§ 31. Формула разности квадратов двух выражений

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 5: Формулы сокращенного умножения. Страницы 182–188.

Чему научишься

• Понимать, что такое формулы сокращённого умножения и зачем они нужны.
• Умножать $(a-b)(a+b)$ сразу, без раскрытия скобок по одной.
• Раскладывать разность квадратов на множители.
• Считать в уме примеры вроде $101\cdot 99$ и $71^2-59^2$.
• Решать уравнения вида $x^2-16=0$ с помощью этой формулы.

Разминка

Давай вспомним, как умножают многочлены. Здесь ответы под нажатие.

• Как умножить $(x+2)(x-3)$? Каждый член первой скобки на каждый член второй: $x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$.
• Что получится при умножении $(a+b)(a-b)$, если не торопиться? $a^2-ab+ab-b^2$. Середина сокращается! Это и есть главная находка урока.
• Как записать квадрат одночлена $(3x)^2$? $9x^2$: в квадрат возводим и число, и букву.
• Как записать $0{,}49$ в виде квадрата? $0{,}49=0{,}7^2$.
• Чему равно $(y^2)^2$? $y^4$: показатели перемножаем.

Разбираемся

Почему «средина» пропадает

Возьмём две скобки: разность $a-b$ и сумма $a+b$. Умножаем по правилу «каждый на каждый»:

$(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2.$

Слагаемые $+ab$ и $-ab$ уничтожают друг друга. Остаётся только разность квадратов.

📌 Формула разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Словами: разность квадратов двух выражений равна произведению их разности на их сумму. Читать можно слева направо (раскладываем на множители) и справа налево (умножаем быстро).

Увидим формулу глазами

Возьмём квадрат со стороной $a=6$ и вырежем из угла квадрат со стороной $b=4$. Остаётся «уголок» из двух прямоугольников: $6\cdot 2=12$ и $4\cdot 2=8$. Вместе $20$. А по формуле: $(6-4)(6+4)=2\cdot 10=20$. Совпало!

Как пользоваться: два примера

1. $25-m^2=5^2-m^2=(5-m)(5+m)$. Число 25 — это $5^2$.

2. $y^4-0{,}49x^2=(y^2)^2-(0{,}7x)^2=(y^2-0{,}7x)(y^2+0{,}7x)$. Здесь $y^4$ — квадрат от $y^2$, а $0{,}49x^2$ — квадрат от $0{,}7x$.

💡 Хитрость: сначала ответь на вопрос «чей это квадрат?» для каждого слагаемого. Потом подставляй в формулу.

⚠️ Частая ошибка. Сумма квадратов $x^2+9$ по этой формуле на множители не раскладывается. И $(a-b)^2$ — это не $a^2-b^2$! Проверь на числах: при $a=5$, $b=3$ имеем $(5-3)^2=4$, а $5^2-3^2=16$.

Формула в вычислениях

Вот как считают $71^2-59^2$: $(71-59)(71+59)=12\cdot 130=1560$. Без возведения в квадрат!

Простой пример из жизни: $101\cdot 99=(100+1)(100-1)=100^2-1^2=9999$. Так можно быстро считать сдачу в тенге: $52\cdot 48=50^2-2^2=2496$.

Ещё пример с буквами: $\left(\frac13x+8y\right)\left(\frac13x-8y\right)=\left(\frac13x\right)^2-(8y)^2=\frac19x^2-64y^2$.

Формула решает уравнения

Как решить $1{,}69-z^2=0$? Заметим, что $1{,}69=1{,}3^2$. Тогда

$(1{,}3-z)(1{,}3+z)=0.$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $z=1{,}3$ или $z=-1{,}3$. Ответ записывают так: ${-1{,}3;,1{,}3}$ (множество решений).

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка объяснить, почему середина $+ab-ab$ исчезает. Если он понимает это, формулу не придётся зубрить. А ещё предложите посчитать в уме $49\cdot 51$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие правила использовали, чтобы получить формулу разности квадратов? Правило умножения многочлена на многочлен и приведение подобных членов (слагаемые $ab$ и $-ab$ сокращаются).
• Как прочитать формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ двумя способами? Слева направо: «разность квадратов равна произведению разности на сумму». Справа налево: «произведение разности и суммы двух выражений равно разности их квадратов».
• Как вычислили $71^2-59^2$? $(71-59)(71+59)=12\cdot 130=1560$.
• Как упростили $\left(\frac13x+8y\right)\left(\frac13x-8y\right)$? Это сумма на разность: $\frac19x^2-64y^2$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 31.1

Выполните умножение: 1) $(x+y)(x-y)$; 2) $(n-m)(n+m)$; 3) $(k-2)(k+2)$; 4) $(3-c)(3+c)$; 5) $(4+b)(4-b)$; 6) $(a-7)(a+7)$; 7) $\left(\frac17+x\right)\left(\frac17-x\right)$; 8) $\left(a-\frac29\right)\left(a+\frac29\right)$; 9) $\left(\frac56+m\right)\left(\frac56-m\right)$; 10) $(0{,}4+n)(0{,}4-n)$; 11) $(k+1{,}1)(k-1{,}1)$; 12) $(d-2{,}2)(d+2{,}2)$.

Как думать. В каждой паре скобок одни и те же два выражения: в одной они складываются, в другой вычитаются. Значит, ответ: «квадрат первого минус квадрат второго», где первое — то, что стоит первым в обеих скобках.

Решение.

