§ 21. Графический способ задания функции

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 3: Функция. График функции. Страницы 128–135.

Чему научишься

• Понимать, что график — это набор точек, у которых абсцисса равна $x$, а ордината равна $y$.
• Находить по графику значение функции при заданном $x$.
• Находить по графику область определения функции.
• Определять, где функция возрастает и убывает, где она положительна и где отрицательна.
• Отличать график функции от «просто линии»: одному $x$ должен соответствовать один $y$.

Разминка

• Что такое абсцисса и ордината точки? Абсцисса — это координата $x$ (по горизонтали), ордината — координата $y$ (по вертикали). У точки $A(2;,5)$ абсцисса $2$, ордината $5$.
• Как прочитать координаты точки $B(-3;,4)$? Идём от начала координат на $3$ влево и на $4$ вверх.
• Что значит «область определения функции»? Это все значения $x$, которые можно подставлять в функцию.
• В какой четверти лежит точка $(-1;,-1)$? В третьей: обе координаты отрицательные.

Разбираемся

График — это точки

Функцию можно задать не формулой и не таблицей, а картинкой. Берём координатную плоскость и отмечаем на ней точки. Правило простое: абсцисса точки — это значение аргумента $x$, а ордината — значение функции $y$.

Бывает, что точек всего три. Тогда график — три отдельные «кляксы», и больше ничего.

Читаем график так: $x=2$ даёт $y=2$ (точка $A(2;,2)$), $x=1$ даёт $y=3$ (точка $B(1;,3)$), $x=-1$ даёт $y=-1$ (точка $C(-1;,-1)$). Других значений у этой функции нет.

Если график — сплошная линия

Тогда точек бесконечно много, и значение $y$ ищем «глазами по клеточкам». Хочешь узнать, чему равна функция при $x=3$? Три шага.

1. Находим на оси $Ox$ число $3$ и поднимаемся вверх до линии графика.
2. Отмечаем точку $M$, где вертикаль встретила график.
3. Идём от $M$ горизонтально влево до оси $Oy$ и читаем число.

Значит, при $x=3$ значение функции равно $2$.

Область определения: смотрим вдоль оси $x$

Хочешь узнать область определения? Посмотри, какие абсциссы есть у точек графика. Всё, что «закрашено» графиком по горизонтали, и есть область определения.

• Если точек пять, абсциссы которых $-2,,-1,,0,,1,,2$, то область определения — эти пять чисел.
• Если линия идёт от $x=-2$ до $x=3$ и обе крайние точки на месте, то область определения — промежуток $[-2;,3]$.
• Если линия уходит в обе стороны бесконечно, то область определения — $(-\infty;,+\infty)$, то есть все числа.

💡 Квадратная скобка означает: крайняя точка графика есть. Круглая означает: этой точки нет (она «выколота»), а у бесконечности скобка всегда круглая.

Возрастает или убывает

Идём по графику слева направо, как читаем строчку в тетради.

• Поднимаемся вверх — функция возрастает.
• Спускаемся вниз — функция убывает.
• Идём ровно по горизонтали — функция ни растёт, ни убывает (она постоянна).

У графика бывают и «горки», и «ямки». Например, у «галочки» с вершиной внизу в точке $x=-1$ слева от неё функция убывает (то есть на $(-\infty;,-1]$), а справа возрастает (на $[-1;,+\infty)$). Говорят: у функции два промежутка монотонности.

⚠️ Частая ошибка. Промежутки возрастания и убывания пишут по оси $x$, а не по оси $y$. Ответ «функция возрастает от 1 до 5», если $1$ и $5$ — это значения $y$, неверный. Нужны значения аргумента $x$.

Положительна или отрицательна

• Где график лежит выше оси $Ox$, там $y>0$ (функция положительна).
• Где график лежит ниже оси $Ox$, там $y<0$ (функция отрицательна).
• Где график пересекает или касается оси $Ox$, там $y=0$. Такое $x$ называют нулём функции.

Не всякая линия задаёт функцию

У функции каждому $x$ соответствует ровно один $y$. Это значит: любая вертикальная прямая должна пересекать график не больше одного раза. Проверка простая, как «линейка-вертикаль».

