§ 25. Функция y = ax² (a ≠ 0), ее график и свойства

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 3: Функция. График функции. Страницы 150–155.

Чему научишься

• Называть свойства функции $y = ax^{2}$: область определения, множество значений, нули, промежутки возрастания и убывания.
• Строить параболу по таблице значений.
• Понимать, как коэффициент $a$ растягивает, сжимает и переворачивает параболу.
• Проверять, лежит ли точка на параболе, и находить наибольшее и наименьшее значения на промежутке.
• Решать уравнения вида $ax^{2} = bx + c$ с помощью графиков.

Разминка

• Чему равно $(-4)^{2}$ и чему равно $-4^{2}$? $(-4)^{2} = 16$, а $-4^{2} = -16$: во втором случае в квадрат возводится только четвёрка, а минус остаётся.
• Может ли квадрат числа быть отрицательным? Нет. Квадрат любого числа — ноль или положительное число.
• Что получится, если положительное число умножить на квадрат? Опять число не меньше нуля.
• А если отрицательное число умножить на квадрат? Число не больше нуля. Запомни это — оно нам сейчас пригодится.
• Как найти значение $y = 3x$ при $x = 4$? Подставляем: $3 \cdot 4 = 12$.

Разбираемся

Что за зверь $y = ax^{2}$

Формула $y = ax^{2}$ говорит: возьми число $x$, возведи в квадрат, потом умножь на число $a$. Число $a$ не равно нулю, иначе вместо кривой получится просто ось $Ox$.

Например, $y = x^{2}$ (здесь $a = 1$), $y = -3x^{2}$ (здесь $a = -3$) или $y = \frac{1}{2}x^{2}$ (здесь $a = \frac{1}{2}$).

Свойства по порядку

1) Область определения. Подставить в формулу можно любое число: возвести в квадрат и умножить на $a$ умеют все. Поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$, то есть вся числовая прямая.

2) Множество значений. Здесь важен знак $a$.

• Если $a > 0$, то $ax^{2} \ge 0$: квадрат не меньше нуля, а положительное число знак не меняет. Значит, $E(y) = [0; +\infty)$.
• Если $a < 0$, то $ax^{2} \le 0$: квадрат не меньше нуля, а отрицательное число его «переворачивает». Значит, $E(y) = (-\infty; 0]$.

Отсюда видно, где живёт график: при $a > 0$ в I и II четвертях (выше оси $Ox$), при $a < 0$ в III и IV (ниже оси $Ox$).

3) Знакопостоянство. При $a > 0$ функция положительна везде, кроме $x = 0$. При $a < 0$ она отрицательна везде, кроме $x = 0$. Промежутки: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4) Нули функции. Ноль получается в одной точке: $x = 0$. Почему? Пусть $ax^{2} = 0$. Так как $a \ne 0$, то $x^{2} = 0$, то есть $x \cdot x = 0$. Произведение равно нулю, только если множитель равен нулю, значит $x = 0$.

📌 Функция $y = ax^{2}$ ($a \ne 0$): $D = (-\infty; +\infty)$, нуль один — $x = 0$. При $a > 0$ значения $y \ge 0$, при $a < 0$ значения $y \le 0$.

Строим параболу

Берём таблицу для $y = x^{2}$ и $y = -x^{2}$ и наносим точки.

Соединяем точки плавной линией (не ломаной!). Получилась парабола. Нажми на точку графика, чтобы увидеть её значение.

Что видно на рисунке:

• При $a > 0$ ветви идут вверх. Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. Точка $(0; 0)$ — самая низкая.
• При $a < 0$ ветви идут вниз. Функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$. Точка $(0; 0)$ — самая высокая.

🌟 Парабола симметрична: если сложить рисунок по оси $Oy$, левая и правая ветви совпадут. Причина простая: $(-x)^{2} = x^{2}$, поэтому точки $(x; y)$ и $(-x; y)$ лежат на графике одновременно. Ось $Oy$ — ось симметрии параболы.

