§ 24. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными графическим способом

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 3: Функция. График функции. Страницы 145–150.

Чему научишься

• Строить график линейного уравнения с двумя переменными.
• Решать систему двух линейных уравнений, рисуя две прямые.
• Понимать, когда решение одно, когда нет совсем, а когда бесконечно много.
• Записывать ответ как пару чисел $(x;,y)$.

Разминка

Два задания из прошлого урока (№ 23.15 и № 23.16) уже были про системы. Вспомним их и ещё пару вещей.

• Что значит «решить систему уравнений»? Найти пары $(x;,y)$, которые подходят сразу в оба уравнения.
• Какие способы решения систем ты знаешь? Подстановки и алгебраического сложения.
• Решение № 23.15 ($x+4y=5$, $3x-y=2$)? $(1;,1)$.
• Решение № 23.16 ($5x-y=6$, $x-6y=7$)? $(1;,-1)$.
• Как выразить $y$ из $2x+y-4=0$? Перенести остальное вправо: $y=4-2x$, то есть $y=-2x+4$.

Разбираемся

Идея: решение = точка встречи

Каждое линейное уравнение с двумя переменными задаёт на плоскости прямую: все точки этой прямой — решения уравнения. А решение системы должно подходить в оба уравнения. Значит, это точка, лежащая сразу на обеих прямых. То есть точка пересечения!

Поэтому способ называют графическим: решаем по графикам.

📌 Алгоритм. 1) Построй обе прямые в одной системе координат. 2) Найди точку (точки) пересечения. 3) Запиши ответ парой $(x;,y)$ или напиши, что решений нет или их бесконечно много.

Пример 1. Прямые пересекаются

Решим систему: $y-3x=0$ и $3x+y-6=0$.

Выразим $y$ в каждом уравнении: $y=3x$ и $y=-3x+6$. Для первой прямой хватит и точки $(1;,3)$ вместе с началом координат: график $y=3x$ проходит через $(0;,0)$. Для второй возьмём $(0;,6)$ и $(2;,0)$.

Прямые пересеклись в точке $A(1;,3)$. Проверка: $3\cdot 1=3$ и $-3\cdot 1+6=3$. Оба уравнения верны.

Ответ: $(1;,3)$. Решение единственное.

Пример 2. Прямые параллельны

Система: $2y-x-4=0$ и $y=0{,}5x-3$.

Из первого: $2y=x+4$, значит $y=0{,}5x+2$. Получились функции $y=0{,}5x+2$ и $y=0{,}5x-3$: наклон $k=0{,}5$ одинаковый, $b$ разные.

Прямые идут параллельно, общих точек нет.

Ответ: система не имеет решений.

Пример 3. Прямые совпадают

Сколько решений у системы $y+2x-3=0$ и $2y=6-4x$?

Из первого: $y=3-2x$. Из второго делим на 2: $y=3-2x$. Это одна и та же формула! Значит, прямая одна.

Каждая точка прямой $y=3-2x$ подходит в оба уравнения, а таких точек бесконечно много.

Ответ: бесконечно много решений.

💡 Любые две прямые на плоскости либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают. Поэтому у системы двух линейных уравнений бывает ровно один вариант из трёх: одно решение, ни одного или бесконечно много.

⚠️ Частая ошибка. Читать координаты точки пересечения «на глаз». Если пересечение не попало в узел клетки, ответ получится приблизительным. Обязательно проверь: подставь найденную пару в оба уравнения.

👨‍👩‍👧 Родителю. Графический способ нагляден, но не всегда точен. Для проверки попросите ребёнка подставить пару в оба уравнения: так он учится сам себя контролировать.

Как определить число решений без рисунка

Приведи оба уравнения к виду $y=kx+b$ и сравни $k$ и $b$ (это правило из прошлого урока).

Проверь, как понял

Проверь себя

• Почему один из способов решения системы назвали графическим? Потому что решение находят по графикам: строят прямые и смотрят, где они пересекаются.
• Какие линии и сколько надо построить, чтобы решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными? Две прямые, по одной на каждое уравнение, в одной системе координат.
• Почему у такой системы может быть одно решение, ни одного или бесконечно много? Две прямые на плоскости могут пересекаться (одна общая точка), быть параллельными (нет общих точек) или совпадать (все точки общие). Других вариантов нет.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 24.1

Найти точки пересечения с осью $Ox$ прямых, заданных уравнениями: 1) $x+y=8$; 2) $y-x=7$; 3) $5x-y=2$; 4) $6x-2y=1$; 5) $x+4y-5=0$; 6) $2x+3y+1=0$.

Как думать. На оси $Ox$ ордината равна нулю. Подставляем $y=0$ и находим $x$.

