $(x+6)(x+9)$ (разобрано выше).
  4. Числа $-2$ и $-3$ ($6$ и $-5$): $y^2-2y-3y+6=y(y-2)-3(y-2)=(y-2)(y-3)$.
  5. Числа 7 и 8 ($56$ и $15$): $m^2+7m+8m+56=m(m+7)+8(m+7)=(m+7)(m+8)$.
  6. Числа $-11$ и 10 ($-110$ и $-1$): $n^2-11n+10n-110=n(n-11)+10(n-11)=(n-11)(n+10)$.
  7. Числа $-8$ и $-9$ ($72$ и $-17$): $k^2-8k-9k+72=k(k-8)-9(k-8)=(k-8)(k-9)$.
  8. Числа $-9$ и 7 ($-63$ и $-2$): $t^2-9t+7t-63=t(t-9)+7(t-9)=(t-9)(t+7)$.

Ответ: 1) $(a-3)(a+5)$; 2) $(b-4)(b+7)$; 3) $(x+6)(x+9)$; 4) $(y-2)(y-3)$; 5) $(m+7)(m+8)$; 6) $(n-11)(n+10)$; 7) $(k-8)(k-9)$; 8) $(t-9)(t+7)$. Пункты 1, 3 и 8 совпали с учебником.

№ 16.9

Реши уравнение, разложив левую часть на множители: 1) $x^2-5x+6=0$; 2) $x^2+5x+6=0$; 3) $x^2+x-6=0$; 4) $x^2-x-6=0$; 5) $x^2-5x+4=0$; 6) $x^2+5x+4=0$.

Как думать. Раскладываем левую часть так же, как в № 16.8, и приравниваем каждую скобку к нулю.

Решение.

  1. $x^2-2x-3x+6=x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3)=0$. Корни 2 и 3.
  2. $x^2+2x+3x+6=x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)=0$. Корни $-2$ и $-3$.
  3. $x^2+3x-2x-6=x(x+3)-2(x+3)=(x+3)(x-2)=0$. Корни $-3$ и 2.
  4. $x^2-3x+2x-6=x(x-3)+2(x-3)=(x-3)(x+2)=0$. Корни 3 и $-2$.
  5. $x^2-x-4x+4=x(x-1)-4(x-1)=(x-1)(x-4)=0$. Корни 1 и 4.
  6. $x^2+x+4x+4=x(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x+4)=0$. Корни $-1$ и $-4$.

Ответ: 1) 2; 3; 2) $-3$; $-2$; 3) $-3$; 2; 4) $-2$; 3; 5) 1; 4; 6) $-4$; $-1$. Пункты 1–5 совпали с учебником.

Уровень C

№ 16.10

Разложи на множители способом группировки: 1) $2am-2bm+2cm+3an-3bn+3cn$; 2) $3mx+3nx+3kx-2my-2ny-2ky$; 3) $7tx+7ty+7tz+4kx+4ky+4kz$; 4) $11at+11ak+11ap-9bt-9bk-9pb$.

Как думать. Задание уровня C, но схема та же, что в № 16.7: две тройки. Только теперь в каждой тройке сначала выносится числовой множитель. Молодец, что решаешь трудный уровень!

Решение.

  1. $2m(a-b+c)+3n(a-b+c)=(a-b+c)(2m+3n)$.
  2. $3x(m+n+k)-2y(m+n+k)=(m+n+k)(3x-2y)$.
  3. $7t(x+y+z)+4k(x+y+z)=(x+y+z)(7t+4k)$.
  4. $11a(t+k+p)-9b(t+k+p)=(t+k+p)(11a-9b)$.

Ответ: 1) $(2m+3n)(a-b+c)$; 2) $(3x-2y)(m+n+k)$; 3) $(7t+4k)(x+y+z)$; 4) $(11a-9b)(t+k+p)$. Совпадает с учебником.

№ 16.11

Реши уравнение, разложив на множители выражения в скобках: 1) $(x^2-3x+2)(x^2-7x+12)=0$; 2) $(2+3x+x^2)(12+7x+x^2)=0$; 3) $(1-2x^2+x)(5-10{,}5x+x^2)=0$; 4) $(12-7x+x^2)(5x-1-6x^2)=0$.

Как думать. Каждую скобку раскладываем на множители, затем приравниваем каждый множитель к нулю. Сколько множителей, столько и корней.

Решение.

  1. Разобрано выше: корни 1; 2; 3; 4.
  2. $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$, $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$. Корни $-1$; $-2$; $-3$; $-4$.
  3. Первая скобка: $-2x^2+x+1=-(2x^2-x-1)=-(2x^2-2x+x-1)=-(x-1)(2x+1)$. Вторая: $x^2-10{,}5x+5=x^2-10x-0{,}5x+5=x(x-10)-0{,}5(x-10)=(x-10)(x-0{,}5)$. Корни: $x=1$, $x=-0{,}5$, $x=10$, $x=0{,}5$.
  4. Первая скобка: $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$. Вторая: $-6x^2+5x-1=-(6x^2-5x+1)=-(6x^2-2x-3x+1)=-(3x-1)(2x-1)$. Корни: 3; 4; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{2}$.

Проверка пункта 3: при $x=10$ вторая скобка $5-105+100=0$. Верно.

Ответ: 1) 1; 2; 3; 4; 2) $-1$; $-2$; $-3$; $-4$; 3) $-\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$; 1; 10; 4) $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{2}$; 3; 4. Пункты 1–3 совпали с учебником.

Готовимся к следующей теме

№ 16.12

Запиши формулу площади фигуры: квадрат со стороной $a$ см и два одинаковых прямоугольника со сторонами $a$ см и $b$ см.

Как думать. Площадь составной фигуры — это сумма площадей её частей. Считаем отдельно квадрат и отдельно прямоугольники.

Решение.

  1. Квадрат: $a\cdot a=a^2$.
  2. Один прямоугольник: $a\cdot b=ab$. Их два, значит, $2ab$.
  3. Вся фигура: $S=a^2+2ab$.

Можно вынести общий множитель: $S=a(a+2b)$. Это одна и та же площадь.

Ответ: $S=a^2+2ab$ см².

Шпаргалка

  • Группировать можно по-разному, ответ получится один и тот же.
  • Если после вынесения скобки не совпали, пробуй другие пары.
  • Проверка — раскрыть скобки и сравнить с исходным многочленом.
  • Знак минус выносится вместе со сменой знаков в скобке.

Мини-тест

← § 15. Разложение многочлена на множители с вынесением общего множителя за скобки · § 17. Тождественные преобразования выражений →