§ 29. Абсолютная частота и относительная частота. Таблица частот

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 4: Элементы статистики. Страницы 172–176.

Чему научишься

• Считать, сколько раз встречается каждая варианта (абсолютная частота).
• Находить долю варианты среди всех наблюдений (относительная частота) и записывать её в процентах.
• Составлять таблицу частот и проверять её суммами.

Разминка

• Сколько будет $\frac{3}{12}$ в простом виде? $\frac{1}{4}$.
• Как записать $\frac{1}{4}$ в процентах? $\frac{1}{4}=0{,}25=25%$. Умножаем на $100%$.
• Какой ряд называют вариационным? Упорядоченный по возрастанию или убыванию.

Разбираемся

Считаем, сколько раз

Возьмём вариационный ряд температур из прошлого параграфа:

$-12,\ -12,\ -11,\ -10,\ -10,\ -9,\ -7,\ -7,\ -6,\ -3,\ -3,\ 0,\ 0,\ 0$ (в °C).

Значения повторяются, и писать каждое по несколько раз неудобно. Запишем только разные значения и сколько раз каждое встретилось.

📌 Абсолютная частота варианты — число, показывающее, сколько раз наблюдалась эта варианта.

Почему у $-7°$ частота 2, а у $0°$ частота 3? Потому что $-7°$ в ряду стоит два раза, а $0°$ — три.

Какая доля — относительная частота

Три раза из трёх и три раза из тридцати — совсем разные вещи. Поэтому считают долю.

📌 Относительная частота варианты = абсолютная частота : общее число наблюдений.

Хотим в процентах — умножаем на $100%$.

Всего наблюдений 14. Для $-12°$: $\frac{2}{14}=\frac{1}{7}\approx 14{,}3%$. Для $0°$: $\frac{3}{14}\approx 21{,}4%$. Для $-11°$: $\frac{1}{14}\approx 7{,}1%$.

📕 В учебнике в этой таблице напечатано «$\approx 7{,}2%$» (для $\frac{1}{14}$) и «$\approx 21{,}2%$» (для $\frac{3}{14}$), но правильно «$\approx 7{,}1%$» и «$\approx 21{,}4%$»: $1:14=0{,}0714\ldots$, а $3:14=0{,}2142\ldots$.

Таблица частот и проверка

То, что мы составили, называется таблицей частот. Её удобно проверять:

📌 Свойства таблицы частот.

1. Сумма абсолютных частот равна общему числу наблюдений.
2. Сумма относительных частот равна $1$.
3. Сумма относительных частот в процентах равна $100%$.

Проверим: $2+1+2+1+2+1+2+3=14$ — все наблюдения на месте. Дроби: $\frac{2}{14}+\frac{1}{14}+\frac{2}{14}+\frac{1}{14}+\frac{2}{14}+\frac{1}{14}+\frac{2}{14}+\frac{3}{14}=\frac{14}{14}=1$.

⚠️ Частая ошибка. Проценты, посчитанные с округлением, могут в сумме дать $99{,}9%$ или $100{,}1%$. Это не ошибка счёта, а следствие округления.

👨‍👩‍👧 Родителю. Предложите вместе подсчитать, какие оценки или какие цвета машин во дворе встречаются чаще. Такая «домашняя статистика» лучше всего объясняет, что частота — это просто счёт повторов.

Проверь себя

• Что нужно знать, чтобы вычислить абсолютную и относительную частоты? Сколько раз встретилась варианта и сколько всего было наблюдений.
• Как проверить таблицу частот? Сумма абсолютных частот должна равняться общему числу наблюдений, сумма относительных — единице ($100%$).
• Найди частоты вариант для исходов $20, 20, 30, 10, 10, 20, 30, 20, 30, 20$. Всего 10 наблюдений. Варианта $10$: абсолютная частота 2, относительная $0{,}2$. Варианта $20$: 5 раз, $0{,}5$. Варианта $30$: 3 раза, $0{,}3$.
• Как относительную частоту записать в процентах? Умножить на $100%$.
• Почему абсолютная частота $-7°$ равна двум, а $0°$ — трём? Потому что столько раз эти значения встретились в ряду.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 29.1

По сайту погоды найди среднюю температуру воздуха в Кокшетау в течение июня 2024 года. Занеси данные в первые две строки таблицы 29.3 (варианты $x$ и абсолютные частоты $n$). Заполни третью строку — относительные частоты $W$ с точностью до $0{,}01$. Какая варианта встречается чаще всех? Придумай вопросы, на которые можно ответить по таблице.

Как думать. Данные берём с сайта, там 30 значений. Выписываем разные температуры, считаем повторы и делим на 30.

Решение. Покажем на условных данных (у тебя будут настоящие с сайта):

1. Проверка: $2+3+5+6+5+4+3+2=30$ дней.
2. $W=n:30$: например, $6:30=0{,}2$.
3. Чаще всего: $17°C$ (6 дней).
4. Вопросы к таблице: сколько дней было жарче $18°$? Какая доля дней с температурой не ниже $20°$? Какая температура самая редкая?

Ответ: по твоим данным; в примере чаще всего встречается $17°C$. Сумма $W$ в примере вышла $1{,}01$ из-за округления.

