§ 27. Функция y = k/x (k ≠ 0), ее график и свойства

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 3: Функция. График функции. Страницы 160–166.

Чему научишься

• Называть свойства функции $y = \frac{k}{x}$: область определения, множество значений, знак, нули.
• Строить гиперболу по таблице и видеть, что у неё две ветви.
• Понимать, как $k$ меняет гиперболу, и в каких четвертях она лежит.
• Решать уравнения и находить пересечения графиков.
• Находить $k$ по точке графика и наибольшее и наименьшее значения на отрезке.

Разминка

• Можно ли делить на ноль? Нет. Выражение $\frac{5}{0}$ не имеет смысла.
• Чему равно $\frac{1}{x}$ при $x = 4$? При $x = -4$? $\frac{1}{4}$ и $-\frac{1}{4}$.
• Что станет с дробью $\frac{1}{x}$, если $x$ очень близко к нулю, например $x = 0{,}01$? Получится $100$: чем меньше знаменатель, тем больше дробь.
• Какой знак у частного двух чисел с разными знаками? Минус. А с одинаковыми знаками — плюс.
• Как называется функция $y = kx$? Прямая пропорциональность. Сегодня её «противоположность».

Разбираемся

Что за функция $y = \frac{k}{x}$

Число $k$ не равно нулю. Формула говорит: возьми число $k$ и раздели на $x$. Это обратная пропорциональность: когда $x$ растёт, $|y|$ уменьшается.

Пример из жизни: поездка в $120$ км. Скорость $x$ км/ч, время $y = \frac{120}{x}$ часов. Скорость 60: время 2 часа. Скорость 120: время 1 час.

Свойства по порядку

1) Область определения. Делить на ноль нельзя, всё остальное можно:

$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty).$

2) Множество значений. Дробь $\frac{k}{x}$ никогда не равна нулю (числитель $k \ne 0$). А любое другое значение получить можно: чтобы получить $y = c$, возьми $x = \frac{k}{c}$. Поэтому

$E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty).$

Отсюда видно, где живёт график: при $k > 0$ в I и III четвертях, при $k < 0$ во II и IV.

3) Знакопостоянство.

• При $k > 0$: положительна на $(0; +\infty)$, отрицательна на $(-\infty; 0)$.
• При $k < 0$: положительна на $(-\infty; 0)$, отрицательна на $(0; +\infty)$.

4) Нули. Нулей нет: дробь с числителем $k \ne 0$ не равна нулю. Значит, график не пересекает ось $Ox$. А ось $Oy$ график тоже не пересекает: при $x = 0$ функция не определена.

📌 Функция $y = \frac{k}{x}$ ($k \ne 0$): $D = E = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, нулей нет. При $k > 0$ график в I и III четвертях, при $k < 0$ во II и IV.

Строим гиперболу

Составим таблицу для $y = \frac{1}{x}$ и $y = -\frac{1}{x}$. При $x = 0$ значения нет, поэтому в таблице стоит прочерк.

График получается из двух отдельных кусков, соединить их через $x = 0$ нельзя. Каждый кусок строим плавной линией. Вместе они называются гиперболой.

Что видно на рисунке:

• Ветви стремятся к осям: вблизи $x = 0$ график уходит вверх или вниз, при большом $|x|$ прижимается к оси $Ox$.
• При $k > 0$ каждая ветвь убывает; при $k < 0$ каждая ветвь возрастает.

📕 В учебнике сказано, что при $k > 0$ функция убывает (при $k < 0$ возрастает) «на промежутках $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$», но правильнее «на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ по отдельности»: на объединении это не верно. Например, $-1 < 1$, но $\frac{1}{-1} = -1 < \frac{1}{1} = 1$, то есть при росте $x$ значение выросло.

🌟 Слово «гипербола» тоже придумали древние греки, как и «парабола»: оно означает «избыток», «превышение».

Что делает $k$

Сравним при одних $x$: $y = \frac{2}{x}$, $y = \frac{1}{x}$, $y = \frac{1}{2x}$.

