§ 26. Функция y = ax³ (a ≠ 0), ее график и свойства

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 3: Функция. График функции. Страницы 155–160.

Чему научишься

• Называть свойства функции $y = ax^{3}$: область определения, множество значений, нуль, возрастание и убывание.
• Строить кубическую параболу по таблице значений.
• Понимать, как коэффициент $a$ растягивает, сжимает и отражает график.
• Проверять, лежит ли точка на кубической параболе, и находить наибольшее и наименьшее значения на отрезке.
• Решать уравнения и находить точки пересечения с помощью графиков.

Разминка

• Чему равно $(-2)^{3}$? $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$. Куб отрицательного числа отрицателен.
• Чему равно $-2^{3}$? Тоже $-8$: возводим в куб только двойку, минус остаётся.
• Может ли куб числа быть отрицательным? А нулём? Может: у отрицательного числа куб отрицательный, у нуля куб равен нулю.
• Когда произведение нескольких множителей равно нулю? Когда хотя бы один из них равен нулю. Значит, $x \cdot x \cdot x = 0$ только при $x = 0$.
• Как идёт график $y = x^{2}$ (из прошлого урока): ветви вверх или вниз? Вверх. А у куба картинка будет другой, смотри дальше.

Разбираемся

Что за функция $y = ax^{3}$

Формула говорит: возьми число $x$, возведи в куб, умножь на число $a$. Число $a$ не равно нулю. Например, $y = x^{3}$, $y = -2x^{3}$, $y = \frac{1}{4}x^{3}$.

Свойства по порядку

1) Область определения. В куб можно возвести любое число и умножить на $a$ тоже. Поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$, то есть вся числовая прямая.

2) Множество значений. У квадрата значения были только с одним знаком, а у куба знак «живой». При $x < 0$ куб отрицателен, при $x > 0$ положителен, при $x = 0$ равен нулю. Значит, при любом $a \ne 0$ получаются и большие положительные, и большие по модулю отрицательные числа:

$E(y) = (-\infty; +\infty).$

Отсюда видно, где живёт график: при $a > 0$ в I и III четвертях, при $a < 0$ во II и IV.

3) Знакопостоянство.

• При $a > 0$: положительна на $(0; +\infty)$, отрицательна на $(-\infty; 0)$.
• При $a < 0$: наоборот, положительна на $(-\infty; 0)$, отрицательна на $(0; +\infty)$.

📕 В учебнике напечатан промежуток «$(-0; +\infty)$», но правильно «$(0; +\infty)$»: ноль со знаком минус не нужен, это опечатка.

4) Нуль функции. Пусть $ax^{3} = 0$. Так как $a \ne 0$, то $x^{3} = 0$, то есть $x \cdot x \cdot x = 0$. Произведение равно нулю, только если множитель равен нулю, поэтому $x = 0$. Нуль один, график проходит через начало координат.

📌 Функция $y = ax^{3}$ ($a \ne 0$): $D = E = (-\infty; +\infty)$, один нуль $x = 0$. При $a > 0$ она возрастает на всей числовой прямой, при $a < 0$ убывает на всей числовой прямой.

Строим кубическую параболу

Считаем таблицу и ставим точки.

Соединяем точки плавной линией. Получилась кубическая парабола. Нажми на точку, чтобы увидеть её значение.

Что видно на рисунке:

• При $a > 0$ график идёт слева снизу вверх направо: функция возрастает на всей прямой.
• При $a < 0$ график идёт слева сверху вниз направо: функция убывает на всей прямой.
• Точка $(0; 0)$ делит кривую на две «половинки», и они симметричны относительно начала координат.

🌟 Парабола $y = x^{2}$ симметрична относительно оси $Oy$ (левая половинка зеркальна правой). У кубической параболы симметрия другая: если повернуть рисунок на $180°$ вокруг начала координат, он совпадёт сам с собой. Причина: $(-x)^{3} = -x^{3}$, поэтому точки $(x; y)$ и $(-x; -y)$ лежат на графике вместе.

Что делает коэффициент $a$

Сравним три функции при одних и тех же $x$.