Что делает коэффициент $a$

Сравним три функции при одних и тех же $x$.

У $2x^{2}$ каждое значение вдвое больше, чем у $x^{2}$. У $\frac{1}{2}x^{2}$ — вдвое меньше.

📌 График $y = 2x^{2}$ получается из графика $y = x^{2}$ растяжением вдоль оси $Oy$ в 2 раза. График $y = \frac{1}{2}x^{2}$ — сжатием вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Если $a < 0$, парабола ещё и переворачивается: $y = -2x^{2}$ — зеркальное отражение $y = 2x^{2}$ относительно оси $Ox$.

Для краткости говорят «построить параболу $y = x^{2}$» вместо «построить параболу, которая является графиком функции $y = x^{2}$».

💡 Попробуй сам. Построй в одной системе координат параболы $y = -x^{2}$, $y = -\frac{1}{2}x^{2}$ и $y = -2x^{2}$. Ожидаемый результат: три ветви вниз, самая «узкая» — у $-2x^{2}$, самая «широкая» — у $-\frac{1}{2}x^{2}$, все они выходят из точки $(0; 0)$.

⚠️ Частая ошибка. Точки параболы нельзя соединять отрезками: получится «ёлочка» с углами. Возле вершины точки стоят близко, поэтому ставь там побольше точек, например при $x = \pm\frac{1}{2}$, и веди линию плавно.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка составить таблицу к $y = 3x^{2}$ и самому найти, где парабола «круче», чем $y = x^{2}$. Полезный вопрос: «Что будет с графиком, если знак перед $x^{2}$ сменить на минус?»

Теперь проверь себя на практике: поставь точку параболы.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как из параболы $y = x^{2}$ получить параболу $y = -7x^{2}$ и параболу $y = \frac{1}{7}x^{2}$? Для $y = -7x^{2}$: растянуть вдоль $Oy$ в 7 раз и отразить относительно оси $Ox$. Для $y = \frac{1}{7}x^{2}$: сжать вдоль $Oy$ в 7 раз.
• Как расположены относительно друг друга параболы $y = 25x^{2}$ и $y = -25x^{2}$? Они симметричны друг другу относительно оси $Ox$: одна как зеркальное отражение другой.
• Почему ось ординат — ось симметрии параболы $y = ax^{2}$? Потому что $a(-x)^{2} = ax^{2}$. Значит, если точка $(x; y)$ лежит на параболе, то и точка $(-x; y)$ лежит на ней, а эти точки симметричны относительно оси $Oy$.
• В каких четвертях расположены параболы $y = 9x^{2}$ и $y = -9x^{2}$? Первая — в I и II, вторая — в III и IV.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 25.1

Лежит ли на графике функции $y = 3x^{2}$ точка: 1) $A(1; 3)$; 2) $B(0{,}5; 0{,}75)$; 3) $C(-2; 8)$; 4) $M(-4; 48)$; 5) $P(-1; 3{,}5)$; 6) $K(\pi; 3\pi^{2})$?

Как думать. Точка лежит на графике, если при подстановке её $x$ в формулу получается её $y$.

Решение.

1. $x = 1$: $3 \cdot 1^{2} = 3$. Совпало с $y = 3$.
2. $x = 0{,}5$: $3 \cdot 0{,}25 = 0{,}75$. Совпало.
3. $x = -2$: $3 \cdot 4 = 12 \ne 8$.
4. $x = -4$: $3 \cdot 16 = 48$. Совпало.
5. $x = -1$: $3 \cdot 1 = 3 \ne 3{,}5$.
6. $x = \pi$: $3\pi^{2}$. Совпало.

Ответ: принадлежат 1), 2), 4), 6); не принадлежат 3) и 5).

№ 25.2

Построй график функции $y = -3x^{2}$. По графику найди и запиши промежутки возрастания и убывания.

Как думать. Здесь $a = -3 < 0$, значит, ветви вниз. Точки считаем по таблице.

Решение. Слева от вершины (при $x < 0$) график идёт вверх, справа (при $x > 0$) — вниз.

