§ 32. Формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 5: Формулы сокращенного умножения. Страницы 188–196.

Чему научишься

• Раскрывать скобки в $(a+b)^2$ и $(a-b)^2$ сразу, без умножения «каждого на каждый».
• Узнавать «полный квадрат» в трёхчлене и сворачивать его обратно в скобки.
• Считать в уме квадраты вроде $101^2$ и $98^2$.
• Раскладывать трёхчлены на множители, упрощать выражения и решать уравнения и неравенства с квадратами скобок.

Разминка

Вспомним то, что понадобится. Ответы под нажатие.

• Что значит $(a+b)^2$? Это $(a+b)\cdot(a+b)$: скобка, умноженная сама на себя.
• Чему равно $(a-b)(a+b)$? $a^2-b^2$: средние слагаемые сокращаются (это § 31).
• Как возвести в квадрат $(5n)^2$? $25n^2$: в квадрат идут и число, и буква.
• Как записать $1{,}96$ в виде квадрата? $1{,}96=1{,}4^2$.
• Как умножить $(x+3)(x+3)$ по правилу «каждый на каждый»? $x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9$.

Разбираемся

Почему $(a+b)^2$ — это не $a^2+b^2$

Умножим скобку саму на себя:

$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2.$

Два одинаковых слагаемых $ab$ не сокращаются, а складываются. Вот откуда берётся «удвоенное произведение» $2ab$.

📌 Квадрат суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Словами: квадрат первого выражения, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго.

Увидим формулу глазами

Участок земли — квадрат со стороной $a+b$. Пусть $a=4$ м, $b=2$ м. Тогда сторона $6$ м, площадь $36$ м². Участок режется на четыре части: квадрат $a^2=16$, два прямоугольника $ab=8$ и маленький квадрат $b^2=4$. Сумма: $16+8+8+4=36$. Сходится!

⚠️ Частая ошибка. $(a+b)^2\ne a^2+b^2$. На картинке видно, что потерялись два прямоугольника $ab$. Проверь на числах: $(4+2)^2=36$, а $4^2+2^2=20$.

Квадрат разности

Заменим $b$ на $-b$ и получим формулу для минуса:

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$

Докажем сами, как просил учебник: $(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$.

📌 Квадрат разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Отличие от суммы одно: перед $2ab$ стоит минус. Обе формулы можно записать одной: $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$.

Геометрия: берём квадрат со стороной $a=5$ и убираем полоски шириной $b=2$. Остаётся квадрат $(a-b)^2=9$. Целый квадрат $25$ складывается из $(a-b)^2=9$, двух прямоугольников $(a-b)\cdot b=6$ и квадратика $b^2=4$: $9+6+6+4=25$.

Читаем формулы в обе стороны

Слева направо: раскрываем скобки. Пример: $(5n+2m)^2=25n^2+20nm+4m^2$. Здесь $a=5n$, $b=2m$, а $2ab=2\cdot5n\cdot2m=20nm$.

Справа налево: «сворачиваем» трёхчлен. Пример: $0{,}49c^2+1{,}4cd+d^2$. Первый член $(0{,}7c)^2$, последний $d^2$, а средний $1{,}4cd=2\cdot0{,}7c\cdot d$. Значит, это $(0{,}7c+d)^2$.

Ещё два образца из теории:

• $\left(\frac17n-3m^2\right)^2=\frac1{49}n^2-\frac67nm^2+9m^4$;
• $0{,}36a^6-9{,}6a^3b+64b^2=(0{,}6a^3-8b)^2$.

💡 Трёхчлен — полный квадрат, если два члена — точные квадраты, а средний равен удвоенному произведению их корней. Если не равен — свернуть нельзя.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка объяснить, откуда в $(a+b)^2$ взялось $2ab$ — по картинке с двумя прямоугольниками. Тот, кто понял картинку, не будет путать эту формулу с $a^2+b^2$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Чем похожи и чем отличаются формулы квадрата суммы и квадрата разности? Обе дают трёхчлен: квадрат первого, удвоенное произведение, квадрат второго. Отличие одно: у суммы перед $2ab$ стоит плюс, у разности минус. Последний член $b^2$ всегда с плюсом.
• От чего зависит, применять формулу слева направо или справа налево? От вида выражения. Видишь скобку в квадрате — раскрывай (слева направо). Видишь трёхчлен с двумя точными квадратами и правильным средним членом — сворачивай (справа налево).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 32.1

Представьте в виде многочленов: 1) $(m-3)^2$; 2) $(x+5)^2$; 3) $(6+y)^2$; 4) $(b-9)^2$; 5) $(4+d)^2$; 6) $(p+q)^2$; 7) $(z^2-y)^2$; 8) $(a+1)^2$.

Как думать. Берём формулу $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$: квадрат первого, удвоенное произведение, квадрат второго.

Решение.

1. $m^2-2\cdot m\cdot3+9=m^2-6m+9$.
2. $x^2+10x+25$.
3. $36+12y+y^2$.
4. $b^2-18b+81$.
5. $16+8d+d^2$.
6. $p^2+2pq+q^2$.
7. $(z^2)^2-2z^2y+y^2=z^4-2z^2y+y^2$.
8. $a^2+2a+1$.

Ответ: 1) $m^2-6m+9$; 2) $x^2+10x+25$; 3) $36+12y+y^2$; 4) $b^2-18b+81$; 5) $16+8d+d^2$; 6) $p^2+2pq+q^2$; 7) $z^4-2z^2y+y^2$; 8) $a^2+2a+1$.

№ 32.2

Представьте в виде многочленов: 1) $\left(a+\frac17\right)^2$; 2) $\left(\frac19+b\right)^2$; 3) $\left(\frac n4+\frac m3\right)^2$; 4) $\left(\frac k2-\frac t5\right)^2$; 5) $\left(4\frac13-x\right)^2$; 6) $\left(y+3\frac14\right)^2$; 7) $\left(z-5\frac15\right)^2$; 8) $\left(4\frac12+t\right)^2$.

Как думать. То же самое, только с дробями. Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби: $4\frac13=\frac{13}3$.

