§ 18. Функция

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 3: Функция. График функции. Страницы 116–120.

Чему научишься

• Видеть в жизни зависимости одной величины от другой и называть, что от чего зависит.
• Отличать независимую переменную (аргумент $x$) от зависимой ($y$, значение функции).
• Понимать, что такое функция: каждому $x$ ровно одно $y$.
• Находить область определения и множество значений функции.
• Отличать возрастающую функцию от убывающей.

Разминка

• Сколько стоят 3 тетради по 50 тенге? $3 \cdot 50 = 150$ тенге.
• За сколько часов проедешь 120 км со скоростью 60 км/ч? $120 : 60 = 2$ часа.
• А если ехать 40 км/ч? $120 : 40 = 3$ часа. Скорость меньше, времени больше.
• На какое число делить нельзя? На ноль.

Разбираемся

Одна величина тянет за собой другую

Ты идёшь в магазин за карандашами. Цена одного карандаша выросла, значит, и вся покупка стала дороже. Ты едешь из Астаны в Караганду: чем выше скорость, тем меньше времени в дороге. Всюду одна и та же картина: меняешь одну величину, и вслед за ней меняется другая.

Стоимость $C$ зависит от цены $m$ так: $C = k \cdot m$, где $k$ — сколько штук купили. Время в пути зависит от скорости так: $t = \frac{s}{v}$, где $s$ — длина пути.

Возьмём $k = 3$ шт. и посмотрим на цены:

И $s = 120$ км:

В обеих таблицах каждому значению первой величины отвечает одно-единственное значение второй. Вот эту особенность и ловит новое слово.

Что такое функция

📌 Функция — это такая зависимость $y$ от $x$, при которой каждому значению $x$ соответствует ровно одно значение $y$.

У героев две роли:

• $x$ — независимая переменная, или аргумент. Её мы выбираем сами.
• $y$ — зависимая переменная, или значение функции. Она получается из $x$.

В примерах выше цена и скорость — аргументы, а стоимость и время — значения функции.

⚠️ Частая ошибка. «Зависимость есть — значит, это функция». Нет! Функция требует одного значения $y$ для каждого $x$. Если для какого-то $x$ получается два $y$ — это не функция.

Область определения и множество значений

Все значения, которые может принимать аргумент, образуют область определения функции. Её обозначают буквой $D$. Все значения, которые принимает функция, — множество значений, буква $E$.

В примере со стоимостью: $D = {50; 100; 200}$, а $E = {150; 300; 600}$.

Если в задаче не сказано, какие $x$ разрешены, берём все допустимые значения. Например:

• $y = 30x$: умножать можно любое число, поэтому $D = (-\infty; +\infty)$.
• $y = \frac{120}{x}$: на ноль делить нельзя, значит $x \ne 0$ и $D = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Спросите у ребёнка: «Какие числа нельзя подставлять в $\frac{120}{x}$?» Если он отвечает «ноль, потому что на ноль делить нельзя» и может объяснить своими словами, тема понята.

Растёт или падает

📌 Функция возрастающая, если большему $x$ отвечает большее $y$ (меньшему — меньшее). Функция убывающая, если большему $x$ отвечает меньшее $y$.

Стоимость от цены растёт: цена выше, и платим больше. Время от скорости падает: скорость выше, и в пути проводим меньше. Посмотри на график времени при $s = 120$ км:

Бывают и такие, что не растут и не падают. Ученик читал книгу: в первый день 15 страниц, потом три дня не читал, на пятый день ещё 20, на шестой остаток 30. За 1 день у него 15 страниц, за 2 дня те же 15, за 3 дня снова 15. Число дней растёт, а число прочитанных страниц не растёт — функция не возрастающая.

