§ 28. Вариационные ряды

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 4: Элементы статистики. Страницы 168–172.

Чему научишься

• Понимать, что такое статистика, генеральная совокупность и случайная выборка.
• Отличать вариационный ряд от обычного набора чисел.
• Называть варианту, наименьшее и наибольшее значения ряда.
• Составлять вариационный ряд из своих данных (рост, температура, массы).

Разминка

В учебнике здесь нет заданий на повторение, поэтому разомнёмся сами.

• Расставь по возрастанию: $5;\ -2;\ 0;\ 7;\ -6$. $-6;\ -2;\ 0;\ 5;\ 7$. Помни: чем левее на числовой прямой, тем меньше число.
• Какое число меньше: $-9$ или $-3$? $-9$. Мороз $-9°$ крепче, чем $-3°$.
• Что больше: $-1$ или $0$? $0$.

Разбираемся

Что такое статистика

Сколько в Алматы пятиклассников, у которых есть телефон? Какая средняя температура в Астане в январе? На такие вопросы отвечает математическая статистика: она собирает факты, наводит в них порядок и помогает сделать выводы.

💡 Вывод хорош тогда, когда за ним стоят факты, а не «мне так кажется».

Всё множество и его кусочек

Генеральная совокупность — это всё множество объектов, которое мы хотим изучить. Её выбирают под вопрос:

• интересует размер листьев дуба — это все листья всех дубов;
• интересует температура осенью — все осенние показания термометра;
• интересует рост семиклассников — все семиклассники.

Элементы могут быть любыми: предметы, люди, природные явления.

Измерить всех невозможно. Поэтому берут часть — случайную выборку: произвольно выбранные элементы из генеральной совокупности. Для всех детей 13 лет в стране выборкой будут ровесники из твоей школы.

👨‍👩‍👧 Родителю. Спросите: «Если мы хотим узнать, какой сок любят в классе, кого нужно спросить?» Хороший ответ: разных детей, а не только друзей. Так и работает «случайная» выборка.

Вариационный ряд

Результаты наблюдений можно записать как придётся. Например, температура с 5 по 18 ноября: $-3°,\ 0°,\ -3°,\ -6°,\ -7°,\ -12°,\ -11°,\ 0°,\ 0°,\ -7°,\ -9°,\ -10°,\ -12°,\ -10°$. Это просто последовательность по датам, в ней нет порядка величин.

📌 Вариационный ряд — это числа, упорядоченные по возрастанию или по убыванию. Каждый его член называется варианта.

Те же температуры по возрастанию: $-12°,\ -12°,\ -11°,\ -10°,\ -10°,\ -9°,\ -7°,\ -7°,\ -6°,\ -3°,\ -3°,\ 0°,\ 0°,\ 0°$.

Подумай сам (ответы к вопросам учебника):

• Почему последовательность за 5–18 ноября не вариационный ряд? Числа идут не по возрастанию и не по убыванию: после $-3°$ идёт $0°$, потом снова $-3°$.
• А ряд $-12°,\ -12°,\ -11°,\ \dots,\ 0°,\ 0°,\ 0°$ — вариационный? Да, числа не убывают: от $-12°$ вверх до $0°$. Повторы разрешены.
• А ряд $0°,\ 0°,\ 0°,\ -3°,\ -3°,\ \dots,\ -12°,\ -12°$? Тоже да: он упорядочен по убыванию.

⚠️ Частая ошибка. Думают, что в вариационном ряду числа не могут повторяться. Могут. Главное — чтобы порядок не нарушался.

Чем ряд удобнее простого списка

По вариационному ряду сразу видно:

• наименьшее значение (в начале) и наибольшее (в конце);
• какие значения встречаются чаще других.

Правда, если вариант очень много, ряд становится длинным и неудобным. Для этого есть таблицы частот — они в следующем параграфе.

