§ 30. Полигон частот

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 4: Элементы статистики. Страницы 176–181.

Чему научишься

• Строить полигон абсолютных и относительных частот.
• Читать данные с полигона: сколько всего наблюдений, какая варианта самая частая.
• Находить по полигону частоты в процентах.

Разминка

• Как отметить на координатной плоскости точку $(7;\ 3)$? Ищем $7$ на оси $x$ и $3$ на оси $y$. Точка там, где они «встречаются».
• Сколько в сумме абсолютных частот? Столько, сколько всего наблюдений.
• Как найти относительную частоту? Абсолютную частоту делим на число наблюдений.

Разбираемся

От таблицы к картинке

Пример. Группа из 25 человек писала тест из 12 заданий, за каждое — 1 балл. Баллы, от большего к меньшему: $12, 12, 12, 11, 11, 11, 11, 10, 10, 10, 10, 10, 9, 9, 9, 9, 9, 8, 8, 8, 7, 7, 7, 6, 6$.

Составим таблицу частот (всего $N=25$):

📕 В учебнике для балла $6$ в таблице напечатано «$0{,}8$», но правильно «$0{,}08$»: $2:25=0{,}08$. Относительная частота не может быть больше $1$, а все частоты в сумме дают $1$.

Проверка: $2+3+3+5+5+4+3=25$; $0{,}08+0{,}12+0{,}12+0{,}2+0{,}2+0{,}16+0{,}12=1$.

Полигон абсолютных частот

Отметим на плоскости точки $(x;\ n)$: по горизонтали — варианта, по вертикали — её абсолютная частота. Соединим соседние точки отрезками — получилась ломаная линия.

📌 Полигон абсолютных частот — ломаная, звенья которой соединяют точки, где абсцисса — варианта, а ордината — её абсолютная частота.

Алгоритм.

1. Отложи варианты $x$ на оси $Ox$.
2. Отложи частоты $n$ на оси $Oy$.
3. Построй точки $(x;\ n)$.
4. Соедини точки отрезками.

Полигон относительных частот

Всё то же самое, но по вертикали откладываем относительные частоты $W$.

📌 Алгоритм тот же: точки $(x;\ W)$ и отрезки между ними.

💡 Форма полигонов абсолютных и относительных частот одинакова: относительные частоты — те же числа, поделённые на $N$.

Как читать таблицу и полигон

В классе писали контрольную: оценки «3» получили 4 ученика, «4» — 12, «5» — 9. Всего $4+12+9=25$.

Читаем: тройки у $4$ из $25$ человек, это $16%$. Четвёрки — $12$ человек, $48%$. Пятёрки — $9$ человек, $36%$. На полигоне эти числа видны по высоте точек.

⚠️ Частая ошибка. Путают, что откладывать по какой оси. Запомни: варианты (что измеряли) — по горизонтали, частоты (сколько раз) — по вертикали.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка по готовому полигону ответить на три вопроса: где самая высокая точка, где самая низкая, сколько всего наблюдений. Если он справляется, тема освоена.

Проверь, как понял. Укажи правильный ответ:

• Полигон частот — это какая линия? Ломаная.
• В каком виде полигон представляет информацию? В виде графика.
• На какой оси отмечают варианты? На оси абсцисс.
• А частоты? На оси ординат.

Проверь себя

• Что такое полигон абсолютных частот? Ломаная, соединяющая точки с абсциссами-вариантами и ординатами-абсолютными частотами.
• Что такое полигон относительных частот? То же, но ординаты — относительные частоты.
• Как его построить? Отложить варианты на $Ox$, частоты на $Oy$, поставить точки $(x;\ n)$ или $(x;\ W)$ и соединить отрезками.
• Что можно прочитать по полигону? Сколько раз (или какая доля) встречается каждая варианта, какая самая частая, сколько всего наблюдений.
• Полигон — это линия какого вида? Ломаная, а не прямая и не кривая.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 30.1

Найди среднее арифметическое ряда, его моду и размах: $13;15;13;12;12;12;13;14;13;15;13;12;12$. 1) Составь вариационный ряд. 2) Найди абсолютную и относительную частоты вариант. 3) Представь выборку в виде полигона частот.

