Проверь себя! Раздел II
Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 2: Многочлены. Страницы 113–116.
Что повторяем
Это итоговый тест по разделу «Многочлены»: одночлены и степени (§ 10–11), многочлены и действия с ними (§ 12–14), вынесение множителя и группировка (§ 15–16), тождественные преобразования (§ 17). В каждом вопросе четыре ответа, верен один. Сначала реши сам, потом сверяйся с ходом решения.
Ответы к этому тесту в конце учебника не напечатаны, поэтому все буквы ниже получены решением и проверены подстановкой.
Решаем упражнения
№ 1
Запишите в стандартном виде одночлен $(3x^2y)^3\cdot 5y^7$. A. $135x^6y^8$; B. $45x^7y^{10}$; C. $135x^5y^8$; D. $135x^6y^{10}$.
Как думать. Возводим каждый множитель в куб, потом умножаем одинаковые буквы.
Решение. $(3x^2y)^3=27x^6y^3$. Умножаем на $5y^7$: $27\cdot 5=135$, $y^3\cdot y^7=y^{10}$. Получается $135x^6y^{10}$.
Ответ: D.
№ 2
Упростите $(2ab^5)^4\cdot(5a^7b^2)^2$. A. $80a^{13}b^{24}$; B. $400a^{18}b^{24}$; C. $250a^{18}b^{13}$; D. $400a^{13}b^{24}$.
Как думать. Степень произведения: возводим в степень каждый множитель.
Решение. $(2ab^5)^4=16a^4b^{20}$, $(5a^7b^2)^2=25a^{14}b^4$. Произведение: $16\cdot 25=400$, $a^{4+14}=a^{18}$, $b^{20+4}=b^{24}$.
Ответ: B.
№ 3
Упростите $2{,}5a^3b\cdot\frac{4}{25}a^2b^4$ и найдите значение при $a=-1$, $b=-1$. A. $-0{,}4$; B. $-2{,}5$; C. $0{,}4$; D. $2{,}5$.
Как думать. Сначала коэффициенты: $2{,}5\cdot\frac{4}{25}=\frac{5}{2}\cdot\frac{4}{25}=\frac{2}{5}$.
Решение. Одночлен: $0{,}4a^5b^5$. При $a=-1$, $b=-1$: $(-1)^5\cdot(-1)^5=(-1)\cdot(-1)=1$. Значит, $0{,}4\cdot 1=0{,}4$.
Ответ: C.
№ 4
Выполните деление $(24m^5n^3)^2:(12m^3n)^3$. A. $\frac{1}{3}m^2n^2$; B. $3mn^2$; C. $3m^2n^3$; D. $\frac{1}{3}mn^3$.
Как думать. Возводим в степень делимое и делитель отдельно, потом делим степени и числа.
Решение. $(24m^5n^3)^2=576m^{10}n^6$; $(12m^3n)^3=1728m^9n^3$. Делим: $\frac{576}{1728}=\frac{1}{3}$, $m^{10-9}=m$, $n^{6-3}=n^3$.
Ответ: D.
№ 5
При каком $x$ равны значения выражений $x^2-6x-1$ и $6+x^2+x$? A. $1$; B. $-1$; C. $0$; D. $6$.
Как думать. Приравниваем выражения. Квадраты сократятся.
Решение. $x^2-6x-1=6+x^2+x$, значит $-6x-1=6+x$, $-7x=7$, $x=-1$. Проверка: $1+6-1=6$ и $6+1-1=6$. Верно.
Ответ: B.
№ 6
Найдите общий множитель выражения $8x^6y^3-12x^3y^3$. A. $x^3y^3$; B. $2x^3y^3$; C. $2x^3-4$; D. $4x^3y^3$.
Как думать. Берём наибольший общий делитель коэффициентов и наименьшие степени букв.
Решение. НОД чисел 8 и 12 равен 4. Наименьшая степень $x$ — это $x^3$, наименьшая степень $y$ — $y^3$. Получаем $4x^3y^3(2x^3-3)$.
Ответ: D.
