§ 22. Линейная функция и ее график

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 3: Функция. График функции. Страницы 135–140.

Чему научишься

• Узнавать линейную функцию $y=kx+b$ среди других формул.
• Строить её график по двум точкам.
• Понимать, что делают числа $k$ и $b$: куда идёт прямая и где она пересекает ось $Oy$.
• Находить точки пересечения графика с осями.
• Проверять, лежит ли точка на графике, и находить $k$ или $b$ по точке.

Разминка

• Что такое функция? Правило, по которому каждому $x$ соответствует ровно одно $y$.
• Как найти $y$ для $y=2x-1$ при $x=3$? Подставляем: $2\cdot 3-1=5$.
• Как называется первая координата точки $(x;,y)$, а как вторая? Первая — абсцисса, вторая — ордината.
• В какой четверти точка $(-2;,3)$? Во второй: $x<0$, $y>0$.
• Как идёт график возрастающей функции? Слева направо вверх.

Разбираемся

Что такое линейная функция

Представь: такси в Алматы берёт 300 тенге за посадку и 120 тенге за каждый километр. Цена поездки $y=120x+300$, где $x$ — километры. Это и есть линейная функция: формула вида $y=kx+b$, где $k$ и $b$ — любые рациональные числа.

Примеры: $y=\frac{1}{2}x+7$, $y=-2x+3{,}4$, $y=12x$. Даже $y=7$ и $y=0$ — линейные: у них $k=0$ или $b=0$.

⚠️ Частая ошибка. $y=x^2-5$ и $y=\frac{3}{x}$ линейными не бывают: $x$ должен стоять только в первой степени и не быть в знаменателе.

Область определения у линейной функции — вся числовая прямая $(-\infty;,+\infty)$: подставить можно любое число.

Почему график — прямая

Возьмём $y=-3x+2$ и составим таблицу:

Отметим шесть точек. Они выстраиваются «по линейке». Это не случайность: если взять ещё больше точек, все они окажутся на одной прямой.

📌 График линейной функции $y=kx+b$ — прямая. А чтобы провести прямую, достаточно двух точек.

Строим график за три шага

👨‍👩‍👧 Родителю. Третью точку берите для проверки. Если она не легла на прямую, ошибка в вычислении: пересчитайте $y$ вместе с ребёнком.

Особые случаи: $k=0$ и $b=0$

Если $k=0$, получаем $y=b$: число $y$ не зависит от $x$. График — прямая, параллельная оси $Ox$, через точку $(0;,b)$. Например, $y=2$ — горизонталь на высоте 2, $y=-2$ — горизонталь на уровне $-2$.

Если $b=0$, получаем $y=kx$. Тогда при $x=0$ всегда $y=0$: график проходит через начало координат $O(0;,0)$. Для него хватает одной точки, кроме $O$. Например, $y=5x$: при $x=1$ получаем $y=5$, значит прямая идёт через $O(0;,0)$ и $A(1;,5)$.

Если $k=0$ и $b=0$, то $y=0$ — это сама ось $Ox$.

Что делает число $k$

Посмотри на два графика: $y=2x+1$ и $y=-2x+1$.

📌 Если $k>0$ — функция возрастает (прямая идёт вверх). Если $k<0$ — убывает (прямая идёт вниз).

Что делает число $b$

Подставим $x=0$: $y=k\cdot 0+b=b$. Значит, график всегда проходит через точку $(0;,b)$ — это пересечение с осью $Oy$.

С осью $Ox$ точка пересечения: $y=0$, то есть $kx+b=0$, откуда $x=-\frac{b}{k}$ (если $k\ne 0$).

