§ 33. Формулы куба суммы и куба разности двух выражений

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 5: Формулы сокращенного умножения. Страницы 196–201.

Чему научишься

• Выводить формулу $(a+b)^3$ из квадрата суммы и правила умножения многочленов.
• Раскрывать куб суммы и куб разности двух выражений, в том числе с дробями и десятичными числами.
• Узнавать «развёрнутый» куб и сворачивать многочлен обратно в $(a\pm b)^3$.
• Упрощать выражения, решать уравнения и неравенства, где встречаются кубы скобок.
• Доказывать тождества с кубами.

Разминка

Здесь нужны только квадрат суммы и умножение скобок. Ответы под нажатие.

• Чему равен $(a+b)^2$? $a^2+2ab+b^2$.
• Как умножить $(x+3)(x+3)$? Каждый член на каждый: $x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9$.
• Как записать $(a+b)^3$ в виде произведения? $(a+b)(a+b)(a+b)$, то есть $(a+b)^2\cdot(a+b)$.
• Как возвести в куб одночлен $2x$? $(2x)^3=8x^3$: в куб идёт и число, и буква.
• Чему равно $(t^2)^3$? $t^6$: показатели перемножаются.

Разбираемся

Куб — это квадрат, умноженный ещё раз

Куб суммы — это $(a+b)$, умноженное само на себя три раза. Разобьём на два шага: сначала $(a+b)^2$, потом ещё одна скобка.

$(a+b)^3=(a+b)^2(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b).$

Умножаем каждое слагаемое на каждое:

$a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$

📌 Куб суммы: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. Словами: куб первого, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго.

💡 Запомни узор. Степень $a$ падает: $a^3,\ a^2,\ a^1,\ a^0$. Степень $b$ растёт: $b^0,\ b^1,\ b^2,\ b^3$. А коэффициенты: $1,\ 3,\ 3,\ 1$.

Куб разности — те же слагаемые, но со знаками

Если вместо $b$ подставить $-b$, нечётные степени $b$ поменяют знак. Получим:

📌 Куб разности: $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$. Знаки чередуются: плюс, минус, плюс, минус.

Докажи сам: перемножь $(a-b)^2(a-b)$ — должно получиться то же самое.

Два одинаковых одной формулой

Обе формулы можно записать вместе: $(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$. Верхние знаки идут вместе, нижние вместе.

Как не запутаться: два примера

1) Раскроем $(4m+3n)^3$. Первое выражение $4m$, второе $3n$.

$(4m)^3+3(4m)^2\cdot3n+3\cdot4m\cdot(3n)^2+(3n)^3=64m^3+144m^2n+108mn^2+27n^3.$

2) Раскроем $\left(\frac14p-s\right)^3$ (знаки чередуются):

$\frac1{64}p^3-3\cdot\frac1{16}p^2\cdot s+3\cdot\frac14p\cdot s^2-s^3=\frac1{64}p^3-\frac3{16}p^2s+\frac34ps^2-s^3.$

⚠️ Частая ошибка. $(a+b)^3\ne a^3+b^3$. Забыть средние слагаемые — самая популярная ловушка. Проверь на числах: $(1+2)^3=27$, а $1^3+2^3=9$.

Читаем формулу в обратную сторону

Если в многочлене четыре члена и он похож на куб, проверь: два крайних члена — кубы, а средние — утроенные произведения. Тогда сворачиваем обратно.

Пример. $t^6+15t^4k+75t^2k^2+125k^3$. Первый член: $t^6=(t^2)^3$. Последний: $125k^3=(5k)^3$. Среднее: $3\cdot(t^2)^2\cdot5k=15t^4k$ ✓ и $3\cdot t^2\cdot(5k)^2=75t^2k^2$ ✓. Значит, это $(t^2+5k)^3$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка проговорить формулу вслух по частям: «куб первого, плюс три первое в квадрате на второе…». Это быстрее приживается, чем зубрёжка записи. И проверяйте числами: подставить $a=1$, $b=1$ — должно получиться $8$ слева и $1+3+3+1=8$ справа.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как записать формулы куба суммы и куба разности одним равенством? $(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$: верхние знаки берём вместе, нижние вместе.
• Какие правила использовались при выводе? Умножение многочлена на многочлен, формула квадрата суммы (разности) и приведение подобных слагаемых.
• Как прочитать формулу куба суммы? Куб суммы двух выражений равен кубу первого, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго.
• Как прочитать формулу куба разности? То же самое, но знаки чередуются: минус перед вторым и четвёртым слагаемыми.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 33.1

Представьте в виде многочленов: 1) $(2+x)^3$; 2) $(a-2)^3$; 3) $(5-b)^3$; 4) $(y+3)^3$; 5) $(a-c)^3$; 6) $(c+d)^3$; 7) $(z-t)^3$; 8) $(k+m)^3$.

Как думать. В каждой скобке найди первое и второе выражение, выбери формулу по знаку и подставь.

Решение.