Здесь при $x=1$ получилось сразу два значения: $y=1$ и $y=-1$. Для функции так нельзя.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка показать на графике температуры или цены (любой, даже из новостей) три вещи: где «растёт», где «падает» и где «выше нуля». Это тот самый навык, который потом пригодится в физике и в экономике.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Могут ли три точки координатной плоскости быть графиком функции? Да, если у них разные абсциссы. Тогда каждому из трёх значений $x$ соответствует ровно один $y$.
• Всякий ли график задаёт функцию? Нет. Если одному значению $x$ соответствуют два или больше значений $y$ (на графике есть точки на одной вертикали), такой график функцию не задаёт.
• Как найти по графику значение функции? Отметить на оси $Ox$ нужное $x$, подняться (или опуститься) до графика и по горизонтали перейти к оси $Oy$.
• Как найти по графику область определения? Собрать абсциссы всех точек графика.
• Как увидеть, где функция возрастает? Где при движении слева направо график идёт вверх.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 21.1

Задаёт ли функцию каждый из четырёх графиков на рис. 21.7: 1) ломаная «вверх, ровно, вверх»; 2) наклонная прямая; 3) вертикальный столбик точек; 4) точка слева и четыре точки подряд справа на одной высоте?

Как думать. Мысленно проводим вертикальные линии. Если хоть одна вертикаль встречает график дважды, функции нет.

Решение.

1. Ломаная идёт слева направо, не возвращаясь назад. Вертикаль пересекает её один раз. Функция есть.
2. Наклонная прямая. Любая вертикаль пересекает её ровно один раз. Функция есть.
3. Все точки стоят друг над другом, на одной вертикали. У одного $x$ несколько значений $y$. Функции нет.
4. Все точки имеют разные абсциссы (одна слева, четыре правее). У каждого $x$ один $y$. Функция есть.

Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет; 4) да.

№ 21.2

Найдите область определения по графику (рис. 21.8): 1) пять точек; 2) шесть точек; 3) ломаная из двух звеньев; 4) наклонная прямая.

Как думать. Область определения — все абсциссы точек графика. Одна клетка на рисунке — одна единица.

Решение.

1. Точки графика имеют абсциссы $-2;,-1;,0;,3;,4$ (на рисунке это точки $(-2;,-1)$, $(-1;,0)$, $(0;,1)$, $(3;,1)$, $(4;,1)$). Графиком служат отдельные точки, поэтому область определения — набор из пяти чисел.
2. Точки $(-2;,4)$, $(-1;,2)$, $(0;,3)$, $(1;,1)$, $(2;,1)$, $(3;,3)$. Абсциссы: $-2;,-1;,0;,1;,2;,3$.
3. Ломаная начинается в точке $(-2;,1)$, поднимается в точку $(2;,3)$ и спускается в точку $(4;,1)$. По горизонтали она занимает всё от $-2$ до $4$ включительно.
4. Прямая $y=x$, нарисованная от точки $(-3;,-3)$ до точки $(5;,5)$. По горизонтали от $-3$ до $5$.

Ответ: 1) ${-2;,-1;,0;,3;,4}$; 2) ${-2;,-1;,0;,1;,2;,3}$; 3) $[-2;,4]$; 4) $[-3;,5]$.

№ 21.3

Найдите область определения и скажите, какие функции на рис. 21.9 возрастают, а какие убывают: 1) кривая от точки $(-2;,5)$ до точки $(3;,1)$; 2) плавная кривая, поднимающаяся вправо; 3) плавная кривая, поднимающаяся вправо и вверх.

Как думать. Область определения — по горизонтали, возрастание — «поднимаемся ли, идя слева направо».

Решение.

1. Кривая начинается в точке с абсциссой $-2$ и заканчивается в точке с абсциссой $3$ (обе точки отмечены). Идём слева направо и спускаемся: от $5$ вниз до $1$. Функция убывает.
2. Кривая нигде не обрывается (отмеченных концов нет), она идёт по всей оси $x$ и всё время поднимается. Область определения — все числа, функция возрастает.
3. Тоже кривая без отмеченных концов, идущая вверх. Область определения — все числа, функция возрастает.

Ответ: 1) $[-2;,3]$, убывает; 2) $(-\infty;,+\infty)$, возрастает; 3) $(-\infty;,+\infty)$, возрастает.

№ 21.4

На рис. 21.10 показан график температуры в течение дня: от $5,°C$ в $3$ часа до $30,°C$ в $12$ часов, ровно $30,°C$ до $15$ часов, затем спад до $10,°C$ в $21$ час. Найдите промежуток времени, когда температура: 1) повышалась; 2) понижалась; 3) была наибольшей; 4) была наименьшей.

Как думать. Подъём графика — температура растёт. Спуск — падает. Самая высокая точка — наибольшая, самая низкая — наименьшая.

Решение.

1. Температура растёт, пока график идёт вверх: от $3$ до $12$ часов.
2. Падает, пока график идёт вниз: от $15$ до $21$ часа.
3. Наибольшее значение $30,°C$. Оно держится, пока график идёт ровно: от $12$ до $15$ часов.
4. Наименьшее значение на графике — $5,°C$, это точка в $3$ часа.