⚠️ Частая ошибка. Путают, какую координату обнулять. На оси $Oy$ обнуляем $x$, на оси $Ox$ обнуляем $y$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какая функция называется линейной? Функция вида $y=kx+b$, где $k$ и $b$ — числа, а $x$ — независимая переменная.
• Приведи примеры линейных функций. $y=2x-1$, $y=-0{,}5x+3$, $y=8$, $y=4x$.
• Какая линия — график линейной функции? Прямая.
• Может ли график быть параллелен оси абсцисс? оси ординат? Параллелен $Ox$ — может: это $y=b$ при $k=0$. Параллелен $Oy$ — нет: у вертикальной прямой один $x$ отвечал бы сразу многим $y$, а функции так нельзя.
• Как найти точки пересечения графика с осями? С осью $Oy$: подставить $x=0$, получится $(0;,b)$. С осью $Ox$: положить $y=0$ и решить уравнение $kx+b=0$.
• Сколько точек нужно для графика? Две. Для $y=kx$ достаточно одной точки, кроме начала координат.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 22.1

Является ли линейной функция: 1) $y=x+1{,}9$; 2) $y=13-x$; 3) $y=x^2-5$; 4) $y=5\frac{1}{3}$; 5) $y=0{,}5x-3$; 6) $y=-\frac{x}{11}+3$?

Как думать. Ищем вид $y=kx+b$: $x$ только в первой степени и не в знаменателе.

Решение.

1. $k=1$, $b=1{,}9$ — да.
2. $y=-x+13$, $k=-1$, $b=13$ — да.
3. есть $x^2$ — нет.
4. $y=5\frac{1}{3}$ — это $k=0$, $b=5\frac{1}{3}$ — да.
5. $k=0{,}5$, $b=-3$ — да.
6. $y=-\frac{1}{11}x+3$ — делим на число 11, а не на $x$, значит $k=-\frac{1}{11}$ — да.

Ответ: линейные: 1), 2), 4), 5), 6); не линейная: 3).

№ 22.2

Даны функции: 1) $y=4x-3$; 2) $y=5+2x$; 3) $y=7-\frac{2}{3}x$; 4) $y=\frac{5}{6}x+2$. Найди $y$ при $x=0$; $-3$; $9$; $1{,}5$.

Как думать. Просто подставляем каждое $x$ в формулу. Считай аккуратно со знаками.

Решение.

Ответ: см. таблицу: 1) $-3$; $-15$; $33$; $3$. 2) $5$; $-1$; $23$; $8$. 3) $7$; $9$; $1$; $6$. 4) $2$; $-\frac{1}{2}$; $9\frac{1}{2}$; $3\frac{1}{4}$.

№ 22.3

Даны функции: 1) $y=7{,}2-2{,}4x$; 2) $y=\frac{2}{3}+6x$; 3) $y=-\frac{3}{8}x+7{,}5$; 4) $y=-4{,}6x-1\frac{1}{3}$. Найди $x$, если $y=1$; $-1$; $-\frac{2}{3}$; $5$.

Как думать. Теперь известно $y$, а надо найти $x$. Подставляем $y$ и решаем уравнение.

Решение.

1. $7{,}2-2{,}4x=y$, значит $x=\frac{7{,}2-y}{2{,}4}$. При $y=1$: $\frac{6{,}2}{2{,}4}=\frac{31}{12}=2\frac{7}{12}$. При $y=-1$: $\frac{8{,}2}{2{,}4}=\frac{41}{12}=3\frac{5}{12}$. При $y=-\frac{2}{3}$: $\frac{118}{15}:\frac{12}{5}=\frac{59}{18}=3\frac{5}{18}$. При $y=5$: $\frac{2{,}2}{2{,}4}=\frac{11}{12}$.

2. $x=\frac{y-\frac{2}{3}}{6}$. При $y=1$: $\frac{1}{18}$. При $y=-1$: $-\frac{5}{18}$. При $y=-\frac{2}{3}$: $-\frac{4}{3}:6=-\frac{2}{9}$. При $y=5$: $\frac{13}{3}:6=\frac{13}{18}$.

3. $x=(7{,}5-y)\cdot\frac{8}{3}$. При $y=1$: $6{,}5\cdot\frac{8}{3}=\frac{52}{3}=17\frac{1}{3}$. При $y=-1$: $8{,}5\cdot\frac{8}{3}=\frac{68}{3}=22\frac{2}{3}$. При $y=-\frac{2}{3}$: $\frac{49}{6}\cdot\frac{8}{3}=\frac{196}{9}=21\frac{7}{9}$. При $y=5$: $2{,}5\cdot\frac{8}{3}=\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}$.