1. $(2+x)^3=8+3\cdot4\cdot x+3\cdot2\cdot x^2+x^3=x^3+6x^2+12x+8$.
2. $(a-2)^3=a^3-3a^2\cdot2+3a\cdot4-8=a^3-6a^2+12a-8$.
3. $(5-b)^3=125-3\cdot25b+3\cdot5b^2-b^3=125-75b+15b^2-b^3$.
4. $(y+3)^3=y^3+9y^2+27y+27$.
5. $(a-c)^3=a^3-3a^2c+3ac^2-c^3$.
6. $(c+d)^3=c^3+3c^2d+3cd^2+d^3$.
7. $(z-t)^3=z^3-3z^2t+3zt^2-t^3$.
8. $(k+m)^3=k^3+3k^2m+3km^2+m^3$.

Ответ: 1) $x^3+6x^2+12x+8$; 2) $a^3-6a^2+12a-8$; 3) $125-75b+15b^2-b^3$; 4) $y^3+9y^2+27y+27$; 5) $a^3-3a^2c+3ac^2-c^3$; 6) $c^3+3c^2d+3cd^2+d^3$; 7) $z^3-3z^2t+3zt^2-t^3$; 8) $k^3+3k^2m+3km^2+m^3$.

№ 33.2

Представьте в виде многочленов: 1) $(4x+1)^3$; 2) $(1-3y)^3$; 3) $(5z-2)^3$; 4) $(4x-3)^3$; 5) $(a+2x)^3$; 6) $(2y-3)^3$; 7) $(p-3q)^3$; 8) $(3n-2m)^3$.

Как думать. Теперь у первого или второго выражения есть коэффициент. Его надо возвести в нужную степень целиком: $(4x)^2=16x^2$.

Решение.

1. $(4x)^3+3(4x)^2\cdot1+3\cdot4x\cdot1+1=64x^3+48x^2+12x+1$.
2. $1-3\cdot3y+3\cdot9y^2-27y^3=1-9y+27y^2-27y^3$.
3. $125z^3-3\cdot25z^2\cdot2+3\cdot5z\cdot4-8=125z^3-150z^2+60z-8$.
4. $64x^3-3\cdot16x^2\cdot3+3\cdot4x\cdot9-27=64x^3-144x^2+108x-27$.
5. $a^3+3a^2\cdot2x+3a\cdot4x^2+8x^3=a^3+6a^2x+12ax^2+8x^3$.
6. $8y^3-3\cdot4y^2\cdot3+3\cdot2y\cdot9-27=8y^3-36y^2+54y-27$.
7. $p^3-3p^2\cdot3q+3p\cdot9q^2-27q^3=p^3-9p^2q+27pq^2-27q^3$.
8. $27n^3-3\cdot9n^2\cdot2m+3\cdot3n\cdot4m^2-8m^3=27n^3-54n^2m+36nm^2-8m^3$.

Ответ: 1) $64x^3+48x^2+12x+1$; 2) $1-9y+27y^2-27y^3$; 3) $125z^3-150z^2+60z-8$; 4) $64x^3-144x^2+108x-27$; 5) $a^3+6a^2x+12ax^2+8x^3$; 6) $8y^3-36y^2+54y-27$; 7) $p^3-9p^2q+27pq^2-27q^3$; 8) $27n^3-54n^2m+36nm^2-8m^3$.

№ 33.3

Представьте в виде многочленов: 1) $(0{,}2a+5)^3$; 2) $(4-0{,}5b)^3$; 3) $(0{,}6c-5)^3$; 4) $\left(\frac12d-2\right)^3$; 5) $\left(\frac13t+3\right)^3$; 6) $\left(2-\frac14k\right)^3$.

Как думать. С десятичными и обыкновенными дробями — то же самое. Считаем $0{,}2^2=0{,}04$, $\left(\frac12\right)^2=\frac14$ аккуратно.

Решение.

1. $0{,}008a^3+3\cdot0{,}04a^2\cdot5+3\cdot0{,}2a\cdot25+125=0{,}008a^3+0{,}6a^2+15a+125$.
2. $64-3\cdot16\cdot0{,}5b+3\cdot4\cdot0{,}25b^2-0{,}125b^3=64-24b+3b^2-0{,}125b^3$.
3. $0{,}216c^3-3\cdot0{,}36c^2\cdot5+3\cdot0{,}6c\cdot25-125=0{,}216c^3-5{,}4c^2+45c-125$.
4. $\frac18d^3-3\cdot\frac14d^2\cdot2+3\cdot\frac12d\cdot4-8=\frac18d^3-\frac32d^2+6d-8$.
5. $\frac1{27}t^3+3\cdot\frac19t^2\cdot3+3\cdot\frac13t\cdot9+27=\frac1{27}t^3+t^2+9t+27$.
6. $8-3\cdot4\cdot\frac14k+3\cdot2\cdot\frac1{16}k^2-\frac1{64}k^3=8-3k+\frac38k^2-\frac1{64}k^3$.

Ответ: 1) $0{,}008a^3+0{,}6a^2+15a+125$; 2) $64-24b+3b^2-0{,}125b^3$; 3) $0{,}216c^3-5{,}4c^2+45c-125$; 4) $\frac18d^3-\frac32d^2+6d-8$; 5) $\frac1{27}t^3+t^2+9t+27$; 6) $8-3k+\frac38k^2-\frac1{64}k^3$.