У $\frac{2}{x}$ значения вдвое больше по модулю, чем у $\frac{1}{x}$, а у $\frac{1}{2x}$ вдвое меньше. Чем больше $|k|$, тем дальше ветви от осей.

📌 График $y = \frac{2}{x}$ получается из $y = \frac{1}{x}$ растяжением вдоль $Oy$ в 2 раза, а $y = \frac{1}{2x}$ — сжатием в 2 раза. График $y = -\frac{k}{x}$ — отражение $y = \frac{k}{x}$ относительно оси $Ox$. Начало координат — центр симметрии гиперболы.

⚠️ Частая ошибка. Ветви гиперболы нельзя соединять линией через ось $Oy$: при $x = 0$ функции нет. Рисуй две отдельные линии и не пересекай оси.

💡 Попробуй сам. Построй в одной системе координат гиперболы $y = -\frac{1}{x}$, $y = -\frac{1}{2x}$ и $y = -\frac{2}{x}$. Все три лежат во II и IV четвертях, а самая «далёкая» у $-\frac{2}{x}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Спросите ребёнка: «Если скорость увеличить вдвое, что будет со временем в пути?» Это и есть $y = \frac{k}{x}$, а график — гипербола.

Теперь поставь точку на гиперболе.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как из гиперболы $y = \frac{1}{x}$ получить гиперболы $y = -7 \cdot \frac{1}{x}$ и $y = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x}$? Для $y = -\frac{7}{x}$: растянуть вдоль $Oy$ в 7 раз и отразить относительно оси $Ox$. Для $y = \frac{1}{7x}$: сжать вдоль $Oy$ в 7 раз.
• Как расположены относительно друг друга гиперболы $y = \frac{k}{x}$ и $y = -\frac{k}{x}$? Они симметричны относительно оси $Ox$ (и относительно оси $Oy$ тоже: у одной ветви в I и III четвертях, у другой во II и IV).
• Почему начало координат — центр симметрии гиперболы $y = \frac{k}{x}$? Потому что $\frac{k}{-x} = -\frac{k}{x}$. Если точка $(x; y)$ на графике, то и точка $(-x; -y)$ на нём. Эти две точки лежат на одной прямой с началом координат по разные стороны от него на равных расстояниях.
• В каких четвертях расположены гиперболы $y = \frac{11}{x}$ и $y = -\frac{11}{x}$? Первая в I и III, вторая во II и IV.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 27.1

Принадлежит ли графику функции $y = \frac{1}{x}$ точка: 1) $A(2; 0{,}5)$; 2) $B(-3; 4{,}3)$; 3) $C(-10; -0{,}1)$; 4) $M(-0{,}2; -5)$?

Как думать. Подставляем $x$ точки в $\frac{1}{x}$: если получилось $y$, то точка на графике.

Решение.

1. $\frac{1}{2} = 0{,}5$. Совпало.
2. $\frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \ne 4{,}3$.
3. $\frac{1}{-10} = -0{,}1$. Совпало.
4. $\frac{1}{-0{,}2} = -5$. Совпало.

Ответ: принадлежат 1), 3), 4); 2) не принадлежит.

№ 27.2

Построй график функции $y = \frac{3}{x}$. По графику найди: 1) значение функции при $x = -3$; $-0{,}6$; $5$; $30$; 2) значение $x$, при котором $y = -2$; $-1{,}5$; $0{,}5$; $2{,}5$; $4$; 3) значения $f(0{,}5) + f(3)$; $f(1) - f(-1{,}5)$; $f(2) - 2f(3)$; $f(-0{,}3) + 3f(1{,}5)$, если $y = f(x)$.

Как думать. Строим по таблице две ветви, читаем значения по графику и проверяем делением: $y = \frac{3}{x}$ и $x = \frac{3}{y}$.

Решение.