4. $-4{,}6x=y+\frac{4}{3}$, значит $x=-\left(y+\frac{4}{3}\right)\cdot\frac{5}{23}$. При $y=1$: $-\frac{7}{3}\cdot\frac{5}{23}=-\frac{35}{69}$. При $y=-1$: $-\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{23}=-\frac{5}{69}$. При $y=-\frac{2}{3}$: $-\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{23}=-\frac{10}{69}$. При $y=5$: $-\frac{19}{3}\cdot\frac{5}{23}=-\frac{95}{69}=-1\frac{26}{69}$.

Ответ:

1. $2\frac{7}{12}$; $3\frac{5}{12}$; $3\frac{5}{18}$; $\frac{11}{12}$.
2. $\frac{1}{18}$; $-\frac{5}{18}$; $-\frac{2}{9}$; $\frac{13}{18}$.
3. $17\frac{1}{3}$; $22\frac{2}{3}$; $21\frac{7}{9}$; $6\frac{2}{3}$.
4. $-\frac{35}{69}$; $-\frac{5}{69}$; $-\frac{10}{69}$; $-1\frac{26}{69}$.

№ 22.4

Построй график функции: 1) $y=x+4$; 2) $y=x-2$; 3) $y=7-x$; 4) $y=-3-x$; 5) $y=0{,}6x-1$; 6) $y=3+2{,}5x$; 7) $y=\frac{1}{3}x+9$; 8) $y=6-\frac{5}{6}x$.

Как думать. Для каждой формулы берём два удобных $x$, считаем $y$, ставим точки и ведём линейку.

Решение. Таблицы двух точек для каждой функции:

Через каждую пару точек проводим прямую. При $k>0$ (1, 2, 5, 6, 7) прямая идёт вверх, при $k<0$ (3, 4, 8) — вниз.

Ответ: построены восемь прямых по точкам из таблицы.

№ 22.5

1) Работник получает 4500 тенге за каждый выполненный заказ. Какую сумму он получит за $a$ заказов? 2) Устройство потребляет 50 ватт энергии в час. Сколько энергии оно потребит за $t$ часов?

Как думать. Цена одной штуки умножается на число штук. Получается формула $y=kx$.

Решение.

1. За 1 заказ — 4500 тг, за $a$ заказов — $4500\cdot a$.
2. За 1 час — 50 Вт, за $t$ часов — $50\cdot t$.

Ответ: 1) $4500a$ тенге; 2) $50t$ ватт-часов. Обе зависимости — линейные функции вида $y=kx$.

Уровень B

№ 22.6

Построй график функции $y=-1-3x$. По графику найди: 1) $y$ при $x=-3$; $-1$; $0$; $1{,}5$; $2$; 2) $x$, при котором $y=-4$; $-2{,}5$; $-1$; $3{,}5$; $5$.

Как думать. Строим по двум точкам, потом читаем график. Потом проверь вычислением: по рисунку легко ошибиться на клетку, формула точнее.

Решение. Две точки: $(0;,-1)$ и $(-1;,2)$.

1. $x=-3$: $-1+9=8$; $x=-1$: $-1+3=2$; $x=0$: $-1$; $x=1{,}5$: $-1-4{,}5=-5{,}5$; $x=2$: $-1-6=-7$.
2. Решаем $-1-3x=y$, то есть $x=-\frac{y+1}{3}$: $y=-4$: $x=1$; $y=-2{,}5$: $x=0{,}5$; $y=-1$: $x=0$; $y=3{,}5$: $x=-1{,}5$; $y=5$: $x=-2$.

Ответ: 1) $8$; $2$; $-1$; $-5{,}5$; $-7$. 2) $1$; $0{,}5$; $0$; $-1{,}5$; $-2$.

№ 22.7

Принадлежат ли точки $A(-2;,-2)$, $B(-1;,-1)$, $C(1;,2)$, $D(2;,4)$ графику функции $y=1{,}5x+1$?

Как думать. Точка лежит на графике, если после подстановки её $x$ в формулу получится её $y$.

Решение.

• $A$: $1{,}5\cdot(-2)+1=-2$ — совпало, лежит.
• $B$: $1{,}5\cdot(-1)+1=-0{,}5\ne -1$ — не лежит.
• $C$: $1{,}5\cdot 1+1=2{,}5\ne 2$ — не лежит.
• $D$: $1{,}5\cdot 2+1=4$ — совпало, лежит.