📌 График $y = 2x^{3}$ получается из $y = x^{3}$ растяжением вдоль оси $Oy$ в 2 раза, а $y = \frac{1}{2}x^{3}$ — сжатием вдоль $Oy$ в 2 раза. График $y = -ax^{3}$ — отражение графика $y = ax^{3}$ относительно оси $Ox$.

Для краткости вместо «построить кубическую параболу, которая является графиком функции $y = x^{3}$» говорят «построить кубическую параболу $y = x^{3}$».

💡 Попробуй сам. Построй в одной системе координат графики $y = -x^{3}$, $y = -\frac{1}{2}x^{3}$ и $y = -2x^{3}$. Должны получиться три кривые во II и IV четвертях, самая крутая у $-2x^{3}$.

⚠️ Частая ошибка. Путают куб и квадрат: рисуют кубическую параболу «чашей» или считают, что $(-2)^{3} = 8$. Проверь: куб отрицательного числа всегда отрицателен, поэтому левая часть графика при $a > 0$ уходит вниз.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка угадать, где лежит точка графика $y = x^{3}$ при $x = -3$, до того как он подставит число. Если сказал «вверху», спросите про знак куба отрицательного числа.

Проверь себя на практике: поставь точку графика.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как из кубической параболы $y = x^{3}$ получить кубические параболы $y = -7x^{3}$ и $y = \frac{1}{7}x^{3}$? Для $y = -7x^{3}$: растянуть вдоль $Oy$ в 7 раз и отразить относительно оси $Ox$. Для $y = \frac{1}{7}x^{3}$: сжать вдоль $Oy$ в 7 раз.
• Как расположены относительно друг друга кубические параболы $y = 5x^{3}$ и $y = -5x^{3}$? Они симметричны относительно оси $Ox$: если у одной значение $y$, то у другой при том же $x$ значение $-y$.
• Почему начало координат является центром симметрии кубической параболы $y = ax^{3}$? Потому что $a(-x)^{3} = -ax^{3}$. Значит, если точка $(x; y)$ на графике, то и точка $(-x; -y)$ на нём. Эти две точки лежат по разные стороны от начала координат на одной прямой, на равных расстояниях от него.
• В каких четвертях расположены кубические параболы $y = 7x^{3}$ и $y = -7x^{3}$? Первая в I и III, вторая во II и IV.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 26.1

Принадлежит ли графику функции $y = x^{3}$ точка: 1) $A(2; 16)$; 2) $B(-1; -1)$; 3) $C(3; 54)$; 4) $D(-2; -8)$; 5) $M(-0{,}2; -0{,}008)$; 6) $R(-3; 27)$; 7) $P(0{,}3; 1{,}27)$; 8) $X(-5; -125)$?

Как думать. Подставляем $x$ точки в формулу: если куб равен $y$, точка лежит на графике.

Решение.

1. $2^{3} = 8 \ne 16$.
2. $(-1)^{3} = -1$. Совпало.
3. $3^{3} = 27 \ne 54$.
4. $(-2)^{3} = -8$. Совпало.
5. $(-0{,}2)^{3} = -0{,}008$. Совпало.
6. $(-3)^{3} = -27 \ne 27$ (знак не тот).
7. $0{,}3^{3} = 0{,}027 \ne 1{,}27$.
8. $(-5)^{3} = -125$. Совпало.

Ответ: принадлежат 2), 4), 5), 8); не принадлежат 1), 3), 6), 7).

№ 26.2

Построй график функции $y = 0{,}5x^{3}$. По графику найди: 1) значения $y$ при $x = -1{,}25$; $-0{,}75$; $2{,}5$; $4$; 2) значения $x$, при которых $y = -3$; $-1$; $4$; $4{,}8$.

Как думать. Сначала таблица и плавная кривая, потом читаем значения по рисунку: от $x$ вверх или вниз до графика, и от $y$ вбок до графика.

Решение. По графику читаем приближённо, а проверяем счётом.

1. $x = -1{,}25$: $y = 0{,}5 \cdot (-1{,}953) \approx -0{,}98$ (около $-1$). $x = -0{,}75$: $y = 0{,}5 \cdot (-0{,}422) \approx -0{,}21$. $x = 2{,}5$: $y = 0{,}5 \cdot 15{,}625 \approx 7{,}8$. $x = 4$: $y = 0{,}5 \cdot 64 = 32$.