1. $x^2-y^2$; 2) $n^2-m^2$; 3) $k^2-4$; 4) $9-c^2$; 5) $16-b^2$; 6) $a^2-49$; 7) $\frac1{49}-x^2$; 8) $a^2-\frac4{81}$; 9) $\frac{25}{36}-m^2$; 10) $0{,}16-n^2$; 11) $k^2-1{,}21$; 12) $d^2-4{,}84$.

Ответ: 1) $x^2-y^2$; 2) $n^2-m^2$; 3) $k^2-4$; 4) $9-c^2$; 5) $16-b^2$; 6) $a^2-49$; 7) $\frac1{49}-x^2$; 8) $a^2-\frac4{81}$; 9) $\frac{25}{36}-m^2$; 10) $0{,}16-n^2$; 11) $k^2-1{,}21$; 12) $d^2-4{,}84$.

№ 31.2

Выполните действие: 1) $(x-5)(5+x)$; 2) $(8+y)(y-8)$; 3) $(10-k)(k+10)$; 4) $\left(a+\frac23b\right)\left(a-\frac23b\right)$; 5) $\left(\frac49x-y\right)\left(y+\frac49x\right)$; 6) $\left(\frac4{15}n-m\right)\left(m+\frac4{15}n\right)$; 7) $(9x-5y)(9x+5y)$; 8) $(-4a+3b)(3b+4a)$; 9) $(13k-2d)(2d+13k)$; 10) $\left(\frac54c+\frac37d\right)\left(\frac37d-\frac54c\right)$; 11) $\left(\frac13x-3y\right)\left(3y+\frac13x\right)$; 12) $\left(\frac15a+\frac19b\right)\left(\frac19b-\frac15a\right)$.

Как думать. Здесь слагаемые переставлены, но суть та же. Найди, какое выражение в обеих скобках с плюсом (оно «первое» в разности и в сумме), а какое — со знаком, который меняется. Тогда «квадрат с плюсом минус квадрат со сменой знака».

Решение.

1. $(x-5)(x+5)=x^2-25$.
2. $(y+8)(y-8)=y^2-64$.
3. $(10-k)(10+k)=100-k^2$.
4. $a^2-\frac49b^2$.
5. $(\frac49x-y)(\frac49x+y)=\frac{16}{81}x^2-y^2$.
6. $\frac{16}{225}n^2-m^2$.
7. $81x^2-25y^2$.
8. $(3b-4a)(3b+4a)=9b^2-16a^2$.
9. $(13k-2d)(13k+2d)=169k^2-4d^2$.
10. $(\frac37d-\frac54c)(\frac37d+\frac54c)=\frac9{49}d^2-\frac{25}{16}c^2$.
11. $\frac19x^2-9y^2$.
12. $(\frac19b-\frac15a)(\frac19b+\frac15a)=\frac1{81}b^2-\frac1{25}a^2$.

Ответ: 1) $x^2-25$; 2) $y^2-64$; 3) $100-k^2$; 4) $a^2-\frac49b^2$; 5) $\frac{16}{81}x^2-y^2$; 6) $\frac{16}{225}n^2-m^2$; 7) $81x^2-25y^2$; 8) $9b^2-16a^2$; 9) $169k^2-4d^2$; 10) $\frac9{49}d^2-\frac{25}{16}c^2$; 11) $\frac19x^2-9y^2$; 12) $\frac1{81}b^2-\frac1{25}a^2$.

№ 31.3

Разложите на множители: 1) $a^2-49$; 2) $64-b^2$; 3) $c^2-2{,}25$; 4) $2{,}89-d^2$; 5) $\frac{64}{81}-x^2$; 6) $\frac{100}{121}-y^2$; 7) $z^2-\frac{169}{196}$; 8) $t^2-\frac{400}{441}$; 9) $25x^2-36$; 10) $-16+49y^2$; 11) $0{,}64-\frac19z^2$; 12) $\frac{64}{81}t^2-36$; 13) $\frac9{16}-\frac1{144}a^2$; 14) $\frac{25}{64}b^2-\frac1{81}$; 15) $2{,}56x^2-\frac{225}{361}$; 16) $\frac{81}{100}-0{,}04c^2$.

Как думать. Из каждого числа извлекаем корень: $49=7^2$, $2{,}25=1{,}5^2$, $\frac{64}{81}=\left(\frac89\right)^2$. Потом применяем $(a-b)(a+b)$.

Решение.

1. $(a-7)(a+7)$. 2) $(8-b)(8+b)$. 3) $(c-1{,}5)(c+1{,}5)$. 4) $(1{,}7-d)(1{,}7+d)$. 5) $\left(\frac89-x\right)\left(\frac89+x\right)$. 6) $\left(\frac{10}{11}-y\right)\left(\frac{10}{11}+y\right)$. 7) $\left(z-\frac{13}{14}\right)\left(z+\frac{13}{14}\right)$. 8) $\left(t-\frac{20}{21}\right)\left(t+\frac{20}{21}\right)$. 9) $(5x-6)(5x+6)$. 10) $49y^2-16=(7y-4)(7y+4)$. 11) $\left(0{,}8-\frac z3\right)\left(0{,}8+\frac z3\right)$. 12) $\left(\frac89t-6\right)\left(\frac89t+6\right)$. 13) $\left(\frac34-\frac a{12}\right)\left(\frac34+\frac a{12}\right)$. 14) $\left(\frac58b-\frac19\right)\left(\frac58b+\frac19\right)$. 15) $\left(1{,}6x-\frac{15}{19}\right)\left(1{,}6x+\frac{15}{19}\right)$. 16) $(0{,}9-0{,}2c)(0{,}9+0{,}2c)$.