Ответ: возрастает на $(-\infty; 0]$, убывает на $[0; +\infty)$.

№ 25.3

Построй в одной системе координат графики: 1) $y = 4x^{2}$ и $y = \frac{1}{4}x^{2}$; 2) $y = -x^{2}$ и $y = \frac{1}{3}x^{2}$; 3) $y = 2x^{2}$ и $y = 5x^{2}$.

Как думать. Для каждой функции берём таблицу и ставим точки. Чем больше $|a|$, тем уже парабола.

Решение.

1. Таблица:

Парабола $y = 4x^{2}$ узкая, а $y = \frac{1}{4}x^{2}$ широкая, обе ветвями вверх.

2. Для $y = -x^{2}$ берём значения $0, -\frac{1}{4}, -1, -4, -9$ при $x = 0, \pm\frac{1}{2}, \pm 1, \pm 2, \pm 3$; для $y = \frac{1}{3}x^{2}$: при $x = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ получаем $0, \frac{1}{3}, \frac{4}{3}, 3$. Первая парабола ветвями вниз, вторая — вверх.

3. $y = 2x^{2}$: при $x = 0, \pm 1, \pm 2$ получаем $0, 2, 8$. $y = 5x^{2}$: $0, 5, 20$ (удобно ещё взять $x = \pm\frac{1}{2}$: $\frac{5}{4}$). Обе ветвями вверх, вторая уже.

Ответ: чертёж из трёх рисунков: (1) обе параболы ветвями вверх, $4x^{2}$ уже; (2) $-x^{2}$ вниз, $\frac{1}{3}x^{2}$ вверх; (3) обе вверх, $5x^{2}$ уже, чем $2x^{2}$.

№ 25.4

С помощью графика функции $y = 0{,}4x^{2}$ сравни значения выражений: 1) $0{,}4 \cdot 3^{4}$ и $0{,}4 \cdot 4^{4}$; 2) $0{,}4 \cdot (-2)^{2}$ и $0{,}4 \cdot (-3)^{2}$.

Как думать. Выражение $0{,}4 \cdot t^{2}$ — это значение функции в точке $t$. Справа от вершины функция возрастает: чем правее точка, тем выше.

Решение.

1. Как напечатано, здесь четвёртые степени. Обе части положительны, а $3 < 4$, поэтому $3^{4} < 4^{4}$ и $0{,}4 \cdot 3^{4} < 0{,}4 \cdot 4^{4}$ (то есть $32{,}4 < 102{,}4$). Если читать это как значения $y = 0{,}4x^{2}$ в точках $3$ и $4$, ответ тот же: $3{,}6 < 6{,}4$.
2. $x = -2$ и $x = -3$ лежат слева от вершины, где парабола убывает. Чем левее, тем выше: $0{,}4 \cdot (-3)^{2} = 3{,}6$ больше, чем $0{,}4 \cdot (-2)^{2} = 1{,}6$.

Ответ: 1) первое меньше второго; 2) первое меньше второго.

Уровень B

№ 25.5

С помощью графиков найди число корней уравнения: 1) $x^{2} + 4 = 0$; 2) $4x^{2} - 3 = 5$; 3) $5 - 0{,}4x^{2} = 2$; 4) $-2^{3} + 3^{2}x^{2} = 4$.

Как думать. Сводим уравнение к виду $x^{2} = $ число. Это значит искать пересечение параболы $y = x^{2}$ с горизонтальной прямой $y = $ число. Выше оси $Ox$ прямая пересекает параболу в двух точках, на оси — в одной, ниже — не пересекает.

Решение.

1. $x^{2} = -4$. Прямая $y = -4$ лежит ниже параболы — общих точек нет.
2. $4x^{2} = 8$, $x^{2} = 2$. Прямая $y = 2$ выше вершины — две точки.
3. $0{,}4x^{2} = 3$, $x^{2} = 7{,}5$. Две точки.
4. $-8 + 9x^{2} = 4$, $9x^{2} = 12$, $x^{2} = \frac{4}{3}$. Две точки.