Ответ: 1) от $3$ до $12$ ч; 2) от $15$ до $21$ ч; 3) от $12$ до $15$ ч (наибольшая $30,°C$); 4) в $3$ ч (наименьшая $5,°C$).

💡 В Алматы в жаркий июльский день график выглядел бы похоже: к полудню подъём, потом спад к вечеру.

№ 21.5

На рис. 21.11 дан график цены акции за пять дней: в $1$-й день $500$, во $2$-й $1500$, в $3$-й $1000$, в $4$-й $1000$, в $5$-й $2000$. Укажите дни, когда цена: 1) поднялась; 2) упала; 3) была стабильной.

Как думать. Сравниваем соседние дни: больше, меньше или столько же.

Решение.

1. Цена выросла со $1$-го дня ко $2$-му (с $500$ до $1500$) и с $4$-го к $5$-му (с $1000$ до $2000$).
2. Цена упала со $2$-го дня к $3$-му (с $1500$ до $1000$).
3. Цена не менялась с $3$-го дня к $4$-му (оба раза $1000$).

Ответ: 1) со $1$-го по $2$-й и с $4$-го по $5$-й день; 2) со $2$-го по $3$-й день; 3) с $3$-го по $4$-й день.

Уровень B

№ 21.6

По графикам на рис. 21.12 найдите: 1) область определения; 2) значение аргумента, при котором функция равна нулю; 3) промежутки, где функция а) возрастает, б) убывает; 4) промежутки, где функция принимает а) положительные, б) отрицательные значения.

Как думать. Всё читаем по оси $x$: область определения — от крайней левой до крайней правой точки, нули — там, где график встречает ось $Ox$, а знаки — по тому, выше или ниже оси лежит график.

Решение. График 1). Ломаная начинается в точке $(-6;,0)$, поднимается в вершину примерно при $x=-4$ (высота $3$), спускается через $x=-2$ в точку $(0;,-3)$, поднимается через $x=2$ в вершину при $x=3$, чуть опускается к $x=4$ и до $x=6$ идёт ровно.

1. Область определения $[-6;,6]$.
2. График встречает ось $Ox$ при $x=-6$, $x=-2$, $x=2$.
3. а) Возрастает на $[-6;,-4]$ и на $[0;,3]$. б) Убывает на $[-4;,0]$ и на $[3;,4]$ (а на $[4;,6]$ функция постоянна).
4. а) Выше оси график при $x$ от $-6$ до $-2$ (без концов) и от $2$ до $6$: $(-6;,-2)\cup(2;,6]$. б) Ниже оси: $(-2;,2)$.

Решение. График 2). Ломаная начинается в точке $(-7;,3)$, опускается в $(-4;,1)$, поднимается в $(4;,3)$, круто падает в $(5;,-5)$ и резко растёт до точки $(8;,7)$.

1. Область определения $[-7;,8]$.
2. Ось $Ox$ график пересекает два раза: на спуске от $x=4$ к $x=5$ (в точке, где $y=0$; это $x=4\frac{3}{8}\approx 4{,}4$) и на подъёме около $x=6$. Значит, нули функции: примерно $4{,}4$ и $6$.
3. а) Возрастает на $[-4;,4]$ и на $[5;,8]$. б) Убывает на $[-7;,-4]$ и на $[4;,5]$.
4. а) Положительна, пока график выше оси: $[-7;,4{,}4)\cup(6;,8]$. б) Отрицательна: $(4{,}4;,6)$.

Ответ: График 1): 1) $[-6;,6]$; 2) $-6;,-2;,2$; 3) а) $[-6;,-4]$, $[0;,3]$; б) $[-4;,0]$, $[3;,4]$; 4) а) $(-6;,-2)\cup(2;,6]$; б) $(-2;,2)$. График 2): 1) $[-7;,8]$; 2) примерно $4{,}4$ и $6$; 3) а) $[-4;,4]$, $[5;,8]$; б) $[-7;,-4]$, $[4;,5]$; 4) а) примерно $[-7;,4{,}4)\cup(6;,8]$; б) примерно $(4{,}4;,6)$.

№ 21.7

Задайте таблицей функцию $y=5x-3$, если область определения состоит из чисел $-1;,0;,0{,}5;,1;,1{,}5$, и постройте её график.

Как думать. Подставляем каждое $x$ в формулу, получаем $y$, потом отмечаем пары $(x;,y)$. Так как $x$ только пять, график — только пять точек, а не линия.

Решение.

1. $x=-1$: $y=5\cdot(-1)-3=-8$.
2. $x=0$: $y=-3$.
3. $x=0{,}5$: $y=2{,}5-3=-0{,}5$.
4. $x=1$: $y=5-3=2$.
5. $x=1{,}5$: $y=7{,}5-3=4{,}5$.