№ 7
Вынесите общий множитель за скобки в выражении $4n^3m^2+8n^3m^3-12n^2m^3$. A. $4nm(n^2m+2n^2m^2-3nm^2)$; B. $n^2m^2(4n+8nm-12m)$; C. $4n^2m^2(n+2nm-3m)$; D. $4n^2m(nm+2nm-3nm^2)$.
Как думать. Выносим самый «полный» множитель: число 4, $n$ в наименьшей степени 2, $m$ в наименьшей степени 2.
Решение. Общий множитель $4n^2m^2$. Делим слагаемые: $4n^3m^2:(4n^2m^2)=n$; $8n^3m^3:(4n^2m^2)=2nm$; $-12n^2m^3:(4n^2m^2)=-3m$. Итого $4n^2m^2(n+2nm-3m)$. Вариант B тоже верен по смыслу, но не вынесено число 4, поэтому «общий множитель» вынесен не полностью.
Ответ: C.
№ 8
Решите уравнение $(x^2+5x)-x(x-5)=0$. A. $0$; B. $1;5$; C. $0;5$; D. нет корней.
Как думать. Раскрываем скобки и приводим подобные.
Решение. $x^2+5x-x^2+5x=10x$. Тогда $10x=0$, $x=0$. Один корень.
Ответ: A.
№ 9
Найдите степень многочлена $3m^5+7m^3-18-3m^5+7m^3-18$. A. $6$; B. $5$; C. $0$; D. $3$.
Как думать. Степень считаем у многочлена стандартного вида. Сначала приведём подобные.
Решение. $3m^5-3m^5=0$; $7m^3+7m^3=14m^3$; $-18-18=-36$. Получилось $14m^3-36$. Старшая степень — $3$.
Ответ: D.
№ 10
Представьте в стандартном виде $6a^3+9ab-5b^2-8ab-4b^2$. A. $6a^3+17ab-9b^2$; B. $6a^3+ab+9b^2$; C. $6a^3+ab-9b^2$; D. $6a^3-ab+9b^2$.
Как думать. Складываем подобные: с $ab$ и с $b^2$.
Решение. $9ab-8ab=ab$; $-5b^2-4b^2=-9b^2$. Получилось $6a^3+ab-9b^2$.
Ответ: C.
№ 11
Приведите многочлен $3b^2+a^2b+5ab^2+4a^2b-5ab^2-3b^2$ к стандартному виду и найдите значение при $a=1$, $b=-1$. A. $5$; B. $-5$; C. $-10$; D. $10$.
Как думать. Много слагаемых взаимно уничтожаются.
Решение. $3b^2-3b^2=0$; $5ab^2-5ab^2=0$; $a^2b+4a^2b=5a^2b$. При $a=1$, $b=-1$: $5\cdot 1\cdot(-1)=-5$.
Ответ: B.
№ 12
Упростите $\dfrac{(2m^5n^4)^7\cdot(4m^3n^5)^2}{(2m^4n^4)^{10}}$. A. $\frac{2m}{n^2}$; B. $\frac{m^2}{2n}$; C. $\frac{m}{n^2}$; D. $\frac{2m^2}{n}$.
Как думать. Всё сводим к степеням двойки, $m$ и $n$. Тогда числитель делится на знаменатель по частям.
Решение. Числитель: $2^7m^{35}n^{28}\cdot 16m^6n^{10}=2^{11}m^{41}n^{38}$ (так как $16=2^4$). Знаменатель: $2^{10}m^{40}n^{40}$. Делим: $2^{11-10}=2$, $m^{41-40}=m$, $n^{38-40}=n^{-2}$.
Ответ: A: $\frac{2m}{n^2}$.
№ 13
Решите уравнение $(t^2+8t-9)-(t^2-11t+10)=18t-20$. A. $-0{,}5$; B. $2$; C. $-1$; D. $1$.
Как думать. Скобку со знаком минус раскрываем, меняя все знаки.
Решение. $t^2+8t-9-t^2+11t-10=19t-19$. Тогда $19t-19=18t-20$, $t=-1$.
