§ 17. Тождественные преобразования выражений

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 2: Многочлены. Страницы 109–113.

Чему научишься

• Объяснять, что такое тождество и тождественно равные выражения.
• Упрощать выражения: раскрывать скобки, умножать многочлены, приводить подобные слагаемые.
• Представлять многочлен в виде произведения: выносить множитель и группировать.
• Доказывать тождества, преобразуя одну или обе части равенства.
• Решать уравнения и неравенства, сначала упростив обе части.

Разминка

Ты уже знаешь всё нужное из прошлых параграфов. Вспомним три вещи.

• Что такое тождество? Равенство с переменной, верное при любых её значениях. Например, $2(x+1)=2x+2$.
• Как умножить многочлен на многочлен? Каждое слагаемое первого умножить на каждое слагаемое второго и сложить: $(a+2)(a+3)=a^2+3a+2a+6=a^2+5a+6$.
• Что значит «привести подобные»? Сложить слагаемые с одинаковой буквенной частью: $5x^2-2x^2=3x^2$.

Разбираемся

Что такое «тождественное преобразование»

Выражения $3(x+2)$ и $3x+6$ дают одинаковые числа при любом $x$. Их называют тождественно равными. Когда ты заменяешь одно выражение на другое, равное ему при всех значениях переменных, это и есть тождественное преобразование.

💡 Преобразование выражения — как переодеть человека: одежда другая, человек тот же. Значения выражения не меняются.

Чтобы доказать тождество, есть три пути:

1. Преобразовывать левую часть, пока не получится правая.
2. Преобразовывать правую часть, пока не получится левая.
3. Преобразовывать обе части, пока не получатся одинаковые выражения.

⚠️ Частая ошибка. Нельзя «переносить» слагаемые через знак равенства, пока тождество не доказано. Иначе ты предполагаешь то, что нужно доказать. Работай с каждой частью отдельно.

Упрощаем: скобки, умножение, подобные

Упростим $(2x-3)(x^2+x-5)-(2x^3-x^2)$.

Превращаем сумму в произведение

Иногда нужно сделать наоборот: из суммы получить произведение. Тогда выносим общий множитель и группируем.

Пример: $3a^2b-2ab-9ab^3+6b^3$.

1. Общий множитель у всех слагаемых — $b$: $b(3a^2-2a-9ab^2+6b^2)$.
2. Группируем: $b\big((3a^2-9ab^2)+(6b^2-2a)\big)=b\big(3a(a-3b^2)+2(3b^2-a)\big)$.
3. Меняем знак во втором слагаемом: $3b^2-a=-(a-3b^2)$, получаем $b\big(3a(a-3b^2)-2(a-3b^2)\big)=b(a-3b^2)(3a-2)$.

📌 Если скобки отличаются только знаками, вынеси минус из одной из них: $(3b^2-a)=-(a-3b^2)$. Тогда скобки совпадут.

Упрощение внутри неравенства

Найдём наименьшее целое $x$, при котором верно $(x+3)(x-2)\le x^2+4x-1$.

1. Раскрываем скобки слева: $x^2+x-6\le x^2+4x-1$.
2. $x^2$ есть с обеих сторон, они сокращаются: $x-6\le 4x-1$.
3. Переносим: $x-4x\le -1+6$, то есть $-3x\le 5$.
4. Делим на $-3$ и меняем знак неравенства: $x\ge -\frac{5}{3}$.
5. Число $-\frac{5}{3}\approx -1{,}67$. Наименьшее целое справа от него — это $-1$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Главная ловушка этого параграфа — знаки. Попросите ребёнка проговаривать вслух: «минус перед скобкой меняет все знаки внутри» и «деление на отрицательное меняет знак неравенства».