Как думать. Сначала упорядочим, потом посчитаем частоты. Среднее — сумма, делённая на число членов. Мода — самое частое значение. Размах — наибольшее минус наименьшее.

Решение.

1. Всего чисел: $13$. Вариационный ряд: $12,12,12,12,12,13,13,13,13,13,14,15,15$.
2. Частоты: $12$ — 5 раз, $13$ — 5 раз, $14$ — 1 раз, $15$ — 2 раза. Проверка: $5+5+1+2=13$.
3. Сумма: $12\cdot5+13\cdot5+14+15\cdot2=60+65+14+30=169$.
4. Среднее: $169:13=13$.
5. Мода: две варианты с наибольшей частотой $5$ — это $12$ и $13$.
6. Размах: $15-12=3$.
7. Относительные частоты: $\frac{5}{13}\approx0{,}38$; $\frac{5}{13}\approx0{,}38$; $\frac{1}{13}\approx0{,}08$; $\frac{2}{13}\approx0{,}15$.

Ответ: среднее арифметическое $13$; мода $12$ и $13$; размах $3$. Абсолютные частоты $5; 5; 1; 2$.

№ 30.2

Придумай задание из школьной жизни, составь вариационный ряд, найди абсолютную и относительную частоты и их суммы. Представь информацию полигоном частот.

Как думать. Возьми что-то, что легко посчитать: оценки по алгебре у 10 одноклассников, число пропусков, количество страниц, прочитанных за неделю.

Решение. Образец. Оценки за самостоятельную у 10 учеников: $4, 5, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 5, 4$.

1. Вариационный ряд: $3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5$.
2. Частоты: «3» — 2, «4» — 5, «5» — 3. Сумма: $2+5+3=10$.
3. Относительные: $0{,}2;\ 0{,}5;\ 0{,}3$. Сумма: $1$.
4. Полигон: точки $(3;2)$, $(4;5)$, $(5;3)$, соединённые отрезками.

Ответ: образец выше; у тебя числа свои. Сумма абсолютных частот равна числу наблюдений, а сумма относительных равна $1$.

№ 30.3

Выборка из 30 семиклассников, рост в см: $166, 165, 163, 166, 168, 165, 168, 170, 165, 165, 165, 165, 164, 168, 165, 164, 161, 162, 164, 166, 165, 166, 167, 164, 163, 168, 167, 167, 165, 162$. Составь вариационный ряд, таблицу частот и ответь: 1) наименьший и наибольший рост? 2) какой процент учащихся имеет рост 168 см? 3) какой рост встречался чаще всего?

Как думать. Сосчитай, сколько раз встретилось каждое значение. В сумме должно получиться $30$.

Решение.

1. Считаем по значениям: $161$ — 1, $162$ — 2, $163$ — 2, $164$ — 4, $165$ — 9, $166$ — 4, $167$ — 3, $168$ — 4, $170$ — 1.
2. Проверка: $1+2+2+4+9+4+3+4+1=30$.
3. Вариационный ряд: $161; 162, 162; 163, 163; 164\times4; 165\times9; 166\times4; 167\times3; 168\times4; 170$.

4. Рост $168$ см: $\frac{4}{30}=\frac{2}{15}\approx13{,}3%$.
5. Чаще всего: $165$ см (9 раз).

Ответ: 1) наименьший $161$ см, наибольший $170$ см; 2) $\approx13{,}3%$; 3) $165$ см.