Ответ: пары $(-1;,-8)$, $(0;,-3)$, $(0{,}5;,-0{,}5)$, $(1;,2)$, $(1{,}5;,4{,}5)$ — пять точек графика.

Уровень C

Это самая трудная часть. Если справишься хотя бы с одним пунктом, это уже круто: ты читаешь графики, как взрослый.

№ 21.8

По графикам на рис. 21.13 (три картинки: А, В и С) найдите: 1) область определения; 2) значение аргумента, при котором функция равна нулю; 3) промежутки, где функция а) возрастает, б) убывает.

Как думать. Сначала смотрим, где по горизонтали есть график. Потом, где он «поднимается» и «опускается».

Решение. График А. Две ветви, как у «гиперболы»: одна в первой четверти, другая в третьей. Около оси $Oy$ нет ни одной точки, значит, $x=0$ не входит в область определения. Ни одна ветвь не доходит до оси $Ox$, значит, нулей нет. Первая ветвь идёт слева направо вниз, вторая тоже.

1. Область определения: $(-\infty;,0)\cup(0;,+\infty)$.
2. Нулей нет.
3. а) Возрастающих промежутков нет. б) Убывает на $(-\infty;,0)$ и на $(0;,+\infty)$.

Решение. График В. Обе ветви лежат ниже оси $Ox$, у оси $Oy$ они уходят вниз. Левая ветвь идёт слева направо вниз, правая — слева направо вверх.

1. Область определения: $(-\infty;,0)\cup(0;,+\infty)$.
2. Нулей нет, график ось $Ox$ не пересекает.
3. а) Возрастает на $(0;,+\infty)$. б) Убывает на $(-\infty;,0)$.

Решение. График С. Три отдельных куска: отрезок от $x=-7$ до $x=-3$ (вверх), отрезок от $x=-2$ до $x=3$ (вверх), потом участок от $x=4$ до $x=6$ ровно, и от $x=6$ до $x=8$ вниз до оси $Ox$.

1. Область определения — объединение трёх промежутков $[-7;,-3]\cup[-2;,3]\cup[4;,8]$. Между кусками промежутки $(-3;,-2)$ и $(3;,4)$ выпадают.
2. График встречает ось $Ox$ только в конце, в точке $x=8$.
3. а) Возрастает на $[-7;,-3]$ и на $[-2;,3]$. б) Убывает на $[6;,8]$ (а на $[4;,6]$ постоянна).

Ответ: А) 1) $(-\infty;,0)\cup(0;,+\infty)$; 2) нулей нет; 3) а) нет; б) $(-\infty;,0)$ и $(0;,+\infty)$. В) 1) $(-\infty;,0)\cup(0;,+\infty)$; 2) нулей нет; 3) а) $(0;,+\infty)$; б) $(-\infty;,0)$. С) 1) $[-7;,-3]\cup[-2;,3]\cup[4;,8]$; 2) $x=8$; 3) а) $[-7;,-3]$ и $[-2;,3]$; б) $[6;,8]$.

Готовимся к следующей теме

№ 21.9

Заполните таблицу 21.1 для $y=\frac{1}{3}x$: значения $x$ равны $-9;,-6;,-3;,0;,3;,6;,9$.

Как думать. Умножаем каждое $x$ на $\frac{1}{3}$. Это то же самое, что делить на $3$.

Решение. $-9\cdot\frac{1}{3}=-3$; $-6\cdot\frac{1}{3}=-2$; $-3\cdot\frac{1}{3}=-1$; $0\cdot\frac{1}{3}=0$; $3\cdot\frac{1}{3}=1$; $6\cdot\frac{1}{3}=2$; $9\cdot\frac{1}{3}=3$.

Ответ: $y$ равны $-3;,-2;,-1;,0;,1;,2;,3$.

№ 21.10

Постройте на координатной плоскости точки $(x;,y)$ из упражнения 21.9.

Как думать. Каждая колонка таблицы — одна точка. Находим $x$ по горизонтали, потом $y$ по вертикали.

Решение. Получаем семь точек: $(-9;,-3)$, $(-6;,-2)$, $(-3;,-1)$, $(0;,0)$, $(3;,1)$, $(6;,2)$, $(9;,3)$.

Ответ: семь точек, лежащих на одной прямой, проходящей через начало координат.

Шпаргалка

• График — набор точек, а не только линия: бывает и из нескольких точек.
• Значение функции читаем по оси $y$, а промежутки пишем по оси $x$.
• Нуль функции — это $x$, при котором график встречает ось $Ox$.
• Одному $x$ — один $y$. Иначе это не функция.

Мини-тест