§ 4. Возведение степени в степень

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 1: Степень с целым показателем. Страницы 38–41.

Чему научишься

• Понимать, что значит $(a^m)^n$ и почему показатели перемножаются.
• Возводить степень в степень по правилу $(a^m)^n=a^{mn}$.
• Упрощать выражения, где степени умножаются, делятся и возводятся в степень.
• Считать значения таких выражений при заданных числах.
• Отличать верные равенства от неверных и доказывать тождества.

Разминка

Вспомни два правила из прошлых уроков: они пригодятся.

• Что получится из $a^m\cdot a^n$? Основание остаётся, показатели складываются: $a^{m+n}$.
• Что получится из $a^m:a^n$ (при $m\ge n$)? Показатели вычитаются: $a^{m-n}$.
• Как записать $a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a$ короче? $a^5$: пять одинаковых множителей.
• Чему равна сумма $7+7+7+7+7$ и как записать её умножением? $5\cdot 7=35$. Эта мысль сейчас окажется ключевой.

Разбираемся

Степень, у которой основание тоже степень

Посмотри на $(a^7)^5$. Снаружи стоит показатель 5, а внутри основание $a^7$. Читаем: «возьми $a^7$ пять раз и перемножь».

$(a^7)^5=a^7\cdot a^7\cdot a^7\cdot a^7\cdot a^7=a^{7+7+7+7+7}=a^{35}.$

При умножении степеней с одним основанием показатели складывались. Пять раз по 7 — это $5\cdot 7=35$.

📌 Правило. $(a^m)^n=a^{mn}$. Основание остаётся прежним, показатели перемножаются.

Что можно подставлять

В этом параграфе $a$ — любое число, а $m$ и $n$ — целые неотрицательные (0, 1, 2, …). Основание может быть и дробью, и отрицательным, и буквой.

⚠️ Частая ошибка. Путают два правила. При умножении $a^3\cdot a^4=a^{7}$ показатели складывают, а при возведении в степень $(a^3)^4=a^{12}$ их перемножают. Проверь на маленьком примере: $(2^2)^3=4^3=64$, а $2^{2\cdot 3}=2^6=64$. Сошлось, значит, умножаем.

Два правила в одном примере

Часто степень в степень идёт вместе с делением или умножением. Порядок такой: сначала возводим в степень, потом умножаем или делим.

Пример. Упростим $(c^6)^3:c^{15}$. Сначала $(c^6)^3=c^{18}$. Потом $c^{18}:c^{15}=c^3$.

Ещё пример. Упростим $(d^2)^5\cdot d^4$. Получаем $d^{10}\cdot d^4=d^{14}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Если ребёнок путает «складывать» и «перемножать», попросите его развернуть степень по смыслу: $(a^2)^3=a^2\cdot a^2\cdot a^2$. Это занимает 10 секунд и всегда выручает. Спросите: «А почему здесь складываем показатели?».

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какими могут быть основания и показатели, чтобы применить правило возведения степени в степень? Основание — любое число или выражение, показатели — целые неотрицательные числа (в этом параграфе).
• Всегда ли можно возвести степень в степень? Да, пока показатели из этого набора. Например, $(0^2)^3=0^6=0$ тоже работает. Правило нигде не ломается.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 4.1

Запиши в виде степени с основанием $b$: 1) $(b^2)^3$; 2) $(b^3)^2$; 3) $(b^4)^3$; 4) $(b^2)^4$.

Как думать. Перемножаем показатели, основание $b$ не трогаем.

Решение.

1. $2\cdot 3=6$; 2) $3\cdot 2=6$; 3) $4\cdot 3=12$; 4) $2\cdot 4=8$.

Ответ: 1) $b^6$; 2) $b^6$; 3) $b^{12}$; 4) $b^8$.

№ 4.2

Запиши в виде степени с основанием $b$ двенадцать выражений: 1) $(b^5)^2\cdot b^3$; 2) $b\cdot(b^3)^4$; 3) $b^8\cdot(b^{10})^3$; 4) $b^6\cdot(b^4)^8$; 5) $(b^7)^5\cdot b$; 6) $(b^{11})^4\cdot b^{10}$; 7) $(b^5)^{10}:b^{31}$; 8) $b^{43}:(b^9)^4$; 9) $(b^6)^{12}\cdot b^{59}$; 10) $b^{100}:(b^5)^4$; 11) $(b^{17})^5:b^{81}$; 12) $b^{79}:(b^{13})^6$.