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как преобразовать выражение? Раскрыть скобки, перемножить многочлены, привести подобные слагаемые. Если нужно произведение — вынести общий множитель или сгруппировать слагаемые.
• Что значит доказать тождество? Показать цепочкой преобразований, что обе части равенства совпадают при любых значениях переменных.
• Как найти наименьшее целое решение неравенства? Упростить, решить неравенство, найти ближайшее целое число внутри промежутка решений.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 17.1

Упростите выражения: 1) $(x^8-2)(x^4-1)-x^{12}+2x^4$; 2) $a^9-9a^5-(a^4-9)(a^5+3)$; 3) $(x^{15}+5)(x^3+2)-10-x^{18}$; 4) $a^{42}-14a^7-(a^6-14)(a^7-1)$.

Как думать. Сначала раскрываем произведение. Старшие степени должны сократиться, это хороший знак.

Решение.

1. $(x^8-2)(x^4-1)=x^{12}-x^8-2x^4+2$. Тогда $x^{12}-x^8-2x^4+2-x^{12}+2x^4=2-x^8$.
2. $(a^4-9)(a^5+3)=a^9+3a^4-9a^5-27$. Тогда $a^9-9a^5-a^9-3a^4+9a^5+27=27-3a^4$.
3. $(x^{15}+5)(x^3+2)=x^{18}+2x^{15}+5x^3+10$. Тогда $x^{18}+2x^{15}+5x^3+10-10-x^{18}=2x^{15}+5x^3$.
4. $(a^6-14)(a^7-1)=a^{13}-a^6-14a^7+14$. Тогда $a^{42}-14a^7-a^{13}+a^6+14a^7-14=a^{42}-a^{13}+a^6-14$.

Ответ: 1) $2-x^8$; 2) $27-3a^4$; 3) $2x^{15}+5x^3$; 4) $a^{42}-a^{13}+a^6-14$.

№ 17.2

Упростите: 1) $0{,}5a^2c^4(a^4-c^2+6)-0{,}5a^6c^4-0{,}5a^2c^6$; 2) $4{,}8x^8y^7-(12x^6y^6-6)-2{,}4x^6y^5(2x^2y^2-5y+3)$; 3) $2{,}5t^8s^{10}(4t^2-6c^2-3)+15t^8c^2s^{10}-10t^{10}s^{10}$; 4) $9a^{20}b^{16}-1{,}8a^{10}b^{18}-0{,}9a^5b^9(10a^{15}b^7+2a^5b^9)$.

Как думать. Умножаем одночлен на каждое слагаемое в скобке: коэффициенты перемножаем, показатели одинаковых букв складываем.

Решение.

1. $0{,}5a^2c^4\cdot a^4=0{,}5a^6c^4$; $0{,}5a^2c^4\cdot(-c^2)=-0{,}5a^2c^6$; $0{,}5a^2c^4\cdot 6=3a^2c^4$. Всё вместе: $0{,}5a^6c^4-0{,}5a^2c^6+3a^2c^4-0{,}5a^6c^4-0{,}5a^2c^6=3a^2c^4-a^2c^6$.
2. Вторая часть: $-12x^6y^6+6$. Третья: $-2{,}4x^6y^5\cdot 2x^2y^2=-4{,}8x^8y^7$, $+12x^6y^6$, $-7{,}2x^6y^5$. Складываем: $4{,}8x^8y^7-12x^6y^6+6-4{,}8x^8y^7+12x^6y^6-7{,}2x^6y^5=6-7{,}2x^6y^5$.
3. $2{,}5t^8s^{10}\cdot 4t^2=10t^{10}s^{10}$; $2{,}5t^8s^{10}\cdot(-6c^2)=-15t^8c^2s^{10}$; $2{,}5t^8s^{10}\cdot(-3)=-7{,}5t^8s^{10}$. Остаток: $10t^{10}s^{10}-15t^8c^2s^{10}-7{,}5t^8s^{10}+15t^8c^2s^{10}-10t^{10}s^{10}=-7{,}5t^8s^{10}$.
4. $0{,}9a^5b^9\cdot 10a^{15}b^7=9a^{20}b^{16}$; $0{,}9a^5b^9\cdot 2a^5b^9=1{,}8a^{10}b^{18}$. Итого: $9a^{20}b^{16}-1{,}8a^{10}b^{18}-9a^{20}b^{16}-1{,}8a^{10}b^{18}=-3{,}6a^{10}b^{18}$.