Ответ: см. решение: в каждом пункте разность множителя-корня и суммы тех же корней.

№ 31.4

Представьте в виде произведения двучленов: 1) $c^2-0{,}49$; 2) $16-k^2$; 3) $400-m^2$; 4) $t^2-225$; 5) $1{,}69-b^2$; 6) $y^2-\frac{16}{81}$; 7) $25x^2-4$; 8) $\frac{25}{36}-64y^2$.

Как думать. То же разложение: каждое слагаемое — квадрат чего-то.

Решение.

1. $(c-0{,}7)(c+0{,}7)$. 2) $(4-k)(4+k)$. 3) $(20-m)(20+m)$. 4) $(t-15)(t+15)$. 5) $(1{,}3-b)(1{,}3+b)$. 6) $\left(y-\frac49\right)\left(y+\frac49\right)$. 7) $(5x-2)(5x+2)$. 8) $\left(\frac56-8y\right)\left(\frac56+8y\right)$.

Ответ: 1) $(c-0{,}7)(c+0{,}7)$; 2) $(4-k)(4+k)$; 3) $(20-m)(20+m)$; 4) $(t-15)(t+15)$; 5) $(1{,}3-b)(1{,}3+b)$; 6) $\left(y-\frac49\right)\left(y+\frac49\right)$; 7) $(5x-2)(5x+2)$; 8) $\left(\frac56-8y\right)\left(\frac56+8y\right)$.

№ 31.5

Вычислите по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: 1) $13^2-9^2$; 2) $20^2-19^2$; 3) $2{,}2^2-2{,}8^2$; 4) $3{,}5^2-3{,}7^2$; 5) $\left(\frac56\right)^2-\left(\frac23\right)^2$; 6) $\left(\frac79\right)^2-\left(\frac16\right)^2$; 7) $\left(\frac5{12}\right)^2-\left(\frac34\right)^2$; 8) $\left(\frac3{10}\right)^2-\left(\frac45\right)^2$; 9) $\left(\frac8{15}\right)^2-\left(\frac45\right)^2$; 10) $\left(2\frac17\right)^2-\left(2\frac17\right)^2$; 11) $\left(3\frac13\right)^2-\left(4\frac12\right)^2$; 12) $\left(5\frac16\right)^2-\left(7\frac13\right)^2$; 13) $51^2-41^2$; 14) $54^2-46^2$; 15) $76^2-24^2$; 16) $328^2-172^2$; 17) $\left(3\frac23\right)^2-\left(2\frac13\right)^2$; 18) $\left(7\frac59\right)^2-\left(4\frac49\right)^2$.

Как думать. Складываем и вычитаем основания, потом перемножаем. Это намного проще, чем возводить в квадрат дроби.

Решение.

1. $(13-9)(13+9)=4\cdot 22=88$.
2. $(20-19)(20+19)=39$.
3. $(2{,}2-2{,}8)(2{,}2+2{,}8)=-0{,}6\cdot 5=-3$.
4. $(3{,}5-3{,}7)(3{,}5+3{,}7)=-0{,}2\cdot 7{,}2=-1{,}44$.
5. $\left(\frac56-\frac23\right)\left(\frac56+\frac23\right)=\frac16\cdot\frac32=\frac14$.
6. $\left(\frac79-\frac16\right)\left(\frac79+\frac16\right)=\frac{11}{18}\cdot\frac{17}{18}=\frac{187}{324}$.
7. $\left(\frac5{12}-\frac34\right)\left(\frac5{12}+\frac34\right)=-\frac13\cdot\frac76=-\frac7{18}$.
8. $\left(\frac3{10}-\frac45\right)\left(\frac3{10}+\frac45\right)=-\frac12\cdot\frac{11}{10}=-\frac{11}{20}$.
9. $\left(\frac8{15}-\frac45\right)\left(\frac8{15}+\frac45\right)=-\frac4{15}\cdot\frac43=-\frac{16}{45}$.
10. Основания одинаковые: разность равна нулю, значит всё выражение $=0$.
11. $\left(\frac{10}3-\frac92\right)\left(\frac{10}3+\frac92\right)=-\frac76\cdot\frac{47}6=-\frac{329}{36}=-9\frac5{36}$.
12. $\left(\frac{31}6-\frac{22}3\right)\left(\frac{31}6+\frac{22}3\right)=-\frac{13}6\cdot\frac{75}6=-\frac{325}{12}=-27\frac1{12}$.
13. $10\cdot 92=920$.
14. $8\cdot 100=800$.
15. $52\cdot 100=5200$.
16. $156\cdot 500=78,000$.
17. $\left(\frac{11}3-\frac73\right)\left(\frac{11}3+\frac73\right)=\frac43\cdot 6=8$.
18. $\left(\frac{68}9-\frac{40}9\right)\left(\frac{68}9+\frac{40}9\right)=\frac{28}9\cdot 12=\frac{112}3=37\frac13$.

Ответ: 1) 88; 2) 39; 3) $-3$; 4) $-1{,}44$; 5) $\frac14$; 6) $\frac{187}{324}$; 7) $-\frac7{18}$; 8) $-\frac{11}{20}$; 9) $-\frac{16}{45}$; 10) 0; 11) $-\frac{329}{36}$; 12) $-\frac{325}{12}$; 13) 920; 14) 800; 15) 5200; 16) 78 000; 17) 8; 18) $\frac{112}3$.

№ 31.6

Вычислите, представив множители в виде суммы и разности: 1) $101\cdot 99$; 2) $102\cdot 98$; 3) $103\cdot 97$; 4) $104\cdot 96$; 5) $105\cdot 95$; 6) $106\cdot 94$.