Решение.

1. $a^2+\frac27a+\frac1{49}$.
2. $\frac1{81}+\frac29b+b^2$.
3. $\frac{n^2}{16}+2\cdot\frac n4\cdot\frac m3+\frac{m^2}9=\frac{n^2}{16}+\frac{nm}6+\frac{m^2}9$.
4. $\frac{k^2}4-\frac{kt}5+\frac{t^2}{25}$.
5. $\left(\frac{13}3-x\right)^2=\frac{169}9-\frac{26}3x+x^2=18\frac79-8\frac23x+x^2$.
6. $\left(y+\frac{13}4\right)^2=y^2+\frac{13}2y+\frac{169}{16}=y^2+6\frac12y+10\frac9{16}$.
7. $\left(z-\frac{26}5\right)^2=z^2-\frac{52}5z+\frac{676}{25}=z^2-10\frac25z+27\frac1{25}$.
8. $\left(\frac92+t\right)^2=\frac{81}4+9t+t^2=20\frac14+9t+t^2$.

Ответ: 1) $a^2+\frac27a+\frac1{49}$; 2) $\frac1{81}+\frac29b+b^2$; 3) $\frac{n^2}{16}+\frac{nm}6+\frac{m^2}9$; 4) $\frac{k^2}4-\frac{kt}5+\frac{t^2}{25}$; 5) $\frac{169}9-\frac{26}3x+x^2$; 6) $y^2+\frac{13}2y+\frac{169}{16}$; 7) $z^2-\frac{52}5z+\frac{676}{25}$; 8) $\frac{81}4+9t+t^2$.

№ 32.3

Вычислите, представив основание степени в виде суммы или разности: 1) $101^2$; 2) $102^2$; 3) $103^2$; 4) $104^2$; 5) $99^2$; 6) $98^2$; 7) $97^2$; 8) $96^2$.

Как думать. Число около 100 разбиваем на $100\pm$ маленькое число и применяем формулу.

Решение.

1. $(100+1)^2=10,000+200+1=10,201$.
2. $(100+2)^2=10,000+400+4=10,404$.
3. $(100+3)^2=10,000+600+9=10,609$.
4. $(100+4)^2=10,000+800+16=10,816$.
5. $(100-1)^2=10,000-200+1=9801$.
6. $(100-2)^2=10,000-400+4=9604$.
7. $(100-3)^2=10,000-600+9=9409$.
8. $(100-4)^2=10,000-800+16=9216$.

Ответ: 1) $10,201$; 2) $10,404$; 3) $10,609$; 4) $10,816$; 5) $9801$; 6) $9604$; 7) $9409$; 8) $9216$.

№ 32.4

Представьте в виде квадрата двучлена: 1) $a^2+2a+1$; 2) $b^2-8b+16$; 3) $c^2+10c+25$; 4) $n^2+14n+49$; 5) $100-20z+z^2$; 6) $81+18b+b^2$.

Как думать. Находим два точных квадрата, а средний член сверяем с удвоенным произведением. Знак в скобках берём по среднему члену.

Решение.

1. $a^2+2\cdot a\cdot1+1^2=(a+1)^2$.
2. $b^2-2\cdot b\cdot4+4^2=(b-4)^2$.
3. $c^2+2\cdot c\cdot5+5^2=(c+5)^2$.
4. $n^2+2\cdot n\cdot7+7^2=(n+7)^2$.
5. $10^2-2\cdot10\cdot z+z^2=(10-z)^2$.
6. $9^2+2\cdot9\cdot b+b^2=(9+b)^2$.

Ответ: 1) $(a+1)^2$; 2) $(b-4)^2$; 3) $(c+5)^2$; 4) $(n+7)^2$; 5) $(10-z)^2$; 6) $(9+b)^2$.

№ 32.5

Представьте в виде квадрата двучлена: 1) $0{,}16-0{,}8t+t^2$; 2) $z^2+1{,}4z+0{,}49$; 3) $0{,}36-1{,}2b+b^2$; 4) $2{,}25-3x+x^2$; 5) $y^2-3{,}2y+2{,}56$; 6) $3{,}61+3{,}8d+d^2$.

Как думать. Десятичные дроби — точные квадраты: $0{,}16=0{,}4^2$, $2{,}25=1{,}5^2$, $2{,}56=1{,}6^2$, $3{,}61=1{,}9^2$.

Решение.

1. $0{,}4^2-2\cdot0{,}4\cdot t+t^2=(0{,}4-t)^2$.
2. $z^2+2\cdot z\cdot0{,}7+0{,}7^2=(z+0{,}7)^2$.
3. $(0{,}6-b)^2$: $2\cdot0{,}6\cdot b=1{,}2b$.
4. $(1{,}5-x)^2$: $2\cdot1{,}5\cdot x=3x$.
5. $(y-1{,}6)^2$: $2\cdot1{,}6=3{,}2$.
6. $(1{,}9+d)^2$: $2\cdot1{,}9=3{,}8$.

Ответ: 1) $(0{,}4-t)^2$; 2) $(z+0{,}7)^2$; 3) $(0{,}6-b)^2$; 4) $(1{,}5-x)^2$; 5) $(y-1{,}6)^2$; 6) $(1{,}9+d)^2$.

№ 32.6

Представьте в виде квадрата двучлена: 1) $\frac49+\frac43a+a^2$; 2) $\frac9{25}+\frac65b+b^2$; 3) $\frac{16}{49}+\frac87c+c^2$; 4) $\frac{100}{121}k^2-\frac{20}{11}tk+t^2$; 5) $m^2-\frac{22}{13}mn+\frac{121}{169}n^2$; 6) $\frac{400}{441}t^2+\frac{40}{21}nt+n^2$.

Как думать. Корень из дроби — корень из числителя и корень из знаменателя: $\sqrt{\frac49}=\frac23$. Потом проверяем средний член.

Решение.