Ответ: 1) $3a^2c^4-a^2c^6$; 2) $6-7{,}2x^6y^5$; 3) $-7{,}5t^8s^{10}$; 4) $-3{,}6a^{10}b^{18}$.

№ 17.3

Найдите значения выражений: 1) $15x^{17}:x^{13}-16x^4$ при $x=-1$; 2) $-33y^6:y^4+37y^2$ при $y=0{,}5$; 3) $15z^9:z^6-160z^3$ при $z=-0{,}5$; 4) $250t^8:t^5+6t^3$ при $t=-4$.

Как думать. Сначала упрощаем (деление степеней: показатели вычитаем), потом подставляем число. Так считать проще.

Решение.

1. $15x^{4}-16x^4=-x^4$. При $x=-1$: $-(-1)^4=-1$.
2. $-33y^2+37y^2=4y^2$. При $y=0{,}5$: $4\cdot 0{,}25=1$.
3. $15z^3-160z^3=-145z^3$. При $z=-0{,}5$: $-145\cdot(-0{,}125)=18{,}125=\frac{145}{8}$.
4. $250t^3+6t^3=256t^3$. При $t=-4$: $256\cdot(-64)=-16384$.

Ответ: 1) $-1$; 2) $1$; 3) $18{,}125$; 4) $-16384$.

№ 17.4

Найдите значения выражений: 1) $0{,}07a^8b^4:a^7+0{,}03a^2b^6:(ab^2)$ при $a=7$, $b=-2$; 2) $2{,}5x^4y:x^5-2{,}6x^{10}y:x$ при $x=-1$, $y=10$; 3) $47{,}3t^6z^2:(t^5z)+2{,}7t^9z^3:(t^8z^2)$ при $z=0{,}2$, $t=-3$; 4) $-9{,}4a^{25}b^9:a^8-0{,}6a^{10}\cdot(a^7b^9)$ при $a=1$, $b=-1$.

Как думать. Упрощаем каждый одночлен, потом складываем подобные.

Решение.

1. $0{,}07ab^4+0{,}03ab^4=0{,}1ab^4$. При $a=7$, $b=-2$: $0{,}1\cdot 7\cdot 16=11{,}2$.
2. $2{,}5x^4y:x^5=\frac{2{,}5y}{x}$, $2{,}6x^{10}y:x=2{,}6x^9y$. При $x=-1$, $y=10$: $\frac{25}{-1}-2{,}6\cdot(-1)\cdot 10=-25+26=1$.
3. $47{,}3tz+2{,}7tz=50tz$. При $t=-3$, $z=0{,}2$: $50\cdot(-3)\cdot 0{,}2=-30$.
4. $-9{,}4a^{17}b^9-0{,}6a^{17}b^9=-10a^{17}b^9$. При $a=1$, $b=-1$: $-10\cdot 1\cdot(-1)=10$.

Ответ: 1) $11{,}2$; 2) $1$; 3) $-30$; 4) $10$. Пункты 3 и 4 совпали с учебником.

№ 17.5

Представьте в виде произведения: 1) $x^2+bx-ax-ab$; 2) $x^2-cx+bx-bc$; 3) $z^2+zx-zk-xk$; 4) $y^2+my-km-ky$.

Как думать. Четыре слагаемых — группируем по два: первое со вторым и третье с четвёртым, или по-другому, если первый вариант не сошёлся.

Решение.

