§ 19. Задание функции с помощью формулы

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 3: Функция. График функции. Страницы 120–124.

Чему научишься

• Понимать, что значит «задать функцию», и знать три способа это сделать.
• По формуле находить значение функции при заданном $x$ и, наоборот, $x$ по заданному $y$.
• Находить область определения функции по формуле.
• Находить, где график пересекает ось $Ox$, и при каких $x$ значения функции положительны или отрицательны.
• Записывать зависимость формулой по условию задачи.

Разминка

• Что такое функция? Зависимость, где каждому значению $x$ отвечает ровно одно значение $y$.
• Как называют $x$ и $y$? $x$ — аргумент (независимая переменная), $y$ — значение функции.
• Чему равно $3 \cdot 5 - 5$? $15 - 5 = 10$.
• Реши уравнение $2x = 8$. $x = 8 : 2 = 4$.

Разбираемся

Что значит «задать функцию»

📌 Задать функцию — значит показать, как по любому допустимому $x$ найти соответствующее $y$.

Способов несколько. Первый — формула, его называют аналитическим способом. Остальные (таблица и график) будут в следующих параграфах.

Представь: автобус едет 2 часа. Если скорость $x$ км/ч, то путь $y$ равен $y = 2x$. Каждому $x$ получается одно $y$, значит формула действительно задаёт функцию.

Считаем «туда» и «обратно»

От $x$ к $y$. Подставляем число вместо $x$. При $x = 40; 45; 50; 60$ получаем $y = 80; 90; 100; 120$ км.

От $y$ к $x$. Подставляем число вместо $y$ и решаем уравнение. Если путь 86 км, то $2x = 86$ и $x = 43$ км/ч.

⚠️ Частая ошибка. Не каждая формула задаёт функцию. Например, $|y| = x$. При $x = 2$ подходят и $y = 2$, и $y = -2$. Два значения $y$ на одно $x$ — это уже не функция.

Растёт функция или падает

Формула помогает проверить, возрастающая ли функция. Докажем, что $y = 3x - 5$ возрастает. Возьмём два значения, $x_1 > x_2$, и сравним $y_1$ с $y_2$:

Где график пересекает ось $Ox$

На оси $Ox$ все точки имеют ординату $y = 0$. Значит, нужно подставить $y = 0$ и решить уравнение.

Для $y = 3x - 5$: $3x - 5 = 0$, $3x = 5$, $x = 1\frac{2}{3}$. График пересекает ось в точке $\left(1\frac{2}{3}; 0\right)$.

Когда значения положительные или отрицательные

Хотим узнать, при каких $x$ функция $y = 3x - 5$ отрицательна. Записываем неравенство $3x - 5 < 0$, значит $3x < 5$ и $x < 1\frac{2}{3}$. Ответ: $x \in \left(-\infty; 1\frac{2}{3}\right)$.

💡 Для $y = 3x - 5$ точка $x = 1\frac{2}{3}$ — «граница». Левее у функции минус, правее плюс. Это видно и на графике выше.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка своими словами объяснить, зачем в формулу вместо $y$ подставляют 0, когда ищут пересечение с осью $Ox$. Правильный ответ: на оси $Ox$ высота (ордината) всегда ноль.

🌟 Слово «формула» знакомо тебе давно: $S = ab$, $P = 4a$, $s = vt$. Все они задают функции — стоит только решить, какую переменную считать аргументом.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Почему с помощью формулы можно задать функцию? Формула показывает, как по $x$ найти $y$. Подставил число — получил единственное значение.
• В каком случае формула задаёт функцию? Когда каждому допустимому значению $x$ она даёт ровно одно значение $y$.
• В каком случае формула не задаёт функцию? Когда для какого-то $x$ получается два или больше значений $y$. Например, $|y| = x$ при $x = 2$ даёт $y = 2$ и $y = -2$.
• Как найти область определения по формуле? Выписываем все числа, которые можно подставить. Из формулы с дробью выбрасываем те $x$, при которых знаменатель равен нулю.
• Как по значению функции найти значение аргумента? Подставляем это значение вместо $y$ в формулу и решаем уравнение относительно $x$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 19.1

Найди область определения функции: 1) $y = \frac{1}{3}x$; 2) $y = \frac{x}{2} + 5$; 3) $y = \frac{3}{x + 2}$; 4) $y = \frac{x(x - 2)}{2}$.