Решение.

1. $x+0=8$, $x=8$.
2. $0-x=7$, $x=-7$.
3. $5x-0=2$, $x=\frac{2}{5}=0{,}4$.
4. $6x=1$, $x=\frac{1}{6}$.
5. $x-5=0$, $x=5$.
6. $2x+1=0$, $x=-\frac{1}{2}=-0{,}5$.

Ответ: 1) $(8;,0)$; 2) $(-7;,0)$; 3) $(0{,}4;,0)$; 4) $\left(\frac{1}{6};,0\right)$; 5) $(5;,0)$; 6) $(-0{,}5;,0)$.

№ 24.2

Найти точки пересечения с осью $Oy$ прямых: 1) $x+y=13$; 2) $x-y=1{,}7$; 3) $x+8y=11{,}2$; 4) $5x-y=3$; 5) $8y-7x=14$; 6) $9x+1{,}6y=3$.

Как думать. На оси $Oy$ абсцисса равна нулю. Ставим $x=0$ и находим $y$.

Решение.

1. $y=13$.
2. $-y=1{,}7$, $y=-1{,}7$.
3. $8y=11{,}2$, $y=1{,}4$.
4. $-y=3$, $y=-3$.
5. $8y=14$, $y=1{,}75$.
6. $1{,}6y=3$, $y=\frac{3}{1{,}6}=1{,}875$.

Ответ: 1) $(0;,13)$; 2) $(0;,-1{,}7)$; 3) $(0;,1{,}4)$; 4) $(0;,-3)$; 5) $(0;,1{,}75)$; 6) $(0;,1{,}875)$.

№ 24.3

Построить график уравнения: 1) $y=x+5$; 2) $y=x-4$; 3) $y=7-2x$; 4) $x-y=6$; 5) $3x+2y=1$; 6) $x+4y=9$; 7) $3y-18=0$; 8) $16+8x=0$; 9) $4-x-y=0$.

Как думать. График — прямая, поэтому хватает двух точек. Составляем таблицу: берём удобные $x$ и считаем $y$. В пунктах 7 и 8 особые случаи: прямые параллельны осям.

Решение. Точки для построения:

В пункте 7 график — горизонтальная прямая на высоте 6. В пункте 8 — вертикальная прямая через $x=-2$. Это не график функции: одному $x$ отвечает много $y$.

Ответ: во всех пунктах строим прямую по двум точкам из таблицы; п. 7 — горизонтальная прямая $y=6$, п. 8 — вертикальная прямая $x=-2$.

№ 24.4

Построить графики и найти точку пересечения: 1) $y=x+4$ и $y=6-x$; 2) $y=7x+9$ и $y=3+x$; 3) $x+y=3$ и $x-y=1$; 4) $3x-2y=-2$ и $7x-5y=-4$.

Как думать. Строим обе прямые, смотрим, где они встретились, и проверяем подстановкой (или приравниваем формулы).

Решение.

1. Точки: $y=x+4$: $(0;,4)$, $(-4;,0)$. $y=6-x$: $(0;,6)$, $(6;,0)$. Приравниваем: $x+4=6-x$, $x=1$, $y=5$.
2. $y=7x+9$: $(0;,9)$, $(-1;,2)$. $y=x+3$: $(0;,3)$, $(-1;,2)$. Они сошлись в $(-1;,2)$.
3. $y=3-x$: $(0;,3)$, $(3;,0)$. $y=x-1$: $(0;,-1)$, $(1;,0)$. Пересечение $(2;,1)$: $2+1=3$ и $2-1=1$.
4. $y=\frac{3x+2}{2}$: $(0;,1)$, $(-2;,-2)$. $y=\frac{7x+4}{5}$: $(-2;,-2)$, $(3;,5)$. Пересечение $(-2;,-2)$: $3\cdot(-2)-2\cdot(-2)=-6+4=-2$, $7\cdot(-2)-5\cdot(-2)=-14+10=-4$. Верно.

Ответ: 1) $(1;,5)$; 2) $(-1;,2)$; 3) $(2;,1)$; 4) $(-2;,-2)$.

Уровень B

Решаем системы графически (№ 24.5–24.7).

№ 24.5

Решить графически системы: 1) $y=2x$, $y=2+x$; 2) $y=-2x$, $y=x-3$; 3) $y-5x=0$, $y=x-4$; 4) $y-3x=0$, $y=-6+x$.

Как думать. Каждое уравнение — прямая. Строим по две точки и ищем пересечение. Все $k$ разные, поэтому решение в каждой системе одно.

Решение.