Проверь себя

• Что такое генеральная совокупность? Всё множество объектов или явлений с общим признаком, которые нужно изучить.
• Из каких объектов она может состоять? Из любых: предметы, люди, природные явления.
• Что такое случайная выборка? Часть элементов, произвольно взятых из генеральной совокупности.
• Что такое вариационный ряд и варианта? Ряд — данные, упорядоченные по возрастанию или убыванию; варианта — каждый его член.
• Чем вариационный ряд лучше произвольной последовательности? Сразу видно наименьшее и наибольшее значения и значения, которые встречаются чаще.
• Приведи пример генеральной совокупности и выборки. Например, все ученики 7 классов Алматы и ученики 7 «Б» твоей школы.
• Является ли ряд $1,854,570;\ 1,916,822;\ 1,977,011;\ 2,101,485;\ 2,211,198$ (население Алматы с 2019 по 2023 год) вариационным? Да: числа возрастают, значит, ряд упорядочен.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 28.1

Какие из последовательностей являются вариационными рядами: 1) $1, 12, 13, 15, 16, 21, 22, 24, 26$; 2) $-17, -15, -13, -11, -10, -9, -8, -5, -4$; 3) $111, 112, 113, 125, 126, 121, 122, 124, 126$; 4) $101, 102, 103, 105, 216, 221, 222, 224, 326, 334, 339$?

Как думать. Иди слева направо и проверяй: каждое следующее число не меньше предыдущего (или везде не больше).

Решение.

1. $1<12<13<15<16<21<22<24<26$ — по возрастанию.
2. $-17<-15<-13<-11<-10<-9<-8<-5<-4$ — по возрастанию (правее на прямой значит больше).
3. $111,112,113,125,126$, а дальше $121$ — меньше $126$. Порядок нарушен.
4. $101<102<103<105<216<221<222<224<326<334<339$ — по возрастанию.

Ответ: вариационные ряды — 1), 2) и 4).

№ 28.2

Запиши рост каждого ученика своего класса. Будет ли записанный ряд вариационным? Обоснуй.

Как думать. Если выписывать по списку класса, рост будет «как придётся». Вариационным ряд становится только после упорядочивания.

Решение.

1. Измерьте или спросите рост каждого. Допустим, вышло: $158, 162, 160, 165, 162, 159$ (см).
2. Список по журналу не упорядочен: после $162$ идёт $160$. Это не вариационный ряд.
3. Упорядочим: $158, 159, 160, 162, 162, 165$. Теперь это вариационный ряд.

Ответ: записанный в порядке журнала список вариационным не будет, а упорядоченный по возрастанию или убыванию — будет. (Числа в примере условные; у тебя будут свои.)

№ 28.3

Температура днём в Астане с 10 по 19 января 2025 года: $-6°C, -8°C, -7°C, -6°C, -5°C, -9°C, -11°C, -6°C, -9°C, -5°C$. Является ли ряд вариационным? Обоснуй.

Как думать. Проверь, идут ли числа в одну сторону.

Решение.

1. $-6$, затем $-8$ — стало меньше, значит, вниз.
2. Но потом $-8$, $-7$ — стало больше, значит, вверх. Направление сменилось.
3. Ряд упорядочен не по дням, а как придётся. Если упорядочить: $-11°, -9°, -9°, -8°, -7°, -6°, -6°, -6°, -5°, -5°$.

Ответ: нет, это не вариационный ряд: числа не идут ни по возрастанию, ни по убыванию. Упорядоченный ряд: $-11, -9, -9, -8, -7, -6, -6, -6, -5, -5$.

№ 28.4

Узнай месяцы рождения одноклассников. Запиши вариационный ряд по номерам месяцев. Назови варианту, которая повторяется чаще всего и реже всего, а также наибольшее и наименьшее значения варианты.

Как думать. Январь — 1, февраль — 2, …, декабрь — 12. Выпиши номера и упорядочи.

Решение. Возьмём условный класс из 12 человек: месяцы $3, 7, 11, 3, 5, 9, 3, 1, 12, 5, 7, 3$.

1. Упорядочим: $1, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 11, 12$.
2. Чаще всего: $3$ (4 раза). Реже всего (по одному разу): $1, 9, 11, 12$.
3. Наименьшее значение: $1$, наибольшее: $12$.

Ответ: ряд составляется по твоим данным. В примере: чаще всех варианта $3$, реже — $1, 9, 11, 12$, наименьшее значение $1$, наибольшее $12$.

