§ 23. Взаимное расположение графиков линейных функций

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 3: Функция. График функции. Страницы 140–145.

Чему научишься

• Определять по формулам $y=kx+b$, пересекаются графики, параллельны или совпадают.
• Объяснять, почему так происходит: что за это отвечают числа $k$ и $b$.
• Находить точку пересечения двух графиков, решая уравнение.
• Составлять формулу линейной функции с нужным расположением графика.

Разминка

• Какой вид имеет линейная функция? $y=kx+b$, где $k$ и $b$ — числа, а $x$ — переменная.
• Что будет графиком линейной функции? Прямая линия.
• Сколько точек нужно, чтобы построить такой график? Две. Третью берут для проверки.
• Где график пересекает ось $Oy$? В точке $(0;,b)$: при $x=0$ получаем $y=b$.
• Чему равна $y$ в функции $y=2x-5$ при $x=3$? $y=2\cdot 3-5=1$.

Разбираемся

Три картинки, одна загадка

Нарисуем в одной системе координат несколько прямых и посмотрим, как они лежат. Сначала две прямые с разными наклонами.

У этих прямых $k$ разные: $-\frac{2}{3}$ и $2$. Они пересеклись в одной точке $A(3;,1)$.

Теперь три прямые с одинаковым $b=2$, но разными $k$.

Все три проходят через точку $(0;,2)$, ведь $b=2$ — это высота, на которой прямая режет ось $Oy$. А пересеклись они потому, что наклоны разные.

И наконец, три прямые с одинаковым $k=-\frac{1}{3}$, но разными $b$: $0$, $-2$ и $2$.

Наклон одинаковый, поэтому прямые идут параллельно, как рельсы. А сдвинуты друг относительно друга они из-за разных $b$.

Почему так, а не иначе

Возьмём две функции: $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$. Общая точка у графиков есть, если при каком-то $x$ значения $y$ равны:

$k_1x+b_1=k_2x+b_2.$

Соберём $x$ слева, числа справа и вынесем $x$ за скобки:

$(k_1-k_2),x=b_2-b_1.$

Дальше три случая.

1. $k_1\ne k_2$. Тогда $k_1-k_2\ne 0$, и можно разделить: $x=\dfrac{b_2-b_1}{k_1-k_2}$. Это единственное число, значит, и точка единственная. Прямые пересекаются.
2. $k_1=k_2$ и $b_1\ne b_2$. Уравнение превращается в $0\cdot x=b_2-b_1$, а справа число не ноль. Решений нет: общих точек нет. Прямые параллельны.
3. $k_1=k_2$ и $b_1=b_2$. Это уравнение $0\cdot x=0$: подходит любое $x$. Это одна и та же формула, прямые совпадают.

📌 Графики $y=kx+b$ и $y=tx+m$: пересекаются, если $k\ne t$; параллельны, если $k=t$, а $b\ne m$; совпадают, если $k=t$ и $b=m$.

⚠️ Частая ошибка. Смотреть на $b$ и решать, что одинаковые $b$ означают совпадение. Нет! Если $b$ одинаковые, а $k$ разные, прямые пересекаются на оси $Oy$. Сначала всегда сравнивай $k$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка по формуле сказать, как лягут две прямые, и только потом нарисовать. Если угадал, значит, правило понято, а не вызубрено. Следите, чтобы он сравнивал именно числа при $x$ (это $k$), а не свободные члены.

Пошагово: как определить за минуту

Проверь, как понял

Проверь себя

• Могут ли графики двух линейных функций иметь только одну общую точку? Да, когда $k$ разные: прямые пересекаются.
• А только две общие точки? Нет. Две разные прямые не могут встретиться дважды: если две точки общие, прямые совпадают.
• Могут ли быть вообще без общих точек? Да, когда они параллельны ($k$ одинаковые, $b$ разные).
• А чтобы все точки были общими? Да, когда прямые совпадают.
• В каком случае графики $y=kx+b$ и $y=tx+m$ пересекаются, параллельны, совпадают? Пересекаются при $k\ne t$; параллельны при $k=t$, $b\ne m$; совпадают при $k=t$, $b=m$.
• Приведи примеры. Пересекаются: $y=x+1$ и $y=2x+1$. Параллельны: $y=x+1$ и $y=x+4$. Совпадают: $y=x+1$ и $y=1+x$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 23.1

Выяснить расположение графиков: 1) $y=2x-10$ и $y=2x+9$; 2) $y=-3x+9$ и $y=-3x+9$; 3) $y=-5x+6$ и $y=-5x$; 4) $y=1{,}5+4x$ и $y=-4x+3$; 5) $y=7+2{,}3x$ и $y=3{,}2x-1$; 6) $y=10x$ и $y=1-10x$.