Как думать. Числа равноудалены от 100: например, $101=100+1$ и $99=100-1$. Это сумма на разность!

Решение.

1. $(100+1)(100-1)=10,000-1=9999$.
2. $10,000-4=9996$.
3. $10,000-9=9991$.
4. $10,000-16=9984$.
5. $10,000-25=9975$.
6. $10,000-36=9964$.

Ответ: 1) 9999; 2) 9996; 3) 9991; 4) 9984; 5) 9975; 6) 9964.

№ 31.7

Упростите выражение: 1) $(5+b)(b-5)-b^2$; 2) $c^2+(9-c)(9+c)$; 3) $\left(\frac13-z\right)\left(\frac13+z\right)-\frac19$; 4) $-\frac{16}{49}+\left(\frac47-d\right)\left(d+\frac47\right)$; 5) $(0{,}9-a)(a+0{,}9)-a(1+a)$; 6) $k(5-k)+(1{,}2+k)(k-1{,}2)$.

Как думать. Сначала применяем формулу к произведению скобок, потом приводим подобные.

Решение.

1. $(b^2-25)-b^2=-25$.
2. $c^2+(81-c^2)=81$.
3. $\left(\frac19-z^2\right)-\frac19=-z^2$.
4. $-\frac{16}{49}+\left(\frac{16}{49}-d^2\right)=-d^2$.
5. $(0{,}81-a^2)-a-a^2=-2a^2-a+0{,}81$.
6. $5k-k^2+(k^2-1{,}44)=5k-1{,}44$.

Ответ: 1) $-25$; 2) $81$; 3) $-z^2$; 4) $-d^2$; 5) $-2a^2-a+0{,}81$; 6) $5k-1{,}44$.

№ 31.8

Найдите значение выражения: 1) $(7+d)(d-7)+(d+3)(3-d)+40(d+1)$ при $d=0{,}5$; 2) $x(2x-1)-(6+x)(x-6)+(x+10)(10-x)$ при $x=-101$; 3) $1{,}2(b+1{,}2)+(0{,}5-b)(b+0{,}5)-(b+1{,}3)(1{,}3-b)$ при $b=-\frac56$; 4) $(1{,}5+c)(c-1{,}5)-(c+8)(c-8)-2{,}5(c-24{,}5)$ при $c=\frac23$.

Как думать. Подставлять числа в такие громоздкие выражения неудобно: сначала упрощаем до короткого вида.

Решение.

1. см. шаги выше: $40d=40\cdot 0{,}5=20$.
2. $2x^2-x-(x^2-36)+(100-x^2)=2x^2-x-x^2+36+100-x^2=136-x$. При $x=-101$: $136+101=237$.
3. $1{,}2b+1{,}44+(0{,}25-b^2)-(1{,}69-b^2)=1{,}2b+1{,}44+0{,}25-1{,}69=1{,}2b$. При $b=-\frac56$: $1{,}2\cdot\left(-\frac56\right)=-1$.
4. $c^2-2{,}25-(c^2-64)-2{,}5c+61{,}25=-2{,}25+64+61{,}25-2{,}5c=123-2{,}5c$. При $c=\frac23$: $123-\frac53=121\frac13$.

Ответ: 1) 20; 2) 237; 3) $-1$; 4) $121\frac13$ (то есть $\frac{364}3$).

№ 31.9

Решите уравнение: 1) $x^2-16=0$; 2) $25-y^2=0$; 3) $3{,}24-z^2=0$; 4) $\frac{144}{169}-n^2=0$; 5) $7{,}29-m^2=0$; 6) $k^2-\frac{196}{625}=0$.

Как думать. Раскладываем левую часть на $(\ldots-\ldots)(\ldots+\ldots)$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

Решение.

1. $(x-4)(x+4)=0$, $x=4$ или $x=-4$.
2. $(5-y)(5+y)=0$, $y=\pm 5$.
3. $3{,}24=1{,}8^2$, $(1{,}8-z)(1{,}8+z)=0$, $z=\pm 1{,}8$.
4. $\left(\frac{12}{13}-n\right)\left(\frac{12}{13}+n\right)=0$, $n=\pm\frac{12}{13}$.
5. $7{,}29=2{,}7^2$, $m=\pm 2{,}7$.
6. $\left(k-\frac{14}{25}\right)\left(k+\frac{14}{25}\right)=0$, $k=\pm\frac{14}{25}$.

Ответ: 1) ${-4;4}$; 2) ${-5;5}$; 3) ${-1{,}8;1{,}8}$; 4) $\left{-\frac{12}{13};\frac{12}{13}\right}$; 5) ${-2{,}7;2{,}7}$; 6) $\left{-\frac{14}{25};\frac{14}{25}\right}$. Совпадает с ответами учебника.

№ 31.10

Докажите, что значение выражения не зависит от переменной $a$: 1) $(a-10)(10+a)+60-a^2$; 2) $0{,}64+a^2-(0{,}5+a)(a-0{,}5)$; 3) $(2{,}4-a)(a+2{,}4)+(1{,}9+a)(a-1{,}9)$; 4) $(17+a)(17-a)-(0{,}6-a)(a+0{,}6)$.

Как думать. «Не зависит от $a$» значит: после упрощения букв не останется, будет просто число. Образец доказательства: упрощаем и получаем число.

Решение.

1. $a^2-100+60-a^2=-40$.
2. $0{,}64+a^2-(a^2-0{,}25)=0{,}64+0{,}25=0{,}89$.
3. $(5{,}76-a^2)+(a^2-3{,}61)=2{,}15$.
4. $(289-a^2)-(0{,}36-a^2)=288{,}64$.