Как думать. Ищем числа, которые подставлять нельзя. Запрещено одно: деление на нуль. Если делим только на число, запретов нет.

Решение.

1. Умножение на $\frac{1}{3}$ возможно для любого $x$.
2. Деление на 2 и сложение с 5 тоже возможны для любого $x$.
3. Делим на $x + 2$: оно не должно быть нулём, поэтому $x \ne -2$.
4. Делим на число 2, а $x(x - 2)$ можно вычислить для любого $x$.

Ответ: 1) $(-\infty; +\infty)$; 2) $(-\infty; +\infty)$; 3) $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$; 4) $(-\infty; +\infty)$.

№ 19.2

Найди значение функции: 1) $y = \frac{1}{3}x + 8$, если $x = 1782$; $1101$; $\frac{2}{3}$; $0{,}3$; 2) $y = \frac{1}{8} + 25%,x$, если $x = 40$; $100$; $\frac{1}{2}$; $8$.

Как думать. Подставляем каждое $x$ и считаем по действиям. $25% = 0{,}25 = \frac{1}{4}$, так что во втором пункте $y = \frac{1}{8} + \frac{x}{4}$.

Решение.

1. $x = 1782$: $594 + 8 = 602$. $x = 1101$: $367 + 8 = 375$. $x = \frac{2}{3}$: $\frac{2}{9} + 8 = 8\frac{2}{9}$. $x = 0{,}3$: $0{,}1 + 8 = 8{,}1$.
2. $x = 40$: $\frac{1}{8} + 10 = 10\frac{1}{8}$. $x = 100$: $\frac{1}{8} + 25 = 25\frac{1}{8}$. $x = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$. $x = 8$: $\frac{1}{8} + 2 = 2\frac{1}{8}$.

Ответ: 1) $602$; $375$; $8\frac{2}{9}$; $8{,}1$; 2) $10\frac{1}{8}$; $25\frac{1}{8}$; $\frac{1}{4}$; $2\frac{1}{8}$.

№ 19.3

Найди значение аргумента $x$ для функции: 1) $y = \frac{1}{3}x + 8$, если $y = \frac{1}{3}$; $0{,}3$; $8$; $30$; 2) $y = \frac{1}{8} + 25%,x$, если $y = \frac{1}{4}$; $0{,}5$; $10$.

Как думать. Теперь известно $y$, нужно найти $x$: подставляем $y$ и решаем уравнение.

Решение.

1. $\frac{x}{3} + 8 = y$, значит $x = 3(y - 8)$.
   • $y = \frac{1}{3}$: $x = 3\left(\frac{1}{3} - 8\right) = 1 - 24 = -23$.
   • $y = 0{,}3$: $x = 3 \cdot (-7{,}7) = -23{,}1$.
   • $y = 8$: $x = 0$.
   • $y = 30$: $x = 3 \cdot 22 = 66$.
2. $\frac{1}{8} + \frac{x}{4} = y$, значит $x = 4\left(y - \frac{1}{8}\right) = 4y - \frac{1}{2}$.
   • $y = \frac{1}{4}$: $x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
   • $y = 0{,}5$: $x = 2 - 0{,}5 = 1{,}5$.
   • $y = 10$: $x = 40 - 0{,}5 = 39{,}5$.

Ответ: 1) $-23$; $-23{,}1$; $0$; $66$; 2) $\frac{1}{2}$; $1{,}5$; $39{,}5$.

№ 19.4

При каких значениях $x$ значения функции равны нулю: 1) $y = 3x + 8$; 2) $y = 5x + 1$; 3) $y = -12x + 18$; 4) $y = 4x - 8$; 5) $y = -2x - 8$; 6) $y = -10x + 2$?

Как думать. Это те самые точки, где график пересекает ось $Ox$. Приравниваем формулу к нулю и решаем уравнение.

Решение.

1. $3x + 8 = 0$, $x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$.
2. $5x + 1 = 0$, $x = -\frac{1}{5} = -0{,}2$.
3. $-12x + 18 = 0$, $12x = 18$, $x = 1{,}5$.
4. $4x - 8 = 0$, $x = 2$.
5. $-2x - 8 = 0$, $-2x = 8$, $x = -4$.
6. $-10x + 2 = 0$, $10x = 2$, $x = 0{,}2$.