Как думать. Выпиши $k$ и $b$ каждой функции и сравни по правилу: сначала $k$, потом $b$.

Решение.

1. $k=2$ и $k=2$, $b=-10$ и $b=9$: $k$ равны, $b$ разные.
2. $k=-3$ и $-3$, $b=9$ и $9$: всё одинаково.
3. $k=-5$ и $-5$, $b=6$ и $0$: $k$ равны, $b$ разные.
4. $k=4$ и $k=-4$: разные.
5. $k=2{,}3$ и $k=3{,}2$: разные.
6. $k=10$ и $k=-10$: разные.

Ответ: 1) параллельны; 2) совпадают; 3) параллельны; 4) пересекаются; 5) пересекаются; 6) пересекаются.

№ 23.2

Для функций 1) $y=8x-1$; 2) $y=3-4x$; 3) $y=-2+2x$ записать формулу линейной функции, график которой: а) параллелен данному; б) пересекает его; в) совпадает с ним.

Как думать. Для параллельной оставляем тот же $k$ и меняем $b$. Для пересекающей меняем $k$. Для совпадающей оставляем всё как есть.

Решение.

1. $y=8x-1$: а) $k=8$, $b$ другое, например $y=8x+5$; б) $k$ другое, например $y=3x-1$; в) $y=8x-1$.
2. $y=3-4x$, то есть $k=-4$, $b=3$: а) $y=-4x+7$; б) $y=x+3$; в) $y=-4x+3$.
3. $y=-2+2x$, то есть $k=2$, $b=-2$: а) $y=2x+1$; б) $y=-x-2$; в) $y=2x-2$.

Ответ: любые подходящие примеры, например: 1) а) $y=8x+5$, б) $y=3x-1$, в) $y=8x-1$; 2) а) $y=-4x+7$, б) $y=x+3$, в) $y=-4x+3$; 3) а) $y=2x+1$, б) $y=-x-2$, в) $y=2x-2$.

№ 23.3

Даны функции 1) $y=2x-7$; 2) $y=1{,}4+3x$; 3) $y=x+3{,}5$; 4) $y=-10{,}5+3x$; 5) $y=3x-7$. Для каждой назвать функцию из списка, график которой: а) параллелен ей; б) пересекает её; в) совпадает с ней.

Как думать. Выпиши $k$ и $b$ всех пяти и сравни каждую функцию с остальными.

Решение. Сначала таблица:

Одинаковые $k=3$ у функций 2, 4 и 5. Все три $b$ у них разные, значит, друг другу они параллельны. У 1 и 3 наклоны ни с кем не повторяются.

Ответ:

1. а) нет; б) 2, 3, 4, 5; в) нет.
2. а) 4 и 5; б) 1 и 3; в) нет.
3. а) нет; б) 1, 2, 4, 5; в) нет.
4. а) 2 и 5; б) 1 и 3; в) нет.
5. а) 2 и 4; б) 1 и 3; в) нет.

В списке нет двух совпадающих графиков, поэтому в пункте «в» совпадает только сама функция с собой.

№ 23.4

Записать формулы двух линейных функций, графики которых: а) пересекаются; б) параллельны; в) совпадают.

Как думать. Придумываем пары по правилу про $k$ и $b$.

Решение. а) Разные $k$: $y=2x+1$ и $y=-x+3$. б) Одинаковые $k$, разные $b$: $y=3x+1$ и $y=3x-2$. в) Одинаковые $k$ и $b$: $y=0{,}5x+4$ и $y=4+0{,}5x$.

Ответ: например, а) $y=2x+1$ и $y=-x+3$; б) $y=3x+1$ и $y=3x-2$; в) $y=0{,}5x+4$ и $y=4+0{,}5x$.

№ 23.5

Найти координаты точки пересечения графиков: 1) $y=-6x+1$ и $y=-5x+9$; 2) $y=-17+3{,}4x$ и $y=-1{,}6x+68$; 3) $y=21-9x$ и $y=4x+8$; 4) $y=16{,}2+8x$ и $y=-0{,}8x+7{,}4$; 5) $y=1-3x$ и $y=-x-1$; 6) $y=1+7x$ и $y=6{,}5x$.