Уровень B

№ 30.4

По полигону абсолютных частот набора игрушек разных цветов (красный — 4, жёлтый — 5, зелёный — 8, синий — 6, коричневый — 2) найди: 1) общее количество игрушек; 2) относительную частоту игрушек каждого цвета (округли до десятых); 3) игрушки какого цвета имеют наибольшее и наименьшее количество.

Как думать. Высота точки полигона — сколько игрушек этого цвета. Сложим все высоты.

Решение.

1. Всего: $4+5+8+6+2=25$ игрушек.
2. Относительные частоты: красные $4:25=0{,}16\approx0{,}2$; жёлтые $5:25=0{,}2$; зелёные $8:25=0{,}32\approx0{,}3$; синие $6:25=0{,}24\approx0{,}2$; коричневые $2:25=0{,}08\approx0{,}1$.
3. Больше всего зелёных (8), меньше всего коричневых (2).

Ответ: 1) $25$; 2) $0{,}2;\ 0{,}2;\ 0{,}3;\ 0{,}2;\ 0{,}1$ (красные, жёлтые, зелёные, синие, коричневые); 3) наибольшее — зелёные, наименьшее — коричневые.

№ 30.5

По данным № 30.4 составь таблицу частот набора игрушек.

Как думать. Берём те же числа, добавляем строку долей от $25$.

Решение.

Проверка: $4+5+8+6+2=25$; $16+20+32+24+8=100%$.

Ответ: таблица выше.

Уровень C

№ 30.6

Проведи 50 опытов с тремя игровыми кубиками. Экспортируй результаты в MS Excel и найди сумму очков в каждом опыте. Получи вариационный ряд и таблицу частот. Оцени по таблице, с какой частотой сумма будет равна 5; 10; 15.

Как думать. Это практическая работа за компьютером. Сумма трёх кубиков лежит от $3$ до $18$. Попробуй, потом сравни с теорией.

Решение.

1. Брось три кубика 50 раз. В Excel запиши суммы в столбец.
2. Отсортируй столбец по возрастанию — получится вариационный ряд.
3. Для каждой суммы посчитай частоту (функция СЧЁТЕСЛИ) и раздели на $50$.
4. Что ожидать: из всех $216$ равновозможных исходов сумма $5$ получается $6$ способами ($\approx2{,}8%$), сумма $10$ — $27$ способами ($12{,}5%$), сумма $15$ — $10$ способами ($\approx4{,}6%$).
5. При 50 опытах результаты колеблются: сумма $5$ может выпасть 0–3 раза, $10$ — примерно 4–8 раз, $15$ — 1–3 раза.

Ответ: по твоим опытам; ожидаемо чаще всего выпадает сумма около $10$, реже — $5$ и $15$ (теоретически примерно $2{,}8%$, $12{,}5%$ и $4{,}6%$).

№ 30.7

Тест из 8 заданий, у 48 учащихся посчитали число верных ответов (таблица 30.3). Число верных ответов $0;1;2;3;4;5;6;7;8$, абсолютная частота: $0;0;0;1;5;14;16;x;6$. 1) Найди $x$. 2) Найди относительные частоты и заполни таблицу. 3) Построй полигоны абсолютных и относительных частот.

Как думать. Всего 48 человек, значит, сумма абсолютных частот должна быть $48$.

Решение.

1. $0+0+0+1+5+14+16+x+6=42+x=48$, откуда $x=6$.
2. Относительные частоты $n:48$: $\frac{1}{48}$; $\frac{5}{48}$; $\frac{14}{48}=\frac{7}{24}$; $\frac{16}{48}=\frac{1}{3}$; $\frac{6}{48}=\frac{1}{8}$; $\frac{6}{48}=\frac{1}{8}$.

3. Полигон абсолютных частот: точки $(3;1),(4;5),(5;14),(6;16),(7;6),(8;6)$ (нулевые можно не рисовать). Полигон относительных частот — те же $x$ с ординатами из нижней строки.

Ответ: 1) $x=6$; 2) см. таблицу; 3) полигоны построены.