Ответ: значения равны соответственно $-40$; $0{,}89$; $2{,}15$; $288{,}64$ — букв нет, значит от $a$ не зависят.

№ 31.11

Докажите тождество: 1) $(x-1{,}6)(1{,}6+x)+5-x^2=2{,}44$; 2) $(2-0{,}9x)(0{,}9x+2)-10+0{,}81x^2=-6$; 3) $(x-1{,}5)(1{,}5+x)+(6-x)(6+x)=33{,}75$; 4) $(2{,}1-x)(x+2{,}1)-(5-x)(x+5)=-20{,}59$.

Как думать. Упрощаем левую часть. Если получится число из правой части, тождество доказано.

Решение.

1. $x^2-2{,}56+5-x^2=2{,}44$ ✓.
2. $4-0{,}81x^2-10+0{,}81x^2=-6$ ✓.
3. $x^2-2{,}25+36-x^2=33{,}75$ ✓.
4. $4{,}41-x^2-25+x^2=-20{,}59$ ✓.

Ответ: во всех пунктах левая часть равна правой, тождества доказаны.

Уровень B

№ 31.12

1) Стороны прямоугольника: $x+2$ и $x-2$. Запишите формулу площади и вычислите её при $x=7$ см. 2) Стороны участка: $3x+5$ и $3x-5$. Запишите формулу площади и вычислите её при $x=6$ м.

Как думать. Площадь прямоугольника — произведение сторон. Это снова сумма на разность!

Решение.

1. $S=(x+2)(x-2)=x^2-4$. При $x=7$: $S=49-4=45$ см².
2. $S=(3x+5)(3x-5)=9x^2-25$. При $x=6$: $S=324-25=299$ м². (Проверка: стороны $23$ и $13$ м, $23\cdot 13=299$.)

Ответ: 1) $S=x^2-4$, $45$ см²; 2) $S=9x^2-25$, $299$ м².

№ 31.13

Выполните умножения: 1) $(4a^2-y)(y+4a^2)$; 2) $(0{,}3b^3+x)(0{,}3b^3-x)$; 3) $(1{,}1c^2+z^2)(z^2-1{,}1c^2)$; 4) $(21d^2-k^3)(21d^2+k^3)$; 5) $(5a^3-4b^2)(4b^2+5a^3)$; 6) $(1{,}9c^4+6d)(6d-1{,}9c^4)$.

Как думать. Находим «первое» и «второе» выражения. Возводим каждое в квадрат: $(4a^2)^2=16a^4$, $(0{,}3b^3)^2=0{,}09b^6$.

Решение.

1. $(4a^2)^2-y^2=16a^4-y^2$.
2. $0{,}09b^6-x^2$.
3. $(z^2-1{,}1c^2)(z^2+1{,}1c^2)=z^4-1{,}21c^4$.
4. $441d^4-k^6$.
5. $25a^6-16b^4$.
6. $(6d-1{,}9c^4)(6d+1{,}9c^4)=36d^2-3{,}61c^8$.

Ответ: 1) $16a^4-y^2$; 2) $0{,}09b^6-x^2$; 3) $z^4-1{,}21c^4$; 4) $441d^4-k^6$; 5) $25a^6-16b^4$; 6) $36d^2-3{,}61c^8$.

№ 31.14

Выполните умножения: 1) $\left(\frac13a-\frac12b\right)\left(\frac13a+\frac12b\right)$; 2) $\left(1\frac47x^5-z^2\right)\left(1\frac47x^5+z^2\right)$; 3) $\left(\frac23m+\frac34n\right)\left(\frac23m-\frac34n\right)$; 4) $\left(m^6-2\frac13n^5\right)\left(2\frac13n^5+m^6\right)$.

Как думать. Смешанные числа переводим в неправильные дроби: $1\frac47=\frac{11}7$, $2\frac13=\frac73$.

Решение.

1. $\frac19a^2-\frac14b^2$.
2. $\left(\frac{11}7\right)^2x^{10}-z^4=\frac{121}{49}x^{10}-z^4$ (то есть $2\frac{23}{49}x^{10}-z^4$).
3. $\frac49m^2-\frac9{16}n^2$.
4. $(m^6)^2-\left(\frac73n^5\right)^2=m^{12}-\frac{49}9n^{10}$.

Ответ: 1) $\frac19a^2-\frac14b^2$; 2) $\frac{121}{49}x^{10}-z^4$; 3) $\frac49m^2-\frac9{16}n^2$; 4) $m^{12}-\frac{49}9n^{10}$.

№ 31.15

Выполните умножения: 1) $(0{,}2a-1{,}3b)(0{,}2a+1{,}3b)$; 2) $(0{,}1x^3+2{,}5z)(0{,}1x^3-2{,}5z)$; 3) $(a^5-b^2)(a^5+b^2)$; 4) $(x^4+y^3)(x^4-y^3)$; 5) $(7t^2-3y)(7t^2+3y)$; 6) $(4a^2+9c^4)(4a^2-9c^4)$.

Решение.

1. $0{,}04a^2-1{,}69b^2$.
2. $0{,}01x^6-6{,}25z^2$.
3. $a^{10}-b^4$.
4. $x^8-y^6$.
5. $49t^4-9y^2$.
6. $16a^4-81c^8$.

Как думать. Тот же приём; при возведении степени в степень показатели умножаем: $(a^5)^2=a^{10}$.