Как думать. В каждом примере сначала перемножаем показатели у скобки, потом складываем (при умножении) или вычитаем (при делении). Помни, что у одинокого $b$ показатель 1.

Решение.

1. $b^{10}\cdot b^3=b^{13}$.
2. $b\cdot b^{12}=b^{13}$.
3. $b^8\cdot b^{30}=b^{38}$.
4. $b^6\cdot b^{32}=b^{38}$.
5. $b^{35}\cdot b=b^{36}$.
6. $b^{44}\cdot b^{10}=b^{54}$.
7. $b^{50}:b^{31}=b^{19}$.
8. $b^{43}:b^{36}=b^{7}$.
9. $b^{72}\cdot b^{59}=b^{131}$.
10. $b^{100}:b^{20}=b^{80}$.
11. $b^{85}:b^{81}=b^4$.
12. $b^{79}:b^{78}=b^1=b$.

Ответ: 1) $b^{13}$; 2) $b^{13}$; 3) $b^{38}$; 4) $b^{38}$; 5) $b^{36}$; 6) $b^{54}$; 7) $b^{19}$; 8) $b^7$; 9) $b^{131}$; 10) $b^{80}$; 11) $b^4$; 12) $b$.

№ 4.3

Упрости: 1) $(a^4)^2\cdot(a^3)^4$; 2) $(b^4b)^6$; 3) $(c^5)^8:(c^6)^6$; 4) $(d^8d^2)^3$; 5) $(c^9)^5:(c^4)^{10}$; 6) $(k^{11})^7:(k^{10})^6$.

Как думать. Где в скобках произведение $b^4b$, сначала его сворачиваем в одну степень: $b^4\cdot b^1=b^5$.

Решение.

1. $a^8\cdot a^{12}=a^{20}$.
2. $(b^5)^6=b^{30}$.
3. $c^{40}:c^{36}=c^4$.
4. $(d^{10})^3=d^{30}$.
5. $c^{45}:c^{40}=c^5$.
6. $k^{77}:k^{60}=k^{17}$.

Ответ: 1) $a^{20}$; 2) $b^{30}$; 3) $c^4$; 4) $d^{30}$; 5) $c^5$; 6) $k^{17}$.

№ 4.4

Упрости: 1) $(b^4)^6\cdot(b^5)^4$; 2) $(b^{16})^4:(b^3)^{20}$; 3) $(b^9)^{12}:(b^{10})^{10}$; 4) $(b^{30})^3:(b^4)^{20}$; 5) $(b^3)^7\cdot(b^5)^5$; 6) $(b^7)^6:(b^8)^5$.

Как думать. Сначала в каждой скобке перемножаем показатели, затем между результатами складываем или вычитаем.

Решение.

1. $b^{24}\cdot b^{20}=b^{44}$.
2. $b^{64}:b^{60}=b^4$.
3. $b^{108}:b^{100}=b^8$.
4. $b^{90}:b^{80}=b^{10}$.
5. $b^{21}\cdot b^{25}=b^{46}$.
6. $b^{42}:b^{40}=b^2$.

Ответ: 1) $b^{44}$; 2) $b^4$; 3) $b^8$; 4) $b^{10}$; 5) $b^{46}$; 6) $b^2$. Совпадает с ответами учебника.

№ 4.5

1. Представь в виде квадрата выражения: 1) $a^6$; 2) $x^{20}$; 3) $y^{22}$; 4) $z^{48}$. 2. Представь в виде куба выражения: 1) $a^6$; 2) $x^{21}$; 3) $y^{30}$; 4) $z^{72}$.

Как думать. Это правило наоборот. Квадрат означает показатель 2, значит, надо разделить показатель на 2. Куб — разделить на 3.

Решение.