Как думать. В точке пересечения $y$ одинаковые. Приравниваем правые части, находим $x$, потом подставляем в любую формулу и получаем $y$.

Решение.

1. $-6x+1=-5x+9$, $-x=8$, $x=-8$. Тогда $y=-6\cdot(-8)+1=49$.
2. $-17+3{,}4x=-1{,}6x+68$, $5x=85$, $x=17$. Тогда $y=-17+3{,}4\cdot 17=-17+57{,}8=40{,}8$.
3. $21-9x=4x+8$, $13=13x$, $x=1$. Тогда $y=21-9=12$.
4. $16{,}2+8x=-0{,}8x+7{,}4$, $8{,}8x=-8{,}8$, $x=-1$. Тогда $y=16{,}2-8=8{,}2$.
5. $1-3x=-x-1$, $2=2x$, $x=1$. Тогда $y=1-3=-2$.
6. $1+7x=6{,}5x$, $0{,}5x=-1$, $x=-2$. Тогда $y=6{,}5\cdot(-2)=-13$.

Ответ: 1) $(-8;,49)$; 2) $(17;,40{,}8)$; 3) $(1;,12)$; 4) $(-1;,8{,}2)$; 5) $(1;,-2)$; 6) $(-2;,-13)$.

Уровень B

№ 23.6

Доказать, что графики пересекаются: 1) $y=9+x$ и $y=5x+6$; 2) $y=-0{,}5x+13$ и $y=8+x$; 3) $y=6x-5{,}1$ и $y=9x-6$.

Как думать. Достаточно показать, что $k$ у функций разные: тогда прямые обязательно пересекутся.

Решение.

1. У $y=x+9$ коэффициент $k=1$, у $y=5x+6$ — $k=5$. Разные.
2. У первой $k=-0{,}5$, у второй $y=x+8$ коэффициент $k=1$. Разные.
3. $k=6$ и $k=9$. Разные.

Раз $k$ разные, уравнение $(k_1-k_2)x=b_2-b_1$ имеет единственное решение, то есть общая точка одна. Значит, прямые пересекаются.

Ответ: во всех трёх случаях $k_1\ne k_2$, поэтому графики пересекаются.

№ 23.7

Построить графики и выяснить расположение: 1) $y=1{,}4x+2$ и $y=x+2$; 2) $y=-x+1{,}5$ и $y=2x-3$; 3) $y=7+9x$ и $y=-9x-0{,}9$; 4) $y=-\frac{5}{11}x+2$ и $y=x-14$.

Как думать. По $k$ заранее ясно: везде $k$ разные, значит, везде пересечение. Остаётся найти точку: приравниваем формулы.

Решение. Для построения берём по две точки.

1. $y=1{,}4x+2$: $(0;,2)$ и $(5;,9)$. $y=x+2$: $(0;,2)$ и $(3;,5)$. Точка пересечения $(0;,2)$ (обе $b=2$).
2. $y=-x+1{,}5$: $(0;,1{,}5)$ и $(1{,}5;,0)$. $y=2x-3$: $(0;,-3)$ и $(1{,}5;,0)$. Приравниваем: $-x+1{,}5=2x-3$, $3x=4{,}5$, $x=1{,}5$, $y=0$.
3. $y=9x+7$: $(0;,7)$ и $(-1;,-2)$. $y=-9x-0{,}9$: $(0;,-0{,}9)$ и $(-1;,8{,}1)$. $9x+7=-9x-0{,}9$, $18x=-7{,}9$, $x=-\frac{79}{180}$, $y=9\cdot\left(-\frac{79}{180}\right)+7=-3{,}95+7=3{,}05$.
4. $y=-\frac{5}{11}x+2$: $(0;,2)$ и $(11;,-3)$. $y=x-14$: $(0;,-14)$ и $(14;,0)$. $-\frac{5}{11}x+2=x-14$, $16=\frac{16}{11}x$, $x=11$, $y=-3$.

Ответ: во всех четырёх случаях графики пересекаются: 1) в точке $(0;,2)$; 2) в $(1{,}5;,0)$; 3) в $\left(-\frac{79}{180};,3{,}05\right)$; 4) в $(11;,-3)$.

№ 23.8

Записать несколько формул линейных функций, графики которых параллельны графику функции: 1) $y=-4$; 2) $y=\frac{8}{9}$; 3) $y=0$.

