§ 3. Деление степеней с одинаковыми основаниями. Степень с нулевым показателем

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 1: Степень с целым показателем. Страницы 32–38.

Чему научишься

• Делить степени с одинаковыми основаниями: показатели вычитаем.
• Понимать, почему любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.
• Упрощать выражения, где степени и умножаются, и делятся.
• Находить неизвестный показатель и сравнивать значения выражений со степенями.

Разминка

Ты уже умеешь умножать степени. Теперь вспомни обратное действие.

• Как сократить $\frac{3^{5}}{3^{4}}$? Пять троек делим на четыре тройки: четыре пары сокращаются, остаётся одна тройка. Получается $3$.
• Что получится в $\frac{7^{8}}{7^{4}}$? Сокращаем четыре семёрки, остаётся четыре: $7^{4}$. Показатель $8-4=4$.
• А если сверху и снизу одно и то же, например $\frac{5^{3}}{5^{3}}$? Всё сократится, и останется $1$. Запомни этот факт, он понадобится ниже.

Разбираемся

Делим степени вычёркиванием

Давай разберём пример на буквах: чему равно $b^{15}:b^{9}$?

Запиши в виде дроби. Сверху пятнадцать множителей $b$, снизу девять. Девять пар сокращаются, остаётся шесть множителей сверху.

📌 Правило. Если $b\ne0$, а $m$ и $n$ натуральные, причём $m>n$, то $b^{m}:b^{n}=b^{m-n}$. Основание оставляем, из показателя делимого вычитаем показатель делителя.

Почему именно $m>n$? Пока показатель делимого меньше, мы не знаем, что значит степень с «минусом». Об этом будет отдельный параграф.

💡 Доказательство держится на прошлом правиле. Пишем $b^{m}=b^{n}\cdot b^{m-n}$, делим на $b^{n}$ и остаётся $b^{m-n}$. Это то же умножение степеней, только прочитанное справа налево.

Нулевая степень: договорённость, которая не случайна

Что, если показатели равны? Например, $a^{n}:a^{n}$. Любое число, делённое на себя, даёт $1$. А по правилу вычитания показателей:

$a^{n}:a^{n}=a^{n-n}=a^{0}.$

Значит, $a^{0}=1$. Чтобы правило деления работало всегда, $a^{0}$ обязана быть равна единице.

📌 Правило. Для любого числа $a\ne0$: $a^{0}=1$. Например, $10^{0}=1$, $28^{0}=1$, $(-16)^{0}=1$.

⚠️ Частая ошибка. Думают, что $5^{0}=0$ или $5^{0}=5$. Нет: ноль в показателе значит «множителей нет», а произведение без множителей равно $1$, как и пустая сумма равна нулю.

Почему $a$ не может быть нулём? Потому что тогда мы делили бы на ноль: $0^{n}:0^{n}$ не имеет смысла. Выражение $0^{0}$ в этом параграфе не рассматриваем.

Простой пример

Упростим $a^{37}:a^{15}$. Основание то же, показатели вычитаем: $37-15=22$. Ответ: $a^{22}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Спросите ребёнка, почему $a^{0}=1$, а не $0$. Хороший ответ звучит так: «Потому что $a^{n}:a^{n}=1$, а по правилу вычитания это $a^{0}$». Если он только повторяет «так велели», вернитесь к вычёркиванию одинаковых множителей.

Проверь себя

• Какими могут быть основание и показатели, чтобы можно было делить степени по правилу? Основание любое, но не ноль, и у обеих степеней оно одинаковое. Показатели натуральные, причём у делимого показатель больше, чем у делителя.
• Почему у степени с нулевым показателем основание не может быть нулём? Равенство $a^{0}=1$ получено делением $a^{n}:a^{n}$. При $a=0$ пришлось бы делить на ноль, а это запрещено.
• При каких значениях $a$ верно $a^{0}=1$? При всех числах $a$, кроме нуля.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 3.1

Представьте в виде степени: 1) $x^{10}:x^{7}$; 2) $y^{13}:y^{8}$; 3) $z^{41}:z^{19}$; 4) $35^{21}:35^{9}$; 5) $(1{,}8)^{14}:(1{,}8)^{9}$; 6) $(0{,}8)^{50}:(0{,}8)^{31}$; 7) $\left(-\frac{1}{2}\right)^{28}:\left(-\frac{1}{2}\right)^{20}$; 8) $\left(-\frac{17}{20}\right)^{43}:\left(-\frac{17}{20}\right)^{26}$; 9) $\left(-5\frac{4}{18}\right)^{17}:\left(-5\frac{4}{18}\right)^{8}$.