Ответ: C.
№ 14
Упростите $-0{,}8c(c+5)-0{,}7(10c+5)+0{,}8c^2+10c-4$. A. $1{,}6c^2-c-7{,}5$; B. $-c-7{,}5$; C. $-c-0{,}5$; D. $-19c-7{,}5$.
Как думать. Раскрываем скобки, внимательно со знаками.
Решение. $-0{,}8c^2-4c-7c-3{,}5+0{,}8c^2+10c-4$. Квадраты сокращаются; $c$: $-4-7+10=-1$; числа: $-3{,}5-4=-7{,}5$. Получилось $-c-7{,}5$.
Ответ: B.
№ 15
Упростите $81m^9n^8:(24m^8n^5)$ и найдите значение при $m=32$, $n=-\frac{1}{3}$. A. $-12$; B. $12$; C. $4$; D. $-4$.
Как думать. Делим коэффициенты и вычитаем показатели.
Решение. $\frac{81}{24}=\frac{27}{8}$. Одночлен: $\frac{27}{8}mn^3$. При $m=32$: $\frac{27}{8}\cdot 32=108$. $n^3=-\frac{1}{27}$. Итого $108\cdot\left(-\frac{1}{27}\right)=-4$.
Ответ: D.
№ 16
Известно, что $2(a+1)(b+1)=(a+b)(a+b+2)$. Найдите $a^2+b^2$. A. $1$; B. $3$; C. $4$; D. $2$.
Как думать. Раскроем обе части и сравним: должно получиться что-то про $a^2+b^2$.
Решение. Слева: $2(ab+a+b+1)=2ab+2a+2b+2$. Справа: $(a+b)^2+2(a+b)=a^2+2ab+b^2+2a+2b$. Приравниваем: $2ab+2a+2b+2=a^2+2ab+b^2+2a+2b$. После сокращения: $2=a^2+b^2$.
Ответ: D.
№ 17
Найдите значение $(125a^3-25a^3):(5a^2)-(25a^2-2a^2):a$ при $a=5$. A. $5$; B. $-5$; C. $10$; D. $-15$.
Как думать. Сначала упрощаем скобки, потом делим.
Решение. $125a^3-25a^3=100a^3$, $100a^3:(5a^2)=20a$. Вторая часть: $25a^2-2a^2=23a^2$, $23a^2:a=23a$. Разность: $20a-23a=-3a$. При $a=5$: $-15$.
Ответ: D.
№ 18
Преобразуйте $(n^2-n-1)(n^2-n+1)$ в многочлен стандартного вида. A. $2n^2-n$; B. $n^4-2n^2-1$; C. $n^2+2n^2+n+1$; D. $n^4-2n^3+n^2-1$.
Как думать. Это похоже на $(u-1)(u+1)=u^2-1$, где $u=n^2-n$.
Решение. $(n^2-n)^2-1=n^4-2n^3+n^2-1$. Проверка перемножением: $n^4-n^3+n^2-n^3+n^2-n-n^2+n-1=n^4-2n^3+n^2-1$.
Ответ: D.
№ 19
Найдите наибольшее положительное целое число, удовлетворяющее неравенству $3x(x-2)-(3x-1)(x+4)\ge 8(2-x)$. A. $0$; B. $-1$; C. $1$; D. $-2$.
Как думать. Упрощаем левую и правую части и решаем линейное неравенство.
Решение. $3x^2-6x-(3x^2+11x-4)=-17x+4$. Справа: $16-8x$. Тогда $-17x+4\ge 16-8x$, $-9x\ge 12$, $x\le-\frac{4}{3}$. Наибольшее целое число слева от $-1\frac{1}{3}$ (включая его) — это $-2$.
📕 В условии напечатано «наибольшее положительное целое число», но положительных решений у неравенства нет: все решения $x\le -1\frac{1}{3}$. Среди вариантов подходит только $-2$, значит, имелось в виду «наибольшее целое».
Ответ: D.