Ответ: 1) $0{,}04a^2-1{,}69b^2$; 2) $0{,}01x^6-6{,}25z^2$; 3) $a^{10}-b^4$; 4) $x^8-y^6$; 5) $49t^4-9y^2$; 6) $16a^4-81c^8$.

№ 31.16

Разложите на множители: 1) $x^3-100x$; 2) $2y^3-32y$; 3) $0{,}16y^6-y^4$; 4) $\frac23x^5-\frac8{27}x^3$; 5) $\frac9{16}x^4-\frac{16}9x^2$; 6) $3y^5-\frac3{25}y^7$; 7) $x^4-0{,}49y^2$; 8) $-0{,}64z^4+t^6$; 9) $0{,}81a^8-b^2$; 10) $\frac{361}{400}m^2-n^{10}$; 11) $c^6-\frac{289}{324}d^4$; 12) $5{,}76x^{12}-\frac4{81}y^8$.

Как думать. Если есть общий множитель — выносим его первым. Потом смотрим, нет ли в скобках разности квадратов. В пунктах 7–12 общего множителя нет, сразу формула.

Решение.

1. $x(x^2-100)=x(x-10)(x+10)$.
2. $2y(y^2-16)=2y(y-4)(y+4)$.
3. $y^4(0{,}16y^2-1)=y^4(0{,}4y-1)(0{,}4y+1)$.
4. $\frac23x^3\left(x^2-\frac49\right)=\frac23x^3\left(x-\frac23\right)\left(x+\frac23\right)$.
5. $x^2\left(\frac9{16}x^2-\frac{16}9\right)=x^2\left(\frac34x-\frac43\right)\left(\frac34x+\frac43\right)$.
6. $3y^5\left(1-\frac{y^2}{25}\right)=3y^5\left(1-\frac y5\right)\left(1+\frac y5\right)$.
7. $(x^2-0{,}7y)(x^2+0{,}7y)$.
8. $t^6-0{,}64z^4=(t^3-0{,}8z^2)(t^3+0{,}8z^2)$.
9. $(0{,}9a^4-b)(0{,}9a^4+b)$.
10. $\left(\frac{19}{20}m-n^5\right)\left(\frac{19}{20}m+n^5\right)$.
11. $\left(c^3-\frac{17}{18}d^2\right)\left(c^3+\frac{17}{18}d^2\right)$.
12. $\left(2{,}4x^6-\frac29y^4\right)\left(2{,}4x^6+\frac29y^4\right)$.

Ответ: см. решение. Пункты 7–9 совпадают с ответами учебника.

№ 31.17

Представьте в виде произведения: 1) $m^2-n^2-m+n$; 2) $9x^2-4y^2-3x+2y$; 3) $x^3+3x^2-4x-12$; 4) $81-(3-8y)^2$; 5) $(x+5)^2-16$; 6) $36-(y+1)^2$; 7) $(3x-7)^2-25$; 8) $(4-5x)^2-64$.

Как думать. В пунктах 1–3 группируем слагаемые и применяем формулу к одной группе. В пунктах 4–8 вся «большая скобка» — один квадрат, например $(3-8y)^2$.

Решение.

1. $(m^2-n^2)-(m-n)=(m-n)(m+n)-(m-n)=(m-n)(m+n-1)$.
2. См. шаги выше: $(3x-2y)(3x+2y-1)$.
3. $x^2(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x^2-4)=(x+3)(x-2)(x+2)$.
4. $9^2-(3-8y)^2=(9-3+8y)(9+3-8y)=(6+8y)(12-8y)$.
5. $(x+5-4)(x+5+4)=(x+1)(x+9)$.
6. $(6-y-1)(6+y+1)=(5-y)(7+y)$.
7. $(3x-7-5)(3x-7+5)=(3x-12)(3x-2)=3(x-4)(3x-2)$.
8. $(4-5x-8)(4-5x+8)=(-4-5x)(12-5x)$.

Ответ: 1) $(m-n)(m+n-1)$; 2) $(3x-2y)(3x+2y-1)$; 3) $(x+3)(x-2)(x+2)$; 4) $(6+8y)(12-8y)$; 5) $(x+1)(x+9)$; 6) $(5-y)(7+y)$; 7) $(3x-12)(3x-2)$; 8) $(-4-5x)(12-5x)$. Пункты 1, 2, 4 совпадают с учебником.

№ 31.18

Вычислите: 1) $\frac{20^2-13^2}{31^2-24^2}$; 2) $\frac{17^2-22^2}{49^2-10^2}$; 3) $\frac{37^2-47^2}{72^2-12^2}$; 4) $\frac{100^2-60^2}{70^2-90^2}$.

Как думать. И числитель, и знаменатель — разность квадратов. Раскладываем и сокращаем одинаковые множители.

Решение.

1. $\frac{(20-13)(20+13)}{(31-24)(31+24)}=\frac{7\cdot 33}{7\cdot 55}=\frac{33}{55}=\frac35=0{,}6$.
2. $\frac{(17-22)(17+22)}{(49-10)(49+10)}=\frac{-5\cdot 39}{39\cdot 59}=-\frac5{59}$.
3. $\frac{(37-47)(37+47)}{(72-12)(72+12)}=\frac{-10\cdot 84}{60\cdot 84}=-\frac16$.
4. $\frac{(100-60)(100+60)}{(70-90)(70+90)}=\frac{40\cdot 160}{-20\cdot 160}=-2$.

Ответ: 1) $0{,}6$; 2) $-\frac5{59}$; 3) $-\frac16$; 4) $-2$. Совпадает с учебником.