1. $(x^2+bx)-(ax+ab)=x(x+b)-a(x+b)=(x+b)(x-a)$.
2. $(x^2-cx)+(bx-bc)=x(x-c)+b(x-c)=(x-c)(x+b)$.
3. $(z^2+zx)-(zk+xk)=z(z+x)-k(z+x)=(z+x)(z-k)$.
4. $(y^2+my)-(ky+km)=y(y+m)-k(y+m)=(y+m)(y-k)$.

Ответ: 1) $(x+b)(x-a)$; 2) $(x-c)(x+b)$; 3) $(z+x)(z-k)$; 4) $(y+m)(y-k)$.

№ 17.6

Представьте в виде произведения: 1) $x^4y^2+3x^4-2y^2-6$; 2) $x^3y^3-2x^3+5y^3-10$; 3) $-x^5y^2+7y^2+x^5-7$; 4) $27-9x^2-x^2y^6+3y^6$.

Как думать. Те же пары, только в скобках теперь степени. Следи за знаком минус перед парой.

Решение.

1. $x^4(y^2+3)-2(y^2+3)=(y^2+3)(x^4-2)$.
2. $x^3(y^3-2)+5(y^3-2)=(y^3-2)(x^3+5)$.
3. $y^2(7-x^5)+(x^5-7)=-y^2(x^5-7)+(x^5-7)=(x^5-7)(1-y^2)$.
4. $9(3-x^2)+y^6(3-x^2)=(3-x^2)(9+y^6)$.

Ответ: 1) $(y^2+3)(x^4-2)$; 2) $(y^3-2)(x^3+5)$; 3) $(x^5-7)(1-y^2)$; 4) $(3-x^2)(9+y^6)$.

№ 17.7

Представьте в виде произведения: 1) $3a+ax-3b+3c-bx+cx$; 2) $4x+6b+4y-by-24-bx$; 3) $ak-18a-bk+7k+18b-126$; 4) $nx-4x-5mx-100m+20n-80$.

Как думать. Здесь шесть слагаемых. Ищем три пары-тройки, где после вынесения останется одна и та же скобка.

Решение.

1. $(3a-3b+3c)+(ax-bx+cx)=3(a-b+c)+x(a-b+c)=(a-b+c)(3+x)$.
2. $4x+4y-24=4(x+y-6)$; $6b-by-bx=-b(x+y-6)$. Итого $(x+y-6)(4-b)$.
3. $ak-18a=a(k-18)$; $-bk+18b=-b(k-18)$; $7k-126=7(k-18)$. Итого $(k-18)(a-b+7)$.
4. $nx-4x-5mx=x(n-4-5m)$; $20n-80-100m=20(n-4-5m)$. Итого $(x+20)(n-5m-4)$.

Пункты 3 и 4 в учебнике записаны так: $(-a+b-7)(18-k)$ и $(20+x)(n-5m-4)$. Это то же самое: в 3) у обеих скобок сменили знаки, а произведение не поменялось.

Ответ: 1) $(a-b+c)(x+3)$; 2) $(x+y-6)(4-b)$; 3) $(k-18)(a-b+7)$; 4) $(x+20)(n-5m-4)$.

№ 17.8

Решите уравнение: 1) $(x+4{,}5)(6x-1)-(3x+1{,}6)(2x-1)=-3{,}8x$; 2) $(3{,}5-x)(7x+2)+(3{,}5x-1)(7+2x)=-450$; 3) $(8x+3)(1-0{,}9x)+7{,}4=(4x-5)(1-1{,}8x)$; 4) $498+(2{,}7-5x)(6x-7)=(9-0{,}5x)(60x+1)$.

Как думать. Раскрываем скобки в обеих частях. Члены с $x^2$ должны сократиться, останется линейное уравнение.

Решение.