№ 30.8

На полигоне частот (рис. 30.5) данные о сотрудниках страховой компании по возрастным группам: 25–29 лет — 5, 30–34 года — 10, 35–39 лет — 15, 40–44 года — 10, 45–49 лет — 20, 50–54 года — 5, 55–60 лет — 5 человек. 1) Найди относительную частоту (в %) категории сотрудников старше 39 лет (до десятых). 2) То же для сотрудников моложе 40 лет.

Как думать. Сначала найди всех сотрудников. Потом сложи нужные группы и раздели.

Решение.

1. Всего: $5+10+15+10+20+5+5=70$ человек.
2. Старше 39 лет: группы 40–44, 45–49, 50–54, 55–60: $10+20+5+5=40$ человек. $\frac{40}{70}\approx0{,}571$, то есть $57{,}1%$.
3. Моложе 40 лет: группы 25–29, 30–34, 35–39: $5+10+15=30$ человек. $\frac{30}{70}\approx0{,}429$, то есть $42{,}9%$.
4. Проверка: $57{,}1+42{,}9=100%$.

Ответ: 1) $57{,}1%$; 2) $42{,}9%$.

📕 На рисунке 30.5 у первого столбца подписано «30–34 лет», хотя дальше снова идёт «30–34 года». Правильно «25–29 лет»: возрастные группы идут подряд по пять лет.

№ 30.9

Абсолютная частота верных ответов на тест из десяти заданий равна $24$, а относительная частота верных ответов равна $30%$. Сколько учащихся выполняли этот тест?

Как думать. Относительная частота — это часть от целого: $\text{частота}:\text{число наблюдений}$. Нужно найти число наблюдений.

Решение.

1. $\frac{24}{N}=0{,}3$.
2. $N=24:0{,}3=80$.
3. Проверка: $\frac{24}{80}=0{,}3=30%$.

Ответ: $80$ учащихся.

Готовимся к следующей теме

№ 30.10

Выполни действия: 1) $2a^2\cdot(a^2-ab+b^2)$; 2) $a\cdot(a^2-2ab+b)-2ab$; 3) $x^2\cdot(a^2-3ax+x)+3ax^2$.

Как думать. Умножаем одночлен на каждое слагаемое в скобках, потом приводим подобные.

Решение.

1. $2a^2\cdot a^2-2a^2\cdot ab+2a^2\cdot b^2=2a^4-2a^3b+2a^2b^2$.
2. $a\cdot a^2-a\cdot2ab+a\cdot b-2ab=a^3-2a^2b+ab-2ab=a^3-2a^2b-ab$.
3. $x^2a^2-x^2\cdot3ax+x^2\cdot x+3ax^2=a^2x^2-3ax^3+x^3+3ax^2$. Подобных слагаемых нет.

Ответ: 1) $2a^4-2a^3b+2a^2b^2$; 2) $a^3-2a^2b-ab$; 3) $a^2x^2-3ax^3+x^3+3ax^2$.

№ 30.11

Докажи тождество: 1) $a(a^2-ab+b^2)+a^2b-ab^2=a^3$; 2) $a(a+2ax-x)-2a^2x-a^2+1=1-ax$.

Как думать. Раскрой скобки в левой части и приведи подобные. Должна получиться правая часть.

Решение.

1. $a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2=a^3$ — слагаемые $-a^2b$ и $+a^2b$ сокращаются, как и $+ab^2$ с $-ab^2$.
2. $a^2+2a^2x-ax-2a^2x-a^2+1$. Сократим $a^2$ с $-a^2$ и $2a^2x$ с $-2a^2x$. Остаётся $-ax+1=1-ax$.

Ответ: левые части равны правым, тождества доказаны.

Шпаргалка

• Построение: оси, точки, отрезки.
• Форма полигонов абсолютных и относительных частот совпадает.
• Все относительные частоты вместе дают $1$, или $100%$.

Мини-тест