1. $\left(\frac23\right)^2+2\cdot\frac23\cdot a+a^2$: $2\cdot\frac23=\frac43$ верно. Итог $\left(\frac23+a\right)^2$.
2. $\left(\frac35+b\right)^2$: $2\cdot\frac35=\frac65$.
3. $\left(\frac47+c\right)^2$: $2\cdot\frac47=\frac87$.
4. $\left(\frac{10}{11}k-t\right)^2$: $2\cdot\frac{10}{11}=\frac{20}{11}$.
5. $\left(m-\frac{11}{13}n\right)^2$: $2\cdot\frac{11}{13}=\frac{22}{13}$.
6. $\left(\frac{20}{21}t+n\right)^2$: $2\cdot\frac{20}{21}=\frac{40}{21}$.

Ответ: 1) $\left(\frac23+a\right)^2$; 2) $\left(\frac35+b\right)^2$; 3) $\left(\frac47+c\right)^2$; 4) $\left(\frac{10}{11}k-t\right)^2$; 5) $\left(m-\frac{11}{13}n\right)^2$; 6) $\left(\frac{20}{21}t+n\right)^2$.

№ 32.7

Представьте в виде квадрата двучлена: 1) $\frac{25}4+5x+x^2$; 2) $\frac9{16}-\frac32y+y^2$; 3) $\frac{49}{36}-\frac73z+z^2$; 4) $n^2-\frac94cn+\frac{81}{64}c^2$; 5) $m^2+\frac{11}6m+\frac{121}{144}$; 6) $t^2-\frac{17}5dt+\frac{289}{100}d^2$.

Как думать. Тот же приём: корни из крайних членов, затем проверка среднего.

Решение.

1. $\left(\frac52+x\right)^2$: $2\cdot\frac52=5$.
2. $\left(\frac34-y\right)^2$: $2\cdot\frac34=\frac32$.
3. $\left(\frac76-z\right)^2$: $2\cdot\frac76=\frac73$.
4. $\left(n-\frac98c\right)^2$: $2\cdot\frac98=\frac94$.
5. $\left(\frac{11}{12}+m\right)^2$: $2\cdot\frac{11}{12}=\frac{11}6$.
6. $\left(t-\frac{17}{10}d\right)^2$: $2\cdot\frac{17}{10}=\frac{17}5$.

Ответ: 1) $\left(\frac52+x\right)^2$; 2) $\left(\frac34-y\right)^2$; 3) $\left(\frac76-z\right)^2$; 4) $\left(n-\frac98c\right)^2$; 5) $\left(\frac{11}{12}+m\right)^2$; 6) $\left(t-\frac{17}{10}d\right)^2$.

№ 32.8

Упростите: 1) $(x+5)\cdot6+(x-3)^2$; 2) $(y-4)^2-(y+2)\cdot8$; 3) $26-a^2-(5-a)^2$; 4) $(k+7)^2-14k-50$; 5) $0{,}3+b^2-(b-0{,}5)^2$; 6) $15+(0{,}4+c)^2-0{,}8c^2$.

Как думать. Раскрываем скобки по формуле (не забывай про знак минус перед скобкой!) и приводим подобные.

Решение.

1. $6x+30+x^2-6x+9=x^2+39$.
2. $y^2-8y+16-8y-16=y^2-16y$.
3. $26-a^2-(25-10a+a^2)=26-a^2-25+10a-a^2=-2a^2+10a+1$.
4. $k^2+14k+49-14k-50=k^2-1$.
5. $0{,}3+b^2-(b^2-b+0{,}25)=0{,}3+b-0{,}25=b+0{,}05$.
6. $15+0{,}16+0{,}8c+c^2-0{,}8c^2=0{,}2c^2+0{,}8c+15{,}16$.

Ответ: 1) $x^2+39$; 2) $y^2-16y$; 3) $-2a^2+10a+1$; 4) $k^2-1$; 5) $b+0{,}05$; 6) $0{,}2c^2+0{,}8c+15{,}16$.

№ 32.9

Упростите: 1) $(a-4b)^2-8ab-17b$; 2) $-9c^2+(3c+d)^2-d^2$; 3) $(5a-6)^2-(5a-6)(5a+6)$; 4) $(7b-t)(t+7b)+(7b+t)^2$; 5) $(9-8b)(2b+3)+(4b-1)^2$; 6) $(11c+3)^2-2c(5{,}5c+33)$.

Как думать. Здесь смешаны обе формулы: квадрат суммы или разности и разность квадратов (§ 31).

Решение.

1. $a^2-8ab+16b^2-8ab-17b=a^2-16ab+16b^2-17b$.
2. $-9c^2+9c^2+6cd+d^2-d^2=6cd$.
3. $25a^2-60a+36-(25a^2-36)=-60a+72$.
4. $(7b-t)(7b+t)=49b^2-t^2$; $(7b+t)^2=49b^2+14bt+t^2$; сумма $98b^2+14bt$.
5. $(9-8b)(2b+3)=18b+27-16b^2-24b=-16b^2-6b+27$; $(4b-1)^2=16b^2-8b+1$; сумма $-14b+28$.
6. $121c^2+66c+9-11c^2-66c=110c^2+9$.

Ответ: 1) $a^2-16ab+16b^2-17b$; 2) $6cd$; 3) $72-60a$; 4) $98b^2+14bt$; 5) $28-14b$; 6) $110c^2+9$.

№ 32.10

Упростите: 1) $a(a-2b)-(3b+a)^2$; 2) $(m+8)^2-(m-2n)(m+2n)$; 3) $3(b-10)^2+8b-5b^2$; 4) $(n+15)^2-n(n-19)$; 5) $4c(9c-3)-(6c+1)^2$; 6) $(6-5m)(5m+6)+(5m-4)^2$.

Решение.

1. $a^2-2ab-9b^2-6ab-a^2=-8ab-9b^2$.
2. $m^2+16m+64-(m^2-4n^2)=16m+4n^2+64$.
3. $3(b^2-20b+100)+8b-5b^2=3b^2-60b+300+8b-5b^2=-2b^2-52b+300$.
4. $n^2+30n+225-n^2+19n=49n+225$.
5. $36c^2-12c-36c^2-12c-1=-24c-1$.
6. $(6-5m)(6+5m)=36-25m^2$; $(5m-4)^2=25m^2-40m+16$; сумма $52-40m$.