Как думать. Эти графики — горизонтальные прямые, у них $k=0$. Параллельные им тоже горизонтальные: $k=0$, а число $b$ другое.

Решение.

1. $y=-4$ — это $y=0\cdot x-4$. Параллельные: $y=1$, $y=5$, $y=-7$.
2. $y=\frac{8}{9}$. Параллельные: $y=2$, $y=-3$, $y=0{,}5$.
3. $y=0$ — это ось $Ox$. Параллельные ей: $y=1$, $y=-2$, $y=10$.

Ответ: любые $y=b$ с другим числом $b$, например: 1) $y=1$, $y=5$; 2) $y=2$, $y=-3$; 3) $y=1$, $y=-2$.

№ 23.9

В одной системе координат построить графики: 1) $y=0{,}5x+b$ при $b=-3$ и $b=5$; 2) $y=kx-2$ при $k=4$ и $k=-\frac{1}{4}$.

Как думать. Подставляем значения и строим по двум точкам. В пункте 1 меняется $b$, наклон один — получатся параллельные. В пункте 2 меняется $k$ — прямые пересекутся в $(0;,-2)$.

Решение.

1. $b=-3$: $y=0{,}5x-3$, точки $(0;,-3)$ и $(6;,0)$. $b=5$: $y=0{,}5x+5$, точки $(0;,5)$ и $(-10;,0)$. Прямые параллельны, ведь $k=0{,}5$ у обеих.
2. $k=4$: $y=4x-2$, точки $(0;,-2)$ и $(1;,2)$. $k=-\frac{1}{4}$: $y=-\frac{1}{4}x-2$, точки $(0;,-2)$ и $(4;,-3)$. Прямые пересекаются в точке $(0;,-2)$.

Ответ: 1) две параллельные прямые; 2) две прямые, пересекающиеся в $(0;,-2)$.

№ 23.10

Записать формулу линейной функции, график которой пересекает ось ординат в точке: 1) $A(0;,-3{,}5)$; 2) $B(0;,-2\frac{1}{2})$; 3) $C(0;,\frac{5}{6})$; 4) $D(0;,-4{,}8)$ и параллелен графику функции: а) $y=4x-7$; б) $y=10-2{,}5x$.

Как думать. Точка $(0;,b)$ на оси $Oy$ сразу даёт число $b$. В пунктах 1–3 $k$ любое. В пункте 4 $k$ берём как у заданной функции.

Решение.

1. $b=-3{,}5$: например, $y=x-3{,}5$.
2. $b=-2\frac{1}{2}=-2{,}5$: например, $y=2x-2{,}5$.
3. $b=\frac{5}{6}$: например, $y=3x+\frac{5}{6}$.
4. $b=-4{,}8$. а) $k=4$: $y=4x-4{,}8$. б) $y=10-2{,}5x$, значит $k=-2{,}5$: $y=-2{,}5x-4{,}8$.

Ответ: 1) например $y=x-3{,}5$; 2) например $y=2x-2{,}5$; 3) например $y=3x+\frac{5}{6}$; 4) а) $y=4x-4{,}8$; б) $y=-2{,}5x-4{,}8$.

Уровень C

Это самые трудные задания. Даже попытка уже большой плюс!

№ 23.11

Найти число $b$, если графики $y=3x+b$, $y=4x+b$, $y=-x+b$, $y=2{,}2x+b$ пересекаются в одной точке с графиком функции: 1) $y=x+7{,}2$; 2) $y=-5x+9$; 3) $y=3{,}4x-8$; 4) $y=-\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}$.

Как думать. У всех четырёх функций одно и то же $b$. Значит, все они проходят через точку $(0;,b)$ на оси $Oy$. Четвёртый график должен проходить через ту же точку, то есть его значение при $x=0$ равно $b$.

Решение. Подставим $x=0$ в каждую функцию.

1. $y=0+7{,}2=7{,}2$.
2. $y=-5\cdot 0+9=9$.
3. $y=3{,}4\cdot 0-8=-8$.
4. $y=-\frac{3}{8}\cdot 0-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$.

Ответ: 1) $b=7{,}2$; 2) $b=9$; 3) $b=-8$; 4) $b=-\frac{1}{4}$.

№ 23.12

В каких координатных четвертях лежит график $y=kx+b$, если он проходит через начало координат и параллелен графику функции: 1) $y=7x+5$; 2) $y=3{,}2x-4$; 3) $y=-\frac{6}{7}x+3$; 4) $y=-4{,}5x-8$?