1. $f(-3) = -1$; $f(-0{,}6) = -5$; $f(5) = 0{,}6$; $f(30) = 0{,}1$.
2. $x = \frac{3}{y}$: $y = -2$ даёт $x = -1{,}5$; $y = -1{,}5$ даёт $x = -2$; $y = 0{,}5$ даёт $x = 6$; $y = 2{,}5$ даёт $x = 1{,}2$; $y = 4$ даёт $x = 0{,}75$.
3. $f(0{,}5) + f(3) = 6 + 1 = 7$. $f(1) - f(-1{,}5) = 3 - (-2) = 5$. $f(2) - 2f(3) = 1{,}5 - 2 \cdot 1 = -0{,}5$. $f(-0{,}3) + 3f(1{,}5) = -10 + 3 \cdot 2 = -4$.

Ответ: 1) $-1$; $-5$; $0{,}6$; $0{,}1$. 2) $-1{,}5$; $-2$; $6$; $1{,}2$; $0{,}75$. 3) $7$; $5$; $-0{,}5$; $-4$.

№ 27.3

Построй в одной координатной плоскости графики функций $y = \frac{2}{x}$; $y = \frac{4}{x}$; $y = -\frac{2}{x}$; $y = -\frac{4}{x}$; $y = \frac{0{,}5}{x}$.

Как думать. Для каждой функции берём таблицу из значений $x$, для которых дробь считается легко. Графики с $k > 0$ в I и III четвертях, с $k < 0$ во II и IV.

Решение.

Ответ: пять гипербол: $\frac{2}{x}$, $\frac{4}{x}$, $\frac{0{,}5}{x}$ в I и III четвертях ($\frac{4}{x}$ дальше всех от осей, $\frac{0{,}5}{x}$ ближе всех); $-\frac{2}{x}$ и $-\frac{4}{x}$ во II и IV четвертях.

№ 27.4

Функция задана формулой $y = -\frac{5}{x}$. Заполни таблицу для $x = -5$; $-2$; $-1$; $1$; $2$; $5$.

Как думать. Подставляем каждое $x$ в $-\frac{5}{x}$. Знак меняется: при отрицательном $x$ получается плюс, при положительном минус.

Решение.

Ответ: $y = 1$; $2{,}5$; $5$; $-5$; $-2{,}5$; $-1$.

Уровень B

№ 27.5

Имеет ли корни уравнение: 1) $-\frac{5}{x} = 3x + 2$; 2) $-\frac{2{,}5}{x} = 5$; 3) $\frac{4}{x} = -x$; 4) $\frac{6}{x} = 4x - 3$?

Как думать. Приравниваем функции и умножаем на $x$ (при $x \ne 0$). Получаем квадратное или линейное уравнение; смотрим, есть ли корни. Графически это пересечение гиперболы и прямой.

Решение.

1. $-5 = 3x^{2} + 2x$, то есть $3x^{2} + 2x + 5 = 0$. Дискриминант $4 - 60 = -56 < 0$. Корней нет. На графике: гипербола во II и IV четвертях, а прямая $y = 3x + 2$ «пролетает» мимо.
2. $-2{,}5 = 5x$, $x = -0{,}5$. Корень есть.
3. $4 = -x^{2}$, $x^{2} = -4$. Квадрат не бывает отрицательным: корней нет (гипербола в I и III четвертях, прямая $y = -x$ во II и IV).
4. $6 = 4x^{2} - 3x$, $4x^{2} - 3x - 6 = 0$. Дискриминант $9 + 96 = 105 > 0$. Два корня.

Ответ: 1) нет; 2) да ($x = -0{,}5$); 3) нет; 4) да (два корня).

№ 27.6

Реши графическим способом уравнение: 1) $4 = -\frac{2}{|x|}$; 2) $3 = \frac{4}{x}$; 3) $x = -\frac{2}{|x|}$; 4) $2x = -\frac{5}{x}$; 5) $x^{2} = \frac{1}{x}$; 6) $x^{3} = -x^{2}$; 7) $x^{2} = x + 2$; 8) $0{,}25x^{2} = \frac{2}{|x|}$.