2. Из $0{,}5x^{3} = y$ получаем $x^{3} = 2y$. $y = -3$: $x^{3} = -6$, $x \approx -1{,}8$. $y = -1$: $x^{3} = -2$, $x \approx -1{,}3$. $y = 4$: $x^{3} = 8$, $x = 2$. $y = 4{,}8$: $x^{3} = 9{,}6$, $x \approx 2{,}1$.

Ответ: 1) $\approx -0{,}98$; $\approx -0{,}21$; $\approx 7{,}8$; $32$. 2) $\approx -1{,}8$; $\approx -1{,}3$; $2$; $\approx 2{,}1$ (по графику допустима небольшая погрешность).

№ 26.3

Построй в одной координатной плоскости графики функций: 1) $y = x^{3}$, $y = 5x^{3}$, $y = \frac{1}{4}x^{3}$, $y = 4x^{3}$; 2) $y = -5x^{3}$, $y = -\frac{1}{4}x^{3}$, $y = -4x^{3}$, $y = -\frac{1}{2}x^{3}$.

Как думать. Берём общую таблицу и считаем для каждой функции. Чем больше $|a|$, тем круче график, чем $|a|$ меньше, тем он «положе».

Решение. 1) Все $a > 0$, графики в I и III четвертях.

2. Все $a < 0$, графики во II и IV четвертях: каждый график — отражение соответствующего из пункта 1 относительно оси $Ox$ (для $-\frac{1}{2}x^{3}$ значения $\mp\frac{1}{2}$ при $x = \pm 1$ и $\mp\frac{1}{16}$ при $x = \pm\frac{1}{2}$).

Ответ: два чертежа: 1) четыре возрастающие кубические параболы в I и III четвертях, самая крутая у $5x^{3}$; 2) четыре убывающие во II и IV четвертях, самая крутая у $-5x^{3}$.

Уровень B

№ 26.4

С помощью графика функции $y = x^{3}$ сравни числа: 1) $(-3)^{3}$ и $(-2)^{3}$; 2) $(-1{,}2)^{3}$ и $0{,}2^{3}$; 3) $4{,}4^{3}$ и $5{,}02^{3}$; 4) $0$ и $(-2)^{3}$.

Как думать. Функция $y = x^{3}$ возрастает: чем правее точка на оси $Ox$, тем выше точка графика. Значит, из двух чисел куб больше у того, у которого больше само число.

Решение.

1. $-3 < -2$, поэтому $(-3)^{3} < (-2)^{3}$ (то есть $-27 < -8$).
2. $-1{,}2 < 0{,}2$, поэтому $(-1{,}2)^{3} < 0{,}2^{3}$ (отрицательное меньше положительного).
3. $4{,}4 < 5{,}02$, поэтому $4{,}4^{3} < 5{,}02^{3}$.
4. $(-2)^{3} = -8$, а $0 > -8$. Можно и так: $0 > -2$, значит $0^{3} > (-2)^{3}$.

Ответ: 1)

№ 26.5

Имеет ли корни уравнение: 1) $x^{3} = 2x + 1$; 2) $2x^{3} = -3x$; 3) $0{,}4x + 2 = x^{3}$; 4) $-1{,}2x - 1 = x^{3}$?

Как думать. Рисуем кубическую параболу $y = x^{3}$ и прямую (правую часть). Корень уравнения есть, если они пересекаются. У кубической параболы концы уходят в бесконечность в разные стороны, поэтому любая прямая с ней пересекается хотя бы раз.

Решение.

1. $x = -1$: $(-1)^{3} = -1$ и $2 \cdot (-1) + 1 = -1$. Корень есть (на самом деле их три: $x^{3} - 2x - 1 = (x + 1)(x^{2} - x - 1)$, ещё $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$).
2. $2x^{3} + 3x = 0$, $x(2x^{2} + 3) = 0$. Корень $x = 0$ (второй множитель положителен).
3. Прямая $y = 0{,}4x + 2$ и $y = x^{3}$: при $x = 1$ куб $1 < 2{,}4$, при $x = 2$ куб $8 > 2{,}8$. Значит, пересечение есть между 1 и 2, корень $x \approx 1{,}4$.
4. Прямая $y = -1{,}2x - 1$ и $y = x^{3}$: при $x = -1$ куб $-1 < 0{,}2$, при $x = 0$ куб $0 > -1$. Пересечение между $-1$ и $0$, корень $x \approx -0{,}6$.