Ответ: принадлежат $A$ и $D$; $B$ и $C$ не принадлежат.

№ 22.8

1) Первые 2 часа автомобиль ехал со скоростью 110 км/ч, следующие 3 часа — со скоростью $v$ км/ч. Найди путь за 5 часов. 2) Токарь за первые 4 часа сделал $a$ деталей, за следующие 2 часа делал по 25 деталей в час. Сколько деталей он сделал за 6 часов?

Как думать. Расстояние — это скорость на время. Общий результат — сумма по двум участкам.

Решение.

1. $110\cdot 2+v\cdot 3=220+3v$ (км).
2. Первые 4 часа дали $a$ деталей. Ещё $25\cdot 2=50$ деталей. Вместе $a+50$.

Ответ: 1) $(220+3v)$ км; 2) $(a+50)$ деталей.

№ 22.9

Построй график функции, найдя точки пересечения с осями: 1) $y=5x-5$; 2) $y=3{,}8-0{,}2x$; 3) $y=-10+2{,}5x$; 4) $y=-\frac{2}{7}x+1$; 5) $y=1\frac{5}{6}x-2{,}2$; 6) $y=\frac{x-8}{5}$.

Как думать. С осью $Oy$: $x=0$. С осью $Ox$: $y=0$, решаем уравнение. Две точки — и прямая.

Решение.

Ответ: график каждой функции — прямая через две точки из таблицы.

Уровень C

Здесь уже серьёзные задачи. Берись смело: даже попытка — уже шаг вперёд.

№ 22.10

1) Найди $b$, если график $y=-1{,}2x+b$ проходит через: 1) $A(0;,2{,}4)$; 2) $B(5;,-9{,}6)$. 2) Найди $b$, если график $y=\frac{1}{3}x+b$ проходит через: 1) $C(3;,-4)$; 2) $D(-6;,9)$.

Как думать. Если точка лежит на графике, её координаты обращают формулу в верное равенство. Подставляем $x$ и $y$, остаётся уравнение с одним неизвестным $b$.

Решение. Часть 1.

1. $2{,}4=-1{,}2\cdot 0+b$, значит $b=2{,}4$.
2. $-9{,}6=-1{,}2\cdot 5+b=-6+b$, значит $b=-9{,}6+6=-3{,}6$.

Часть 2.

1. $-4=\frac{1}{3}\cdot 3+b=1+b$, значит $b=-5$.
2. $9=\frac{1}{3}\cdot(-6)+b=-2+b$, значит $b=11$.

Ответ: часть 1: 1) $b=2{,}4$; 2) $b=-3{,}6$. Часть 2: 1) $b=-5$; 2) $b=11$.

№ 22.11

1) Найди $k$, если график $y=kx+\frac{6}{7}$ проходит через: 1) $E(-1;,1)$; 2) $F(7;,-2)$. 2) Найди $k$, если график $y=kx+3\frac{1}{3}$ проходит через: 1) $N(1;,4)$; 2) $M(1;,-4)$.

Как думать. Тот же приём, только теперь неизвестно $k$: подставляем координаты и решаем.

Решение. Часть 1.

1. $1=-k+\frac{6}{7}$, значит $k=\frac{6}{7}-1=-\frac{1}{7}$.
2. $-2=7k+\frac{6}{7}$, значит $7k=-2-\frac{6}{7}=-\frac{20}{7}$, откуда $k=-\frac{20}{49}$.

Часть 2.

1. $4=k+3\frac{1}{3}$, значит $k=4-3\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
2. $-4=k+3\frac{1}{3}$, значит $k=-4-3\frac{1}{3}=-7\frac{1}{3}$.

Ответ: часть 1: 1) $k=-\frac{1}{7}$; 2) $k=-\frac{20}{49}$. Часть 2: 1) $k=\frac{2}{3}$; 2) $k=-7\frac{1}{3}$.

№ 22.12

Построй график функции: 1) $y=6x-1$; 2) $y=3-8x$; 3) $y=-4$; 4) $y=3{,}8$. Укажи все $x$, при которых функция: а) положительна; б) отрицательна.