№ 33.4

Представьте в виде многочленов: 1) $(4x+0{,}1y)^3$; 2) $(0{,}2a+30b)^3$; 3) $\left(\frac17a-7c\right)^3$; 4) $(0{,}3b-10c)^3$; 5) $(0{,}5x-2y)^3$; 6) $\left(\frac29n+\frac92m\right)^3$.

Как думать. Здесь оба слагаемых с буквами и коэффициентами. Сначала выпиши $A^3$, $A^2B$, $AB^2$, $B^3$ отдельно, потом собери.

Решение.

1. $64x^3+3\cdot16x^2\cdot0{,}1y+3\cdot4x\cdot0{,}01y^2+0{,}001y^3=64x^3+4{,}8x^2y+0{,}12xy^2+0{,}001y^3$.
2. $0{,}008a^3+3\cdot0{,}04a^2\cdot30b+3\cdot0{,}2a\cdot900b^2+27000b^3=0{,}008a^3+3{,}6a^2b+540ab^2+27000b^3$.
3. $\frac1{343}a^3-3\cdot\frac1{49}a^2\cdot7c+3\cdot\frac17a\cdot49c^2-343c^3=\frac1{343}a^3-\frac37a^2c+21ac^2-343c^3$.
4. $0{,}027b^3-3\cdot0{,}09b^2\cdot10c+3\cdot0{,}3b\cdot100c^2-1000c^3=0{,}027b^3-2{,}7b^2c+90bc^2-1000c^3$.
5. $0{,}125x^3-3\cdot0{,}25x^2\cdot2y+3\cdot0{,}5x\cdot4y^2-8y^3=0{,}125x^3-1{,}5x^2y+6xy^2-8y^3$.
6. $\frac8{729}n^3+3\cdot\frac4{81}n^2\cdot\frac92m+3\cdot\frac29n\cdot\frac{81}4m^2+\frac{729}8m^3=\frac8{729}n^3+\frac23n^2m+\frac{27}2nm^2+\frac{729}8m^3$.

Ответ: 1) $64x^3+4{,}8x^2y+0{,}12xy^2+0{,}001y^3$; 2) $0{,}008a^3+3{,}6a^2b+540ab^2+27000b^3$; 3) $\frac1{343}a^3-\frac37a^2c+21ac^2-343c^3$; 4) $0{,}027b^3-2{,}7b^2c+90bc^2-1000c^3$; 5) $0{,}125x^3-1{,}5x^2y+6xy^2-8y^3$; 6) $\frac8{729}n^3+\frac23n^2m+\frac{27}2nm^2+\frac{729}8m^3$.

№ 33.5

Представьте в виде куба двучлена: 1) $x^3-3x^2+3x-1$; 2) $y^3-3y^2+3y-1$; 3) $8+12p+6p^2+p^3$; 4) $1-6q+12q^2-8q^3$; 5) $125-75a+15a^2-a^3$; 6) $0{,}008+0{,}12p+0{,}6p^2+p^3$.

Как думать. Найди два «крайних» куба, извлеки из них корни. Потом проверь средние слагаемые: они должны быть утроенными произведениями. Знаки подскажут, сумма это или разность.

Решение.

1. $x^3$ и $1=1^3$, знаки чередуются: $(x-1)^3$. Проверка: $3x^2\cdot1$ и $3x\cdot1$ ✓.
2. Так же: $(y-1)^3$.
3. $8=2^3$, $p^3$, все плюсы: $(2+p)^3$. Проверка: $3\cdot4\cdot p=12p$ ✓, $3\cdot2\cdot p^2=6p^2$ ✓.
4. $1=1^3$, $8q^3=(2q)^3$, знаки чередуются: $(1-2q)^3$. Проверка: $3\cdot1\cdot2q=6q$ ✓, $3\cdot4q^2=12q^2$ ✓.
5. $125=5^3$, $a^3$, знаки чередуются: $(5-a)^3$. Проверка: $3\cdot25a=75a$ ✓, $3\cdot5a^2=15a^2$ ✓.
6. $0{,}008=0{,}2^3$, $p^3$: $(0{,}2+p)^3$. Проверка: $3\cdot0{,}04p=0{,}12p$ ✓, $3\cdot0{,}2p^2=0{,}6p^2$ ✓.

Ответ: 1) $(x-1)^3$; 2) $(y-1)^3$; 3) $(2+p)^3$; 4) $(1-2q)^3$; 5) $(5-a)^3$; 6) $(0{,}2+p)^3$.

№ 33.6

Представьте в виде куба двучлена: 1) $a^3-6a^2b+12ab^2-8b^3$; 2) $27m^3+27m^2n+9mn^2+n^3$; 3) $8p^3+27q^3+54pq^2+36p^2q$; 4) $x^3y^3-6x^2y^2+12xy-8$.

Как думать. В 3) слагаемые перемешаны: сначала расставь по убыванию степени $p$.

Решение.