Ответ: во всех четырёх случаях корни есть.

💡 В ответах учебника записаны только пункты 1), 2) и 4); третий пропущен, хотя корень в нём тоже есть ($x \approx 1{,}4$).

№ 26.6

Реши уравнение: 1) $x^{3} = -8$; 2) $x^{3} = 125$; 3) $2x^{3} = -54$; 4) $-0{,}5x^{3} = -4$.

Как думать. Сначала делим на коэффициент, остаётся $x^{3} = $ число. Потом ищем число, у которого такой куб.

Решение.

1. $x^{3} = -8$, $(-2)^{3} = -8$, $x = -2$.
2. $x^{3} = 125$, $5^{3} = 125$, $x = 5$.
3. $x^{3} = -54 : 2 = -27$, $x = -3$.
4. $x^{3} = -4 : (-0{,}5) = 8$, $x = 2$.

Ответ: 1) $-2$; 2) $5$; 3) $-3$; 4) $2$.

№ 26.7

С помощью GeoGebra определи, пересекаются ли графики функций $y = -0{,}4x^{3}$ и $y = -0{,}3x + 5$.

Как думать. В строку ввода вводим обе формулы, смотрим на картинку. Но мы можем и сами убедиться по знакам: куб при отрицательных $x$ даёт у первой функции большие положительные значения.

Решение. Кубическая парабола $y = -0{,}4x^{3}$ убывает: слева она уходит вверх, справа вниз. Прямая $y = -0{,}3x + 5$ — пологая линия. Сравним значения при $x = 0$: у параболы $0$, у прямой $5$ (прямая выше). При $x = -3$: у параболы $-0{,}4 \cdot (-27) = 10{,}8$, у прямой $0{,}9 + 5 = 5{,}9$ (парабола выше). Раз порядок «кто выше» поменялся, где-то между $-3$ и $0$ они пересеклись (около $x \approx -2{,}4$).

Ответ: да, пересекаются.

№ 26.8

С помощью GeoGebra реши уравнение графическим способом (ответ округли до десятых): 1) $-0{,}3x^{3} = -4$; 2) $-0{,}3x^{3} = 5$; 3) $-0{,}3x^{3} = 1{,}4$.

Как думать. Строим $y = -0{,}3x^{3}$ и горизонтальную прямую $y = $ число, абсцисса точки пересечения даёт $x$. Проверим счётом: делим число справа на $-0{,}3$ и получаем, чему равен $x^{3}$.

Решение.

1. $x^{3} = \frac{-4}{-0{,}3} \approx 13{,}3$. Так как $2{,}4^{3} \approx 13{,}8$, а $2{,}3^{3} \approx 12{,}2$, то $x \approx 2{,}4$.
2. $x^{3} = \frac{5}{-0{,}3} \approx -16{,}7$. Так как $2{,}6^{3} \approx 17{,}6$, а $2{,}5^{3} \approx 15{,}6$, то $x \approx -2{,}6$.
3. $x^{3} = \frac{1{,}4}{-0{,}3} \approx -4{,}7$. Так как $1{,}7^{3} \approx 4{,}9$, а $1{,}6^{3} \approx 4{,}1$, то $x \approx -1{,}7$.

Ответ: 1) $x \approx 2{,}4$; 2) $x \approx -2{,}6$; 3) $x \approx -1{,}7$.

Уровень C

Здесь задачи потруднее. Не страшно, если не получится сразу: пробуй, сравнивай с разбором, и всё встанет на место.

№ 26.9

Сколько точек пересечения имеют графики функций $y = ax^{2}$ и $y = bx^{3}$, если: 1) $a = 3$, $b = 2$; 2) $a = -3$, $b = 0{,}2$; 3) $a = 0{,}2$, $b = -0{,}2$; 4) $a = -4$, $b = -2$?

Как думать. Точки пересечения находим из равенства $ax^{2} = bx^{3}$: сколько корней, столько и точек.