Ответ: 1) $-8ab-9b^2$; 2) $16m+4n^2+64$; 3) $-2b^2-52b+300$; 4) $49n+225$; 5) $-24c-1$; 6) $52-40m$.

№ 32.11

Сторона первого квадрата — $x+3$, второго — $x-4$. 1) Формулы площадей обоих квадратов. 2) Формула площади третьего квадрата, сторона которого равна сумме сторон первых двух. 3) Площади всех трёх при $x=8$ см.

Как думать. Площадь квадрата — сторона в квадрате. Сторона третьего: $(x+3)+(x-4)=2x-1$.

Решение.

1. $S_1=(x+3)^2=x^2+6x+9$; $S_2=(x-4)^2=x^2-8x+16$.
2. $S_3=(2x-1)^2=4x^2-4x+1$.
3. При $x=8$: $S_1=11^2=121$ см²; $S_2=4^2=16$ см²; $S_3=15^2=225$ см².

Ответ: 1) $S_1=(x+3)^2$, $S_2=(x-4)^2$; 2) $S_3=(2x-1)^2$; 3) $121$ см², $16$ см², $225$ см².

№ 32.12

Представьте в виде квадрата двучлена: 1) $9y^2-12xy+4y^2$; 2) $25t^2+30t+9$; 3) $16k^2-40k+25$; 4) $121a^2-44ac+4c^2$; 5) $4n^2+52mn+169m^2$; 6) $36t^2-84ts+49s^2$; 7) $0{,}04x^2-1{,}2xy+9y^2$; 8) $36c^2+6cd+0{,}25d^2$; 9) $1{,}96k^2-14kt+25t^2$; 10) $\frac1{49}a^2+\frac2{21}ab+\frac19b^2$; 11) $\frac14x^2-\frac38xy+\frac9{64}y^2$; 12) $81d^2-\frac{27}2cd+\frac9{16}c^2$.

📕 В пункте 1 в учебнике напечатано «$9y^2-12xy+4y^2$», но так в квадрат не свернуть: последний член должен быть $4x^2$. Правильное условие: $9y^2-12xy+4x^2=(3y-2x)^2$.

Как думать. Берём корни из первого и последнего членов, а средний проверяем: он должен быть равен удвоенному произведению этих корней.

Решение.

1. $(3y)^2-2\cdot3y\cdot2x+(2x)^2=(3y-2x)^2$ (при исправленном условии).
2. $(5t)^2+2\cdot5t\cdot3+3^2=(5t+3)^2$.
3. $(4k-5)^2$: $2\cdot4\cdot5=40$.
4. $(11a-2c)^2$: $2\cdot11\cdot2=44$.
5. $(2n+13m)^2$: $2\cdot2\cdot13=52$.
6. $(6t-7s)^2$: $2\cdot6\cdot7=84$.
7. $(0{,}2x-3y)^2$: $2\cdot0{,}2\cdot3=1{,}2$.
8. $(6c+0{,}5d)^2$: $2\cdot6\cdot0{,}5=6$.
9. $(1{,}4k-5t)^2$: $2\cdot1{,}4\cdot5=14$.
10. $\left(\frac17a+\frac13b\right)^2$: $2\cdot\frac17\cdot\frac13=\frac2{21}$.
11. $\left(\frac12x-\frac38y\right)^2$: $2\cdot\frac12\cdot\frac38=\frac38$.
12. $\left(9d-\frac34c\right)^2$: $2\cdot9\cdot\frac34=\frac{27}2$.

Ответ: 1) $(3y-2x)^2$; 2) $(5t+3)^2$; 3) $(4k-5)^2$; 4) $(11a-2c)^2$; 5) $(2n+13m)^2$; 6) $(6t-7s)^2$; 7) $(0{,}2x-3y)^2$; 8) $(6c+0{,}5d)^2$; 9) $(1{,}4k-5t)^2$; 10) $\left(\frac17a+\frac13b\right)^2$; 11) $\left(\frac12x-\frac38y\right)^2$; 12) $\left(9d-\frac34c\right)^2$.

№ 32.13

Разложите на множители трёхчлены: 1) $5x^2+20x+20$; 2) $2x^2-12x+18$; 3) $-3x^2+18x-27$; 4) $-2y^2-16y-32$; 5) $6x^2+12x+6$; 6) $-10a^2+20a-10$.

Как думать. Сначала выноси общий множитель за скобку (для минуса — вместе с минусом), а в скобке остаётся полный квадрат.

Решение.

1. $5(x^2+4x+4)=5(x+2)^2$.
2. $2(x^2-6x+9)=2(x-3)^2$.
3. $-3(x^2-6x+9)=-3(x-3)^2$.
4. $-2(y^2+8y+16)=-2(y+4)^2$.
5. $6(x^2+2x+1)=6(x+1)^2$.
6. $-10(a^2-2a+1)=-10(a-1)^2$.

Ответ: 1) $5(x+2)^2$; 2) $2(x-3)^2$; 3) $-3(x-3)^2$; 4) $-2(y+4)^2$; 5) $6(x+1)^2$; 6) $-10(a-1)^2$.

№ 32.14

Разложите на множители: 1) $a^3+2a^2+a$; 2) $x^2y-6xy+9y$; 3) $c^4-4c^3+4c^2$; 4) $2ay^2-4ay+2a$; 5) $\frac19a-\frac89ab+\frac{16}9ab^2$; 6) $0{,}5cd-acd+0{,}5a^2cd$.

Как думать. Общий множитель за скобку, потом полный квадрат.

Решение.

1. $a(a^2+2a+1)=a(a+1)^2$.
2. $y(x^2-6x+9)=y(x-3)^2$.
3. $c^2(c^2-4c+4)=c^2(c-2)^2$.
4. $2a(y^2-2y+1)=2a(y-1)^2$.
5. $\frac19a(1-8b+16b^2)=\frac19a(1-4b)^2$.
6. $0{,}5cd(1-2a+a^2)=0{,}5cd(1-a)^2$.