№ 31.19

Вычислите: 1) $\frac{38^2-28^2}{47^2-19^2}$; 2) $\frac{53^2-25^2}{79^2-51^2}$; 3) $\frac{181^2-61^2}{319^2-77^2}$; 4) $\frac{200^2-380^2}{420^2-160^2}$.

Решение.

1. $\frac{10\cdot 66}{28\cdot 66}=\frac{10}{28}=\frac5{14}$.
2. $\frac{28\cdot 78}{28\cdot 130}=\frac{78}{130}=\frac35=0{,}6$.
3. $\frac{120\cdot 242}{242\cdot 396}=\frac{120}{396}=\frac{10}{33}$.
4. $\frac{(-180)\cdot 580}{260\cdot 580}=-\frac{180}{260}=-\frac9{13}$.

Как думать. Тот же приём: оба квадратных разностей раскладываем, одинаковый множитель сокращаем.

Ответ: 1) $\frac5{14}$; 2) $0{,}6$; 3) $\frac{10}{33}$; 4) $-\frac9{13}$. Совпадает с учебником.

№ 31.20

Представьте в виде многочленов произведения: 1) $(5-a)(5+a)(25+a^2)$; 2) $(3x+2)(3x-2)(9x^2+4)$; 3) $\left(\frac13+2b\right)\left(\frac13-2b\right)\left(\frac19+4b^2\right)$; 4) $\left(6c^2-\frac27\right)\left(6c^2+\frac27\right)\left(36c^4+\frac4{49}\right)$.

Как думать. Сначала перемножаем первые две скобки по формуле, потом результат умножаем на третью — снова получится разность квадратов.

Решение.

1. $(25-a^2)(25+a^2)=625-a^4$.
2. $(9x^2-4)(9x^2+4)=81x^4-16$.
3. $\left(\frac19-4b^2\right)\left(\frac19+4b^2\right)=\frac1{81}-16b^4$.
4. $\left(36c^4-\frac4{49}\right)\left(36c^4+\frac4{49}\right)=1296c^8-\frac{16}{2401}$.

Ответ: 1) $625-a^4$; 2) $81x^4-16$; 3) $\frac1{81}-16b^4$; 4) $1296c^8-\frac{16}{2401}$.

№ 31.21

Представьте в виде многочленов произведения: 1) $(a-y)(a+y)(a^2+y^2)$; 2) $(7x+1)(7x-1)(49x^2+1)$; 3) $(x-6y^3)^2-(x+6y^3)^2$; 4) $(8+x^3)(8-x^3)(64+x^6)$; 5) $(25x^2+y^2)(5x+y)(5x-y)$; 6) $(16a^4+81b^4)(9b^2+4a^2)(4a^2-9b^2)$.

Как думать. В пункте 3 — разность квадратов двух выражений: $(\ldots)^2-(\ldots)^2$. Применим формулу к целым скобкам.

Решение.

1. $(a^2-y^2)(a^2+y^2)=a^4-y^4$.
2. $(49x^2-1)(49x^2+1)=2401x^4-1$.
3. $\big[(x-6y^3)-(x+6y^3)\big]\big[(x-6y^3)+(x+6y^3)\big]=(-12y^3)(2x)=-24xy^3$.
4. $(64-x^6)(64+x^6)=4096-x^{12}$.
5. $(25x^2+y^2)(25x^2-y^2)=625x^4-y^4$.
6. $(4a^2+9b^2)(4a^2-9b^2)=16a^4-81b^4$, потом $(16a^4+81b^4)(16a^4-81b^4)=256a^8-6561b^8$.

Ответ: 1) $a^4-y^4$; 2) $2401x^4-1$; 3) $-24xy^3$; 4) $4096-x^{12}$; 5) $625x^4-y^4$; 6) $256a^8-6561b^8$. Пункты 1, 3, 4 совпадают с учебником.

Уровень C

Дальше задачи посложнее. Не беда, если что-то не сойдётся сразу: за попытку — отдельный плюс!

№ 31.22

Найдите корни уравнений: 1) $x^4-3x^3-x^2+3x=0$; 2) $x^5-x^4-x+1=0$; 3) $(1-3x)^2=(3x+5)^2-96$; 4) $\left(\frac12-5x\right)^2+\frac34=(5x-4)^2$; 5) $x(x+2)-(x+3)(x-3)=13$; 6) $4x(x-1)-(2x+5)(2x-5)=1$.

Как думать. В пунктах 1–2 раскладываем левую часть на множители. В пунктах 3–6 раскрываем скобки, переносим всё в одну сторону и решаем линейное уравнение.

Решение.

1. См. шаги выше.
2. $x^4(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^4-1)=(x-1)(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)^2(x+1)(x^2+1)$. Множитель $x^2+1$ никогда не равен нулю. Корни: $1$ и $-1$.
3. $1-6x+9x^2=9x^2+30x+25-96$, значит $1-6x=30x-71$, $72=36x$, $x=2$.
4. $\frac14-5x+25x^2+\frac34=25x^2-40x+16$, значит $1-5x=-40x+16$, $35x=15$, $x=\frac37$.
5. $x^2+2x-(x^2-9)=13$, значит $2x+9=13$, $x=2$.
6. $4x^2-4x-(4x^2-25)=1$, значит $-4x+25=1$, $x=6$.

Ответ: 1) ${-1;0;1;3}$; 2) ${-1;1}$; 3) ${2}$; 4) $\left{\frac37\right}$; 5) ${2}$; 6) ${6}$. Пункты 1, 2, 5, 6 совпадают с учебником.