Как думать. Положительна — график выше оси $Ox$, отрицательна — ниже. Граница — нуль функции.

Решение.

1. Точки $(0;,-1)$ и $(1;,5)$. Нуль: $6x-1=0$, $x=\frac{1}{6}$. Прямая возрастает ($k=6>0$): выше оси правее нуля, ниже — левее.
2. Точки $(0;,3)$ и $(1;,-5)$. Нуль: $3-8x=0$, $x=\frac{3}{8}$. Прямая убывает ($k=-8<0$): выше оси левее нуля, ниже — правее.
3. $y=-4$ — горизонталь ниже оси $Ox$: всегда отрицательна.
4. $y=3{,}8$ — горизонталь выше оси $Ox$: всегда положительна.

Ответ:

1. а) $x>\frac{1}{6}$; б) $x<\frac{1}{6}$.
2. а) $x<\frac{3}{8}$; б) $x>\frac{3}{8}$.
3. а) таких $x$ нет; б) любое $x$.
4. а) любое $x$; б) таких $x$ нет.

№ 22.13

1) У Айгерим 5000 тг. Сколько денег останется после покупки $x$ книг по 1200 тг? 2) Компания в первые два месяца выпускает 150 единиц продукции, затем увеличивает объём производства на 70 единиц в месяц. Сколько продукции выпущено за $x$ месяцев?

Как думать. Обе задачи — линейные функции от $x$. Ищем «начало» $b$ и «шаг» $k$.

Решение.

1. Потратит $1200x$, останется $5000-1200x$. Это линейная функция: $k=-1200$, $b=5000$.
2. Принимаем, что 150 единиц выпущено всего за первые два месяца, а каждый следующий месяц добавляет ещё 70. За $x$ месяцев ($x\ge 2$) $150+70,(x-2)=70x+10$. Проверка: при $x=2$ получаем $150$ ✓.

Ответ: 1) $y=5000-1200x$ тенге; 2) $y=70x+10$ (при $x\ge 2$).

Готовимся к следующей теме

№ 22.14

Построй в одной системе координат графики функций: 1) $y=3x$, $y=3x-2$, $y=3x+1{,}5$; 2) $y=2x-1$, $y=-2x-1$, $y=x-1$, $y=5x-1$.

Как думать. Для каждой функции две точки. Заметь, что общее у формул в каждой группе.

Решение.

1. Точки: $y=3x$: $(0;,0)$, $(1;,3)$. $y=3x-2$: $(0;,-2)$, $(1;,1)$. $y=3x+1{,}5$: $(0;,1{,}5)$, $(-1;,-1{,}5)$. У всех $k=3$: прямые параллельны.
2. Точки: $y=2x-1$: $(0;,-1)$, $(1;,1)$. $y=-2x-1$: $(0;,-1)$, $(1;,-3)$. $y=x-1$: $(0;,-1)$, $(1;,0)$. $y=5x-1$: $(0;,-1)$, $(1;,4)$. У всех $b=-1$: прямые пересекаются в $(0;,-1)$.

Ответ: 1) три параллельные прямые; 2) четыре прямые, проходящие через точку $(0;,-1)$.

№ 22.15

Как могут располагаться две прямые на плоскости?

Как думать. Вспомни три случая: пересекаются, не пересекаются, совпадают.

Решение. Две прямые на плоскости могут:

1. пересекаться — одна общая точка (например, $y=x$ и $y=-x$);
2. быть параллельными — общих точек нет (например, $y=x$ и $y=x+3$);
3. совпадать — общих точек бесконечно много.

Для графиков линейных функций: у параллельных одинаковые $k$ и разные $b$; у совпадающих одинаковые $k$ и $b$; если $k$ разные, прямые пересекаются.

Ответ: пересекаются, параллельны или совпадают.

Шпаргалка

• Линейная функция: $y=kx+b$; её график — прямая.
• Точка лежит на графике, если её координаты обращают формулу в верное равенство.
• Чтобы найти $b$ или $k$ по точке, подставь её координаты в формулу и реши уравнение.
• $y=0$ — это сама ось $Ox$.

Мини-тест