Ответ: 1) $a(a+1)^2$; 2) $y(x-3)^2$; 3) $c^2(c-2)^2$; 4) $2a(y-1)^2$; 5) $\frac19a(1-4b)^2$; 6) $0{,}5cd(1-a)^2$.

№ 32.15

Решите уравнения: 1) $(x+11)^2-x^2=11$; 2) $69-(13-y)^2=-y^2$; 3) $44+z^2=(12+z)^2$; 4) $31-t^2=-(t-9)^2$.

Как думать. Раскрываем квадрат — и $x^2$ в обеих частях сокращается. Остаётся линейное уравнение.

Решение.

1. $x^2+22x+121-x^2=11$; $22x=-110$; $x=-5$.
2. $69-169+26y-y^2=-y^2$; $26y=100$; $y=\frac{50}{13}=3\frac{11}{13}$.
3. $44+z^2=144+24z+z^2$; $24z=-100$; $z=-\frac{25}6=-4\frac16$.
4. $31-t^2=-t^2+18t-81$; $18t=112$; $t=\frac{56}9=6\frac29$.

Ответ: 1) $-5$; 2) $3\frac{11}{13}$; 3) $-4\frac16$; 4) $6\frac29$.

№ 32.16

Решите уравнения: 1) $(a-3)^2-(a+8)(a-8)=0$; 2) $(9-b)(b+9)+(4-b)^2=0$; 3) $(c-6)^2-(7+c)^2=0$; 4) $(d-10)^2+(4-d)(d+4)=0$.

Решение.

1. $a^2-6a+9-a^2+64=0$; $73=6a$; $a=\frac{73}6=12\frac16$.
2. $81-b^2+16-8b+b^2=0$; $97=8b$; $b=\frac{97}8=12\frac18$.
3. $c^2-12c+36-49-14c-c^2=0$; $-26c=13$; $c=-\frac12$.
4. $d^2-20d+100+16-d^2=0$; $116=20d$; $d=5{,}8$.

Ответ: 1) $12\frac16$; 2) $12\frac18$; 3) $-\frac12$; 4) $5{,}8$.

№ 32.17

Решите уравнения: 1) $x(x-4)=2+(x-1)^2$; 2) $(x+2)(x-3)-3=(x+1)^2$; 3) $y(5-y)=1-(y+2)^2$; 4) $(y-1)^2-(y+1)(y-7)=0$.

Решение.

1. $x^2-4x=2+x^2-2x+1$; $-2x=3$; $x=-1{,}5$.
2. $x^2-x-6-3=x^2+2x+1$; $-3x=10$; $x=-\frac{10}3=-3\frac13$.
3. $5y-y^2=1-y^2-4y-4$; $9y=-3$; $y=-\frac13$.
4. $y^2-2y+1-(y^2-6y-7)=0$; $4y+8=0$; $y=-2$.

Ответ: 1) $-1{,}5$; 2) $-3\frac13$; 3) $-\frac13$; 4) $-2$.

№ 32.18

Решите неравенства: 1) $n^2-(n+1)^2>2$; 2) $(1-t)^2-t^2>3$; 3) $(m-2)^2-4<m^2$; 4) $m^2+9<(1-m)^2$.

Как думать. Квадраты сокращаются, остаётся линейное неравенство. При делении на отрицательное число знак неравенства переворачиваем!

Решение.

1. $n^2-n^2-2n-1>2$; $-2n>3$; $n<-1{,}5$.
2. $1-2t+t^2-t^2>3$; $-2t>2$; $t<-1$.
3. $m^2-4m+4-4<m^2$; $-4m<0$; $m>0$.
4. $m^2+9<1-2m+m^2$; $2m<-8$; $m<-4$.

Ответ: 1) $\left(-\infty;-1\frac12\right)$; 2) $(-\infty;-1)$; 3) $(0;+\infty)$; 4) $(-\infty;-4)$.

№ 32.19

Решите неравенства: 1) $x(x-5)-(x-3)^2<0$; 2) $(4+y)^2-y(6+y)>0$; 3) $(17-y)^2>y(y-13)-5$; 4) $z(z-10)>(3-z)^2$.

Решение.

1. $x^2-5x-x^2+6x-9<0$; $x<9$.
2. $16+8y+y^2-6y-y^2>0$; $2y>-16$; $y>-8$.
3. $289-34y+y^2>y^2-13y-5$; $294>21y$; $y<14$.
4. $z^2-10z>9-6z+z^2$; $-4z>9$; $z<-2{,}25$.

Ответ: 1) $(-\infty;9)$; 2) $(-8;+\infty)$; 3) $(-\infty;14)$; 4) $\left(-\infty;-2\frac14\right)$.

№ 32.20

Решите неравенства: 1) $(x+9)(x-2)-(x-2)^2>0$; 2) $(10-x)^2+(x+10)(10-x)<0$; 3) $(5-x)(x+5)+(x-5)^2>0$; 4) $8x+(4+x)(2-x)+(1-x)^2>0$.

Решение.

1. $x^2+7x-18-x^2+4x-4>0$; $11x>22$; $x>2$.
2. $100-20x+x^2+100-x^2<0$; $200<20x$; $x>10$.
3. $25-x^2+x^2-10x+25>0$; $50>10x$; $x<5$.
4. $8x+8-2x-x^2+1-2x+x^2>0$; $4x+9>0$; $x>-2{,}25$.

Ответ: 1) $(2;+\infty)$; 2) $(10;+\infty)$; 3) $(-\infty;5)$; 4) $\left(-2\frac14;+\infty\right)$.

Уровень B

№ 32.21

Запишите в виде многочлена: 1) $(3x-8y)^2$; 2) $(7z+11d)^2$; 3) $(3{,}5t-4k)^2$; 4) $(5k+1{,}2t)^2$; 5) $\left(\frac23a-\frac37b\right)^2$; 6) $\left(\frac78c-\frac47d\right)^2$.

Как думать. Формула та же, но «первое» и «второе» теперь сами двучлены с числами. Считаем $a^2$, $2ab$, $b^2$ по отдельности.