Как думать. Параллельность даёт тот же $k$. Через начало координат — значит $b=0$, то есть $y=kx$. Если $k>0$, прямая идёт «вверх» (I и III четверти), если $k<0$ — «вниз» (II и IV).

Решение.

1. $k=7>0$, график $y=7x$.
2. $k=3{,}2>0$, график $y=3{,}2x$.
3. $k=-\frac{6}{7}<0$, график $y=-\frac{6}{7}x$.
4. $k=-4{,}5<0$, график $y=-4{,}5x$.

Ответ: 1) в I и III четвертях; 2) в I и III; 3) во II и IV; 4) во II и IV.

№ 23.13

Записать формулу линейной функции, график которой проходит через точку $A(-1;,3)$ и пересекает ось ординат в точке с ординатой: 1) 4,8; 2) $-6{,}05$; 3) 8,6; 4) $9\frac{1}{3}$.

Как думать. Ордината пересечения с $Oy$ — это $b$. Подставляем $x=-1$, $y=3$ в $y=kx+b$ и находим $k$: $3=-k+b$, откуда $k=b-3$.

Решение.

1. $b=4{,}8$, $k=4{,}8-3=1{,}8$.
2. $b=-6{,}05$, $k=-6{,}05-3=-9{,}05$.
3. $b=8{,}6$, $k=8{,}6-3=5{,}6$.
4. $b=9\frac{1}{3}$, $k=9\frac{1}{3}-3=6\frac{1}{3}$.

Проверка пункта 1: $y=1{,}8\cdot(-1)+4{,}8=3$. Верно.

Ответ: 1) $y=1{,}8x+4{,}8$; 2) $y=-9{,}05x-6{,}05$; 3) $y=5{,}6x+8{,}6$; 4) $y=6\frac{1}{3}x+9\frac{1}{3}$.

№ 23.14

Записать формулу линейной функции, график которой параллелен графику $y=3x+5$ и проходит через точку: 1) $A(-4;,1)$; 2) $B(1;,15)$; 3) $C\left(\frac{1}{3};,\frac{1}{16}\right)$; 4) $M(0{,}15;,-1)$.

Как думать. Параллельный график — тот же $k=3$. Значит, функция $y=3x+b$. Подставляем координаты точки и находим $b=y-3x$.

Решение.

1. $b=1-3\cdot(-4)=1+12=13$.
2. $b=15-3\cdot 1=12$.
3. $b=\frac{1}{16}-3\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{16}-1=-\frac{15}{16}$.
4. $b=-1-3\cdot 0{,}15=-1-0{,}45=-1{,}45$.

Ответ: 1) $y=3x+13$; 2) $y=3x+12$; 3) $y=3x-\frac{15}{16}$; 4) $y=3x-1{,}45$.

Готовимся к следующей теме

№ 23.15

Решить систему $x+4y=5$, $3x-y=2$ способом алгебраического сложения.

Как думать. Умножим второе уравнение на 4: тогда $y$ в двух уравнениях будут с противоположными знаками, и при сложении исчезнут.

Решение.

1. Второе уравнение на 4: $12x-4y=8$.
2. Складываем с первым: $x+12x+4y-4y=5+8$, то есть $13x=13$, $x=1$.
3. Из второго уравнения: $y=3x-2=3-2=1$.
4. Проверка: $1+4\cdot 1=5$, $3\cdot 1-1=2$. Верно.

Ответ: $(1;,1)$.

№ 23.16

Решить систему $5x-y=6$, $x-6y=7$ способом подстановки.

Как думать. Из первого уравнения легко выразить $y$, и подставить во второе.

Решение.

1. Из первого: $y=5x-6$.
2. Подставляем во второе: $x-6(5x-6)=7$, $x-30x+36=7$, $-29x=-29$, $x=1$.
3. Тогда $y=5\cdot 1-6=-1$.
4. Проверка: $5\cdot 1-(-1)=6$, $1-6\cdot(-1)=7$. Верно.

Ответ: $(1;,-1)$.

Шпаргалка

• Сначала сравни $k$. Разные — пересекаются.
• Одинаковые $k$ — смотри на $b$: разные — параллельны, одинаковые — совпадают.
• Точка пересечения: приравняй правые части, найди $x$, потом $y$.
• Параллельная прямая через точку: возьми тот же $k$, $b$ найди подстановкой.

Мини-тест