Как думать. В каждом уравнении рисуем график левой части и график правой и смотрим, где они пересекаются. Абсциссы общих точек — корни. Для проверки решаем и счётом.

Решение.

1. Правая часть $-\frac{2}{|x|}$ всегда отрицательна (ниже оси $Ox$), левая равна $4$ (выше). Графики не пересекаются. Корней нет.
2. Прямая $y = 3$ и гипербола $\frac{4}{x}$ пересекаются в одной точке: $x = \frac{4}{3}$.
3. Правая часть отрицательна, значит $x < 0$ и $|x| = -x$: $x = \frac{-2}{-x} = \frac{2}{x}$, откуда $x^{2} = 2$. Подходит $x = -\sqrt{2} \approx -1{,}4$.
4. Левая и правая части разных знаков при $x \ne 0$: $2x^{2} = -5$ невозможно. Корней нет (прямая в I и III, гипербола во II и IV).
5. При $x \ne 0$: $x^{3} = 1$, $x = 1$ (парабола и гипербола пересекаются в точке $(1; 1)$).
6. $x^{3} + x^{2} = 0$, $x^{2}(x + 1) = 0$: $x = 0$ и $x = -1$.
7. $x^{2} - x - 2 = 0$, корни $x = -1$ и $x = 2$ (парабола и прямая $y = x + 2$ пересекаются в точках $(-1; 1)$ и $(2; 4)$).
8. Смотри виджет: $x = -2$ и $x = 2$.

Ответ: 1) корней нет; 2) $\frac{4}{3}$; 3) $-\sqrt{2}$; 4) корней нет; 5) $1$; 6) $-1$ и $0$; 7) $-1$ и $2$; 8) $-2$ и $2$.

№ 27.7

Пересекается ли график функции $f(x) = -\frac{5}{x}$ с графиком функции: 1) $y = -x + 3$; 2) $y = 2x$; 3) $y = x + 1$; 4) $y = -3x - 3{,}5$; 5) $y = -x^{2}$; 6) $y = -0{,}5x^{3}$; 7) $y = \frac{1}{3}x^{2}$; 8) $y = |x|$?

Как думать. Приравниваем $-\frac{5}{x}$ к правой части, умножаем на $x$ и проверяем, есть ли корни. Есть корень, значит графики пересекаются.

Решение.

1. $-5 = -x^{2} + 3x$, $x^{2} - 3x - 5 = 0$, $D = 9 + 20 = 29 > 0$. Пересекаются (в двух точках).
2. $-5 = 2x^{2}$, невозможно. Не пересекаются (прямая в I и III, гипербола во II и IV).
3. $-5 = x^{2} + x$, $x^{2} + x + 5 = 0$, $D = 1 - 20 < 0$. Не пересекаются.
4. $-5 = -3x^{2} - 3{,}5x$, $3x^{2} + 3{,}5x - 5 = 0$, $D = 12{,}25 + 60 > 0$. Пересекаются (в двух точках).
5. $-5 = -x^{3}$, $x^{3} = 5$, $x = \sqrt[3]{5}$. Пересекаются в одной точке.
6. $-5 = -0{,}5x^{4}$, $x^{4} = 10$, $x = \pm \sqrt[4]{10}$. Пересекаются в двух точках.
7. $-5 = \frac{1}{3}x^{3}$, $x^{3} = -15$, $x = -\sqrt[3]{15}$. Пересекаются в одной точке.
8. При $x < 0$: $-\frac{5}{x} = -x$, $x^{2} = 5$, $x = -\sqrt{5}$ подходит. Пересекаются в одной точке.

Ответ: 1) да; 2) нет; 3) нет; 4) да; 5) да; 6) да; 7) да; 8) да.

Уровень C

Здесь задачи потруднее. Не страшно, если не получится сразу: пробуй, сравнивай с разбором, и всё встанет на место.