1. Квадрат: $6:2=3$; $20:2=10$; $22:2=11$; $48:2=24$.
2. Куб: $6:3=2$; $21:3=7$; $30:3=10$; $72:3=24$.

Ответ: 1. 1) $(a^3)^2$; 2) $(x^{10})^2$; 3) $(y^{11})^2$; 4) $(z^{24})^2$. 2. 1) $(a^2)^3$; 2) $(x^7)^3$; 3) $(y^{10})^3$; 4) $(z^{24})^3$.

№ 4.6

Вычисли: 1) $(5^2)^2-600$; 2) $(3^3)^2+271$; 3) $1000-5\cdot(2^3)^2$; 4) $\left(\left(\frac12\right)^4\right)^2\cdot 320$; 5) $(2^4)^2-200$; 6) $\left(\left(\frac23\right)^2\right)^3\cdot\frac{3645}{32}$.

Как думать. Сначала сворачиваем степень в степень, потом считаем число, потом остальные действия.

Решение.

1. $5^4=625$; $625-600=25$.
2. $3^6=729$; $729+271=1000$.
3. $(2^3)^2=2^6=64$; $5\cdot 64=320$; $1000-320=680$.
4. $\left(\frac12\right)^8=\frac1{256}$; $\frac{320}{256}=\frac54=1\frac14$.
5. $2^8=256$; $256-200=56$.
6. $\left(\frac23\right)^6=\frac{64}{729}$; $\frac{64}{729}\cdot\frac{3645}{32}=\frac{2\cdot 3645}{729}=2\cdot 5=10$ (ведь $3645=5\cdot 729$).

Ответ: 1) 25; 2) 1000; 3) 680; 4) $1\frac14$; 5) 56; 6) 10. Пункты 1, 2, 3, 5 сверены с ответами учебника; для 4 и 6 в ответах нет значений, проверены самостоятельно.

№ 4.7

$A=(2^{10})^4:(2^4)^9-6$ и $B=(5^5)^2:(5^3)^3+15$. Верно ли равенство $2A-B=0$?

Как думать. Находим $A$ и $B$ по отдельности и подставляем.

Решение. $A=10$, $B=20$, значит, $2A-B=20-20=0$.

Ответ: да, равенство верно.

Уровень B

№ 4.8

Найди значение: 1) $(b^5)^3\cdot(b^2)^7:(b^6)^4$ при $b=-2$; 2) $(a^2)^5\cdot(a^{10})^2:(a^{14})^2$ при $a=-\frac37$.

Как думать. Сначала упрощаем выражение, и только потом подставляем число. Так считать гораздо легче.

Решение.

1. $b^{15}\cdot b^{14}:b^{24}=b^{29}:b^{24}=b^5$. При $b=-2$: $(-2)^5=-32$.
2. $a^{10}\cdot a^{20}:a^{28}=a^{30}:a^{28}=a^2$. При $a=-\frac37$: $\left(-\frac37\right)^2=\frac{9}{49}$.

Ответ: 1) $-32$; 2) $\frac9{49}$.

№ 4.9

Докажи тождество: 1) $(a^2)^4\cdot(a^3)^5:(a^3)^7=a^2$; 2) $(x^3)^6\cdot(x^2)^5=x^{28}$.

Как думать. Доказать тождество значит преобразовать левую часть, пока не получится правая.

Решение.

1. $(a^2)^4=a^8$; $(a^3)^5=a^{15}$; $(a^3)^7=a^{21}$. Тогда $a^8\cdot a^{15}:a^{21}=a^{23}:a^{21}=a^2$. Получили правую часть.
2. $(x^3)^6=x^{18}$; $(x^2)^5=x^{10}$. Тогда $x^{18}\cdot x^{10}=x^{28}$. Получили правую часть.

Ответ: оба тождества доказаны.

№ 4.10

Упрости: 1) $\frac{(125b^2)^3}{25b^4}$; 2) $\frac{45x^{14}y^9}{-27x^{12}(-y^3)^3}$; 3) $\frac{-32c^{15}(d^4)^5}{24c^{13}d^{17}}$.

Как думать. Числа и буквы сокращаем отдельно. Не забудь про знаки: нечётная степень минуса даёт минус.

Решение.