🌟 Слово «функция» ввёл немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц в XVII веке. Он же придумал знак интеграла и двоичную систему счёта, которой сегодня «думает» твой телефон.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Может ли одна и та же величина быть и зависимой, и независимой? Пример. Да, в разных формулах. Сторона квадрата $a$ — аргумент в $P = 4a$ (периметр зависит от неё), но в формуле $a = \frac{P}{4}$ роль другая: там $P$ — аргумент, а сторона $a$ зависит от него.
• Может ли область определения функции «стоимость от цены» содержать отрицательное число? Ноль? Смешанное положительное число? Отрицательное нет: цена не бывает меньше нуля. Ноль — в школьной задаче обычно нет (бесплатный товар не считаем). Смешанное положительное — да, например цена $12\frac{1}{2}$ тенге при пересчёте в мелких единицах.
• Может ли одна функция быть и возрастающей, и убывающей на всей области определения? Нет. Если $x$ растёт, то $y$ либо растёт, либо падает, но не оба варианта сразу.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 18.1

Подбери независимую переменную для зависимой: 1) периметр квадрата; 2) площадь квадрата; 3) скорость движения; 4) цена товара; 5) периметр прямоугольника; 6) площадь прямоугольника; 7) объём куба; 8) объём прямоугольного параллелепипеда.

Как думать. Спроси себя: «Что нужно знать, чтобы это посчитать?» Это и будет аргумент. Если в формуле есть вторая величина, считаем её постоянной.

Решение.

1. Периметр квадрата $P = 4a$ — зависит от стороны $a$.
2. Площадь квадрата $S = a^{2}$ — тоже от стороны $a$.
3. Скорость $v = \frac{s}{t}$ — при одном и том же пути зависит от времени $t$.
4. Цена $m = \frac{C}{k}$ — при одном и том же количестве зависит от стоимости $C$.
5. Периметр прямоугольника $P = 2(a + b)$ — при постоянной ширине зависит от длины $a$.
6. Площадь $S = ab$ — при постоянной ширине зависит от длины $a$.
7. Объём куба $V = a^{3}$ — зависит от ребра $a$.
8. Объём параллелепипеда $V = abc$ — при постоянном основании зависит от высоты $c$.

Ответ: 1) сторона; 2) сторона; 3) время; 4) стоимость (при том же количестве); 5) длина стороны; 6) длина стороны; 7) ребро; 8) высота (при неизменном основании).

№ 18.2

Подбери зависимую переменную для независимой: 1) количество купленного товара; 2) время движения; 3) скорость движения; 4) периметр квадрата.

Как думать. Теперь наоборот: что получится, если эту величину менять?

Решение.

1. Количество купленного товара $k$ при постоянной цене определяет стоимость $C = km$.
2. Время движения $t$ при постоянной скорости определяет пройденный путь $s = vt$.
3. Скорость $v$ при постоянном времени определяет путь $s = vt$.
4. Периметр $P$ определяет сторону квадрата: $a = \frac{P}{4}$.

Ответ: 1) стоимость; 2) путь; 3) путь; 4) сторона квадрата.

№ 18.3

Является ли функцией зависимость между: 1) производительностью труда и выполненной работой за некоторое время; 2) выполненной работой за некоторое время и производительностью труда; 3) переменной $x$ и её модулем; 4) модулем переменной $x$ и переменной $x$?

Как думать. Проверяем главное правило: для каждого значения первой величины ровно одно значение второй. Первая в паре — аргумент.

Решение.

1. Работа $A = pt$. При заданном времени $t$ каждой производительности $p$ отвечает одна работа. Да.
2. Производительность $p = \frac{A}{t}$. Каждой работе $A$ (при заданном времени) отвечает одна производительность. Да.
3. $y = |x|$. У каждого числа один модуль. Да.
4. Здесь аргумент — модуль. Пусть $|x| = 2$, тогда $x = 2$ или $x = -2$: два значения. Нет.

Ответ: 1) да; 2) да; 3) да; 4) нет.