1. $y=2x$: $(0;,0)$, $(2;,4)$. $y=x+2$: $(0;,2)$, $(-2;,0)$. Встреча: $2x=x+2$, $x=2$, $y=4$.
2. $y=-2x$: $(0;,0)$, $(1;,-2)$. $y=x-3$: $(0;,-3)$, $(3;,0)$. Встреча: $-2x=x-3$, $x=1$, $y=-2$.
3. $y=5x$: $(0;,0)$, $(-1;,-5)$. $y=x-4$: $(0;,-4)$, $(4;,0)$. Встреча: $5x=x-4$, $x=-1$, $y=-5$.
4. $y=3x$: $(0;,0)$, $(-3;,-9)$. $y=x-6$: $(0;,-6)$, $(6;,0)$. Встреча: $3x=x-6$, $x=-3$, $y=-9$.

Ответ: 1) $(2;,4)$; 2) $(1;,-2)$; 3) $(-1;,-5)$; 4) $(-3;,-9)$.

№ 24.6

Решить графически: 1) $x+y=9$, $x-y=1$; 2) $3x+y=1$, $x+y=5$; 3) $y-6x=-25$, $y-x=-5$; 4) $y+7x=-18$, $y+x=0$.

Как думать. Выражаем $y$ из обоих уравнений, строим две прямые. Для надёжности проверяем подстановкой.

Решение.

1. $y=9-x$: $(0;,9)$, $(9;,0)$. $y=x-1$: $(0;,-1)$, $(1;,0)$. Пересечение: $(5;,4)$, ведь $5+4=9$ и $5-4=1$.
2. $y=1-3x$: $(0;,1)$, $(1;,-2)$. $y=5-x$: $(0;,5)$, $(5;,0)$. Пересечение: $1-3x=5-x$, $x=-2$, $y=7$. Проверка: $3\cdot(-2)+7=1$, $-2+7=5$.
3. $y=6x-25$: $(4;,-1)$, $(5;,5)$. $y=x-5$: $(0;,-5)$, $(4;,-1)$. Пересечение: $(4;,-1)$. Проверка: $-1-24=-25$, $-1-4=-5$.
4. $y=-7x-18$: $(-3;,3)$, $(-2;,-4)$. $y=-x$: $(0;,0)$, $(-3;,3)$. Пересечение: $(-3;,3)$. Проверка: $3-21=-18$, $3-3=0$.

Ответ: 1) $(5;,4)$; 2) $(-2;,7)$; 3) $(4;,-1)$; 4) $(-3;,3)$.

№ 24.7

Решить графически: 1) $x+20y=37$, $5y+x=7$; 2) $y-8x=-33$, $7x-y=29$; 3) $17x+y=90$, $y-23x=-110$.

Как думать. Числа большие, и точки пересечения на глаз сразу не поймать. Сначала находим решение вычитанием или сложением уравнений, а потом по двум точкам проверяем, что обе прямые через неё проходят.

Решение.

1. Вычтем второе из первого: $(x+20y)-(x+5y)=37-7$, $15y=30$, $y=2$. Тогда $x=7-5\cdot 2=-3$. Прямые: $y=\frac{37-x}{20}$ проходит через $(-3;,2)$ и $(17;,1)$, а $y=\frac{7-x}{5}$ через $(-3;,2)$ и $(2;,1)$.
2. Сложим уравнения: $(y-8x)+(7x-y)=-33+29$, $-x=-4$, $x=4$. Тогда $y=8\cdot 4-33=-1$. Прямые: $y=8x-33$ через $(4;,-1)$ и $(5;,7)$; $y=7x-29$ через $(4;,-1)$ и $(5;,6)$.
3. Вычтем: $(17x+y)-(y-23x)=90+110$, $40x=200$, $x=5$. Тогда $y=90-17\cdot 5=5$. Прямые: $y=90-17x$ через $(5;,5)$ и $(4;,22)$; $y=23x-110$ через $(5;,5)$ и $(4;,-18)$.

Ответ: 1) $(-3;,2)$; 2) $(4;,-1)$; 3) $(5;,5)$.

№ 24.8

Выяснить, сколько решений имеет система: 1) $6x+y=0$, $-4x+y=2$; 2) $y+x=7$, $y=-x-5$; 3) $x-y=2$, $3x-3y-6=0$.

Как думать. Выражаем $y$ в обоих уравнениях и сравниваем $k$ и $b$. Рисовать не нужно.

Решение.

1. $y=-6x$ и $y=4x+2$: $k=-6$ и $k=4$ разные, прямые пересекаются.
2. $y=-x+7$ и $y=-x-5$: $k=-1$ у обеих, $b=7$ и $b=-5$ разные, прямые параллельны.
3. $y=x-2$. Во втором: $3y=3x-6$, $y=x-2$. Одинаковые, прямые совпадают.