1. $a^3$ и $8b^3=(2b)^3$, знаки чередуются. Проверка: $3a^2\cdot2b=6a^2b$ ✓, $3a\cdot4b^2=12ab^2$ ✓. Итог $(a-2b)^3$.
2. $27m^3=(3m)^3$, $n^3$, все плюсы. Проверка: $3\cdot9m^2\cdot n=27m^2n$ ✓, $3\cdot3m\cdot n^2=9mn^2$ ✓. Итог $(3m+n)^3$.
3. Перепишем: $8p^3+36p^2q+54pq^2+27q^3$. Это $(2p)^3$ и $(3q)^3$. Проверка: $3\cdot4p^2\cdot3q=36p^2q$ ✓, $3\cdot2p\cdot9q^2=54pq^2$ ✓. Итог $(2p+3q)^3$.
4. $x^3y^3=(xy)^3$, $8=2^3$, знаки чередуются. Проверка: $3(xy)^2\cdot2=6x^2y^2$ ✓, $3xy\cdot4=12xy$ ✓. Итог $(xy-2)^3$.

Ответ: 1) $(a-2b)^3$; 2) $(3m+n)^3$; 3) $(2p+3q)^3$; 4) $(xy-2)^3$. Ответы сошлись с ответами учебника для пунктов 1, 3, 4.

№ 33.7

Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях переменной: 1) $(3a-1)^3-27a^3+5$ при $a=-1;\ 0;\ 1$; 2) $(0{,}7b-2)^3-(0{,}7b+2)^3$ при $b=-2;\ -1;\ 1$; 3) $(5x-4)^3+(5x-2)^3-250x^3$ при $x=0{,}5;\ 0;\ -1$; 4) $(0{,}2+5y)^3-(0{,}5+2y)^3-117y^3$ при $y=-1;\ 0;\ 2$.

Как думать. Сначала раскрой кубы и сократи, потом подставляй. Так числа получаются маленькие.

Решение.

1. $27a^3-27a^2+9a-1-27a^3+5=-27a^2+9a+4$. При $a=-1$: $-27-9+4=-32$. При $a=0$: $4$. При $a=1$: $-27+9+4=-14$.
2. Если $u=0{,}7b$, то $(u-2)^3-(u+2)^3=-12u^2-16$. Значит, выражение равно $-12\cdot0{,}49b^2-16=-5{,}88b^2-16$. При $b=-2$: $-23{,}52-16=-39{,}52$. При $b=-1$ и $b=1$: $-5{,}88-16=-21{,}88$.
3. $(125x^3-300x^2+240x-64)+(125x^3-150x^2+60x-8)-250x^3=-450x^2+300x-72$. При $x=0{,}5$: $-112{,}5+150-72=-34{,}5$. При $x=0$: $-72$. При $x=-1$: $-450-300-72=-822$.
4. $(0{,}2+5y)^3=0{,}008+0{,}6y+15y^2+125y^3$; $(0{,}5+2y)^3=0{,}125+1{,}5y+6y^2+8y^3$. Разность минус $117y^3$: $-0{,}117-0{,}9y+9y^2$. При $y=-1$: $9{,}783$. При $y=0$: $-0{,}117$. При $y=2$: $36-1{,}8-0{,}117=34{,}083$.

Ответ: 1) $-27a^2+9a+4$; значения $-32;\ 4;\ -14$. 2) $-5{,}88b^2-16$; значения $-39{,}52;\ -21{,}88;\ -21{,}88$. 3) $-450x^2+300x-72$; значения $-34{,}5;\ -72;\ -822$. 4) $9y^2-0{,}9y-0{,}117$; значения $9{,}783;\ -0{,}117;\ 34{,}083$.

№ 33.8

Решите уравнения: 1) $(x+1)^3-4x=5+x^2(x+3)$; 2) $(1-y)^3+8y=7+y^2(3-y)$; 3) $(x+1)^3+(x-1)^3-2x^3=12$; 4) $(1+y)^3+(1-y)^3-6y^2=3y-1$.

Как думать. В каждом уравнении $x^3$ (или $y^3$) сокращается с обеих сторон, остаётся обычное линейное уравнение.

Решение.

1. $x^3+3x^2+3x+1-4x=5+x^3+3x^2$. Сокращаем $x^3$ и $3x^2$: $-x+1=5$, $x=-4$.
2. $1-3y+3y^2-y^3+8y=7+3y^2-y^3$. Сокращаем: $1+5y=7$, $5y=6$, $y=\frac65=1{,}2$.
3. $(x+1)^3+(x-1)^3=2x^3+6x$. Тогда $2x^3+6x-2x^3=12$, $6x=12$, $x=2$.
4. $(1+y)^3+(1-y)^3=2+6y^2$. Тогда $2+6y^2-6y^2=3y-1$, $2=3y-1$, $y=1$.

Ответ: 1) $-4$; 2) $1{,}2$; 3) $2$; 4) $1$.

№ 33.9

Решите уравнения: 1) $(2+x)^3-x^2(6+x)=11x+19$; 2) $(z-2)^3-z^2(z-6)=13z-7$; 3) $(y+3)^3-2y-30=y^2(9+y)$; 4) $(3-t)^3+3t+21=-t^2(t-9)$.

Как думать. Раскрой куб, раскрой $x^2(6+x)$ и т. д. Старшая степень сокращается.

Решение.