1. $(x+4{,}5)(6x-1)=6x^2+26x-4{,}5$; $(3x+1{,}6)(2x-1)=6x^2+0{,}2x-1{,}6$. Разность: $25{,}8x-2{,}9=-3{,}8x$, откуда $29{,}6x=2{,}9$, $x=\frac{29}{296}$.
2. $(3{,}5-x)(7x+2)=22{,}5x+7-7x^2$; $(3{,}5x-1)(7+2x)=22{,}5x-7+7x^2$. Сумма: $45x=-450$, $x=-10$.
3. Слева: $8x-7{,}2x^2+3-2{,}7x+7{,}4=-7{,}2x^2+5{,}3x+10{,}4$. Справа: $4x-7{,}2x^2-5+9x=-7{,}2x^2+13x-5$. Тогда $5{,}3x+10{,}4=13x-5$, $15{,}4=7{,}7x$, $x=2$.
4. Слева: $498-30x^2+51{,}2x-18{,}9=-30x^2+51{,}2x+479{,}1$. Справа: $540x+9-30x^2-0{,}5x=-30x^2+539{,}5x+9$. Тогда $470{,}1=488{,}3x$, $x=\frac{4701}{4883}$.

Проверка пункта 3 при $x=2$: слева $19\cdot(-0{,}8)+7{,}4=-7{,}8$, справа $3\cdot(-2{,}6)=-7{,}8$. Верно.

Ответ: 1) $\frac{29}{296}$; 2) $-10$; 3) $2$; 4) $\frac{4701}{4883}$. Пункт 2 совпал с учебником.

№ 17.9

Решите неравенство: 1) $x(x^3-4)-x^4\le 18-x$; 2) $x^3+x(20-x^2)\ge 24x-3$; 3) $x(31+x^4)-x^5>37x-68$; 4) $x^9-x(47+x^8)>19-45x$.

Как думать. Раскрываем скобки: высокие степени сокращаются, остаётся линейное неравенство. Не забудь поменять знак при делении на отрицательное число.

Решение.

1. $x^4-4x-x^4\le 18-x$, то есть $-4x\le 18-x$, $-3x\le 18$, $x\ge -6$.
2. $x^3+20x-x^3\ge 24x-3$, то есть $20x\ge 24x-3$, $-4x\ge -3$, $x\le 0{,}75$.
3. $31x+x^5-x^5>37x-68$, то есть $31x>37x-68$, $-6x>-68$, $x<\frac{34}{3}=11\frac{1}{3}$.
4. $x^9-47x-x^9>19-45x$, то есть $-47x>19-45x$, $-2x>19$, $x<-9{,}5$.

Ответ: 1) $[-6;+\infty)$; 2) $(-\infty;0{,}75]$; 3) $\left(-\infty;11\frac{1}{3}\right)$; 4) $(-\infty;-9{,}5)$. Всё совпало с учебником.

Уровень B

№ 17.10

Проверьте, что при $A=5x^6+x^4-9$ и $B=10x^6-5x^4+1{,}8$ верно: 1) $A+5B=55x^6-24x^4$; 2) $-2A+B=-7x^4+19{,}8$; 3) $10A+2B=70x^6-86{,}4$; 4) $-3A-1{,}5B=-30x^6+4{,}5x^4+24{,}3$.

Как думать. Это доказательство тождества: подставляем $A$ и $B$ в левую часть и преобразуем, пока не получим правую.

Решение.

1. $5B=50x^6-25x^4+9$. $A+5B=5x^6+x^4-9+50x^6-25x^4+9=55x^6-24x^4$.
2. $-2A=-10x^6-2x^4+18$. $-2A+B=-10x^6-2x^4+18+10x^6-5x^4+1{,}8=-7x^4+19{,}8$.
3. $10A=50x^6+10x^4-90$, $2B=20x^6-10x^4+3{,}6$. Сумма: $70x^6-86{,}4$.
4. $-3A=-15x^6-3x^4+27$, $-1{,}5B=-15x^6+7{,}5x^4-2{,}7$. Сумма: $-30x^6+4{,}5x^4+24{,}3$.

Ответ: все четыре равенства верны, левые части преобразованы в правые.