Как думать. Основание одно и то же. Оставляем его и вычитаем показатели.

Решение.

1. $x^{10-7}=x^{3}$.
2. $y^{13-8}=y^{5}$.
3. $z^{41-19}=z^{22}$.
4. $35^{21-9}=35^{12}$.
5. $(1{,}8)^{14-9}=(1{,}8)^{5}$.
6. $(0{,}8)^{50-31}=(0{,}8)^{19}$.
7. $\left(-\frac{1}{2}\right)^{28-20}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{8}$.
8. $\left(-\frac{17}{20}\right)^{43-26}=\left(-\frac{17}{20}\right)^{17}$.
9. $\left(-5\frac{4}{18}\right)^{17-8}=\left(-5\frac{4}{18}\right)^{9}$.

Ответ: 1) $x^{3}$; 2) $y^{5}$; 3) $z^{22}$; 4) $35^{12}$; 5) $(1{,}8)^{5}$; 6) $(0{,}8)^{19}$; 7) $\left(-\frac{1}{2}\right)^{8}$; 8) $\left(-\frac{17}{20}\right)^{17}$; 9) $\left(-5\frac{4}{18}\right)^{9}$.

№ 3.2

Представьте в виде степени: 1) $(-8)^{50}:(-8)^{30}$; 2) $\left(\frac{3}{14}\right)^{3}:\left(\frac{3}{14}\right)^{2}$; 3) $(4{,}1)^{81}:(4{,}1)^{72}$; 4) $\left(\frac{a}{3}\right)^{31}:\left(\frac{a}{3}\right)^{21}$; 5) $(-k)^{38}:(-k)^{37}$; 6) $(-6{,}8)^{43}:(-6{,}8)^{42}$.

Как думать. То же правило. Если в ответе показатель получился $1$, его можно не писать.

Решение.

1. $(-8)^{50-30}=(-8)^{20}$.
2. $\left(\frac{3}{14}\right)^{3-2}=\frac{3}{14}$.
3. $(4{,}1)^{81-72}=(4{,}1)^{9}$.
4. $\left(\frac{a}{3}\right)^{31-21}=\left(\frac{a}{3}\right)^{10}$.
5. $(-k)^{38-37}=-k$.
6. $(-6{,}8)^{43-42}=-6{,}8$.

Ответ: 1) $(-8)^{20}$; 2) $\frac{3}{14}$; 3) $(4{,}1)^{9}$; 4) $\left(\frac{a}{3}\right)^{10}$; 5) $-k$; 6) $-6{,}8$.

№ 3.3

Представьте в виде степени: 1) $(9+x)^{6}:(9+x)^{4}$; 2) $(m-n)^{9}:(m-n)^{5}$; 3) $(2x-1)^{7}:(2x-1)^{4}$; 4) $\left(\frac{a}{5}-3\right)^{25}:\left(\frac{a}{5}-3\right)^{23}$.

Как думать. Основанием может быть целое выражение в скобках. Правило работает так же.

Решение.

1. $(9+x)^{6-4}=(9+x)^{2}$.
2. $(m-n)^{9-5}=(m-n)^{4}$.
3. $(2x-1)^{7-4}=(2x-1)^{3}$.
4. $\left(\frac{a}{5}-3\right)^{25-23}=\left(\frac{a}{5}-3\right)^{2}$.

Ответ: 1) $(9+x)^{2}$; 2) $(m-n)^{4}$; 3) $(2x-1)^{3}$; 4) $\left(\frac{a}{5}-3\right)^{2}$.

№ 3.4

Запишите в виде частного двух степеней с одинаковыми основаниями: 1) $50^{22}$; 2) $\left(\frac{7}{3}\right)^{10}$; 3) $(-7{,}2)^{34}$; 4) $\left(-\frac{8}{9}\right)^{41}$.

Как думать. Задача обратная: нужно найти два показателя, разность которых равна данному. Годится любая подходящая пара.

Решение.

1. $22=30-8$, значит $50^{22}=50^{30}:50^{8}$.
2. $10=15-5$, значит $\left(\frac{7}{3}\right)^{10}=\left(\frac{7}{3}\right)^{15}:\left(\frac{7}{3}\right)^{5}$.
3. $34=40-6$, значит $(-7{,}2)^{34}=(-7{,}2)^{40}:(-7{,}2)^{6}$.
4. $41=50-9$, значит $\left(-\frac{8}{9}\right)^{41}=\left(-\frac{8}{9}\right)^{50}:\left(-\frac{8}{9}\right)^{9}$.