1. $8+12x+6x^2+x^3-6x^2-x^3=11x+19$. Слева $8+12x$, значит $12x-11x=19-8$, $x=11$.
2. $z^3-6z^2+12z-8-z^3+6z^2=13z-7$. Слева $12z-8$, значит $-z=1$, $z=-1$.
3. $y^3+9y^2+27y+27-2y-30=9y^2+y^3$. Слева $y^3+9y^2+25y-3$, значит $25y=3$, $y=\frac3{25}=0{,}12$.
4. $27-27t+9t^2-t^3+3t+21=-t^3+9t^2$. Слева $-t^3+9t^2-24t+48$, значит $-24t+48=0$, $t=2$.

Ответ: 1) $11$; 2) $-1$; 3) $0{,}12$; 4) $2$.

№ 33.10

Докажите тождество: 1) $(3a+b)^3-(a+3b)^3-18ab(a-b)=26(a^3-b^3)$; 2) $(x+4y)^3+(4x-y)^3+12xy(3x-5y)-128y^3=65(x^3-y^3)$.

Как думать. Чтобы доказать тождество, раскрываем левую часть и приводим подобные. Если получится правая часть — готово.

Решение.

1. $(3a+b)^3=27a^3+27a^2b+9ab^2+b^3$ и $(a+3b)^3=a^3+9a^2b+27ab^2+27b^3$. Разность: $26a^3+18a^2b-18ab^2-26b^3$. Вычтем $18ab(a-b)=18a^2b-18ab^2$: остаётся $26a^3-26b^3=26(a^3-b^3)$. ✓
2. $(x+4y)^3=x^3+12x^2y+48xy^2+64y^3$; $(4x-y)^3=64x^3-48x^2y+12xy^2-y^3$. Сумма: $65x^3-36x^2y+60xy^2+63y^3$. Прибавим $12xy(3x-5y)=36x^2y-60xy^2$: получим $65x^3+63y^3$. Вычтем $128y^3$: $65x^3-65y^3=65(x^3-y^3)$. ✓

Ответ: левая часть после раскрытия равна правой в обоих пунктах, тождества доказаны.

Уровень B

№ 33.11

Представьте в виде многочлена степень: 1) $(a^2-b^2)^3$; 2) $(m^2+n^2)^3$; 3) $(2a^2+b^2)^3$; 4) $(x^4-6y^2)^3$; 5) $(7m^3-n^4)^3$; 6) $\left(a^3-\frac13b^2\right)^3$; 7) $(0{,}3x^5-0{,}5y^2)^3$; 8) $\left(0{,}6x^4-\frac12y^3\right)^3$; 9) $\left(\frac15a^2+0{,}36^4\right)^3$.

Как думать. Теперь «буквы» формулы — это целые степени: $a^2$, $x^4$, $m^3$. Следи за правилом $(a^m)^n=a^{mn}$.

Решение.

1. $a^6-3a^4b^2+3a^2b^4-b^6$.
2. $m^6+3m^4n^2+3m^2n^4+n^6$.
3. $(2a^2)^3=8a^6$; $3\cdot4a^4\cdot b^2=12a^4b^2$; $3\cdot2a^2\cdot b^4=6a^2b^4$; $b^6$. Итог $8a^6+12a^4b^2+6a^2b^4+b^6$.
4. $x^{12}-3x^8\cdot6y^2+3x^4\cdot36y^4-216y^6=x^{12}-18x^8y^2+108x^4y^4-216y^6$.
5. $343m^9-3\cdot49m^6n^4+3\cdot7m^3n^8-n^{12}=343m^9-147m^6n^4+21m^3n^8-n^{12}$.
6. $a^9-3a^6\cdot\frac13b^2+3a^3\cdot\frac19b^4-\frac1{27}b^6=a^9-a^6b^2+\frac13a^3b^4-\frac1{27}b^6$.
7. $0{,}027x^{15}-3\cdot0{,}09x^{10}\cdot0{,}5y^2+3\cdot0{,}3x^5\cdot0{,}25y^4-0{,}125y^6=0{,}027x^{15}-0{,}135x^{10}y^2+0{,}225x^5y^4-0{,}125y^6$.
8. $0{,}216x^{12}-3\cdot0{,}36x^8\cdot\frac12y^3+3\cdot0{,}6x^4\cdot\frac14y^6-\frac18y^9=0{,}216x^{12}-0{,}54x^8y^3+0{,}45x^4y^6-0{,}125y^9$.
9. Здесь второе слагаемое — число $c=0{,}36^4$, поэтому по формуле: $\frac1{125}a^6+3\cdot\frac1{25}a^4\cdot c+3\cdot\frac15a^2\cdot c^2+c^3=\frac1{125}a^6+\frac3{25}\cdot0{,}36^4,a^4+\frac35\cdot0{,}36^8,a^2+0{,}36^{12}$.

Ответ: 1) $a^6-3a^4b^2+3a^2b^4-b^6$; 2) $m^6+3m^4n^2+3m^2n^4+n^6$; 3) $8a^6+12a^4b^2+6a^2b^4+b^6$; 4) $x^{12}-18x^8y^2+108x^4y^4-216y^6$; 5) $343m^9-147m^6n^4+21m^3n^8-n^{12}$; 6) $a^9-a^6b^2+\frac13a^3b^4-\frac1{27}b^6$; 7) $0{,}027x^{15}-0{,}135x^{10}y^2+0{,}225x^5y^4-0{,}125y^6$; 8) $0{,}216x^{12}-0{,}54x^8y^3+0{,}45x^4y^6-0{,}125y^9$; 9) как в решении.

