§ 20. Табличный способ задания функции

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 3: Функция. График функции. Страницы 124–128.

Чему научишься

• Понимать, как таблицей задают функцию: сверху значения $x$, снизу значения $y$.
• Проверять, задаёт ли таблица функцию.
• Находить по таблице область определения.
• Определять по таблице, возрастает функция или убывает.
• Составлять формулу функции по таблице значений.

Разминка

• Как называется зависимая переменная? Значение функции, обычно $y$.
• Как называется независимая переменная? Аргумент, обычно $x$.
• Как задать функцию формулой? Записать, как по $x$ найти $y$, например $y = 2x$.
• Чему равно $y$ в $y = 2x$ при $x = 15$? $2 \cdot 15 = 30$.

Разбираемся

Таблица в два этажа

Функцию можно задать таблицей. Правило простое: в верхней строке пишем значения аргумента $x$, в нижней — соответствующие значения функции $y$.

Читаем таблицу двумя способами:

• Вперёд. Аргументу 30 отвечает значение функции 60.
• Назад. Значению функции 36 отвечает аргумент 18.

Область определения — верхняя строка

Все значения $x$ из верхней строки образуют область определения. Для таблицы выше: $D = {15; 18; 20; 21; 30; 40}$. Здесь это просто набор чисел, а не промежуток, потому что других значений аргумента у таблицы нет.

Растёт или падает

Расположи значения $x$ по порядку (по возрастанию) и смотри, что делает $y$.

• Если $y$ тоже растёт, функция возрастающая.
• Если $y$ уменьшается, функция убывающая.
• Если то растёт, то падает, то ни та ни другая.

В нашей таблице $x$ растёт: 15, 18, 20, 21, 30, 40 — и $y$ тоже: 30, 36, 40, 42, 60, 80. Функция возрастающая.

💡 Если значения $x$ в таблице записаны не по порядку, это не страшно. Просто мысленно переставь столбцы так, чтобы $x$ шли по возрастанию.

Не любая таблица — функция

⚠️ Частая ошибка. Раз есть таблица, значит функция. Нет! Если в верхней строке одно и то же $x$ встречается два раза, а под ним разные $y$ — функции нет.

Здесь $x = 1$ отвечают и $y = 4$, и $y = 5$. Правило «одному $x$ — одно $y$» нарушено.

А вот если одно и то же $x$ встречается дважды с одним и тем же $y$, ничего не ломается: это просто повтор.

👨‍👩‍👧 Родителю. Предложите ребёнку составить таблицу из жизни: «сколько тенге за 1, 2, 3 килограмма яблок». Затем вместе проверьте, что каждому весу отвечает одна цена.

🌟 Таблицы функций люди составляли ещё за тысячи лет до компьютеров: древние астрономы выписывали положения звёзд на каждый день и по таблице заранее знали, когда будет затмение.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как с помощью таблицы можно задать функцию? В верхней строке записать значения $x$, в нижней соответствующие значения $y$. При этом одному $x$ должно отвечать одно $y$.
• Как по таблице найти область определения? Выписать все числа верхней строки.
• Можно ли по таблице узнать, возрастает ли функция? Да. Упорядочиваем $x$ по возрастанию и смотрим на $y$: растут — возрастающая, падают — убывающая, иначе ни та ни другая.
• Как с помощью таблицы узнать, задаёт ли она функцию? Посмотреть, нет ли в верхней строке одинаковых $x$ с разными $y$ под ними.
• Обязательно ли в таблице записывать $x$ по возрастанию или убыванию? Нет, порядок любой. Но для проверки возрастания и убывания значения удобно упорядочить.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 20.1

Задаёт ли функцию таблица 20.3? Верхняя строка $x$, нижняя $y$. 1) $x$: $1; 2; 3$, $y$: $0{,}5; 1; 1{,}5$. 2) $x$: $-1; -2; 1; 2$, $y$: $1; 2; 1; 2$. 3) $x$: $1; 2; 1$, $y$: $-1; -2; 1$. 4) $x$: $4; 2; 1$, $y$: $0; 0; 0$.

Как думать. Ищем одинаковые числа в верхней строке. Если они есть, смотрим на $y$ под ними: должны быть одинаковые.

Решение.

1. Значения $x$ — 1, 2, 3, все разные. Это функция ($y = 0{,}5x$).
2. Значения $x$ — $-1; -2; 1; 2$, все разные. Функция (по сути $y = |x|$ для $x = \pm1, \pm2$ — а у $-1$ и $1$ одно значение 1, у $-2$ и $2$ — 2... но здесь важны только разные $x$).
3. $x = 1$ встречается дважды: под ним $y = -1$ и $y = 1$. Разные значения. Не функция.
4. Значения $x$ — 4, 2, 1, все разные. Функция (постоянная, $y = 0$ всегда).

Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет; 4) да.

№ 20.2

Найди область определения функции $y$, заданной таблицей 20.4: 1) $x$: $1; 2; 3; 4$, $y$: $1; 4; 9; 16$; 2) $x$: $1; 2; 4; 9$, $y$: $-1; 0; 2; 7$.