Ответ: 1) нет корней; 2) два корня; 3) два корня; 4) два корня.

№ 25.6

С помощью программы GeoGebra определи, пересекаются ли графики функций $y = 3x^{2}$ и $y = 5 - 2x$.

Как думать. В GeoGebra вводим обе формулы в строку ввода и смотрим на картинку. Проверим и счётом: ищем $x$, при которых $3x^{2} = 5 - 2x$.

Решение. $3x^{2} + 2x - 5 = 0$. Дискриминант $4 + 60 = 64$, корни $x = \frac{-2 \pm 8}{6}$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -\frac{5}{3}$. Две точки пересечения: $(1; 3)$ и $\left(-\frac{5}{3}; \frac{25}{3}\right)$.

Ответ: да, пересекаются (в двух точках).

№ 25.7

С помощью GeoGebra найди графически корни уравнения $2x^{2} = 3x + 1$ (ответ округли до десятых).

Как думать. Рисуем параболу $y = 2x^{2}$ и прямую $y = 3x + 1$; абсциссы точек пересечения и есть корни.

Решение. Программа показывает две точки пересечения с абсциссами примерно $-0{,}3$ и $1{,}8$. Проверим: $2 \cdot 1{,}8^{2} = 6{,}48$, а $3 \cdot 1{,}8 + 1 = 6{,}4$. Почти равно, значит, корень найден верно. Точный счёт: $2x^{2} - 3x - 1 = 0$, $D = 17$, $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$, то есть $1{,}78\ldots$ и $-0{,}28\ldots$

Ответ: $x \approx -0{,}3$ и $x \approx 1{,}8$.

№ 25.8

Возрастающей (убывающей) ли является функция $y = -\frac{1}{3}x^{2}$ на промежутке: 1) $[1; 4]$; 2) $[-4; -2]$; 3) $[0; 14]$?

Как думать. У $y = -\frac{1}{3}x^{2}$ коэффициент $a < 0$: функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$. Смотрим, в какой части оси лежит промежуток целиком.

Решение.

1. $[1; 4]$ целиком правее нуля — функция убывает.
2. $[-4; -2]$ целиком левее нуля — функция возрастает.
3. $[0; 14]$ лежит в $[0; +\infty)$ — функция убывает.

Ответ: 1) убывающая; 2) возрастающая; 3) убывающая.

Уровень C

Здесь задачи потруднее. Не страшно, если не получится сразу: пробуй, сравнивай с разбором, и всё встанет на место.

№ 25.9

а) Найди наибольшее и наименьшее значения функции $y = 5x^{2}$ на промежутке: 1) $[0; 5]$; 2) $[-1; 2]$; 3) $[-5; -4]$; 4) $[-3; 1]$. б) То же для $y = -0{,}5x^{2}$ на промежутке: 1) $[-2; 0]$; 2) $[-3; 3]$; 3) $[-5; -4]$; 4) $[0; 6]$.

Как думать. Рисуем эскиз параболы. Если вершина ($x = 0$) внутри промежутка, одно из значений (наименьшее при $a > 0$, наибольшее при $a < 0$) находится в вершине. Второе — на том конце промежутка, который дальше от нуля. Если нуля внутри нет, функция на промежутке монотонна, и оба значения — на концах.

Решение. а) $y = 5x^{2}$:

1. $[0; 5]$: $y(0) = 0$, $y(5) = 125$.
2. $[-1; 2]$: вершина внутри, наименьшее $0$; концы: $y(-1) = 5$, $y(2) = 20$; наибольшее $20$.
3. $[-5; -4]$: слева от нуля парабола убывает: $y(-5) = 125$, $y(-4) = 80$.
4. $[-3; 1]$: наименьшее $0$, $y(-3) = 45$, $y(1) = 5$; наибольшее $45$.