Решение.

1. $9x^2-2\cdot3x\cdot8y+64y^2=9x^2-48xy+64y^2$.
2. $49z^2+154zd+121d^2$.
3. $12{,}25t^2-28tk+16k^2$.
4. $25k^2+12kt+1{,}44t^2$.
5. $\frac49a^2-\frac47ab+\frac9{49}b^2$: $2\cdot\frac23\cdot\frac37=\frac47$.
6. $\frac{49}{64}c^2-cd+\frac{16}{49}d^2$: $2\cdot\frac78\cdot\frac47=1$.

Ответ: 1) $9x^2-48xy+64y^2$; 2) $49z^2+154zd+121d^2$; 3) $12{,}25t^2-28tk+16k^2$; 4) $25k^2+12kt+1{,}44t^2$; 5) $\frac49a^2-\frac47ab+\frac9{49}b^2$; 6) $\frac{49}{64}c^2-cd+\frac{16}{49}d^2$.

№ 32.22

Запишите в виде многочлена степени: 1) $(1{,}3m^2+4n^2)^2$; 2) $(2{,}5a^2+4b)^2$; 3) $\left(\frac52p-0{,}5q^3\right)^2$; 4) $\left(2{,}4m^3-\frac34t\right)^2$; 5) $\left(\frac74+0{,}6b^4\right)^2$; 6) $\left(\frac38a-\frac23b^4\right)^2$.

Как думать. Степени перемножаем: $(m^2)^2=m^4$, $(q^3)^2=q^6$, $(b^4)^2=b^8$.

Решение.

1. $1{,}69m^4+10{,}4m^2n^2+16n^4$.
2. $6{,}25a^4+20a^2b+16b^2$.
3. $\frac{25}4p^2-\frac52pq^3+0{,}25q^6$.
4. $5{,}76m^6-3{,}6m^3t+\frac9{16}t^2$.
5. $\frac{49}{16}+2{,}1b^4+0{,}36b^8$.
6. $\frac9{64}a^2-\frac12ab^4+\frac49b^8$.

Ответ: 1) $1{,}69m^4+10{,}4m^2n^2+16n^4$; 2) $6{,}25a^4+20a^2b+16b^2$; 3) $6{,}25p^2-2{,}5pq^3+0{,}25q^6$; 4) $5{,}76m^6-3{,}6m^3t+\frac9{16}t^2$; 5) $\frac{49}{16}+2{,}1b^4+0{,}36b^8$; 6) $\frac9{64}a^2-\frac12ab^4+\frac49b^8$.

№ 32.23

Представьте в виде квадрата многочлена: 1) $a^{10}-10a^5b^8+25b^{16}$; 2) $a^6+6a^3x^4+9x^8$; 3) $81a^6-90a^3b^2c+25b^4c^2$; 4) $16x^2+24x^3+9x^4$.

Как думать. Степени делим пополам: $a^{10}=(a^5)^2$, $b^{16}=(b^8)^2$.

Решение.

1. $(a^5)^2-2\cdot a^5\cdot5b^8+(5b^8)^2=(a^5-5b^8)^2$.
2. $(a^3)^2+2\cdot a^3\cdot3x^4+(3x^4)^2=(a^3+3x^4)^2$.
3. $(9a^3)^2-2\cdot9a^3\cdot5b^2c+(5b^2c)^2=(9a^3-5b^2c)^2$.
4. $(4x)^2+2\cdot4x\cdot3x^2+(3x^2)^2=(4x+3x^2)^2$.

Ответ: 1) $(a^5-5b^8)^2$; 2) $(a^3+3x^4)^2$; 3) $(9a^3-5b^2c)^2$; 4) $(4x+3x^2)^2$.

№ 32.24

Представьте в виде квадрата двучлена: 1) $x^2+2+\frac1{x^2}$; 2) $\frac{x^2}{y^2}-2+\frac{y^2}{x^2}$; 3) $\frac{a^2}{b^2}-2a+b^2$; 4) $\frac{a^2}{4b^2}+2+\frac{4b^2}{a^2}$; 5) $\frac1{4x^2}+1+x^2$; 6) $\frac{9x^2}{4y^2}-\frac1y+\frac1{9x^2}$.

Как думать. Дроби не пугают: $\frac{x^2}{y^2}=\left(\frac xy\right)^2$. Главное — проверить, что средний член равен удвоенному произведению корней.

Решение.

1. $x^2=(x)^2$, $\frac1{x^2}=\left(\frac1x\right)^2$, $2\cdot x\cdot\frac1x=2$. Итог $\left(x+\frac1x\right)^2$.
2. $\left(\frac xy\right)^2$ и $\left(\frac yx\right)^2$, $2\cdot\frac xy\cdot\frac yx=2$. Итог $\left(\frac xy-\frac yx\right)^2$.
3. $\left(\frac ab\right)^2$ и $b^2$, $2\cdot\frac ab\cdot b=2a$. Итог $\left(\frac ab-b\right)^2$.
4. $\left(\frac a{2b}\right)^2$ и $\left(\frac{2b}a\right)^2$, произведение корней $1$, удвоенное $2$. Итог $\left(\frac a{2b}+\frac{2b}a\right)^2$.
5. $\left(\frac1{2x}\right)^2$ и $x^2$, $2\cdot\frac1{2x}\cdot x=1$. Итог $\left(\frac1{2x}+x\right)^2$.
6. $\left(\frac{3x}{2y}\right)^2$ и $\left(\frac1{3x}\right)^2$, $2\cdot\frac{3x}{2y}\cdot\frac1{3x}=\frac1y$. Итог $\left(\frac{3x}{2y}-\frac1{3x}\right)^2$.

Ответ: 1) $\left(x+\frac1x\right)^2$; 2) $\left(\frac xy-\frac yx\right)^2$; 3) $\left(\frac ab-b\right)^2$; 4) $\left(\frac a{2b}+\frac{2b}a\right)^2$; 5) $\left(\frac1{2x}+x\right)^2$; 6) $\left(\frac{3x}{2y}-\frac1{3x}\right)^2$.