№ 27.8

Могут ли графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = ax + b$ пересечься: 1) только в одной точке; 2) только в двух точках; 3) в трёх точках?

Как думать. Приравниваем: $\frac{4}{x} = ax + b$, умножаем на $x$ и получаем $ax^{2} + bx - 4 = 0$. Число корней этого уравнения равно числу точек пересечения.

Решение.

1. Да. Если $a = 0$, то $bx = 4$ даёт ровно один корень (например $y = 2$: точка $(2; 2)$). Или прямая-касательная: $y = -x + 4$ даёт $x^{2} - 4x + 4 = 0$, один корень $x = 2$.
2. Да. Например, $y = x$: $\frac{4}{x} = x$, $x^{2} = 4$, точки $(2; 2)$ и $(-2; -2)$.
3. Нет. Это квадратное уравнение (при $a \ne 0$), у него не больше двух корней, а при $a = 0$ только один.

Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет.

№ 27.9

Построй график функции: 1) $y = \frac{2}{|x|}$; 2) $y = -\frac{2}{|x|}$; 3) $y = -\frac{1}{|-x|}$; 4) $y = \frac{-0{,}2}{|x|}$.

Как думать. Модуль $|x|$ всегда неотрицателен, поэтому знак значения определяет только числитель. При $k > 0$ обе ветви выше оси $Ox$, при $k < 0$ обе ниже. А ещё $|-x| = |x|$.

Решение. 1) При $x > 0$: $\frac{2}{|x|} = \frac{2}{x}$. При $x < 0$: $\frac{2}{|x|} = -\frac{2}{x}$. Правую ветвь гиперболы оставляем, левую отражаем вверх: получаются две ветви в I и II четвертях, симметричные относительно оси $Oy$.

2. Зеркально вниз: две ветви в III и IV четвертях.

3. Так как $|-x| = |x|$, это $y = -\frac{1}{|x|}$: две ветви в III и IV четвертях, ближе к осям, чем в пункте 2.

4. $y = -\frac{0{,}2}{|x|}$: две ветви в III и IV четвертях, очень близко к осям.

Ответ: четыре графика: 1) две ветви в I и II четвертях; 2), 3), 4) по две ветви в III и IV четвертях.

№ 27.10

Найди наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{2}{|x|}$ на промежутке: 1) $[2{,}4; 5]$; 2) $[-2{,}4; -1]$; 3) $[-3{,}5; -0{,}5]$; 4) $[4; 12]$.

Как думать. На $x > 0$ функция $\frac{2}{|x|} = \frac{2}{x}$ убывает: большее $x$ дает меньшее значение. На $x < 0$ она возрастает: чем ближе $x$ к нулю, тем больше значение. Значит, значения достигаются на концах отрезка.

Решение.

1. $[2{,}4; 5]$: убывает. Наибольшее $f(2{,}4) = \frac{2}{2{,}4} = \frac{5}{6}$, наименьшее $f(5) = 0{,}4$.
2. $[-2{,}4; -1]$: возрастает. Наибольшее $f(-1) = 2$, наименьшее $f(-2{,}4) = \frac{5}{6}$.
3. $[-3{,}5; -0{,}5]$: возрастает. Наибольшее $f(-0{,}5) = 4$, наименьшее $f(-3{,}5) = \frac{2}{3{,}5} = \frac{4}{7}$.
4. $[4; 12]$: убывает. Наибольшее $f(4) = 0{,}5$, наименьшее $f(12) = \frac{1}{6}$.

Ответ: 1) наибольшее $\frac{5}{6}$, наименьшее $0{,}4$; 2) наибольшее $2$, наименьшее $\frac{5}{6}$; 3) наибольшее $4$, наименьшее $\frac{4}{7}$; 4) наибольшее $0{,}5$, наименьшее $\frac{1}{6}$.

№ 27.11

График функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $M(-4; 2)$. Проходит ли график через точку: 1) $A(-1; 8)$; 2) $B(3; -9)$; 3) $C(0{,}5; -16)$; 4) $K(-3; 2\frac{2}{3})$?