Ответ: 1) $50^{30}:50^{8}$; 2) $\left(\frac{7}{3}\right)^{15}:\left(\frac{7}{3}\right)^{5}$; 3) $(-7{,}2)^{40}:(-7{,}2)^{6}$; 4) $\left(-\frac{8}{9}\right)^{50}:\left(-\frac{8}{9}\right)^{9}$ (возможны другие пары показателей).

№ 3.5

Даны $A=9^{7}:9^{6}-6\cdot101^{0}$, $B=13^{4}:13^{3}+17\cdot99^{0}$, $C=5^{10}:5^{8}-24\cdot8^{0}$. Какие утверждения верны: 1) $B=9A+3C$; 2) $A>C-B$; 3) $C>A+B$; 4) $B:10=A+C$?

Как думать. Сначала найди числа $A$, $B$, $C$. Нулевая степень даёт единицу, деление степеней даёт вычитание показателей.

Решение.

1. $A=9^{1}-6\cdot1=9-6=3$.
2. $B=13^{1}+17\cdot1=13+17=30$.
3. $C=5^{2}-24\cdot1=25-24=1$.
4. Проверяем: 1) $9\cdot3+3\cdot1=30=B$, верно. 2) $C-B=1-30=-29$, и $3>-29$, верно. 3) $A+B=33$, а $C=1$: неверно. 4) $B:10=3$, а $A+C=4$: неверно.

Ответ: верны утверждения 1) и 2).

№ 3.6

Вместо звёздочки запишите число: 1) $200^{10}=200^{21}:200^{}$; 2) $4{,}45^{39}:4{,}45^{}=4{,}45^{30}$; 3) $(-5ab)^{}:(-5ab)=(-5ab)^{11}$; 4) $\left(\frac{5}{16}t\right)^{}:\left(\frac{5}{16}t\right)^{2}=\left(\frac{5}{16}t\right)^{22}$.

Как думать. Показатель делимого минус показатель делителя равен показателю результата. Из этого находим недостающее число.

Решение.

1. $21-=10$, значит $=21-10=11$.
2. $39-=30$, значит $=39-30=9$.
3. $-1=11$, значит $=11+1=12$.
4. $-2=22$, значит $=22+2=24$.

Ответ: 1) $11$; 2) $9$; 3) $12$; 4) $24$.

№ 3.7

Вместо звёздочки запишите число: 1) $x^{60}=x^{80}:x^{15}:x^{}$; 2) $a^{}:a^{4}:a=a^{7}$; 3) $\left(-\frac{8}{15}k\right)^{38}=\left(-\frac{8}{15}k\right)^{40}:\left(-\frac{8}{15}k\right)^{}:\left(-\frac{8}{15}k\right)$; 4) $(1{,}1t)^{8}:(1{,}1t):(1{,}1t)^{}=1{,}1t$.

Как думать. Здесь два деления подряд. Вычитаем оба показателя из первого и приравниваем к результату. Помни, что у $a$ без показателя он равен $1$.

Решение.

1. $80-15-=60$. Тогда $65-=60$, $*=5$.
2. $-4-1=7$. Тогда $=7+4+1=12$.
3. $40--1=38$. Тогда $39-=38$, $*=1$.
4. $8-1-=1$. Тогда $7-=1$, $*=6$.

Ответ: 1) $5$; 2) $12$; 3) $1$; 4) $6$.

№ 3.8

Вычислите: $4{,}5^{0}$; $\left(-\frac{4}{5}\right)^{0}$; $x^{0}$; $(-2x+y)^{0}$; $(8{,}6a)^{0}$; $(-9{,}1bc)^{0}$.

Как думать. Любое число, кроме нуля, в нулевой степени даёт $1$. Если основание с буквами, считаем, что оно не равно нулю.

Решение.

1. $4{,}5^{0}=1$.
2. $\left(-\frac{4}{5}\right)^{0}=1$: минус внутри скобок ничего не меняет.
3. $x^{0}=1$ при $x\ne0$.
4. $(-2x+y)^{0}=1$ при $-2x+y\ne0$.
5. $(8{,}6a)^{0}=1$ при $a\ne0$.
6. $(-9{,}1bc)^{0}=1$ при $b\ne0$ и $c\ne0$.

Ответ: во всех случаях $1$ (для буквенных выражений при условии, что основание не равно нулю).