№ 32.25

Упростите: 1) $(11a-b)^2+(9a+7b)(8a-13b)$; 2) $(18x+5y)(2x-4y)-(6x-3y)^2$; 3) $4x(3x-2y)-(10y-0{,}4x)^2$; 4) $(15a+2b)^2-(3a-7b)(3b-5a)$.

Как думать. Квадрат раскрываем по формуле, произведения двух разных скобок — по правилу «каждый на каждый». Следим за минусом перед скобкой.

Решение.

1. $121a^2-22ab+b^2+(72a^2-117ab+56ab-91b^2)=121a^2-22ab+b^2+72a^2-61ab-91b^2=193a^2-83ab-90b^2$.
2. $(36x^2-72xy+10xy-20y^2)-(36x^2-36xy+9y^2)=36x^2-62xy-20y^2-36x^2+36xy-9y^2=-26xy-29y^2$.
3. $12x^2-8xy-(100y^2-8xy+0{,}16x^2)=11{,}84x^2-100y^2$.
4. $225a^2+60ab+4b^2-(9ab-15a^2-21b^2+35ab)=225a^2+60ab+4b^2-44ab+15a^2+21b^2=240a^2+16ab+25b^2$.

Ответ: 1) $193a^2-83ab-90b^2$; 2) $-26xy-29y^2$; 3) $11{,}84x^2-100y^2$; 4) $240a^2+16ab+25b^2$.

№ 32.26

Решите уравнения: 1) $(2a-11)(11+2a)-(2a-5)^2=0$; 2) $(4+9b)^2+(9b+2)(2-9b)=0$; 3) $(2{,}5-8c)^2-(8c-1{,}5)(8c+1{,}5)=12{,}5$; 4) $\left(\frac34-5d\right)\left(5d+\frac34\right)+\left(5d-\frac34\right)^2=0$.

Решение.

1. $4a^2-121-4a^2+20a-25=0$; $20a=146$; $a=7{,}3$.
2. $16+72b+81b^2+4-81b^2=0$; $72b=-20$; $b=-\frac5{18}$.
3. $6{,}25-40c+64c^2-64c^2+2{,}25=12{,}5$; $-40c=4$; $c=-0{,}1$.
4. $\frac9{16}-25d^2+25d^2-\frac{15}2d+\frac9{16}=0$; $\frac98=\frac{15}2d$; $d=0{,}15$.

Ответ: 1) $7{,}3$; 2) $-\frac5{18}$; 3) $-0{,}1$; 4) $0{,}15$.

№ 32.27

Решите уравнения: 1) $(7-8x)(2x+1)+(4x-1)^2=0$; 2) $(2x-5)^2-(2x-3)(2x+3)=15$; 3) $(3x+5)(3x-5)-(3x-1)^2=-4$; 4) $(9x+2)(1-4x)+(5-6x)^2=-32$.

Решение.

1. $14x+7-16x^2-8x+16x^2-8x+1=0$; $-2x+8=0$; $x=4$.
2. $4x^2-20x+25-4x^2+9=15$; $34-20x=15$; $x=\frac{19}{20}=0{,}95$.
3. $9x^2-25-9x^2+6x-1=-4$; $6x=22$; $x=\frac{11}3=3\frac23$.
4. $9x-36x^2+2-8x+25-60x+36x^2=-32$; $-59x+27=-32$; $x=1$.

Ответ: 1) $4$; 2) $0{,}95$; 3) $3\frac23$; 4) $1$.

№ 32.28

Решите неравенства: 1) $(3{,}5-x)(4x+1)+(2x+3)^2<0$; 2) $8(y-3)^2+(5-y)(3+8y)>2$; 3) $\left(3z+\frac13\right)^2-(1{,}5z+1)(6z-1)<0$; 4) $\left(7z-\frac17\right)^2-(24{,}5z+11)(2z-1)>\frac1{49}$.

Решение.

1. $14x+3{,}5-4x^2-x+4x^2+12x+9<0$; $25x+12{,}5<0$; $x<-0{,}5$.
2. $8(y^2-6y+9)=8y^2-48y+72$ и $(5-y)(3+8y)=15+37y-8y^2$. Сумма: $87-11y>2$; $-11y>-85$; $y<\frac{85}{11}=7\frac8{11}$.
3. $9z^2+2z+\frac19-(9z^2-1{,}5z+6z-1)<0$; $9z^2+2z+\frac19-9z^2-4{,}5z+1<0$; $-2{,}5z+\frac{10}9<0$; $z>\frac49$.
4. $49z^2-2z+\frac1{49}-(49z^2-24{,}5z+22z-11)>\frac1{49}$; $-2z+24{,}5z-22z+11>0$; $0{,}5z+11>0$; $z>-22$.

Ответ: 1) $(-\infty;-0{,}5)$; 2) $\left(-\infty;7\frac8{11}\right)$; 3) $\left(\frac49;+\infty\right)$; 4) $(-22;+\infty)$.

№ 32.29

Решите неравенства: 1) $(4x-3)(4x+3)-(4x-1)^2<3x$; 2) $3(x-1)^2-3x(x-5)>21$; 3) $10(x-2)^2-5x(2x-1)<-30$; 4) $(5x+6)^2-(5x-6)^2>12$.

Решение.

1. $16x^2-9-16x^2+8x-1<3x$; $5x<10$; $x<2$.
2. $3x^2-6x+3-3x^2+15x>21$; $9x>18$; $x>2$.
3. $10x^2-40x+40-10x^2+5x<-30$; $-35x<-70$; $x>2$.
4. $(5x+6-5x+6)(5x+6+5x-6)=12\cdot10x=120x>12$; $x>0{,}1$.

Ответ: 1) $(-\infty;2)$; 2) $(2;+\infty)$; 3) $(2;+\infty)$; 4) $(0{,}1;+\infty)$.

