§ 34. Формулы суммы кубов и разности кубов двух выражений

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 5: Формулы сокращенного умножения. Страницы 201–205.

Чему научишься

• Доказывать формулы $a^3+b^3$ и $a^3-b^3$ умножением многочленов.
• Читать эти формулы словами: «неполный квадрат суммы» и «неполный квадрат разности».
• Раскладывать на множители суммы и разности кубов, в том числе с дробями и степенями.
• Сворачивать произведение вида $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ в сумму кубов.
• Упрощать выражения, решать уравнения и неравенства и доказывать тождества с этими формулами.

Разминка

Здесь нужно уметь узнавать куб в числе или одночлене. Ответы под нажатие.

• Как записать $0{,}008$ в виде куба? $0{,}2^3$, потому что $0{,}2\cdot0{,}2\cdot0{,}2=0{,}008$.
• Как записать $\frac1{27}$ в виде куба? $\left(\frac13\right)^3$.
• Чей куб равен $64x^6$? $4x^2$, ведь $(4x^2)^3=64x^6$.
• Как раскрыть $(a-3b)(a^2+3ab+9b^2)$? Это № 33.21, пункт 2: получится $a^3-27b^3$. Средние слагаемые сократились, запомни это.
• Чему равен $(a-b)^2$? $a^2-2ab+b^2$. Запомни, что у квадрата разности посередине $2ab$, а не $ab$.

Разбираемся

Формула, где середина сокращается

Раньше в формуле $(a+b)^3$ получалось четыре слагаемых. Теперь возьмём другую пару скобок: сумму $a+b$ и «неполный квадрат» $a^2-ab+b^2$. Перемножим:

$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3.$

Слагаемые $-a^2b$ и $+a^2b$ сокращаются, и $ab^2$ тоже. Остаются только кубы.

📌 Сумма кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$. Словами: сумма кубов равна произведению суммы выражений на неполный квадрат их разности.

📌 Разность кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Словами: разность кубов равна произведению разности выражений на неполный квадрат их суммы.

Вторую формулу докажи сам: умножь $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ и сократи середину.

Почему «неполный»

Полный квадрат разности — это $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. А в формуле суммы кубов стоит $a^2-ab+b^2$: посередине не $2ab$, а только $ab$. Поэтому его и называют неполным квадратом.

💡 Запомни рисунок знаков. В сумме кубов: $(+)\ (-)\ (+)$ — первая скобка плюс, во второй скобке минус посередине. В разности кубов: $(-)\ (+)\ (+)$.

⚠️ Частая ошибка. Во второй скобке нет удвоенного произведения: $a^3+b^3\ne(a+b)^3$ и $a^3+b^3\ne(a+b)(a^2+2ab+b^2)$. Слово «неполный» напоминает: удвоения нет.

Как раскладывать на множители

Сначала ответь на вопрос «чей это куб?» для каждого слагаемого, потом подставляй в формулу.

1) $n^6+\frac8{125}m^3$. $n^6=(n^2)^3$ и $\frac8{125}m^3=\left(\frac25m\right)^3$. Тогда

$n^6+\frac8{125}m^3=\left(n^2+\frac25m\right)\left(n^4-\frac25mn^2+\frac4{25}m^2\right).$

2) Упростим $8c^3+(3-2c)(9+6c+4c^2)$. Вторая часть — разность кубов $3^3-(2c)^3=27-8c^3$. Тогда $8c^3+27-8c^3=27$.

Сработает ли это на числах

Раскроем «секрет» числа 1001: $1001=1000+1=10^3+1^3=(10+1)(100-10+1)=11\cdot91=11\cdot7\cdot13$. Вот откуда делители 7, 11 и 13.

Увидим график

График $y=x^3-8$ пересекает ось $x$ ровно один раз, в точке $x=2$. Это подсказывает разложение $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$: первая скобка даёт корень $x=2$, а вторая скобка при любом $x$ положительна и корней не даёт.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка перед любым разложением проговорить: «это сумма или разность? чьи это кубы?». Если оба слагаемых — точные кубы, формула сработает. Подсказка про знаки: средний знак во второй скобке всегда противоположен знаку между кубами.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Чем отличается формула суммы (разности) кубов от формулы куба суммы (разности)? Куб суммы раскрывается в четыре слагаемых: $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. А сумма кубов $a^3+b^3$ — это двучлен, и она раскладывается на множители: $(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
• Почему говорят «неполный квадрат разности»? В полном квадрате разности $a^2-2ab+b^2$ посередине $2ab$. В формуле суммы кубов посередине только $ab$, поэтому квадрат «неполный».
• Как прочитать формулу разности кубов? Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
• Как проверить разложение? Перемножить скобки: должны получиться исходные кубы.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 34.1

Разложите на множители: 1) $a^3+x^3$; 2) $y^3-b^3$; 3) $t^3-n^3$; 4) $m^3+k^3$; 5) $z^3-8$; 6) $64+s^3$; 7) $125-x^3$; 8) $1000+y^3$.