Как думать. Область определения — все числа из верхней строки.

Решение.

1. Верхняя строка: $1; 2; 3; 4$.
2. Верхняя строка: $1; 2; 4; 9$.

Ответ: 1) $D = {1; 2; 3; 4}$; 2) $D = {1; 2; 4; 9}$.

№ 20.3

Возрастающей или убывающей является функция, заданная таблицей 20.5? 1) $x$: $7; 8; 9; 12$, $y$: $1; 2; 3; 4$. 2) $x$: $44; 30; 15; 6$, $y$: $40; 20; 10; 1$. 3) $x$: $10; 20; 30; 40$, $y$: $5; 15; 10; 20$. 4) $x$: $11; 12; 13; 14$, $y$: $15; 14; 13; 12$.

Как думать. Упорядочиваем $x$ по возрастанию и смотрим, куда идёт $y$. Если порядок $x$ в таблице другой, сначала переставь столбцы.

Решение.

1. $x$ растёт: 7, 8, 9, 12, $y$ растёт: 1, 2, 3, 4. Возрастающая.
2. Разобрано выше: возрастающая.
3. $x$ растёт: 10, 20, 30, 40, а $y$: 5, 15, 10, 20 — сначала растёт, потом падает, потом снова растёт. Ни возрастающая, ни убывающая.
4. $x$ растёт: 11, 12, 13, 14, $y$ падает: 15, 14, 13, 12. Убывающая.

Ответ: 1) возрастающая; 2) возрастающая; 3) ни та ни другая; 4) убывающая.

№ 20.4

Задай функцию $y$ формулой с помощью таблицы 20.6. 1) $x$: $1; 2; 3; 4$, $y$: $3; 6; 9; 12$. 2) $y$: $4; 7; 10; 13$. 3) $y$: $2; 5; 8; 11$. 4) $y$: $-3; -6; -9; -12$. Из каких чисел состоит область определения всех этих функций? Какие функции возрастающие, какие убывающие?

Как думать. Смотрим, на сколько меняется $y$, когда $x$ растёт на 1. Это число, на которое умножается $x$. Затем проверяем первый столбец и добавляем нужное число.

Решение.

1. $y$ растёт на 3: $3 \cdot 1 = 3$ ✓. Формула $y = 3x$.
2. Шаг 3, при $x = 1$ нужно 4: $3 \cdot 1 + 1 = 4$. Формула $y = 3x + 1$. Проверка: $x = 4$ даёт 13 ✓.
3. Шаг 3, при $x = 1$ нужно 2: $3 \cdot 1 - 1 = 2$. Формула $y = 3x - 1$. Проверка: $x = 4$ даёт 11 ✓.
4. Шаг $-3$: $y = -3x$. Проверка: $x = 4$ даёт $-12$ ✓.

Область определения у всех: ${1; 2; 3; 4}$. В 1), 2), 3) $y$ растёт вместе с $x$ — возрастающие. В 4) $y$ уменьшается — убывающая.

Ответ: 1) $y = 3x$; 2) $y = 3x + 1$; 3) $y = 3x - 1$; 4) $y = -3x$; $D = {1; 2; 3; 4}$; возрастающие 1), 2), 3); убывающая 4).

Уровень B

№ 20.5

1) Водитель записывает расход топлива. Таблица 20.7: расстояние (км) 50; 100; 150; 200, расход (л) 5; 10; 15; 20. Напиши формулу зависимости расхода от расстояния. 2) Работник получает фиксированную сумму каждый день. Таблица 20.8: дни 1; 2; 3; 4, зарплата (тг) 600; 1200; 1800; 2400. Напиши формулу зарплаты от числа дней. 3) Количество углекислого газа, поглощаемого растениями, зависит от площади посадки (табл. 20.9): площадь (м²) 10; 20; 30; 40, газ (кг) 2; 4; 6; 8. Напиши формулу зависимости поглощённого газа от площади.

Как думать. Находим, сколько приходится на одну единицу аргумента: на 1 км, 1 день, 1 м². Это число умножаем на $x$.

Решение.

1. $5 : 50 = 0{,}1$ л на 1 км. Проверка: $100 \cdot 0{,}1 = 10$ ✓. Формула $y = 0{,}1x$.
2. $600$ тг в день. Проверка: $3 \cdot 600 = 1800$ ✓. Формула $y = 600x$.
3. $2 : 10 = 0{,}2$ кг на 1 м². Проверка: $40 \cdot 0{,}2 = 8$ ✓. Формула $y = 0{,}2x$.

Ответ: 1) $y = 0{,}1x$; 2) $y = 600x$; 3) $y = 0{,}2x$.

№ 20.6

Напиши формулу функции и по таблице 20.10 установи, возрастающая она или убывающая. 1) $x$: $-7; -6; -5; -4; -3; -2; -1$, $y$: $49; 36; 25; 16; 9; 4; 1$. 2) $x$: $-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3$, $y$: $-27; -8; -1; 0; 1; 8; 27$.