№ 17.11

Докажите тождество: 1) $(x^2-8x+7)(x+5)+3x(x+11)=x^3+35$; 2) $(y+9)(10-3y+y^2)-0{,}5y(12y-34)=90+y^3$; 3) $(2a^2-a+11)(8a-3)+7a(-13+2a)=-33+16a^3$; 4) $(13x+6)(4x^2-x-9)-5x(2{,}2x-24{,}6)=-54+52x^3$.

Как думать. Преобразуем левую часть и получаем правую. Скобки раскрываем, подобные приводим.

Решение.

1. $(x^2-8x+7)(x+5)=x^3-3x^2-33x+35$. Плюс $3x^2+33x$: получаем $x^3+35$.
2. $(y+9)(y^2-3y+10)=y^3+6y^2-17y+90$. Минус $(6y^2-17y)$: получаем $y^3+90$.
3. $(2a^2-a+11)(8a-3)=16a^3-14a^2+91a-33$. Плюс $-91a+14a^2$: получаем $16a^3-33$.
4. $(13x+6)(4x^2-x-9)=52x^3+11x^2-123x-54$. Вычитаем $5x(2{,}2x-24{,}6)=11x^2-123x$: получаем $52x^3-54$.

Ответ: все четыре тождества доказаны.

№ 17.12

Найдите значение выражения: 1) $(8a^3b-c^4)\cdot(15a^5b^4):(3a^4b^3)-40a^4b^2$ при $a=0{,}2$, $b=0{,}5$, $c=-2$; 2) $0{,}9x^{10}y^7\cdot(10x^8y^3z^6-9):(20x^9y^6)+0{,}40xy$ при $x=-1$, $y=5$, $z=1$.

Как думать. Упрощаем, потом подставляем: степени сократятся, и числа станут небольшими.

Решение.

1. $(15a^5b^4):(3a^4b^3)=5ab$. Тогда $(8a^3b-c^4)\cdot 5ab=40a^4b^2-5abc^4$. Вычитаем $40a^4b^2$: остаётся $-5abc^4$. При $a=0{,}2$, $b=0{,}5$, $c=-2$: $-5\cdot 0{,}2\cdot 0{,}5\cdot 16=-8$.
2. $0{,}9x^{10}y^7:(20x^9y^6)=0{,}045xy$. Тогда $0{,}045xy(10x^8y^3z^6-9)=0{,}45x^9y^4z^6-0{,}405xy$. Прибавляем $0{,}4xy$: $0{,}45x^9y^4z^6-0{,}005xy$. При $x=-1$, $y=5$, $z=1$: $0{,}45\cdot(-1)\cdot 625-0{,}005\cdot(-5)=-281{,}25+0{,}025=-281{,}225$.

Ответ: 1) $-8$; 2) $-281{,}225$.

№ 17.13

Найдите корень уравнения: 1) $(x^4-3)(x+5)=29-2x+x^4(x+5)$; 2) $(10-x^6)(7+x)=11x-63-x^6(x+7)$; 3) $(2+x)x^5-15x+41=(x^5-13)(2+x)$; 4) $99-23x+x^8(x-9)=-(17-x^8)(x-9)$.

Как думать. Раскрываем скобки и переносим одинаковые куски. Высокие степени уйдут.

Решение.

1. Слева: $x^5+5x^4-3x-15$. Справа: $29-2x+x^5+5x^4$. После сокращения: $-3x-15=29-2x$, $-x=44$, $x=-44$.
2. Слева: $70+10x-7x^6-x^7$. Справа: $11x-63-x^7-7x^6$. После сокращения: $70+10x=11x-63$, $x=133$.
3. Слева: $2x^5+x^6-15x+41$. Справа: $2x^5+x^6-26-13x$. После сокращения: $-15x+41=-26-13x$, $67=2x$, $x=33{,}5$.
4. Справа: $-(17-x^8)(x-9)=-17x+153+x^8(x-9)$. Слева: $99-23x+x^8(x-9)$. После сокращения: $99-23x=-17x+153$, $-6x=54$, $x=-9$.