№ 33.12

Представьте в виде куба двучлена многочлен: 1) $8x^3-60x^2y+150xy^2-125y^3$; 2) $64a^{15}+144a^{10}b^3+108a^5b^6+27b^9$; 3) $0{,}125a^9-0{,}15a^6b^4+0{,}06a^3b^8-0{,}008b^{12}$; 4) $0{,}216x^{12}+0{,}54x^8y^5+0{,}45x^4y^{10}+0{,}125y^{15}$.

Как думать. Извлеки кубический корень из первого и последнего члена (степени делятся на 3). Потом проверь средние.

Решение.

1. $8x^3=(2x)^3$, $125y^3=(5y)^3$, знаки чередуются. Проверка: $3\cdot4x^2\cdot5y=60x^2y$ ✓, $3\cdot2x\cdot25y^2=150xy^2$ ✓. Итог $(2x-5y)^3$.
2. $64a^{15}=(4a^5)^3$, $27b^9=(3b^3)^3$. Проверка: $3\cdot16a^{10}\cdot3b^3=144a^{10}b^3$ ✓, $3\cdot4a^5\cdot9b^6=108a^5b^6$ ✓. Итог $(4a^5+3b^3)^3$.
3. $0{,}125a^9=(0{,}5a^3)^3$, $0{,}008b^{12}=(0{,}2b^4)^3$, знаки чередуются. Проверка: $3\cdot0{,}25a^6\cdot0{,}2b^4=0{,}15a^6b^4$ ✓, $3\cdot0{,}5a^3\cdot0{,}04b^8=0{,}06a^3b^8$ ✓. Итог $(0{,}5a^3-0{,}2b^4)^3$.
4. $0{,}216x^{12}=(0{,}6x^4)^3$, $0{,}125y^{15}=(0{,}5y^5)^3$. Проверка: $3\cdot0{,}36x^8\cdot0{,}5y^5=0{,}54x^8y^5$ ✓, $3\cdot0{,}6x^4\cdot0{,}25y^{10}=0{,}45x^4y^{10}$ ✓. Итог $(0{,}6x^4+0{,}5y^5)^3$.

Ответ: 1) $(2x-5y)^3$; 2) $(4a^5+3b^3)^3$; 3) $(0{,}5a^3-0{,}2b^4)^3$; 4) $(0{,}6x^4+0{,}5y^5)^3$.

№ 33.13

Упростите выражения: 1) $(x^2+1)^3-3(x^2-1)^2-5x(x-2)+10$; 2) $(x-2)^3+20(2x-1)^3+x(x-5)$; 3) $(1-3y)^3-3(y+3)^3+10y(y^2-2)$; 4) $(y^3+2)^3-y^6(y^3-6)+2(y-2)^2$.

Как думать. Раскрывай по одному слагаемому, выписывай результат в столбик, потом приводи подобные по степеням.

Решение.

1. $(x^2+1)^3=x^6+3x^4+3x^2+1$; $-3(x^2-1)^2=-3x^4+6x^2-3$; $-5x(x-2)=-5x^2+10x$; $+10$. Складываем: $x^6+0\cdot x^4+(3+6-5)x^2+10x+(1-3+10)=x^6+4x^2+10x+8$.
2. $(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8$; $20(2x-1)^3=160x^3-240x^2+120x-20$; $x(x-5)=x^2-5x$. Складываем: $161x^3-245x^2+127x-28$.
3. $(1-3y)^3=1-9y+27y^2-27y^3$; $-3(y+3)^3=-3y^3-27y^2-81y-81$; $10y(y^2-2)=10y^3-20y$. Складываем: $-20y^3+0\cdot y^2-110y-80$.
4. $(y^3+2)^3=y^9+6y^6+12y^3+8$; $-y^6(y^3-6)=-y^9+6y^6$; $2(y-2)^2=2y^2-8y+8$. Складываем: $12y^6+12y^3+2y^2-8y+16$.

Ответ: 1) $x^6+4x^2+10x+8$; 2) $161x^3-245x^2+127x-28$; 3) $-20y^3-110y-80$; 4) $12y^6+12y^3+2y^2-8y+16$.

№ 33.14

Упростите выражения: 1) $(x+5)^3-(x+1)^3-4(3x^2-5)+10x-7$; 2) $(x-3)^3-x^2(x+6)-5x(5-3x)-19x+1$; 3) $(y+4)^3+(3y+1)^3-7y^2(4y+9)+24y^2+8$; 4) $(4y-5)^3-(4y+5)^3-48y(1-10y)+5-14y^2$.

Как думать. Тот же приём: куб раскрыли, скобки раскрыли, подобные собрали.

Решение.