№ 3.9

Упростите: 1) $a^{100}:a^{89}\cdot a^{2}$; 2) $b^{98}:b^{88}\cdot b^{15}$; 3) $(ax)^{41}\cdot(ax)^{12}:(ax)^{33}$; 4) $(3z)^{56}:(3z)^{51}\cdot(3z)$; 5) $\left(\frac{c}{5}\right)^{66}:\left(\frac{c}{5}\right)^{62}\cdot\left(\frac{c}{5}\right)^{3}$; 6) $(-kt)^{49}:(-kt)^{39}\cdot(-kt)^{10}$.

Как думать. Действия идут слева направо. Умножение складывает показатели, деление вычитает, поэтому можно сразу посчитать итоговый показатель.

Решение.

1. $100-89+2=13$, получаем $a^{13}$.
2. $98-88+15=25$, получаем $b^{25}$.
3. $41+12-33=20$, получаем $(ax)^{20}$.
4. $56-51+1=6$, получаем $(3z)^{6}$.
5. $66-62+3=7$, получаем $\left(\frac{c}{5}\right)^{7}$.
6. $49-39+10=20$, получаем $(-kt)^{20}$.

Ответ: 1) $a^{13}$; 2) $b^{25}$; 3) $(ax)^{20}$; 4) $(3z)^{6}$; 5) $\left(\frac{c}{5}\right)^{7}$; 6) $(-kt)^{20}$.

№ 3.10

Вычислите: 1) $3^{25}:3^{22}\cdot3^{2}$; 2) $6^{20}\cdot6^{18}:6^{35}$; 3) $\left(\frac{5}{9}\right)^{40}:\left(\frac{5}{9}\right)^{36}:\left(\frac{5}{9}\right)^{2}$; 4) $\left(-\frac{1}{2}\right)^{50}:\left(-\frac{1}{2}\right)^{49}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{4}$; 5) $(1{,}1)^{17}\cdot(1{,}1):(1{,}1)^{16}$; 6) $(-1{,}3)^{29}:(-1{,}3)^{28}\cdot(-1{,}3)$.

Как думать. Сначала упрощаем до одной степени, потом считаем число.

Решение.

1. $3^{25-22+2}=3^{5}=243$.
2. $6^{20+18-35}=6^{3}=216$.
3. $\left(\frac{5}{9}\right)^{40-36-2}=\left(\frac{5}{9}\right)^{2}=\frac{25}{81}$.
4. $\left(-\frac{1}{2}\right)^{50-49+4}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{5}=-\frac{1}{32}$ (показатель нечётный, минус остаётся).
5. $(1{,}1)^{17+1-16}=(1{,}1)^{2}=1{,}21$.
6. $(-1{,}3)^{29-28+1}=(-1{,}3)^{2}=1{,}69$ (показатель чётный, минус исчезает).

Ответ: 1) $243$; 2) $216$; 3) $\frac{25}{81}$; 4) $-\frac{1}{32}$; 5) $1{,}21$; 6) $1{,}69$.

№ 3.11

Даны выражения: $2^{10}:2^{6}$; $3^{5}:3^{3}$; $5^{16}:5^{14}$; $2\cdot2^{2}$; $0{,}7\cdot(10^{3}:10^{2})$; $4^{9}:4^{8}$. Найдите их значения, расположите по возрастанию и найдите медиану ряда.

Как думать. Медиана — число посередине упорядоченного ряда. Если чисел чётное количество, берём среднее двух серединных.

Решение.

1. $2^{10}:2^{6}=2^{4}=16$.
2. $3^{5}:3^{3}=3^{2}=9$.
3. $5^{16}:5^{14}=5^{2}=25$.
4. $2\cdot2^{2}=2^{3}=8$.
5. $0{,}7\cdot(10^{3}:10^{2})=0{,}7\cdot10=7$.
6. $4^{9}:4^{8}=4$.
7. По возрастанию: $4;\ 7;\ 8;\ 9;\ 16;\ 25$. Чисел шесть, серединные $8$ и $9$. Медиана $(8+9):2=8{,}5$.

Ответ: значения $16;\ 9;\ 25;\ 8;\ 7;\ 4$; ряд $4;\ 7;\ 8;\ 9;\ 16;\ 25$; медиана $8{,}5$.

Уровень B

Здесь задачи чуть хитрее, но тоже решаются тем же правилом. Ты справишься!