1. $(125b^2)^3=125^3\cdot b^6=5^9b^6$ (так как $125=5^3$). Знаменатель $25b^4=5^2b^4$. Дробь: $5^{9-2}b^{6-4}=5^7b^2$.
2. $(-y^3)^3=-y^9$. Знаменатель: $-27x^{12}\cdot(-y^9)=27x^{12}y^9$. Сокращаем: $\frac{45}{27}=\frac53$, $x^{14-12}=x^2$, $y^{9-9}=1$. Получаем $\frac{5x^2}{3}$.
3. $(d^4)^5=d^{20}$. Дробь $\frac{-32c^{15}d^{20}}{24c^{13}d^{17}}$: $-\frac{32}{24}=-\frac43$, $c^2$, $d^3$. Получаем $-\frac{4c^2d^3}{3}$.

Ответ: 1) $5^7b^2$; 2) $\frac{5x^2}{3}$; 3) $-\frac{4c^2d^3}{3}$. Пункты 1 и 3 совпадают с ответами учебника; пункта 2 в ответах нет.

№ 4.11

1) Цена товара была $(6^3)^3:(6^4)^2\cdot 50^2$ тг, а со скидкой стала $12\cdot 10^3$ тг. На сколько процентов снизилась цена? 2) Скидка 30% уменьшила цену на $(3^2)^3\cdot(3^3)^2:3^6$ тг. Найди первоначальную цену.

Как думать. Сначала превращаем степени в обычные числа, потом работаем с процентами.

Решение.

1. $(6^3)^3=6^9$, $(6^4)^2=6^8$, значит, $6^9:6^8=6$. Цена была $6\cdot 50^2=6\cdot 2500=15,000$ тг. Стала $12\cdot 10^3=12,000$ тг. Скидка: $15,000-12,000=3000$ тг. Это $\frac{3000}{15000}\cdot 100%=20%$.
2. $(3^2)^3=3^6$, $(3^3)^2=3^6$; $3^6\cdot 3^6:3^6=3^6=729$ тг. Это 30% цены. Вся цена: $729:0{,}3=2430$ тг.

Ответ: 1) на 20%; 2) 2430 тг (проверка: $30%$ от 2430 равно 729).

Уровень C

Это самые трудные задачи. Даже попытка уже считается успехом: здесь много скобок, но правило то же самое.

№ 4.12

Вычисли: 1) $\frac{(13^5)^{11}\cdot(13^4)^{10}}{(13^{47})^2}$; 2) $\frac{(7^5)^6\cdot 7^{27}}{(7^{14})^4}$; 3) $\frac{(6^8)^9\cdot(6^4)^5}{(6^{24})^3\cdot(6^3)^6}$; 4) $\frac{(19^{11})^7\cdot(19^7)^2}{(19^{20})^3\cdot 19^{29}}$; 5) $\frac{(3^{15})^5\cdot(3^{12})^2}{(3^2)^{25}\cdot(3^3)^{16}}$; 6) $\frac{(2^{40})^3\cdot(2^{12})^5}{(2^{45})^2\cdot(2^{11})^8}$.

Как думать. Не считай огромные числа. Приведи числитель и знаменатель к одной степени с тем же основанием: основание одно, значит, всё сведётся к вычитанию показателей.

Решение.

1. Числитель: $13^{55}\cdot 13^{40}=13^{95}$. Знаменатель: $13^{94}$. Результат $13^{1}=13$.
2. Числитель: $7^{30}\cdot 7^{27}=7^{57}$. Знаменатель: $7^{56}$. Результат 7.
3. Числитель: $6^{72}\cdot 6^{20}=6^{92}$. Знаменатель: $6^{72}\cdot 6^{18}=6^{90}$. Результат $6^2=36$.
4. Числитель: $19^{77}\cdot 19^{14}=19^{91}$. Знаменатель: $19^{60}\cdot 19^{29}=19^{89}$. Результат $19^2=361$.
5. Числитель: $3^{75}\cdot 3^{24}=3^{99}$. Знаменатель: $3^{50}\cdot 3^{48}=3^{98}$. Результат 3.
6. Числитель: $2^{120}\cdot 2^{60}=2^{180}$. Знаменатель: $2^{90}\cdot 2^{88}=2^{178}$. Результат $2^2=4$.