б) $y = -0{,}5x^{2}$ (ветви вниз):

1. $[-2; 0]$: $y(-2) = -2$, $y(0) = 0$.
2. $[-3; 3]$: вершина внутри, наибольшее $0$; $y(\pm 3) = -4{,}5$, наименьшее $-4{,}5$.
3. $[-5; -4]$: $y(-5) = -12{,}5$, $y(-4) = -8$.
4. $[0; 6]$: $y(0) = 0$, $y(6) = -18$.

Ответ: а) 1) наименьшее $0$, наибольшее $125$; 2) наименьшее $0$, наибольшее $20$; 3) наименьшее $80$, наибольшее $125$; 4) наименьшее $0$, наибольшее $45$. б) 1) наименьшее $-2$, наибольшее $0$; 2) наименьшее $-4{,}5$, наибольшее $0$; 3) наименьшее $-12{,}5$, наибольшее $-8$; 4) наименьшее $-18$, наибольшее $0$. Всё сошлось с ответами учебника.

Подготовьте сообщение

№ 25.10

Подготовь сообщение о том, как появился термин «парабола».

Как думать. Рассказ на 1–2 минуты: откуда слово, кто придумал, что значит.

Решение. Образец сообщения. Слово «парабола» пришло из греческого языка и означает «приложение». Это название закрепил древнегреческий геометр Аполлоний Пергский (III–II века до н. э.) в трактате о конических сечениях. Он рассматривал, как кривая получается при разрезе конуса плоскостью, параллельной его образующей, и ввёл названия «парабола», «эллипс» и «гипербола». Позже парабола получила знакомую нам запись $y = ax^{2}$.

Ответ: сообщение на 5–7 предложений по образцу; сверь даты и имена по энциклопедии.

№ 25.11

Подготовь сообщение о свойстве параболы, которое применяют на практике. На рисунке 25.4 изображён параболоид. Как он получается и где используется?

Как думать. Нужно рассказать про параболоид и про особое свойство параболы: пучок лучей, идущих параллельно её оси, после отражения собирается в одной точке.

Решение. Образец. Если вращать параболу вокруг её оси, получится поверхность — параболоид вращения. Он похож на чашу. У такой чаши есть особая точка $F$ — фокус. Лучи, пришедшие параллельно оси, отражаются от поверхности и все собираются в фокусе. И наоборот: лампа в фокусе даёт параллельный пучок.

Поэтому форму параболоида имеют тарелки спутниковых антенн и радиотелескопов (сигнал собирается в одной точке — приёмнике), отражатели автомобильных фар и прожекторов, солнечные концентраторы.

Ответ: сообщение по образцу: параболоид получают вращением параболы вокруг оси; все параллельные лучи собираются в фокусе; применяют в антеннах, фарах, прожекторах и солнечных печах.

Готовимся к следующей теме

№ 25.12

Найди значение выражения: 1) $-a^{3}$ при $a = 2$; 2) $-a^{3}$ при $a = -3$; 3) $-4a^{3}$ при $a = -1$; 4) $5a^{3}$ при $a = -2$.

Как думать. Сначала возводим в куб, потом умножаем. Куб отрицательного числа — отрицательное число.

Решение.

1. $-2^{3} = -8$.
2. $(-3)^{3} = -27$, значит $-a^{3} = -(-27) = 27$.
3. $(-1)^{3} = -1$, значит $-4 \cdot (-1) = 4$.
4. $(-2)^{3} = -8$, значит $5 \cdot (-8) = -40$.

Ответ: 1) $-8$; 2) $27$; 3) $4$; 4) $-40$.

Шпаргалка

• Парабола симметрична относительно оси $Oy$, потому что $(-x)^{2} = x^{2}$.
• Параболы $y = ax^{2}$ и $y = -ax^{2}$ — зеркальные отражения друг друга относительно оси $Ox$.
• Уравнение $x^{2} = c$: при $c > 0$ два корня, при $c = 0$ один, при $c < 0$ корней нет.
• Наибольшее и наименьшее значения на отрезке: смотрим вершину и концы.

Мини-тест