Уровень B

№ 18.4

Докажи, что зависимость является функцией: 1) периметра пятиугольника с равными сторонами от длины его стороны; 2) массы пяти одинаковых ящиков с фруктами от массы фруктов в одном ящике; 3) стоимости десяти одинаковых карандашей от стоимости одного карандаша; 4) количества учебников у учащихся от количества учащихся.

Как думать. «Докажи» здесь значит: запиши формулу и объясни, что по ней каждому значению аргумента получается одно число.

Решение.

1. Сторона $a$, периметр $P = 5a$. Для каждого $a$ произведение $5a$ единственное. Это функция.
2. Масса одного ящика $m$, масса пяти $M = 5m$. Одному $m$ отвечает одно $M$.
3. Стоимость одного карандаша $c$, десяти $S = 10c$. Одному $c$ отвечает одно $S$.
4. Если у каждого ученика по $k$ учебников, то при $n$ учащихся $N = kn$. Каждому $n$ отвечает одно $N$.

Ответ: все четыре — функции: 1) $P = 5a$; 2) $M = 5m$; 3) $S = 10c$; 4) $N = kn$.

№ 18.5

Найди область определения функции: 1) периметра многоугольника с равными сторонами от длины его стороны; 2) состояния воды от температуры.

Как думать. Спроси: какие значения аргумента вообще бывают в жизни?

Решение.

1. Периметр $P = na$, где $n$ — число сторон. Длина стороны — положительное число, значит $a > 0$, то есть $D = (0; +\infty)$.
2. Состояние воды (лёд, жидкая вода или пар) зависит от температуры $t$. Температура может быть любой, но не ниже абсолютного нуля: $t \ge -273{,}15\ °\text{C}$.

Ответ: 1) $D = (0; +\infty)$; 2) любые температуры от $-273{,}15\ °\text{C}$ и выше.

Уровень C

Здесь самые трудные задания. Уже сама попытка рассуждать — молодец.

№ 18.6

Какие из функций возрастающие, а какие убывающие: 1) зависимость длины стороны квадрата от его площади; 2) зависимость времени, затраченного на работу, от производительности?

Как думать. Придумай два значения аргумента и сравни результаты.

Решение.

1. $a = \sqrt{S}$. Площадь 4 см² — сторона 2 см, площадь 9 см² — сторона 3 см. Площадь больше, и сторона больше. Возрастающая.
2. $t = \frac{A}{p}$. Работа 100 дел: при производительности 10 в час время 10 ч, при 20 в час уже 5 ч. Производительность выше, время меньше. Убывающая.

Ответ: 1) возрастающая; 2) убывающая.

№ 18.7

Длина стороны квадрата принимает значения $2\ \text{см} \le a \le 5\ \text{см}$. Какие числовые значения принимает: 1) периметр квадрата; 2) площадь квадрата?

Как думать. Функции $P = 4a$ и $S = a^{2}$ возрастающие, поэтому наименьшему $a$ отвечают наименьшие $P$ и $S$, наибольшему — наибольшие.

Решение. $P$: от $4 \cdot 2 = 8$ до $4 \cdot 5 = 20$. $S$: от $2^{2} = 4$ до $5^{2} = 25$.

Ответ: 1) $8\ \text{см} \le P \le 20\ \text{см}$; 2) $4\ \text{см}^{2} \le S \le 25\ \text{см}^{2}$.

№ 18.8

Что можно сказать про периметр $P$ квадрата со стороной $a$ см, если: 1) $a \le 4$; 2) $a \ge 3$; 3) $a \le 2{,}5$; 4) $a \ge 17{,}5$; 5) $3 \le a \le 5$; 6) $1{,}25 \le a \le 1{,}75$?

Как думать. Всё как в прошлой задаче: $P = 4a$, умножаем каждое неравенство на 4. Не забудь, что сторона всегда больше нуля.

Решение.