№ 3.12

Найдите значение выражения: 1) $\frac{a^{20}\cdot a^{20}}{a^{17}\cdot a^{19}}$ при $a=5;\ -\frac{3}{11};\ 0{,}2;\ -4$; 2) $\frac{b^{40}\cdot b^{10}\cdot b^{38}}{b^{37}\cdot b^{49}}$ при $b=8;\ -1{,}3;\ \frac{5}{3};\ -6$.

Как думать. Сначала упрости выражение (сложи показатели сверху и снизу, потом вычти), и только потом подставляй числа. Так считать гораздо проще.

Решение.

1. Сверху $20+20=40$, снизу $17+19=36$. Выражение равно $a^{4}$.
   • $a=5$: $5^{4}=625$.
   • $a=-\frac{3}{11}$: $\left(\frac{3}{11}\right)^{4}=\frac{81}{14641}$ (минус пропадает, показатель чётный).
   • $a=0{,}2$: $0{,}2^{4}=0{,}0016$.
   • $a=-4$: $(-4)^{4}=256$.
2. Сверху $40+10+38=88$, снизу $37+49=86$. Выражение равно $b^{2}$.
   • $b=8$: $64$.
   • $b=-1{,}3$: $1{,}69$.
   • $b=\frac{5}{3}$: $\frac{25}{9}=2\frac{7}{9}$.
   • $b=-6$: $36$.

Ответ: 1) $625;\ \frac{81}{14641};\ 0{,}0016;\ 256$; 2) $64;\ 1{,}69;\ 2\frac{7}{9};\ 36$.

№ 3.13

При каком значении $x$ значение выражения равно 1: 1) $100^{34}:100^{32}:100^{x}$; 2) $(-40)^{50}:(-40)^{x}:(-40)^{21}$; 3) $\left(\frac{1}{6}\right)^{42}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{9}:\left(\frac{1}{6}\right)^{x}$; 4) $(-9{,}3)^{x}:(-9{,}3)^{24}:(-9{,}3)^{48}$?

Как думать. Степень равна $1$ (при основании не $0$, не $1$ и не $-1$), только если показатель равен нулю. Значит, составляем уравнение: итоговый показатель $=0$.

Решение.

1. $34-32-x=0$, значит $2-x=0$ и $x=2$.
2. $50-x-21=0$, значит $29-x=0$ и $x=29$.
3. $42+9-x=0$, значит $x=51$.
4. $x-24-48=0$, значит $x=72$.

Ответ: 1) $2$; 2) $29$; 3) $51$; 4) $72$.

№ 3.14

Сравните значения выражений: 1) $4^{5}:4^{3}$ и $2^{8}:2^{6}$; 2) $(-9)^{10}:(-9)^{9}$ и $(-8)^{9}:(-8)^{8}$; 3) $10^{20}:10^{19}\cdot10^{2}$ и $2^{40}:2^{35}\cdot2^{5}$; 4) $\left(-\frac{1}{3}\right)^{60}:\left(-\frac{1}{3}\right)^{58}$ и $\left(-\frac{1}{2}\right)^{40}:\left(-\frac{1}{2}\right)^{36}$.

Как думать. Упрости каждую часть до одной степени, посчитай и сравни числа.

Решение.

1. $4^{2}=16$ и $2^{2}=4$. $16>4$.
2. $(-9)^{1}=-9$ и $(-8)^{1}=-8$. $-9<-8$.
3. $10^{3}=1000$ и $2^{10}=1024$. $1000<1024$.
4. $\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$ и $\left(-\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{16}$. $\frac{1}{9}>\frac{1}{16}$ (чем больше знаменатель, тем меньше дробь).

Ответ: 1)

№ 3.15

Упростите: 1) $9^{n}:9^{5}$; 2) $(-10)^{6}:(-10)^{m}$; 3) $3{,}7^{k}:3{,}7^{11}$; 4) $\left(\frac{3}{16}\right)^{6}:\left(\frac{3}{16}\right)^{d}$; 5) $\left(8\frac{1}{4}\right):\left(8\frac{1}{4}\right)^{c}$; 6) $(-2{,}4)^{t}:(-2{,}4)$; 7) $11^{k}:11^{4}\cdot11^{k+1}$; 8) $20^{10}:20^{t}\cdot20^{3+t}$; 9) $(-9)^{20t}:(-9)^{t+5}:(-9)$; 10) $\left(\frac{1}{4}\right)^{3k}:\left(\frac{1}{4}\right)^{k}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{2k+3}$; 11) $\left(-\frac{1}{9}\right)^{5t-2}:\left(-\frac{1}{9}\right)\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^{5t}$; 12) $2{,}1^{t+3}\cdot2{,}1^{6t}:2{,}1^{4t+3}$.