Ответ: 1) $-44$; 2) $133$; 3) $33{,}5$; 4) $-9$. Пункты 1 и 2 совпали с учебником.

№ 17.14

Решите неравенство: 1) $(x^3-2)(x+1)\le x^4+x^3-23$; 2) $-x^8+49\le(10-x^7)(5+x)+5x^7$; 3) $(x^2-4x+8)\cdot 5<2x(2{,}5x-1)$; 4) $3x(1{,}1x+2)>0{,}1x(33x+10)-6$.

Как думать. Всё как в уравнениях, только в конце смотрим на знак при делении.

Решение.

1. Слева: $x^4+x^3-2x-2\le x^4+x^3-23$. Тогда $-2x\le -21$, $x\ge 10{,}5$.
2. $(10-x^7)(5+x)=50+10x-5x^7-x^8$. Добавляем $5x^7$: $50+10x-x^8$. Неравенство: $-x^8+49\le 50+10x-x^8$, то есть $-1\le 10x$, $x\ge -0{,}1$.
3. Слева: $5x^2-20x+40$. Справа: $5x^2-2x$. Тогда $40<18x$, $x>\frac{20}{9}=2\frac{2}{9}$.
4. Слева: $3{,}3x^2+6x$. Справа: $3{,}3x^2+x-6$. Тогда $5x>-6$, $x>-1{,}2$.

Ответ: 1) $[10{,}5;+\infty)$; 2) $[-0{,}1;+\infty)$; 3) $\left(2\frac{2}{9};+\infty\right)$; 4) $(-1{,}2;+\infty)$. Пункты 1–3 совпали с учебником.

Уровень C

Здесь самые сложные задания. Если справишься хотя бы с одним — молодец, ты уже мыслишь как алгебраист.

№ 17.15

Найдите наименьшее целое число, при котором верно неравенство: 1) $(x^2-3x+5)(x+3)\le x^3+7x-1$; 2) $(y^2-y+8)(4-y)-2{,}4\le 5y^2-y^3-6y$; 3) $z^3+2{,}8z-2{,}2>(9-z-z^2)(1{,}2-z)+0{,}2z^2+11{,}5$; 4) $-2{,}2x-7{,}15-0{,}5x^2<(1{,}7+x+x^2)(0{,}5-x)+x^3$.

Как думать. Упрощаем, решаем линейное неравенство, а потом выбираем ближайшее подходящее целое число. Если граница не включена, само число не берём.

Решение.

1. $(x^2-3x+5)(x+3)=x^3-4x+15$. Тогда $x^3-4x+15\le x^3+7x-1$, $16\le 11x$, $x\ge\frac{16}{11}\approx 1{,}45$. Наименьшее целое: $2$.
2. $(y^2-y+8)(4-y)=-y^3+5y^2-12y+32$. Неравенство: $-y^3+5y^2-12y+29{,}6\le 5y^2-y^3-6y$, откуда $29{,}6\le 6y$, $y\ge 4{,}93\ldots$. Наименьшее целое: $5$.
3. $(9-z-z^2)(1{,}2-z)=z^3-0{,}2z^2-10{,}2z+10{,}8$. Справа: $z^3-10{,}2z+22{,}3$. Неравенство: $2{,}8z-2{,}2>-10{,}2z+22{,}3$, $13z>24{,}5$, $z>1{,}88\ldots$. Наименьшее целое: $2$.
4. $(1{,}7+x+x^2)(0{,}5-x)=-x^3-0{,}5x^2-1{,}2x+0{,}85$. Справа с $x^3$: $-0{,}5x^2-1{,}2x+0{,}85$. Неравенство: $-2{,}2x-7{,}15<-1{,}2x+0{,}85$, $-x<8$, $x>-8$. Наименьшее целое: $-7$.