№ 29.2

По итогам экзамена получен ряд: $3, 3, 4, 4, 4, 5, 3, 3, 5, 5, 5, 4, 4, 3, 4, 4$. Составь вариационный ряд. Найди абсолютную и относительную частоты вариант «4» и «5».

Как думать. Сначала посчитай, сколько всего оценок и сколько каких.

Решение.

1. Всего оценок: 16.
2. Троек: 5, четвёрок: 7, пятёрок: 4. Проверка: $5+7+4=16$.
3. Вариационный ряд: $3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5$.
4. Варианта «4»: $n=7$, $W=\frac{7}{16}=0{,}4375\approx 43{,}8%$.
5. Варианта «5»: $n=4$, $W=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0{,}25=25%$.

Ответ: «4» — абсолютная частота 7, относительная $\frac{7}{16}$; «5» — абсолютная частота 4, относительная $\frac{1}{4}$.

№ 29.3

Опросили 20 человек, какой напиток они любят больше: 1 — чай, 2 — кофе, 3 — сок. Данные: $1, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2$. Запиши вариационный ряд. Найди абсолютную и относительную частоты и относительную частоту в процентах.

Как думать. Посчитай единицы, двойки и тройки отдельно и проверь, что в сумме 20.

Решение.

1. Единиц (чай): 6. Двоек (кофе): 8. Троек (сок): 6. Проверка: $6+8+6=20$.
2. Вариационный ряд: шесть $1$, восемь $2$, шесть $3$.
3. Относительные частоты: $\frac{6}{20}=0{,}3$; $\frac{8}{20}=0{,}4$; $\frac{6}{20}=0{,}3$.
4. В процентах: $30%$, $40%$, $30%$. Сумма: $100%$.

Ответ: абсолютные частоты $6; 8; 6$, относительные $0{,}3; 0{,}4; 0{,}3$, или $30%; 40%; 30%$.

Уровень B

№ 29.4

Проведи в своей школе опрос о любимых школьных предметах. Составь рейтинг предметов. Выясни, зависит ли рейтинг от возраста учеников.

Как думать. Это мини-исследование. Фиксируешь данные, считаешь частоты и сравниваешь группы.

Решение.

1. Разделите опрошенных на группы: 5–6 классы, 7–8, 9–11. В каждой — по 20–30 человек.
2. Каждый называет один любимый предмет. Запишите ответы в таблицу.
3. Для каждой группы посчитайте абсолютные и относительные частоты по предметам.
4. Рейтинг — предметы по убыванию частоты.
5. Сравните рейтинги групп: если первые места разные (например, у младших физкультура, у старших информатика), зависимость есть.

Ответ: результат зависит от данных опроса; нужно привести таблицу частот и рейтинг по группам и сделать вывод о зависимости от возраста.

№ 29.5

За I четверть домашнее задание по алгебре задавали 24 раза. 1) Ученик 8 раз выполнил его на «5». Какова абсолютная частота «5»? 2) 12 раз — на «4». Какова абсолютная частота «4»? 3) 13 раз — на «4». Какова абсолютная частота оценки, отличной от «4»?

Как думать. Абсолютная частота — это просто число раз. В пункте 3 нужно вычесть из общего числа.

Решение.

1. «5» было 8 раз — абсолютная частота $8$.
2. «4» было 12 раз — абсолютная частота $12$.
3. Всего 24 раза, из них 13 раз «4». Другие оценки: $24-13=11$ раз.

Ответ: 1) $8$; 2) $12$; 3) $11$.

Уровень C

№ 29.6

Проведи 30 опытов: выбрось игральный кубик из закрытого стаканчика. 1) Оформи результаты в таблицу 29.4 (шесть исходов по числу очков, десять протоколов, абсолютная и относительная частота). 2) Найди абсолютную и относительную частоты каждого исхода. 3) Найди сумму абсолютных и сумму относительных частот. Сделай вывод.

Как думать. Бросай три раза в каждый «протокол», так выйдет 10 протоколов и 30 бросков. Считай по каждому очку, сколько раз выпало.

Решение. Пример результатов (условных):

1. Сумма абсолютных частот: $4+6+5+5+6+4=30$ — число бросков.
2. Сумма относительных частот: $\frac{30}{30}=1$ (с округлением выйдет около $1$).
3. Вывод: сумма абсолютных частот равна числу опытов, сумма относительных — единице. Каждая грань выпадает примерно в $\frac{1}{6}\approx0{,}17$ случаев.

Ответ: по твоим опытам; в любом случае сумма абсолютных частот равна $30$, а сумма относительных равна $1$.

Готовимся к следующей теме

№ 29.7

Отметь на координатной плоскости точки $A(0;1)$, $B(2;3)$, $C(4;3)$, $M(6;4)$. Соедини их отрезками.

Как думать. Первое число — по горизонтали ($x$), второе — по вертикали ($y$). Соединяем по порядку: $A$, $B$, $C$, $M$.

Решение. Откладываем точки и проводим ломаную $ABCM$: от $A$ вверх-вправо до $B$, горизонтально до $C$, затем вверх-вправо до $M$.

Ответ: ломаная $ABCM$ построена, как на рисунке.

Шпаргалка

• Таблица частот: варианты в первой строке, частоты — под ними.
• Проверка таблицы — суммы частот.
• Проценты после округления могут чуть расходиться со $100%$.

Мини-тест