Как думать. Сначала находим $k$ из точки $M$, потом проверяем остальные точки: $xy$ должно быть равно $k$.

Решение. $2 = \frac{k}{-4}$, значит $k = 2 \cdot (-4) = -8$. Формула $y = -\frac{8}{x}$, то есть $xy = -8$.

1. $-1 \cdot 8 = -8$. Проходит.
2. $3 \cdot (-9) = -27 \ne -8$. Не проходит.
3. $0{,}5 \cdot (-16) = -8$. Проходит.
4. $-3 \cdot 2\frac{2}{3} = -3 \cdot \frac{8}{3} = -8$. Проходит.

Ответ: 1) да; 2) нет; 3) да; 4) да.

Готовимся к следующей теме

№ 27.12

Стоимость игрушек в отделе «Детский мир» (28 цен в тенге): 480; 780; 250; 420; 420; 180; 250; 480; 480; 680; 250; 380; 540; 125; 430; 450; 380; 680; 990; 420; 690; 450; 360; 1200; 850; 800; 1150; 250. Найди число игрушек, стоимость которых: 1) от 300 до 700 тг; 2) превышает 600 тг; 3) не превышает 600 тг.

Как думать. Просто считаем подходящие числа в списке. Чтобы не сбиться, отмечай каждое число галочкой. Слова «от 300 до 700» включают и 300, и 700, «превышает» значит «больше», «не превышает» значит «меньше или равно».

Решение. Всего 28 цен.

1. От 300 до 700: $480, 420, 420, 480, 480, 680, 380, 540, 430, 450, 380, 680, 420, 690, 450, 360$ — 16 цен.
2. Больше 600: $780, 680, 680, 690, 990, 1200, 850, 800, 1150$ — 9 цен.
3. Не больше 600: остальные, $28 - 9 = 19$ цен. Проверка: $9 + 19 = 28$.

Ответ: 1) 16; 2) 9; 3) 19.

№ 27.13

Заданную последовательность температуры воздуха ($-12$°C; $-10$°C; $-9$°C; $-12$°C; $-11$°C; $-10$°C; $-9$°C; $-8$°C; $-9$°C; $-12$°C; $-11$°C; $-10$°C; $-10$°C; $-9$°C; $-8$°C) запиши: 1) в порядке убывания; 2) в порядке возрастания.

Как думать. Из двух отрицательных чисел больше то, что ближе к нулю: $-8 > -9 > -10 > \ldots$ Убывание значит от самого большого к самому маленькому. Всего 15 чисел, не потеряй ни одного.

Решение. Посчитаем: $-8$ встречается 2 раза, $-9$ 4 раза, $-10$ 4 раза, $-11$ 2 раза, $-12$ 3 раза. Итого $2 + 4 + 4 + 2 + 3 = 15$.

1. По убыванию: $-8; -8; -9; -9; -9; -9; -10; -10; -10; -10; -11; -11; -12; -12; -12$.
2. По возрастанию: $-12; -12; -12; -11; -11; -10; -10; -10; -10; -9; -9; -9; -9; -8; -8$.

Ответ: 1) $-8; -8; -9; -9; -9; -9; -10; -10; -10; -10; -11; -11; -12; -12; -12$; 2) в обратном порядке (от $-12$ до $-8$).

Шпаргалка

• График $y = \frac{2}{x}$ — растяжение $y = \frac{1}{x}$ вдоль $Oy$ в 2 раза, $y = \frac{1}{2x}$ — сжатие в 2 раза.
• Ветви гиперболы не соединяются: при $x = 0$ функции нет.
• Чтобы узнать, пересекаются ли гипербола и график другой функции, приравнивай формулы, умножай на $x$ и решай уравнение.
• Функция $y = \frac{k}{|x|}$: две ветви по одну сторону от оси $Ox$, зеркальные относительно оси $Oy$.

Мини-тест