Ответ: 1) $2$; 2) $5$; 3) $2$; 4) $-7$. Пункты 1 и 2 совпали с учебником.

№ 17.16

Найдите наибольшее целое число, при котором верно неравенство: 1) $(x^5-6)\cdot x+7x^4\ge x^4(7+x^2)-1{,}8$; 2) $(x^9+11)\cdot 6x-15x^5\le -33+3x^5(2x^5-5)$; 3) $7x^3(6x^5-3)+44>2x(21x^7+11)-21x^3$; 4) $9x^2(10x^7-3)+135<4{,}5x(20x^8-3)-27x^2$.

Как думать. То же, но теперь выбираем наибольшее целое. Для «меньше» берём число левее границы.

Решение.

1. Слева: $x^6-6x+7x^4$. Справа: $7x^4+x^6-1{,}8$. Тогда $-6x\ge -1{,}8$, $x\le 0{,}3$. Наибольшее целое: $0$.
2. Слева: $6x^{10}+66x-15x^5$. Справа: $-33+6x^{10}-15x^5$. Тогда $66x\le -33$, $x\le -0{,}5$. Наибольшее целое: $-1$.
3. Слева: $42x^8-21x^3+44$. Справа: $42x^8+22x-21x^3$. Тогда $44>22x$, $x<2$. Наибольшее целое (строго меньше 2): $1$.
4. Слева: $90x^9-27x^2+135$. Справа: $90x^9-13{,}5x-27x^2$. Тогда $135<-13{,}5x$, $x<-10$. Наибольшее целое (строго меньше $-10$): $-11$.

Ответ: 1) $0$; 2) $-1$; 3) $1$; 4) $-11$. Пункты 1, 3, 4 совпали с учебником.

Готовимся к следующей теме

№ 17.17

Как изменится площадь прямоугольника, если его длину увеличить в 5 раз, а ширину оставить прежней?

Как думать. Площадь равна длине, умноженной на ширину. Подставим для примера числа.

Решение.

1. Было: длина $a$, ширина $b$, площадь $S=ab$.
2. Стало: длина $5a$, ширина $b$, площадь $5a\cdot b=5ab$.
3. Пример: поле $10\times 4$ м, площадь $40$ м². Длину увеличили до $50$ м: $50\cdot 4=200$ м², то есть в $5$ раз больше.

Ответ: площадь увеличится в 5 раз.

№ 17.18

Вишня стоит 800 тг/кг. Сколько заплатим за 1) 300 г; 2) 500 г; 3) 1 кг 250 г; 4) 2 кг; 5) 2,5 кг; 6) $2\frac{3}{4}$ кг? Заполните таблицу. Как изменится стоимость при росте массы? Во сколько раз вырастет стоимость при покупке в 2 раза и в 3 раза больше?

Как думать. Стоимость равна массе, умноженной на цену: $C=800\cdot m$. Граммы переводим в килограммы.

Решение.

Считаем: $0{,}3\cdot 800=240$; $0{,}5\cdot 800=400$; $1{,}25\cdot 800=1000$; $2\cdot 800=1600$; $2{,}5\cdot 800=2000$; $2{,}75\cdot 800=2200$.

Чем больше масса, тем больше стоимость. Купили в $2$ раза больше (например, $0{,}5$ кг вместо $0{,}25$ кг) — заплатили в $2$ раза больше. Купили в $3$ раза больше — в $3$ раза больше.

Ответ: 240, 400, 1000, 1600, 2000, 2200 тг; стоимость растёт вместе с массой; во сколько раз больше масса, во столько же раз больше стоимость.

Шпаргалка

• Скобки со знаком минус перед ними меняют знаки всех слагаемых внутри.
• Высшие степени часто сокращаются: это знак, что всё идёт верно.
• Для наименьшего целого берём ближайшее целое справа от границы, для наибольшего — слева.
• Всегда проверяй ответ подстановкой хотя бы в упрощённое выражение.

Мини-тест