Ответ: 1) 13; 2) 7; 3) 36; 4) 361; 5) 3; 6) 4. Пункты 1–3 сверены с учебником.

№ 4.13

Найди значение выражения: 1) $(y^4)^5:(y^9)^2\cdot y^3$ при $y=-1$; 2) $(z^3)^9:(z^4)^6\cdot z$ при $z=-2$.

Как думать. Опять сначала упрощаем.

Решение.

1. $y^{20}:y^{18}\cdot y^3=y^2\cdot y^3=y^5$. При $y=-1$ получаем $(-1)^5=-1$.
2. $z^{27}:z^{24}\cdot z=z^3\cdot z=z^4$. При $z=-2$ получаем $(-2)^4=16$.

Ответ: 1) $-1$; 2) 16.

№ 4.14

Докажи тождество: 1) $(a^{2k})^5:(2a^{3k})-1{,}5a^{7k}=-a^{7k}$; 2) $(y^{2n})^6:(5y^{5n})^2+0{,}96y^{2n}=y^{2n}$.

Как думать. Показатели здесь буквенные ($2k$, $3k$), но правило работает так же: показатели умножаем, вычитаем.

Решение.

1. $(a^{2k})^5=a^{10k}$. Делим на $2a^{3k}$: $\frac{a^{10k}}{2a^{3k}}=\frac12a^{7k}=0{,}5a^{7k}$. Тогда $0{,}5a^{7k}-1{,}5a^{7k}=-a^{7k}$.
2. $(y^{2n})^6=y^{12n}$, $(5y^{5n})^2=25y^{10n}$. Делим: $\frac{y^{12n}}{25y^{10n}}=\frac{y^{2n}}{25}=0{,}04y^{2n}$. Тогда $0{,}04y^{2n}+0{,}96y^{2n}=y^{2n}$.

Ответ: оба тождества доказаны.

Готовимся к следующей теме

№ 4.15

Выпиши верные равенства: 1) $(ab)^2=a^2b^2$; 2) $(7^2\cdot 4^3)^2=7^2\cdot 4^9$; 3) $\left(\frac ab\right)^2=\frac{a^2}{b^2}$; 4) $\left(\frac47\right)^3=\frac{4^3}{7}$.

Как думать. Подумай: в степень возводится всё выражение в скобках целиком, значит, степень получают оба множителя (или числитель и знаменатель).

Решение.

1. Верно: $(ab)^2=ab\cdot ab=a^2b^2$.
2. Неверно: показатели у обоих множителей умножаются на 2, получится $7^4\cdot 4^6$.
3. Верно (при $b\ne0$).
4. Неверно: в степень надо возвести и знаменатель: $\frac{4^3}{7^3}$.

Ответ: верные: 1) и 3).

№ 4.16

Сравни значения выражений: 1) $\left(\frac3{11}\right)^2$ и $\frac{3^2}{11^2}$; 2) $\left(\frac29\right)^3$ и $\frac{2^3}{9^3}$; 3) $(2^3b^2)^3$ и $2^9b^6$; 4) $(3^2a^3)^2$ и $3^4a^6$.

Как думать. Применяем то, что узнали в № 4.15: степень распределяется на каждый множитель, а для дроби на числитель и знаменатель.

Решение.

1. $\left(\frac3{11}\right)^2=\frac{3^2}{11^2}=\frac9{121}$: равны.
2. $\left(\frac29\right)^3=\frac{2^3}{9^3}=\frac{8}{729}$: равны.
3. $(2^3b^2)^3=2^9b^6$: равны.
4. $(3^2a^3)^2=3^4a^6$: равны.

Ответ: во всех четырёх пунктах значения равны. Заодно мы увидели правило, которое разберём в следующем параграфе.

Шпаргалка

• Правило: $(a^m)^n=a^{mn}$.
• Показатели перемножаем, а не складываем.
• В выражениях с делением и умножением вычисляем сначала степени.
• Перед подстановкой чисел упрощаем выражение.

Мини-тест