№ 32.30

Решите неравенства: 1) $(3x-1)^2-7<(9x+2)x+2$; 2) $2x(8x+3)+1>(5-4x)^2-1$; 3) $(0{,}3x+0{,}2)^2+0{,}58x>3{,}9-(2-0{,}3x)(2+0{,}3x)$; 4) $(0{,}2-0{,}8x)^2+11{,}16<(0{,}5+0{,}8x)^2-0{,}25$.

Решение.

1. $9x^2-6x+1-7<9x^2+2x+2$; $-8x<8$; $x>-1$.
2. $16x^2+6x+1>25-40x+16x^2-1$; $46x>23$; $x>0{,}5$.
3. $0{,}09x^2+0{,}12x+0{,}04+0{,}58x>3{,}9-4+0{,}09x^2$; $0{,}7x>-0{,}14$; $x>-0{,}2$.
4. $0{,}04-0{,}32x+0{,}64x^2+11{,}16<0{,}25+0{,}8x+0{,}64x^2-0{,}25$; $11{,}2-0{,}32x<0{,}8x$; $11{,}2<1{,}12x$; $x>10$.

Ответ: 1) $(-1;+\infty)$; 2) $(0{,}5;+\infty)$; 3) $(-0{,}2;+\infty)$; 4) $(10;+\infty)$.

Уровень C

Здесь самые трудные задания. Если справишься хотя бы с одним, молодец, а попытка уже победа!

№ 32.31

Упростите: 1) $5(3-5a)^2-5(3a-7)(3a+7)-80a^2+150a-300$; 2) $3(a-1)^2+5(a+1)(a-1)-8a^2+6a$; 3) $(m-1)^2-4(m+1)^2+3m^2+10m$; 4) $5(1-y)^2-(3+y)^2-4y^2+16y$.

Как думать. Ответом, скорее всего, будет число: всё с буквами сократится.

Решение.

1. $5(9-30a+25a^2)-5(9a^2-49)-80a^2+150a-300=45-150a+125a^2-45a^2+245-80a^2+150a-300=-10$.
2. $3a^2-6a+3+5a^2-5-8a^2+6a=-2$.
3. $m^2-2m+1-4m^2-8m-4+3m^2+10m=-3$.
4. $5-10y+5y^2-9-6y-y^2-4y^2+16y=-4$.

Ответ: 1) $-10$; 2) $-2$; 3) $-3$; 4) $-4$ (значение не зависит от переменной).

№ 32.32

Докажите тождество: 1) $\left(\frac35a^{3n+1}b^2+\frac23a^{n-1}b^3\right)^2-\frac4{45}a^{2n-2}b^5(9a^{2n+2}+5b)+\frac{16}{25}a^{6n+2}b^4=a^{6n+2}b^4$; 2) $\left(\frac56x^{2n-1}y^n-\frac35x^{n+1}y^2\right)^2-\frac1{36}x^{3n}y^{n+2}(25x^{n-2}y^{n-2}-36)=\frac9{25}x^{2n+2}y^4$.

Как думать. Раскрой квадрат по формуле, раскрой вторую скобку, а показатели складывай при умножении ($a^m\cdot a^k=a^{m+k}$).

Решение.

1. Квадрат: $\frac9{25}a^{6n+2}b^4+2\cdot\frac35\cdot\frac23a^{4n}b^5+\frac49a^{2n-2}b^6=\frac9{25}a^{6n+2}b^4+\frac45a^{4n}b^5+\frac49a^{2n-2}b^6$. Второе слагаемое: $\frac4{45}a^{2n-2}b^5\cdot9a^{2n+2}=\frac45a^{4n}b^5$ и $\frac4{45}a^{2n-2}b^5\cdot5b=\frac49a^{2n-2}b^6$. После вычитания остаётся $\frac9{25}a^{6n+2}b^4$, и вместе с $\frac{16}{25}a^{6n+2}b^4$ получается $a^{6n+2}b^4$. Что и требовалось.
2. Квадрат: $\frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n}-2\cdot\frac56\cdot\frac35x^{3n}y^{n+2}+\frac9{25}x^{2n+2}y^4=\frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n}-x^{3n}y^{n+2}+\frac9{25}x^{2n+2}y^4$. Вторая часть: $\frac1{36}x^{3n}y^{n+2}\cdot25x^{n-2}y^{n-2}=\frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n}$ и $\frac1{36}x^{3n}y^{n+2}\cdot36=x^{3n}y^{n+2}$. Вычитаем: $-x^{3n}y^{n+2}$ и $\frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n}$ сокращаются, остаётся $\frac9{25}x^{2n+2}y^4$. Что и требовалось.

Ответ: оба тождества доказаны: левая часть преобразуется в правую.

Готовимся к следующей теме

№ 32.33

Сторона куба равна $a$ см. Выразите формулой объём куба, если: 1) сторону увеличили на 2 см; 2) сторону уменьшили на 3 см.

Как думать. Объём куба — сторона в третьей степени.

Решение.

1. Новая сторона $a+2$, объём $V=(a+2)^3$.
2. Новая сторона $a-3$, объём $V=(a-3)^3$.

Ответ: 1) $V=(a+2)^3$ см³; 2) $V=(a-3)^3$ см³. Это подсказка к следующему параграфу про куб суммы и куб разности.

№ 32.34

Сторону куба $a$ см увеличили на 4 см. На сколько кубических сантиметров увеличился объём, если $a=8$ см?

Как думать. Было $8^3$, стало $(8+4)^3=12^3$. Вычитаем.

Решение. $12^3=1728$, $8^3=512$. Разность: $1728-512=1216$ см³.

Ответ: на $1216$ см³.

Шпаргалка

• Раскрываем скобку в квадрате: квадрат первого, удвоенное произведение, квадрат второго.
• Средний член всегда $2ab$ (не $ab$!), знак — по знаку в скобке.
• Последний член $b^2$ всегда с плюсом.
• Трёхчлен $25x^2-30x+9$ сворачивается в $(5x-3)^2$.
• Перед разложением вынеси общий множитель: $5x^2+20x+20=5(x+2)^2$.
• В уравнениях и неравенствах $x^2$ часто сокращается, и остаётся линейное. Делишь на отрицательное — меняй знак неравенства.

Мини-тест