№ 31.23

Решите неравенство: 1) $(10-x)(x+10)+x^2\le x+90$; 2) $y^2-(y-8)(8+y)-4>32-y$; 3) $x(x+0{,}3)-(x-0{,}3)(x+0{,}3)\ge 0{,}1$; 4) $27-(1{,}2-y)(-y-1{,}2)<1{,}44-y^2-y$.

Как думать. Упрощаем обе части формулой — квадраты, как правило, исчезают. Остаётся линейное неравенство.

Решение.

1. $100-x^2+x^2\le x+90$, значит $100\le x+90$, $x\ge 10$.
2. $y^2-(y^2-64)-4>32-y$, значит $60>32-y$, $y>-28$.
3. $x^2+0{,}3x-x^2+0{,}09\ge 0{,}1$, значит $0{,}3x\ge 0{,}01$, $x\ge\frac1{30}$.
4. $(1{,}2-y)(-y-1{,}2)=-(1{,}2-y)(1{,}2+y)=-(1{,}44-y^2)$, значит $27+1{,}44-y^2<1{,}44-y^2-y$, $27<-y$, $y<-27$.

Ответ: 1) $[10;+\infty)$; 2) $(-28;+\infty)$; 3) $\left[\frac1{30};+\infty\right)$; 4) $(-\infty;-27)$. Совпадает с учебником.

№ 31.24

Докажите тождество: 1) $(1+a)(1-a)(1+a^2)-5+a^4=-4$; 2) $5a^2-3(a+1)(a-1)+8a^2+5=10a^2+8$; 3) $7(a^2+2)-4(a+3)(a-3)+3a^2+24=6a^2+74$; 4) $10(a^2-15)-12(a-4)(a+4)+8-a^2=50-3a^2$.

Как думать. Упрощаем только левую часть и сравниваем с правой.

Решение.

1. $(1-a^2)(1+a^2)-5+a^4=1-a^4-5+a^4=-4$ ✓.
2. $5a^2-3(a^2-1)+8a^2+5=5a^2-3a^2+3+8a^2+5=10a^2+8$ ✓.
3. $7a^2+14-4(a^2-9)+3a^2+24=7a^2+14-4a^2+36+3a^2+24=6a^2+74$ ✓.
4. $10a^2-150-12(a^2-16)+8-a^2=10a^2-150-12a^2+192+8-a^2=50-3a^2$ ✓.

Ответ: все четыре тождества доказаны.

№ 31.25

Представьте в виде произведения: 1) $25a^4x^2z^{10}-9b^6y^2z^{10}$; 2) $(9a^4-4b^6)a^2b^2-12a^2b^8$.

Как думать. Сначала выносим общий множитель, потом разность квадратов.

Решение.

1. $z^{10}(25a^4x^2-9b^6y^2)=z^{10}(5a^2x-3b^3y)(5a^2x+3b^3y)$.
2. $a^2b^2(9a^4-4b^6-12b^6)=a^2b^2(9a^4-16b^6)=a^2b^2(3a^2-4b^3)(3a^2+4b^3)$.

Ответ: 1) $z^{10}(5a^2x-3b^3y)(5a^2x+3b^3y)$; 2) $a^2b^2(3a^2-4b^3)(3a^2+4b^3)$.

№ 31.26

Укажите, при каком наименьшем натуральном $k$ значение выражения: 1) $(k-3)^2-(k+3)^2$ делится на 15; 2) $(7k+2)^2-(7k-2)^2$ делится на 21?

Как думать. Упростим выражение по формуле, а потом подумаем о делимости.

Решение.

1. $(k-3-k-3)(k-3+k+3)=(-6)(2k)=-12k$. Число $12k$ делится на 15, если $4k$ делится на 5 (так как $12=3\cdot 4$, а 3 уже есть в 15). Значит, $k$ кратно 5. Наименьшее: $k=5$ (проверка: $12\cdot 5=60=15\cdot 4$).
2. $(7k+2-7k+2)(7k+2+7k-2)=4\cdot 14k=56k$. $56=7\cdot 8$, а $21=3\cdot 7$. Семёрка уже есть, нужно, чтобы $8k$ делилось на 3, то есть $k$ кратно 3. Наименьшее: $k=3$ (проверка: $56\cdot 3=168=21\cdot 8$).

Ответ: 1) $k=5$; 2) $k=3$.

Готовимся к следующей теме

№ 31.27

Сторона квадрата 13 см. Её увеличили на 2 см. Найдите площадь нового квадрата.

Как думать. Новая сторона: $13+2=15$ см. Это подготовка к квадрату суммы $(a+b)^2$.

Решение. $(13+2)^2=15^2=225$ см².

Ответ: $225$ см².

№ 31.28

Способом группировки разложите $4a^2-4a+1$ на два одинаковых множителя.

Как думать. Средний член $-4a$ разбиваем на два слагаемых: $-2a-2a$.

Решение. $4a^2-2a-2a+1=2a(2a-1)-(2a-1)=(2a-1)(2a-1)=(2a-1)^2$.

Ответ: $(2a-1)(2a-1)=(2a-1)^2$. Это предвестник формулы квадрата разности из следующего параграфа!

Шпаргалка

• Видишь «сумма на разность» — сразу пиши «квадрат первого минус квадрат второго».
• Видишь «минус между двумя квадратами» — раскладывай на $(\ldots-\ldots)(\ldots+\ldots)$.
• Если есть общий множитель — вынеси его раньше.
• $(a-b)^2\ne a^2-b^2$, это разные выражения.
• Квадрат степени: $(a^3)^2=a^6$.

Мини-тест