№ 20
Разложите на множители $3a+3a^2-b-ab$. A. $(3a-b)(1-a)$; B. $(3a-b)(1+a)$; C. $(a-3b)(1+a)$; D. $(3a+b)(a-1)$.
Как думать. Группировка: первые два слагаемых с $3a$, последние два с $b$.
Решение. $3a(1+a)-b(1+a)=(1+a)(3a-b)$. Проверка: $(3a-b)(1+a)=3a+3a^2-b-ab$. Верно.
Ответ: B.
№ 21
В таблице потребление витамина C даётся выражениями: 1–2 года: $45x^5y^3:(x^5y^2)$; 3–6 лет: $12x^6y^2:(0{,}2x^6y)$; 7–10 лет: $35x^7y^5:(0{,}5x^7y^3)$.
Как думать. Сначала упрощаем каждое выражение, потом подставляем $y=1$.
Решение. $45x^5y^3:(x^5y^2)=45y$; $12x^6y^2:(0{,}2x^6y)=60y$; $35x^7y^5:(0{,}5x^7y^3)=70y^2$.
1) Показатели при $y=1$. Получаем $45$; $60$; $70$. Ответ: B.
2) На сколько процентов больше у детей 3–6 лет, чем у детей 1–2 лет. Разница $60-45=15$. Доля от $45$: $\frac{15}{45}=\frac{1}{3}\approx 33{,}3%$. Такого варианта нет. Ближе всего D ($25%$): это то, на сколько процентов $45$ меньше $60$, то есть $\frac{15}{60}=25%$.
📕 В вариантах нет верного ответа: на самом деле показатели 3–6 лет больше на $33\frac{1}{3}%$ ($\frac{15}{45}$). Вариант D ($25%$) получится, если по ошибке делить на $60$, а не на $45$.
3) На сколько больше у детей 7–10 лет, чем у 3–6 лет. $70-60=10$. Ответ: B.
Ответ: 1) B; 2) D (в вариантах нет точного $33\frac{1}{3}%$); 3) B.
№ 22
Из 19 детей 15 ходят на кружок рукоделия. Число детей, посещающих и рукоделие, и вокал, равно значению $1{,}9a^5c^2+1{,}1a^5c^2+6$ при $a=-1$, $c=1$. Сколько детей ходит на вокал? A. $6$; B. $5$; C. $7$; D. $4$.
Как думать. Это круги Эйлера: два кружка, дети на пересечении посчитаны дважды.
Решение. Значение выражения: $3a^5c^2+6=3\cdot(-1)\cdot 1+6=3$. Значит, на оба кружка ходят 3 ребёнка. Все 19 ходят хотя бы на один кружок. Обозначим вокал $V$: $19=15+V-3$, откуда $V=19-15+3=7$.
Проверка: только рукоделие $15-3=12$, оба $3$, только вокал $7-3=4$. Всего $12+3+4=19$.
Ответ: C.
№ 23
За день в кинотеатре прошло пять сеансов. Число зрителей показано диаграммой: сеанс I — $y$, II — $160$, III — $145$, VI — $130$, V — $x$.
Как думать. Сначала найдём $x$ и $y$ из выражений, потом сложим и разделим на 5.
Решение.
- $x=0{,}5a^2(0{,}4a^3+70)-0{,}2a^5$ при $a=2$. Раскрываем: $0{,}2a^5+35a^2-0{,}2a^5=35a^2=35\cdot 4=140$. Ответ: B.
- $y=24a^{11}-a^3(1+24a^8)$ при $a=-5$. Раскрываем: $24a^{11}-a^3-24a^{11}=-a^3=-(-125)=125$. Ответ: A.
- Сумма за пять сеансов: $140+130+145+160+125=700$. Ответ: A.
- Среднее: $700:5=140$. Ответ: D.
Ответ: 1) B ($x=140$); 2) A ($y=125$); 3) A ($700$); 4) D ($140$).
Шпаргалка
- Скобку со знаком минус раскрывай, меняя все знаки внутри.
- Проверяй разложение умножением обратно.
- В тестах после упрощения часто остаётся совсем короткое выражение.