Ответ: 1) $-2\frac{2}{3}$; 2) $-0{,}2$; 3) $1{,}5$; 4) $2$; 5) $-4$; 6) $0{,}2$. Ответы 4)–6) совпадают с ответами учебника.

№ 19.5

1) Бригада за день собирает $x$ кг моркови. Напиши формулу массы моркови за 5 дней при той же производительности. 2) Аренда парковочного места для одного автомобиля составляет $c$ тенге в день. Каждый день на парковке ставят 25 автомобилей. Напиши формулу общей стоимости аренды за 6 дней.

Как думать. Разбираем по шагам: сколько в день — умножаем на число дней.

Решение.

1. За день $x$ кг, за 5 дней $m = 5x$ кг.
2. За один день за 25 автомобилей: $25c$ тенге. За 6 дней $S = 6 \cdot 25c = 150c$ тенге.

Ответ: 1) $m = 5x$; 2) $S = 150c$.

Уровень B

№ 19.6

При каких $x$ значения функции положительны: 1) $y = 0{,}1x + 10$; 2) $y = -0{,}1x + 10$; 3) $y = -0{,}1x - 10$; 4) $y = 0{,}1x - 10$?

Как думать. Пишем неравенство $y > 0$ и решаем его. Помни: при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Решение.

1. $0{,}1x + 10 > 0$, $0{,}1x > -10$, $x > -100$.
2. $-0{,}1x + 10 > 0$, $-0{,}1x > -10$, делим на $-0{,}1$: $x < 100$.
3. $-0{,}1x - 10 > 0$, $-0{,}1x > 10$, $x < -100$.
4. $0{,}1x - 10 > 0$, $0{,}1x > 10$, $x > 100$.

Ответ: 1) $(-100; +\infty)$; 2) $(-\infty; 100)$; 3) $(-\infty; -100)$; 4) $(100; +\infty)$.

№ 19.7

При каких $x$ значения функции отрицательны: 1) $y = 100x + 4$; 2) $y = 4x + 100$; 3) $y = -2x - 8$; 4) $y = 2x + 8$?

Как думать. То же самое, только решаем $y < 0$.

Решение.

1. $100x + 4 < 0$, $x < -\frac{4}{100} = -0{,}04$.
2. $4x + 100 < 0$, $4x < -100$, $x < -25$.
3. $-2x - 8 < 0$, $-2x < 8$, делим на $-2$ и меняем знак: $x > -4$.
4. $2x + 8 < 0$, $2x < -8$, $x < -4$.

Ответ: 1) $(-\infty; -0{,}04)$; 2) $(-\infty; -25)$; 3) $(-4; +\infty)$; 4) $(-\infty; -4)$. Ответы 2) и 3) совпадают с учебником.

№ 19.8

В супермаркете скидка 10% на каждый купленный товар. Покупатель взял 5 штук товара, первоначальная цена каждого $x$ тенге. Напиши формулу стоимости покупки с учётом скидки.

Как думать. Скидка 10% — платим 90%. Значит, цена одной штуки равна $0{,}9x$.

Решение.

1. Цена со скидкой: $x - 0{,}1x = 0{,}9x$.
2. За 5 штук: $S = 5 \cdot 0{,}9x = 4{,}5x$.

Например, если $x = 1000$ тенге, то $S = 4500$ тенге вместо 5000.

Ответ: $S = 4{,}5x$ тенге.

Уровень C

Это самые трудные задания. Не страшно, если сразу не получится — главное, что ты пробуешь.

№ 19.9

При каких $x$ значения функции неотрицательны: 1) $y = -3{,}5x + 4\frac{2}{3}$; 2) $y = \frac{5}{9}x - 14\frac{7}{18}$; 3) $y = -\frac{7}{8}x + 4\frac{4}{7}$; 4) $y = -1\frac{2}{3}x - 12{,}5$?

Как думать. «Неотрицательные» значит $y \ge 0$ (ноль тоже годится), поэтому концы промежутков включаем (скобки квадратные). Делим на отрицательное — меняем знак.

Решение.

