Проверь себя! Раздел III

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 3: Функция. График функции. Страницы 166–168.

Здесь собрано всё про функции и их графики: $y=kx+b$, $y=x^2$, $y=x^3$, $y=\frac{k}{x}$. К каждому вопросу четыре варианта A–D. Сначала реши сам, потом смотри ход решения и верную букву.

💡 Главный приём в этом тесте: чтобы проверить, лежит ли точка на графике, подставь её координаты в формулу. Сошлось равенство — точка на графике.

Решаем упражнения

№ 1

Какая точка не лежит на графике $y=2x^2$? Варианты: A. $(0;0)$; B. $(1;2)$; C. $(-1;2)$; D. $(-1;-2)$.

Как думать. Подставляем каждую точку. Квадрат всегда неотрицателен, поэтому $y$ не может быть отрицательным.

Решение. A: $2\cdot 0^2=0$, верно. B: $2\cdot 1^2=2$, верно. C: $2\cdot(-1)^2=2$, верно. D: $2\cdot(-1)^2=2$, а не $-2$, значит, не лежит.

Ответ: D.

№ 2

Найти значение $y=-3x^3$ при $x=-2$. Варианты: A. $-24$; B. $18$; C. $24$; D. $-18$.

Как думать. Сначала куб отрицательного числа (он отрицательный), потом умножение на $-3$.

Решение. $(-2)^3=-8$. Тогда $-3\cdot(-8)=24$.

Ответ: C ($24$).

№ 3

При $x=-3$ значение функции $y=ax^2$ равно $-9$. Найти $a$. Варианты: A. $1$; B. $-1$; C. $\frac{1}{3}$; D. $-\frac{1}{3}$.

Как думать. Подставляем $x$ и $y$ в формулу и получаем уравнение с одной неизвестной.

Решение. $a\cdot(-3)^2=-9$, то есть $9a=-9$, откуда $a=-1$.

Ответ: B ($-1$).

№ 4

Какая точка лежит на графике $y=-\frac{5}{x}$? Варианты: A. $(1;5)$; B. $(-2;10)$; C. $\left(\frac{1}{5};-25\right)$; D. $(2;2{,}5)$.

Как думать. У обратной пропорциональности $xy=-5$. Произведение координат точки должно равняться $-5$.

Решение. A: $1\cdot5=5$. B: $-2\cdot10=-20$. C: $\frac{1}{5}\cdot(-25)=-5$, подходит. D: $2\cdot2{,}5=5$.

Ответ: C.

№ 5

Указать, при каких $x$ функция $y=-\frac{14}{x}$ возрастает. Варианты: A. $(0;+\infty)$; B. $(-\infty;0)$; C. $R$; D. $(-\infty;0)$ и $(0;+\infty)$.

Как думать. У $y=\frac{k}{x}$ при $k<0$ график лежит во II и IV четвертях, и в каждой ветви он идёт вверх слева направо.

Решение. Здесь $k=-14<0$, значит, функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty;0)$ и $(0;+\infty)$. В нуле функции нет, поэтому $R$ целиком не подходит.

Ответ: D.

⚠️ Частая ошибка. Не говори «функция возрастает на всей области определения». Две ветви гиперболы разделены разрывом в нуле, поэтому промежутки перечисляют отдельно.

№ 6

График обратной пропорциональности проходит через $A(-2;-4{,}5)$. Какая формула? Варианты: A. $y=-\frac{9}{x}$; B. $y=\frac{9}{x}$; C. $y=-\frac{14}{x}$; D. $y=-\frac{2}{9x}$.

Как думать. Из $y=\frac{k}{x}$ получаем $k=xy$.

Решение. $k=(-2)\cdot(-4{,}5)=9$. Формула $y=\frac{9}{x}$. Проверка: $\frac{9}{-2}=-4{,}5$.

Ответ: B.

№ 7

При каких $x$ функция $y=\frac{20}{x}$ положительна? Варианты: A. $(0;+\infty)$; B. $(-\infty;0)$; C. $R$; D. $(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

Как думать. Дробь с положительным числителем положительна, если знаменатель положителен.

Решение. $\frac{20}{x}>0$ при $x>0$. При $x<0$ значение отрицательно.

Ответ: A.

№ 8

Сколько точек пересечения у графиков $y=x^2$ и $y=x^3$? Варианты: A. две; B. одна; C. нет; D. три.

Как думать. Точки пересечения — это решения уравнения $x^2=x^3$.

Решение. $x^3-x^2=0$, $x^2(x-1)=0$. Корни: $x=0$ и $x=1$. Точки $(0;0)$ и $(1;1)$.

Ответ: A (две точки).

№ 9

Какие точки лежат на графике $y=-x^3$? Варианты: A. $(1;1),(-1;-1)$; B. $(1;-1),(-1;-1)$; C. $(-1;1),(1;-1)$; D. $(1;1),(0;0)$.

Как думать. Кубическая парабола нечётная: если $x$ поменял знак, то $y$ тоже поменял.

Решение. При $x=1$: $y=-1$. При $x=-1$: $y=-(-1)^3=1$. Точки $(1;-1)$ и $(-1;1)$.

Ответ: C.

№ 10

Сколько точек пересечения у графиков $y=3x^3$ и $y=\frac{3}{x}$? Варианты: A. нет; B. одна; C. две; D. три.

Как думать. Приравниваем функции и решаем уравнение (помня, что $x\ne0$).

Решение. $3x^3=\frac{3}{x}$, умножаем на $x$: $x^4=1$. Корни: $x=1$ и $x=-1$. Точки $(1;3)$ и $(-1;-3)$.

Ответ: C (две точки).

№ 11

По рисунку 1 определить знаки $k$ и $b$ у $y=kx+b$. Варианты: A. $k>0,b>0$; B. $k>0,b<0$; C. $k<0,b<0$; D. $k<0,b>0$.

Как думать. Если прямая идёт вверх слева направо, то $k>0$. Если она пересекает ось $Oy$ ниже нуля, то $b<0$.

Решение. На рисунке прямая поднимается вправо и пересекает ось $Oy$ ниже начала координат. Значит, $k>0$ и $b<0$.

Ответ: B.

№ 12

По рисунку 2 определить знаки $k$ и $b$ у $y=kx+b$. Варианты те же.

Как думать. Прямая опускается слева направо, значит, $k<0$. Пересекает $Oy$ выше нуля, значит, $b>0$.

Решение. На рисунке 2 прямая идёт вниз и встречает ось $Oy$ выше начала координат. Значит, $k<0$ и $b>0$.

Ответ: D.

№ 13

Таблица: деталей вида A, B, C, D, E — 25, 24, 31, 27, 33. Какие утверждения верны: 1) среднее равно 30; 2) размах равен 6; 3) медиана равна 31; 4) отношение $D+E$ к $A+B+C$ равно $0{,}75$?

Как думать. Проверяем каждое утверждение отдельно: среднее, размах (наибольшее минус наименьшее), медиану (среднее число упорядоченного ряда), отношение.

Решение. См. шаги выше.

Ответ: верно только 4).

Шпаргалка

Ответы теста:

• Если не уверен в точке, подставь её в формулу.
• Если график — гипербола, помни: в нуле значения нет.
• Если надо найти пересечения, приравняй формулы.

Мини-тест