Ответ: 1) одно решение; 2) нет решений; 3) бесконечно много решений.

Уровень C

Здесь потребуется настоящая сообразительность. Попробуй сам, а потом проверь!

№ 24.9

Найти значение выражения $7x_0+3y_0$, если координаты точки $A(x_0;,y_0)$ — решение системы: 1) $7x-3y=-1$, $14x-2y=\frac{2}{3}$; 2) $12y+7x=-4$, $x+24y=-2\frac{5}{7}$; 3) $8y-7x=-5{,}6$, $35x+2y=7$; 4) $10x+12y=7{,}5$, $24y-5x=-5$.

Как думать. Выражение $7x_0+3y_0$ просит сначала найти $x_0$ и $y_0$. Решаем систему любым способом (например, сложением), потом считаем.

Решение.

1. Первое на 2: $14x-6y=-2$. Вычтем это из второго: $(14x-2y)-(14x-6y)=\frac{2}{3}+2$, $4y=\frac{8}{3}$, $y=\frac{2}{3}$. Тогда $7x=-1+3y=-1+2=1$, $x=\frac{1}{7}$. Значит, $7x+3y=1+2=3$.
2. Из второго: $x=-\frac{19}{7}-24y$ (ведь $2\frac{5}{7}=\frac{19}{7}$). В первое: $12y+7\left(-\frac{19}{7}-24y\right)=-4$, $12y-19-168y=-4$, $-156y=15$, $y=-\frac{5}{52}$. Тогда $x=-\frac{19}{7}+\frac{120}{52}=-\frac{19}{7}+\frac{30}{13}=-\frac{37}{91}$. Выражение: $7\cdot\left(-\frac{37}{91}\right)+3\cdot\left(-\frac{5}{52}\right)=-\frac{37}{13}-\frac{15}{52}=-\frac{148}{52}-\frac{15}{52}=-\frac{163}{52}=-3\frac{7}{52}$.
3. Второе на 4: $140x+8y=28$. Вычтем первое: $(140x+8y)-(8y-7x)=28+5{,}6$, $147x=33{,}6$, $x=\frac{8}{35}$. Из второго: $2y=7-35\cdot\frac{8}{35}=7-8=-1$, $y=-0{,}5$. Выражение: $7\cdot\frac{8}{35}+3\cdot(-0{,}5)=1{,}6-1{,}5=0{,}1$.
4. Первое на 2: $20x+24y=15$. Вычтем второе: $(20x+24y)-(24y-5x)=15+5$, $25x=20$, $x=0{,}8$. Из второго: $24y=-5+5\cdot 0{,}8=-1$, $y=-\frac{1}{24}$. Выражение: $7\cdot 0{,}8+3\cdot\left(-\frac{1}{24}\right)=5{,}6-0{,}125=5{,}475$.

Ответ: 1) $3$; 2) $-3\frac{7}{52}$; 3) $0{,}1$; 4) $5{,}475$.

Готовимся к следующей теме

№ 24.10

По таблице 24.4 ($x=-1$, $y=-5$; $x=0$, $y=-3$) построить график линейной функции.

Как думать. Линейная функция $y=kx+b$. Из $x=0$ сразу $b=-3$. Затем из первой точки находим $k$.

Решение.

1. $x=0$, $y=-3$, значит $b=-3$.
2. Подставляем $x=-1$, $y=-5$: $-5=-k-3$, $k=2$.
3. Формула $y=2x-3$. График — прямая через точки $(-1;,-5)$ и $(0;,-3)$ (например, ещё $(2;,1)$).

Ответ: $y=2x-3$; график — прямая через $(-1;,-5)$ и $(0;,-3)$.

№ 24.11

Построить график $y=-2x+4$ и по нему найти значения $x$, при которых функция принимает неотрицательные значения.

Как думать. «Неотрицательные» значит $y\ge 0$, то есть график лежит на оси $Ox$ или выше неё.

Решение.

1. Точки: $(0;,4)$ и $(2;,0)$. Через них проводим прямую.
2. Прямая пересекает $Ox$ в точке $x=2$.
3. Левее $x=2$ график выше оси, и при $x=2$ он на оси. Правее — ниже оси.
4. Проверка: $-2x+4\ge 0$, $x\le 2$.

Ответ: $x\le 2$, то есть $x\in(-\infty;,2]$.

Шпаргалка

• Приведи уравнения к $y=kx+b$ и построй по двум точкам каждое.
• Координаты точки пересечения обязательно проверь подстановкой в оба уравнения.
• Вертикальная прямая $x=a$ и горизонтальная $y=b$ тоже бывают графиками уравнений.
• Число решений можно узнать без рисунка по $k$ и $b$.

Мини-тест