1. $(x+5)^3-(x+1)^3=(x^3+15x^2+75x+125)-(x^3+3x^2+3x+1)=12x^2+72x+124$. Дальше $-12x^2+20+10x-7$. Итого: $82x+137$.
2. $x^3-9x^2+27x-27-x^3-6x^2-25x+15x^2-19x+1$. По $x^2$: $-9-6+15=0$. По $x$: $27-25-19=-17$. Число: $-27+1=-26$. Итого: $-17x-26$.
3. $(y+4)^3=y^3+12y^2+48y+64$; $(3y+1)^3=27y^3+27y^2+9y+1$; $-7y^2(4y+9)=-28y^3-63y^2$. С $+24y^2+8$ получаем: $y^3$: $1+27-28=0$; $y^2$: $12+27-63+24=0$; $y$: $48+9=57$; число: $64+1+8=73$. Итого: $57y+73$.
4. $(4y-5)^3-(4y+5)^3=-2(3\cdot16y^2\cdot5+125)=-480y^2-250$. Далее $-48y+480y^2+5-14y^2$. Итого: $-14y^2-48y-245$.

Ответ: 1) $82x+137$; 2) $-17x-26$; 3) $57y+73$; 4) $-14y^2-48y-245$.

№ 33.15

Решите уравнения: 1) $(x+2)^3-(x-2)^3=2x(6x+2)$; 2) $(x+3)^3-(x-4)^3=21x^2+7$; 3) $(x+2)^3+3x^2-11=(x+3)^3$; 4) $(x-3)^3=x^2(x-9)+27$.

Как думать. Опять кубы «уходят», а квадраты остаются только там, где они действительно сокращаются.

Решение.

1. $(x+2)^3-(x-2)^3=12x^2+16$. Справа $12x^2+4x$. Тогда $16=4x$, $x=4$.
2. $(x+3)^3-(x-4)^3=(x^3+9x^2+27x+27)-(x^3-12x^2+48x-64)=21x^2-21x+91$. Приравниваем к $21x^2+7$: $-21x+91=7$, $x=4$.
3. Слева $x^3+9x^2+12x-3$, справа $x^3+9x^2+27x+27$. Тогда $12x-3=27x+27$, $-15x=30$, $x=-2$.
4. $x^3-9x^2+27x-27=x^3-9x^2+27$. Тогда $27x=54$, $x=2$.

Ответ: 1) ${4}$; 2) ${4}$; 3) ${-2}$; 4) ${2}$. Совпало с ответами учебника.

№ 33.16

Решите уравнения: 1) $(6-x)^3-x^2(16-x)=2x^2+116$; 2) $(y+7)^3+y(13-y^2)=21y^2+23$; 3) $(4-3z)^3+z(14+27z^2)=108z^2+77$; 4) $(5x+2)^3-25x(5x^2-4)=150x^2+21$.

Как думать. Куб раскрываем, старшая степень сокращается с произведением, остаётся линейное уравнение.

Решение.

1. $216-108x+18x^2-x^3-16x^2+x^3=2x^2+116$. Слева $216-108x+2x^2$. Значит $100=108x$, $x=\frac{25}{27}$.
2. $y^3+21y^2+147y+343+13y-y^3=21y^2+23$. Слева $21y^2+160y+343$. Значит $160y=-320$, $y=-2$.
3. $64-144z+108z^2-27z^3+14z+27z^3=108z^2+77$. Слева $108z^2-130z+64$. Значит $-130z=13$, $z=-\frac1{10}=-0{,}1$.
4. $125x^3+150x^2+60x+8-125x^3+100x=150x^2+21$. Слева $150x^2+160x+8$. Значит $160x=13$, $x=\frac{13}{160}$.

Ответ: 1) $\frac{25}{27}$; 2) $-2$; 3) $-0{,}1$; 4) $\frac{13}{160}$.

Уровень C

Здесь задачи потруднее. Если получилось даже с подсказкой — это уже отлично, ты молодец!

№ 33.17

Найдите наибольшее целое число, являющееся решением неравенства: 1) $(2-3x)^3-54x^2\leqslant-27x^3-41x$; 2) $(3+2x)^3-36x^2\geqslant60x+8x^3$.

Как думать. Раскрой куб — кубические члены сократятся, неравенство станет линейным. Не забудь: при делении на отрицательное число знак неравенства меняется.

Решение.

1. $8-36x+54x^2-27x^3-54x^2\leqslant-27x^3-41x$. Сокращаем: $8-36x\leqslant-41x$, $5x\leqslant-8$, $x\leqslant-1{,}6$. Наибольшее целое число — $-2$.
2. $27+54x+36x^2+8x^3-36x^2\geqslant60x+8x^3$. Сокращаем: $27+54x\geqslant60x$, $27\geqslant6x$, $x\leqslant4{,}5$. Наибольшее целое — $4$.

Ответ: 1) $-2$; 2) $4$.

№ 33.18

Найдите наименьшее целое число, являющееся решением неравенства: 1) $(x-7)^3+42x^2\geqslant(x+7)^3+14-7x$; 2) $(6+x)^3-220x\leqslant2x^3-(x-6)^3+19$.

Как думать. Те же шаги. Сумму и разность кубов $(x+7)^3$ и $(x-7)^3$ удобно считать парой: нечётные степени $7$ меняют знак.

Решение.

1. $(x+7)^3-(x-7)^3=42x^2+686$. Неравенство: $42x^2-(42x^2+686)\geqslant14-7x$, то есть $-686\geqslant14-7x$, $7x\geqslant700$, $x\geqslant100$. Наименьшее целое — $100$.
2. $(x+6)^3+(x-6)^3=2x^3+216x$. Неравенство: $2x^3+216x-220x-2x^3\leqslant19$, то есть $-4x\leqslant19$, $x\geqslant-4{,}75$. Наименьшее целое — $-4$.