Как думать. Те же правила, только показатели теперь с буквами. Вычитая выражение, бери его в скобки: $n-(t+5)$ — это $n-t-5$.

Решение.

1. $9^{n-5}$.
2. $(-10)^{6-m}$.
3. $3{,}7^{k-11}$.
4. $\left(\frac{3}{16}\right)^{6-d}$.
5. У $8\frac{1}{4}$ показатель равен $1$: $\left(8\frac{1}{4}\right)^{1-c}$.
6. $(-2{,}4)^{t-1}$.
7. $k-4+(k+1)=2k-3$, получаем $11^{2k-3}$.
8. $10-t+(3+t)=13$, получаем $20^{13}$ (буквы $t$ сократились).
9. $20t-(t+5)-1=19t-6$, получаем $(-9)^{19t-6}$.
10. $3k-k+(2k+3)=4k+3$, получаем $\left(\frac{1}{4}\right)^{4k+3}$.
11. $(5t-2)-1+5t=10t-3$, получаем $\left(-\frac{1}{9}\right)^{10t-3}$.
12. $(t+3)+6t-(4t+3)=3t$, получаем $2{,}1^{3t}$.

Ответ: 1) $9^{n-5}$; 2) $(-10)^{6-m}$; 3) $3{,}7^{k-11}$; 4) $\left(\frac{3}{16}\right)^{6-d}$; 5) $\left(8\frac{1}{4}\right)^{1-c}$; 6) $(-2{,}4)^{t-1}$; 7) $11^{2k-3}$; 8) $20^{13}$; 9) $(-9)^{19t-6}$; 10) $\left(\frac{1}{4}\right)^{4k+3}$; 11) $\left(-\frac{1}{9}\right)^{10t-3}$; 12) $2{,}1^{3t}$.

Уровень C

Самые трудные. Даже если получится не всё, попытка уже делает тебя сильнее. Молодец, что дошёл до этих задач!

№ 3.16

Вычислите: 1) $(2^{30}:2^{15}:2^{10})\cdot(5^{27}:5^{26}\cdot5)$; 2) $(3^{13}:3^{12}\cdot3^{3}):(7^{17}:7^{15}:7^{2})$; 3) $(4^{10}:4^{8})\cdot(6^{8}:6^{6}):(24^{37}:24^{34})$; 4) $(9^{22}:9^{20})\cdot(8^{5}:8^{3}):(6^{18}:6^{15})$.

Как думать. Упрости каждую скобку до одной степени. Потом считай числа.

Решение.

1. Первая скобка: $2^{30-15-10}=2^{5}=32$. Вторая: $5^{27-26+1}=5^{2}=25$. Произведение $32\cdot25=800$.
2. Первая скобка: $3^{13-12+3}=3^{4}=81$. Вторая: $7^{17-15-2}=7^{0}=1$. Частное $81:1=81$.
3. $4^{2}=16$, $6^{2}=36$, $24^{3}=13,824$. Считаем $16\cdot36:13,824=576:13,824=\frac{1}{24}$.
4. $9^{2}=81$, $8^{2}=64$, $6^{3}=216$. Считаем $81\cdot64:216=5184:216=24$.

Ответ: 1) $800$; 2) $81$; 3) $\frac{1}{24}$; 4) $24$.

№ 3.17

Представьте в виде частного двух степеней с одинаковыми основаниями: 1) $a^{k+5}$; 2) $d^{k+m}$; 3) $b^{2k+1}$; 4) $c^{4+5k}$.

Как думать. Придумай любую пару показателей, у которой разность равна данному показателю. Проще всего прибавить к показателю одно и то же и поставить это же в делитель.

Решение.

1. $k+5=(k+10)-5$, получаем $a^{k+10}:a^{5}$.
2. $k+m=(k+2m)-m$, получаем $d^{k+2m}:d^{m}$.
3. $2k+1=(2k+2)-1$, получаем $b^{2k+2}:b$.
4. $4+5k=(4+6k)-k$, получаем $c^{4+6k}:c^{k}$.

Ответ: 1) $a^{k+10}:a^{5}$; 2) $d^{k+2m}:d^{m}$; 3) $b^{2k+2}:b$; 4) $c^{4+6k}:c^{k}$ (возможны другие записи).