Уровень B

№ 28.5

Назови генеральную совокупность для выборки в таблице 28.1: медведь $60$ кг, волк $50$ кг, лисица $5$ кг, заяц $3{,}5$ кг, косуля $25$ кг, лось $45$ кг, кабан $36$ кг. Составь вариационный ряд масс.

Как думать. Выборка — это семь видов зверей. Генеральная совокупность — «все такие же», то есть более широкое множество.

Решение.

1. Генеральная совокупность: все дикие животные (например, лесные звери Казахстана).
2. Упорядочим массы по возрастанию: $3{,}5;\ 5;\ 25;\ 36;\ 45;\ 50;\ 60$ (кг).

Ответ: генеральная совокупность — все дикие животные региона; вариационный ряд: $3{,}5;\ 5;\ 25;\ 36;\ 45;\ 50;\ 60$ кг.

№ 28.6

Приведи пример выборки из генеральной совокупности — числа учеников 7 и 8 классов твоей школы, которые занимаются спортом. Заполни таблицу 28.2 (волейбол, баскетбол, плавание, лёгкая атлетика, теннис, футбол, гимнастика, борьба; строки — 7 и 8 класс). 1) Составь вариационный ряд. 2) Запиши наибольшее и наименьшее значения варианты.

Как думать. Данные придумай или собери сам: в каждой клетке — сколько учеников занимается видом спорта.

Решение. Пример заполнения (условные числа):

1. Выпишем все 16 чисел и упорядочим: $2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 10, 12, 18, 20$.
2. Наименьшее значение $2$, наибольшее $20$.

Ответ: ряд зависит от твоих данных. В примере: $2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 10, 12, 18, 20$; наименьшее $2$, наибольшее $20$.

Уровень C

№ 28.7

Подготовь сообщение о Готфриде Ахенвалле (1719–1772), который ввёл в науку термин «статистика».

Как думать. Хорошее сообщение — это 5–7 предложений: кто он, откуда, чем известен, почему слово важно для нас.

Решение. Образец сообщения:

1. Готфрид Ахенваль — немецкий учёный XVIII века, жил в 1719–1772 годах.
2. Он преподавал в университете в Гёттингене и изучал устройство государств: население, хозяйство, территории.
3. Описания государств называли «государствоведением». Ахенваль предложил для него термин «статистика» (от латинского слова, связанного с понятием «государство»).
4. Сегодня статистика — наука о сборе и анализе данных, она работает везде: в медицине, спорте, экономике, погоде.
5. Проверь даты и факты по энциклопедии, прежде чем рассказывать в классе.

Ответ: сообщение составлено по образцу; пиши своими словами по 1–2 источникам.

🌟 Первые «статистики» считали жителей и урожай, чтобы государство понимало, чем оно располагает. Сегодняшняя статистика считает всё: от лайков до осадков.

Готовимся к следующей теме

№ 28.8

Заполни таблицу 28.3. Значения $x$: $-1;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7$. Строки: $y=2x-1$, $y=x^2$, $y=\frac{2}{x}$. Часть ячеек уже заполнена: в первой строке под $x=3$ стоит $5$, во второй под $x=7$ стоит $49$, в третьей под $x=2$ стоит $1$, под $x=6$ стоит $\frac{1}{3}$.

Как думать. Для каждого $x$ подставь число в формулу. Заполненные клетки подсказывают пропущенные значения $x$: $2x-1=5$ при $x=3$, $x^2=49$ при $x=7$, $\frac{2}{x}=1$ при $x=2$.

Решение. Считаем строки:

• $y=2x-1$: $-3;\ 1;\ 3;\ 5;\ 7;\ 9;\ 11;\ 13$.
• $y=x^2$: $1;\ 1;\ 4;\ 9;\ 16;\ 25;\ 36;\ 49$.
• $y=\frac{2}{x}$: $-2;\ 2;\ 1;\ \frac{2}{3};\ \frac{1}{2};\ \frac{2}{5};\ \frac{1}{3};\ \frac{2}{7}$.

Ответ: таблица выше.

Шпаргалка

• Данные «как пришли» — ещё не вариационный ряд. Упорядочи, и он готов.
• Повторы в ряду допустимы.
• Выводы делают по выборке, а относятся они ко всей генеральной совокупности.

Мини-тест