1. $a \le 4$ и $a > 0$: $0 < P \le 16$.
2. $a \ge 3$: $P \ge 12$.
3. $a \le 2{,}5$: $0 < P \le 10$.
4. $a \ge 17{,}5$: $P \ge 70$.
5. $3 \le a \le 5$: $12 \le P \le 20$.
6. $1{,}25 \le a \le 1{,}75$: $5 \le P \le 7$.

Ответ: 1) $0 < P \le 16$ см; 2) $P \ge 12$ см; 3) $0 < P \le 10$ см; 4) $P \ge 70$ см; 5) $12 \le P \le 20$ см; 6) $5 \le P \le 7$ см.

Подготовь сообщение

№ 18.9

Подготовь сообщение о немецком математике Готфриде Вильгельме Лейбнице, который ввёл термин «функция».

Как думать. Задание не на вычисление, а на рассказ. Достаточно 5–7 предложений: кто он, когда жил, чем известен, при чём тут функции.

Решение. Образец сообщения.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) родился в городе Лейпциг, в Германии. Он был не только математиком, но и философом, юристом и изобретателем. Слово «функция» он начал использовать в конце XVII века для величин, которые зависят от точки на кривой. Ещё Лейбниц независимо от англичанина Ньютона создал математический анализ, а значки $dx$ и $\int$ используются до сих пор. Он описал двоичную систему счёта, на которой работают компьютеры, и сделал одну из первых машин, умевших умножать и делить.

Ответ: сообщение составлено, образец выше; свои факты проверь по энциклопедии.

Готовимся к следующей теме

№ 18.10

Автомобиль, мотоцикл, поезд и моторная лодка находятся в пути два часа. Найди длину пройденного пути каждого, если скорости равны 80 км/ч, 30 км/ч, 65 км/ч и 12 км/ч. Запиши формулу зависимости пути от скорости.

Как думать. Путь равен скорости, умноженной на время. Время у всех одинаковое, 2 часа.

Решение.

1. Автомобиль: $80 \cdot 2 = 160$ км.
2. Мотоцикл: $30 \cdot 2 = 60$ км.
3. Поезд: $65 \cdot 2 = 130$ км.
4. Лодка: $12 \cdot 2 = 24$ км.
5. Формула: $s = 2v$.

Ответ: 160 км, 60 км, 130 км, 24 км; $s = 2v$.

№ 18.11

По формуле $P = 4a$ вычисли: 1) $P$, если $a = 2{,}5$; $15$; $\frac{1}{8}$; 2) $a$, если $P = 8$; $1{,}6$; $\frac{1}{4}$.

Как думать. В пункте 1 подставляем $a$ и умножаем на 4. В пункте 2 наоборот: $a = \frac{P}{4}$.

Решение.

1. $P = 4 \cdot 2{,}5 = 10$; $P = 4 \cdot 15 = 60$; $P = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$.
2. $a = 8 : 4 = 2$; $a = 1{,}6 : 4 = 0{,}4$; $a = \frac{1}{4} : 4 = \frac{1}{16}$.

Ответ: 1) $10$; $60$; $\frac{1}{2}$; 2) $2$; $0{,}4$; $\frac{1}{16}$.

№ 18.12

По формуле $y = 3x - 9$ найди: 1) значение $x$, при котором $y = 0$; 2) значение $y$, при котором $x = 0$.

Как думать. В пункте 1 подставляем $y = 0$ и решаем уравнение. В пункте 2 подставляем $x = 0$ и считаем.

Решение.

1. $3x - 9 = 0$, значит $3x = 9$, $x = 3$.
2. $y = 3 \cdot 0 - 9 = -9$.

Ответ: 1) $x = 3$; 2) $y = -9$.

Шпаргалка

• Из формулы вида $\frac{a}{x}$ исключаем $x = 0$.
• Для $y = 30x$ область определения — все числа, $(-\infty; +\infty)$.
• Если для одного $x$ получаются два $y$, функции нет.

Мини-тест