№ 3.18

Вычислите: 1) $\frac{(-5)^{6}\cdot(-5)^{7}\cdot(-5)^{8}}{(-5)^{14}\cdot(-5)^{4}}$; 2) $\frac{1{,}2^{40}\cdot1{,}2^{25}\cdot1{,}2^{4}}{1{,}2^{59}\cdot1{,}2^{8}}$; 3) $\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{10}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{20}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{30}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{34}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{23}}$; 4) $\frac{\left(-\frac{1}{6}\right)^{25}\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)^{19}\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)^{16}}{\left(-\frac{1}{6}\right)^{8}\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)^{49}}$.

Как думать. Сложи показатели сверху, сложи показатели снизу, вычти. Остаётся одна степень.

Решение.

1. Сверху $6+7+8=21$, снизу $14+4=18$. $(-5)^{3}=-125$.
2. Сверху $40+25+4=69$, снизу $59+8=67$. $1{,}2^{2}=1{,}44$.
3. Сверху $10+20+30=60$, снизу $34+23=57$. $\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{27}$.
4. Сверху $25+19+16=60$, снизу $8+49=57$. $\left(-\frac{1}{6}\right)^{3}=-\frac{1}{216}$.

Ответ: 1) $-125$; 2) $1{,}44$; 3) $\frac{1}{27}$; 4) $-\frac{1}{216}$.

№ 3.19

Найдите значение выражения: 1) $\frac{(-6)^{19}\cdot(-6)^{33}}{3{,}2^{24}\cdot3{,}2^{6}}\cdot\frac{3{,}2^{96}\cdot3{,}2^{12}}{(-6)^{28}\cdot(-6)^{29}}\cdot\frac{(-6)^{6}}{3{,}2^{77}}$; 2) $\frac{1{,}7^{40}\cdot1{,}7^{12}\cdot20^{30}}{1{,}7^{39}\cdot20^{6}\cdot20^{7}}\cdot\frac{20^{7}\cdot20^{8}}{1{,}7^{13}\cdot1{,}7^{9}}\cdot\frac{1{,}7^{10}}{20^{31}}$.

Как думать. Выражение страшное, но состоит из двух разных оснований. Считаем для каждого основания общий показатель: что сверху, то плюс, что снизу, то минус.

Решение.

1. Как в шагах выше: $(-6)\cdot3{,}2=-19{,}2$.
2. Основание $1{,}7$. Сверху: $40+12+10=62$. Снизу: $39+13+9=61$. Итог $1$. Основание $20$. Сверху: $30+7+8=45$. Снизу: $6+7+31=44$. Итог $1$. Значит, $1{,}7\cdot20=34$.

Ответ: 1) $-19{,}2$; 2) $34$.

№ 3.20

Верно ли равенство: 1) $\frac{x^{100}\cdot x^{20}\cdot x^{60}}{x^{89}\cdot x^{72}}=\frac{x^{55}\cdot x^{36}}{x^{41}\cdot x^{13}\cdot x^{18}}$; 2) $\frac{x^{33}\cdot x\cdot x^{69}}{x^{47}\cdot x^{49}}=\frac{x^{53}\cdot x^{56}\cdot x^{60}}{x^{81}\cdot x^{2}\cdot x^{79}}$; 3) $\frac{a^{17}\cdot a^{47}\cdot a^{56}}{a^{81}\cdot a^{39}}=\frac{a^{80}\cdot a^{5}\cdot a^{37}}{a^{59}\cdot a^{63}}$; 4) $\frac{a^{31}\cdot a^{18}\cdot a^{27}\cdot a^{19}}{a^{22}\cdot a^{54}\cdot a^{16}}=\frac{a^{39}\cdot a^{23}}{a^{59}}$?

Как думать. Упрости обе части до одной степени и сравни показатели. Если показатели одинаковые, равенство верно.

Решение.

1. Слева: $100+20+60=180$, $89+72=161$, итог $x^{19}$. Справа: $55+36=91$, $41+13+18=72$, итог $x^{19}$. Верно.
2. Слева: $33+1+69=103$, $47+49=96$, итог $x^{7}$. Справа: $53+56+60=169$, $81+2+79=162$, итог $x^{7}$. Верно.
3. Слева: $17+47+56=120$, $81+39=120$, итог $a^{0}=1$. Справа: $80+5+37=122$, $59+63=122$, итог $a^{0}=1$. Верно (обе части равны $1$).
4. Слева: $31+18+27+19=95$, $22+54+16=92$, итог $a^{3}$. Справа: $39+23=62$, $62-59=3$, итог $a^{3}$. Верно.

Ответ: во всех четырёх случаях равенство верно.