Как думать. Ищем связь между $x$ и $y$ в первом столбце, потом проверяем остальные. Числа 49, 36, 25 — это квадраты; числа 27, 8, 1 — кубы.

Решение.

1. $49 = 7^{2} = (-7)^{2}$, $36 = (-6)^{2}$, … $1 = (-1)^{2}$. Формула $y = x^{2}$. При росте $x$ от $-7$ до $-1$ значения $y$ падают: 49, 36, …, 1. Убывающая.
2. $(-3)^{3} = -27$, $(-2)^{3} = -8$, $0^{3} = 0$, $3^{3} = 27$. Формула $y = x^{3}$. При росте $x$ значения $y$ тоже растут. Возрастающая.

Ответ: 1) $y = x^{2}$, убывающая; 2) $y = x^{3}$, возрастающая. Совпадает с ответами учебника.

Уровень C

Здесь самые трудные задания. Сама попытка уже заслуживает похвалы!

№ 20.7

Задай таблицей функцию $y = x^{2}$, если область определения состоит из чисел: 1) $-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3$; 2) $-30; -20; -10; 0; 10; 20; 30$; 3) $-8; -7; -6; -5; -4$; 4) $-0{,}3; -0{,}2; -0{,}1; 0; 0{,}1; 0{,}2; 0{,}3$; 5) $-\frac{1}{100}; -\frac{1}{10}; \frac{1}{10}; \frac{1}{100}$; 6) $-\frac{1}{5}; -\frac{1}{4}; -\frac{1}{3}; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \frac{1}{5}$.

Как думать. Просто возводим каждое $x$ в квадрат. Минус пропадает: $(-3)^{2} = 9$, а не $-9$.

Решение.

Ответ: таблицы выше. Замечай: числа $x$ и $-x$ дают одинаковый $y$, а $y \ge 0$ всегда.

Готовимся к следующей теме

№ 20.8

На координатной плоскости отметь точки: $A(-3; 4)$, $B(5; 6)$, $C(2; -3)$, $D(-1{,}5; -2)$, $M(0; -2)$, $N(3; 0)$.

Как думать. В скобках сначала $x$ (идём вправо или влево от нуля), потом $y$ (вверх или вниз).

Решение.

1. $A(-3; 4)$: 3 клетки влево, 4 вверх. Это вторая четверть.
2. $B(5; 6)$: 5 вправо, 6 вверх. Первая четверть.
3. $C(2; -3)$: 2 вправо, 3 вниз. Четвёртая четверть.
4. $D(-1{,}5; -2)$: полторы клетки влево, 2 вниз. Третья четверть.
5. $M(0; -2)$: $x = 0$, поэтому точка лежит на оси $Oy$, на 2 вниз от начала.
6. $N(3; 0)$: $y = 0$, точка лежит на оси $Ox$, на 3 вправо от начала.

Ответ: точки отмечены на рисунке: $A$ — II четверть, $B$ — I, $C$ — IV, $D$ — III, $M$ на оси $Oy$, $N$ на оси $Ox$.

№ 20.9

1) Построй несколько точек на оси абсцисс и несколько на оси ординат. Какая особенность у их координат? 2) Построй несколько точек выше оси абсцисс и несколько ниже. Какая особенность у координат? 3) Построй несколько точек левее оси ординат и несколько правее. Какая особенность у координат?

Как думать. Это не вычисление, а наблюдение: поставь по 3–4 точки и посмотри на числа.

Решение.

1. На оси $Ox$: $(-2; 0)$, $(1; 0)$, $(4; 0)$. На оси $Oy$: $(0; -3)$, $(0; 1)$, $(0; 5)$. Закономерность: у точек на оси $Ox$ ордината $y = 0$, у точек на оси $Oy$ абсцисса $x = 0$.
2. Выше оси $Ox$: $(-2; 3)$, $(1; 1)$, $(4; 5)$ — ординаты положительные, $y > 0$. Ниже: $(-2; -3)$, $(1; -1)$, $(4; -5)$ — ординаты отрицательные, $y < 0$.
3. Левее оси $Oy$: $(-4; 2)$, $(-1; -3)$, $(-2; 0)$ — абсциссы отрицательные, $x < 0$. Правее: $(3; 2)$, $(1; -3)$, $(2; 0)$ — абсциссы положительные, $x > 0$.

Ответ: на $Ox$: $y = 0$; на $Oy$: $x = 0$; выше $Ox$: $y > 0$, ниже: $y < 0$; левее $Oy$: $x < 0$, правее: $x > 0$.

Шпаргалка

• Таблицу с неупорядоченными $x$ перед проверкой упорядочи по возрастанию.
• Повтор $x$ с тем же $y$ допустим, а с другим $y$ — нет.
• $y = x^{2}$ — для $x$ и $-x$ одинаковое $y$; $y = x^{3}$ — разные.

Мини-тест