Решение. Общая схема из виджета: корни $x = 0$ и $x = \frac{a}{b}$, причём $\frac{a}{b} \ne 0$. Найдём вторую точку в каждом случае.

1. $x = \frac{3}{2} = 1{,}5$, $y = 3 \cdot 2{,}25 = 6{,}75$.
2. $x = \frac{-3}{0{,}2} = -15$, $y = -3 \cdot 225 = -675$.
3. $x = \frac{0{,}2}{-0{,}2} = -1$, $y = 0{,}2 \cdot 1 = 0{,}2$.
4. $x = \frac{-4}{-2} = 2$, $y = -4 \cdot 4 = -16$.

Ответ: во всех четырёх случаях по две точки пересечения: 1) $(0; 0)$ и $(1{,}5; 6{,}75)$; 2) $(0; 0)$ и $(-15; -675)$; 3) $(0; 0)$ и $(-1; 0{,}2)$; 4) $(0; 0)$ и $(2; -16)$.

№ 26.10

Найди наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2x^{3}$ на промежутке: 1) $[-2; 5]$; 2) $[-1; -0{,}5]$; 3) $[-3; 3{,}5]$.

Как думать. Функция $y = 2x^{3}$ возрастает на всей прямой, поэтому наименьшее значение в левом конце отрезка, наибольшее в правом.

Решение.

1. $y(-2) = 2 \cdot (-8) = -16$; $y(5) = 2 \cdot 125 = 250$.
2. $y(-1) = -2$; $y(-0{,}5) = 2 \cdot (-0{,}125) = -0{,}25$.
3. $y(-3) = 2 \cdot (-27) = -54$; $y(3{,}5) = 2 \cdot 42{,}875 = 85{,}75$.

Ответ: 1) наименьшее $-16$, наибольшее $250$; 2) наименьшее $-2$, наибольшее $-0{,}25$; 3) наименьшее $-54$, наибольшее $85{,}75$.

Готовимся к следующей теме

№ 26.11

Какие из функций $y = -3x$; $y = 2x - 1$; $y = 3 - \frac{x}{3}$; $y = 0{,}5x + 1$ являются: 1) возрастающими; 2) убывающими?

Как думать. У линейной функции $y = kx + b$ всё решает знак $k$: при $k > 0$ функция возрастает, при $k < 0$ убывает.

Решение.

• $y = -3x$: $k = -3 < 0$, убывает.
• $y = 2x - 1$: $k = 2 > 0$, возрастает.
• $y = 3 - \frac{x}{3}$: $k = -\frac{1}{3} < 0$, убывает.
• $y = 0{,}5x + 1$: $k = 0{,}5 > 0$, возрастает.

Ответ: 1) возрастающие: $y = 2x - 1$ и $y = 0{,}5x + 1$; 2) убывающие: $y = -3x$ и $y = 3 - \frac{x}{3}$.

№ 26.12

В каких четвертях расположены графики функций: 1) $y = -0{,}2x^{2}$; 2) $y = 5x^{2}$; 3) $y = -2x^{3}$?

Как думать. Смотрим на степень и знак коэффициента. Квадрат неотрицателен, поэтому парабола «сидит» по одну сторону от оси $Ox$. Куб имеет знак $x$, поэтому кубическая парабола занимает две противоположные четверти.

Решение.

1. $a = -0{,}2 < 0$, значения $y \le 0$: III и IV четверти.
2. $a = 5 > 0$, значения $y \ge 0$: I и II четверти.
3. $a = -2 < 0$: при $x > 0$ значение отрицательно (IV), при $x < 0$ положительно (II).

Ответ: 1) III и IV; 2) I и II; 3) II и IV.

Шпаргалка

• График $y = 2x^{3}$ — растяжение $y = x^{3}$ вдоль $Oy$ в 2 раза, $y = \frac{1}{2}x^{3}$ — сжатие в 2 раза.
• Графики $y = ax^{3}$ и $y = -ax^{3}$ симметричны относительно оси $Ox$.
• Уравнение $x^{3} = c$ при любом $c$ имеет ровно один корень: у параболы $y = x^{3}$ и горизонтальной прямой одна общая точка.
• Наибольшее и наименьшее на отрезке: функция монотонна, смотрим только концы.

Мини-тест