№ 3.21

Таблица: $A=8^{4}:8^{2}+6^{2}$; $B=7^{5}:7^{3}-29$; $C=0{,}3^{3}:0{,}3^{2}\cdot10^{3}$; $D=0{,}25^{4}:0{,}25^{3}\cdot10^{2}$. Какие утверждения верны: 1) $D$ составляет 25 % от $A$; 2) $B$ в 15 раз больше $C$; 3) $C=A+5B+4D$; 4) $C:3=A$?

Как думать. Найди все четыре числа, потом проверяй утверждения по очереди.

Решение.

1. $A=8^{2}+36=64+36=100$.
2. $B=7^{2}-29=49-29=20$.
3. $C=0{,}3\cdot1000=300$.
4. $D=0{,}25\cdot100=25$.
5. Проверка: 1) $25%$ от $100$ равны $25=D$, верно. 2) $B=20$, $C=300$: в $15$ раз больше как раз $C$, а не $B$, значит неверно. 3) $100+5\cdot20+4\cdot25=100+100+100=300=C$, верно. 4) $300:3=100=A$, верно.

Ответ: верны утверждения 1), 3) и 4).

Подготовь сообщение

№ 3.22

Расскажите об учёном аль-Каши, который в начале XV века применил равенство $a^{0}=1$ ($a\ne0$).

Как думать. Это не задача на вычисление, а мини-доклад. Хватит 5–6 предложений: кто, где и когда жил, чем известен.

Решение. Образец сообщения.

🌟 Гиясаддин Джамшид аль-Каши жил в конце XIV и начале XV века в Средней Азии. Он работал в Самарканде в обсерватории Улугбека, внука Тамерлана. Аль-Каши много считал: он вычислял число $\pi$ с огромной для того времени точностью и пользовался десятичными дробями. Его большая книга по арифметике называется «Ключ арифметики». В вычислениях он применял нулевую степень, как мы сегодня: любое число (кроме нуля) в нулевой степени у него равнялось единице. Так что с этим правилом ты работаешь так же, как математики пятьсот лет назад.

Совет: найди в интернете портрет учёного и добавь к докладу пару фактов о Самарканде.

Ответ: образец сообщения выше (свой вариант может быть другим, главное — основные факты об аль-Каши и связь с нулевой степенью).

Готовимся к следующей теме

Следующий параграф про возведение степени в степень. Эти задания подскажут правило.

№ 3.23

Представьте в виде степени: 1) $(2^{3})^{4}$; 2) $(4^{2})^{3}$; 3) $((-2)^{3})^{2}$; 4) $(5^{2})^{3}$.

Как думать. Выпиши внутреннюю степень несколько раз подряд (столько, сколько показывает внешний показатель) и сложи показатели.

Решение.

1. $(2^{3})^{4}=2^{3}\cdot2^{3}\cdot2^{3}\cdot2^{3}=2^{3+3+3+3}=2^{12}$.
2. $(4^{2})^{3}=4^{2}\cdot4^{2}\cdot4^{2}=4^{6}$.
3. $((-2)^{3})^{2}=(-2)^{3}\cdot(-2)^{3}=(-2)^{6}$.
4. $(5^{2})^{3}=5^{2+2+2}=5^{6}$.

Заметь: показатели перемножились: $3\cdot4=12$, $2\cdot3=6$, $3\cdot2=6$, $2\cdot3=6$.

Ответ: 1) $2^{12}$; 2) $4^{6}$; 3) $(-2)^{6}$; 4) $5^{6}$.

№ 3.24

Выпишите верные равенства: 1) $(7^{2})^{3}=7^{5}$; 2) $(8^{4})^{2}=8^{8}$; 3) $(3^{3})^{2}=3^{9}$.

Как думать. Проверь, чему равен показатель, если внутреннюю степень записать столько раз, сколько указывает внешний показатель.

Решение.

1. $(7^{2})^{3}=7^{2+2+2}=7^{6}$, а не $7^{5}$. Неверно.
2. $(8^{4})^{2}=8^{4+4}=8^{8}$. Верно.
3. $(3^{3})^{2}=3^{3+3}=3^{6}$, а не $3^{9}$. Неверно.

Ответ: верно только равенство 2).

Шпаргалка

• Правило деления: $a^{m}:a^{n}=a^{m-n}$, основание оставляем.
• Нулевая степень: $a^{0}=1$, если $a\ne0$.
• В длинных выражениях сначала считаем один итоговый показатель.
• Если показатель — выражение с буквами, вычитаемое берём в скобки.
• Минус в основании: чётный показатель даёт плюс, нечётный даёт минус.

Мини-тест