Ответ: 1) $100$; 2) $-4$.

№ 33.19

Докажите тождество: 1) $(b+5)^3-b(b-5)^2-25(1+b)^2=100$; 2) $5(1-b)^3+5b(1+b)^2-(1-5b)^2=4$; 3) $(2b-3)^3-4b^2(2b-6)+6b(2b-9)=-27$; 4) $(b+2)^3+(2b+1)^3-9b(b^2+2b+2)-10=-1$.

Как думать. Раскрой все скобки. Все $b$ должны исчезнуть — останется число.

Решение.

1. $(b^3+15b^2+75b+125)-(b^3-10b^2+25b)-(25+50b+25b^2)$. По $b^2$: $15+10-25=0$; по $b$: $75-25-50=0$; число $125-25=100$. ✓
2. $(5-15b+15b^2-5b^3)+(5b+10b^2+5b^3)-(1-10b+25b^2)$. По $b^3$: $0$; по $b^2$: $15+10-25=0$; по $b$: $-15+5+10=0$; число $5-1=4$. ✓
3. $(8b^3-36b^2+54b-27)-(8b^3-24b^2)+(12b^2-54b)$. По $b^2$: $-36+24+12=0$; по $b$: $54-54=0$; число $-27$. ✓
4. $(b^3+6b^2+12b+8)+(8b^3+12b^2+6b+1)-(9b^3+18b^2+18b)-10$. По $b^3$: $1+8-9=0$; по $b^2$: $6+12-18=0$; по $b$: $12+6-18=0$; число $8+1-10=-1$. ✓

Ответ: во всех пунктах переменная сократилась и получилось число из правой части; тождества доказаны.

№ 33.20

Докажите, что при любых значениях переменных значение выражения равно нулю: 1) $(a+x)^3-a(a+x)^2-x^2(2a+x)-a^2x$; 2) $(a-1)^3+3(a-1)^2+3(a-1)+1-a^3$; 3) $(x^3+y^3)^2-(x^2+y^2)^3+3x^2y^2(x+y)^2-8x^3y^3$; 4) $(m-3n)^3-(2m-3n)(3mn+(m-3n)^2)+m^3$.

Как думать. Надо показать, что всё сократится, и останется ноль. Иногда помогает заметить знакомый куб.

Решение.

1. $(a+x)^3-a(a+x)^2=(a+x)^2\cdot x=a^2x+2ax^2+x^3$. Вычтем $x^2(2a+x)=2ax^2+x^3$ и $a^2x$: остаётся $0$.
2. Заметим: $(a-1)^3+3(a-1)^2\cdot1+3(a-1)\cdot1^2+1^3=((a-1)+1)^3=a^3$ — это куб суммы. Тогда $a^3-a^3=0$.
3. $(x^3+y^3)^2=x^6+2x^3y^3+y^6$; $(x^2+y^2)^3=x^6+3x^4y^2+3x^2y^4+y^6$; $3x^2y^2(x+y)^2=3x^4y^2+6x^3y^3+3x^2y^4$. Складываем: $x^6,\ y^6,\ x^4y^2,\ x^2y^4$ сокращаются, остаётся $2x^3y^3+6x^3y^3-8x^3y^3=0$.
4. Внутри: $3mn+(m-3n)^2=m^2-3mn+9n^2$. Тогда $(2m-3n)(m^2-3mn+9n^2)=2m^3-9m^2n+27mn^2-27n^3$. А $(m-3n)^3=m^3-9m^2n+27mn^2-27n^3$. Разность этих двух: $-m^3$. Прибавим $m^3$: $0$.

Ответ: во всех четырёх случаях значение выражения равно $0$.

Готовимся к следующей теме

№ 33.21

Выполните действия: 1) $(a+2b)(a^2+ab+b^2)$; 2) $(a-3b)(a^2+3ab+9b^2)$.

Как думать. Это умножение многочленов «каждый на каждый». Результат пригодится в следующем параграфе.

Решение.

1. $a^3+a^2b+ab^2+2a^2b+2ab^2+2b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+2b^3$.
2. $a^3+3a^2b+9ab^2-3a^2b-9ab^2-27b^3=a^3-27b^3$. Средние слагаемые сократились!

Ответ: 1) $a^3+3a^2b+3ab^2+2b^3$; 2) $a^3-27b^3$.

№ 33.22

Длина стороны одного куба равна $a$ см, другого — $b$ см. Выразите формулой сумму объёмов этих кубов.

Как думать. Объём куба — сторона в кубе.

Решение. Первый куб: $a\cdot a\cdot a=a^3$ см³. Второй: $b^3$ см³. Складываем.

Ответ: $V=a^3+b^3$ (см³).

Шпаргалка

• Куб суммы — это $(a+b)^2(a+b)$.
• У куба суммы все плюсы, у куба разности знаки чередуются.
• При $(5z-2)^3$ в куб возводим и число, и букву: $(5z)^3=125z^3$.
• В уравнениях и неравенствах кубы $x^3$ обычно сокращаются.
• Доказать тождество — значит раскрыть скобки и получить другую часть.

Мини-тест