1. $-3{,}5x + \frac{14}{3} \ge 0$, $3{,}5x \le \frac{14}{3}$, $x \le \frac{14}{3} : \frac{7}{2} = \frac{14 \cdot 2}{3 \cdot 7} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
2. Разобрано выше: $x \ge 25{,}9$.
3. $-\frac{7}{8}x + \frac{32}{7} \ge 0$, $\frac{7}{8}x \le \frac{32}{7}$, $x \le \frac{32}{7} \cdot \frac{8}{7} = \frac{256}{49} = 5\frac{11}{49}$.
4. $-\frac{5}{3}x - 12{,}5 \ge 0$, $-\frac{5}{3}x \ge 12{,}5$, делим на $-\frac{5}{3}$ и меняем знак: $x \le -12{,}5 \cdot \frac{3}{5} = -7{,}5$.

Ответ: 1) $\left(-\infty; 1\frac{1}{3}\right]$; 2) $[25{,}9; +\infty)$; 3) $\left(-\infty; 5\frac{11}{49}\right]$; 4) $(-\infty; -7{,}5]$.

№ 19.10

1) Бригада в день прокладывает $a$ км дороги. Из-за погоды в плохие дни она прокладывает $c$ км. Напиши формулу общей длины дороги за 11 дней, из которых $x$ дней были с плохой погодой. 2) В первые 4 дня бригада собирает урожай по $a$ кг в день. После замены техники производительность выросла на 10 кг в день на следующие $x$ дней. Напиши формулу количества урожая за все дни.

Как думать. Считаем по частям: сколько дней каждого вида, сколько в каждый.

Решение.

1. Хороших дней $11 - x$, они дают $a(11 - x)$ км. Плохих дней $x$, они дают $cx$ км. Всего $S = a(11 - x) + cx$.
2. Первые 4 дня: $4a$ кг. Дальше $x$ дней по $(a + 10)$ кг: $x(a + 10)$ кг. Всего $S = 4a + x(a + 10)$.

Ответ: 1) $S = a(11 - x) + cx$ км; 2) $S = 4a + x(a + 10)$ кг.

Готовимся к следующей теме

№ 19.11

Вычисли значение $y$ и заполни таблицу 19.1, если $y = 2{,}2x$. В таблице $x$: $5$; $-3$; $27$; $-1\frac{1}{3}$.

Как думать. Для каждого $x$ умножаем на 2,2. Смешанное число $-1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3}$.

Решение.

1. $x = 5$: $y = 11$.
2. $x = -3$: $y = -6{,}6$.
3. $x = 27$: $y = 59{,}4$.
4. $x = -1\frac{1}{3}$: $y = -\frac{4}{3} \cdot \frac{11}{5} = -\frac{44}{15} = -2\frac{14}{15}$.

Ответ: $11$; $-6{,}6$; $59{,}4$; $-2\frac{14}{15}$.

№ 19.12

Заполни таблицу 19.2 для функции $y = 3x - 2$. Даны: $y = 4$; $x = \frac{1}{3}$; $x = 1\frac{1}{6}$; $y = 2{,}5$; $y = -5$ (в каждом столбце известно одно число, второе надо найти).

Как думать. Где известно $x$, считаем $y = 3x - 2$. Где известно $y$, решаем $3x - 2 = y$, то есть $x = \frac{y + 2}{3}$.

Решение.

1. $y = 4$: $x = \frac{4 + 2}{3} = 2$.
2. $x = \frac{1}{3}$: $y = 1 - 2 = -1$.
3. $x = 1\frac{1}{6}$: $y = 3 \cdot \frac{7}{6} - 2 = 3{,}5 - 2 = 1{,}5$.
4. $y = 2{,}5$: $x = \frac{4{,}5}{3} = 1{,}5$.
5. $y = -5$: $x = \frac{-3}{3} = -1$.

Ответ: $x = 2$; $y = -1$; $y = 1{,}5$; $x = 1{,}5$; $x = -1$.

Шпаргалка

• Из дроби исключаем $x$, при которых знаменатель равен 0.
• Чтобы доказать, что функция возрастающая, берём $x_1 > x_2$ и показываем, что $y_1 - y_2 > 0$.
• Скидка 10% — множитель 0,9.

Мини-тест