Как думать. Сумма кубов: $(\text{первое}+\text{второе})\cdot(\text{первое}^2-\text{первое}\cdot\text{второе}+\text{второе}^2)$. Разность кубов — со знаками «минус, плюс, плюс».

Решение.

1. $(a+x)(a^2-ax+x^2)$.
2. $(y-b)(y^2+yb+b^2)$.
3. $(t-n)(t^2+tn+n^2)$.
4. $(m+k)(m^2-mk+k^2)$.
5. $8=2^3$: $(z-2)(z^2+2z+4)$.
6. $64=4^3$: $(4+s)(16-4s+s^2)$.
7. $125=5^3$: $(5-x)(25+5x+x^2)$.
8. $1000=10^3$: $(10+y)(100-10y+y^2)$.

Ответ: 1) $(a+x)(a^2-ax+x^2)$; 2) $(y-b)(y^2+yb+b^2)$; 3) $(t-n)(t^2+tn+n^2)$; 4) $(m+k)(m^2-mk+k^2)$; 5) $(z-2)(z^2+2z+4)$; 6) $(4+s)(16-4s+s^2)$; 7) $(5-x)(25+5x+x^2)$; 8) $(10+y)(100-10y+y^2)$.

№ 34.2

Разложите на множители: 1) $27-a^3$; 2) $b^3+125$; 3) $64-m^3$; 4) $8+q^3$; 5) $0{,}008+a^3$; 6) $0{,}216-b^3$; 7) $0{,}027+n^3$; 8) $0{,}125-m^3$.

Как думать. Сначала найди числа-основания: $27=3^3$, $0{,}008=0{,}2^3$, $0{,}216=0{,}6^3$ и т. д.

Решение.

1. $(3-a)(9+3a+a^2)$.
2. $(b+5)(b^2-5b+25)$.
3. $(4-m)(16+4m+m^2)$.
4. $(2+q)(4-2q+q^2)$.
5. $(0{,}2+a)(0{,}04-0{,}2a+a^2)$.
6. $(0{,}6-b)(0{,}36+0{,}6b+b^2)$.
7. $(0{,}3+n)(0{,}09-0{,}3n+n^2)$.
8. $(0{,}5-m)(0{,}25+0{,}5m+m^2)$.

Ответ: 1) $(3-a)(9+3a+a^2)$; 2) $(b+5)(b^2-5b+25)$; 3) $(4-m)(16+4m+m^2)$; 4) $(2+q)(4-2q+q^2)$; 5) $(0{,}2+a)(0{,}04-0{,}2a+a^2)$; 6) $(0{,}6-b)(0{,}36+0{,}6b+b^2)$; 7) $(0{,}3+n)(0{,}09-0{,}3n+n^2)$; 8) $(0{,}5-m)(0{,}25+0{,}5m+m^2)$.

№ 34.3

Разложите на множители: 1) $\frac18-b^3$; 2) $\frac1{27}+c^3$; 3) $\frac1{64}-d^3$; 4) $\frac1{125}+t^3$; 5) $\frac8{27}+z^3$; 6) $y^3-\frac{27}{64}$; 7) $k^3+\frac{27}{125}$; 8) $\frac1{216}-z^3$.

Как думать. Дробь-куб: числитель и знаменатель по отдельности куб. $\frac18=\left(\frac12\right)^3$, $\frac{27}{64}=\left(\frac34\right)^3$.

Решение.

1. $\left(\frac12-b\right)\left(\frac14+\frac12b+b^2\right)$.
2. $\left(\frac13+c\right)\left(\frac19-\frac13c+c^2\right)$.
3. $\left(\frac14-d\right)\left(\frac1{16}+\frac14d+d^2\right)$.
4. $\left(\frac15+t\right)\left(\frac1{25}-\frac15t+t^2\right)$.
5. $\left(\frac23+z\right)\left(\frac49-\frac23z+z^2\right)$.
6. $\left(y-\frac34\right)\left(y^2+\frac34y+\frac9{16}\right)$.
7. $\left(k+\frac35\right)\left(k^2-\frac35k+\frac9{25}\right)$.
8. $\left(\frac16-z\right)\left(\frac1{36}+\frac16z+z^2\right)$.

Ответ: 1) $\left(\frac12-b\right)\left(\frac14+\frac b2+b^2\right)$; 2) $\left(\frac13+c\right)\left(\frac19-\frac c3+c^2\right)$; 3) $\left(\frac14-d\right)\left(\frac1{16}+\frac d4+d^2\right)$; 4) $\left(\frac15+t\right)\left(\frac1{25}-\frac t5+t^2\right)$; 5) $\left(\frac23+z\right)\left(\frac49-\frac{2z}3+z^2\right)$; 6) $\left(y-\frac34\right)\left(y^2+\frac{3y}4+\frac9{16}\right)$; 7) $\left(k+\frac35\right)\left(k^2-\frac{3k}5+\frac9{25}\right)$; 8) $\left(\frac16-z\right)\left(\frac1{36}+\frac z6+z^2\right)$.

№ 34.4

Представьте произведение в виде многочлена: 1) $(a+2)(a^2-2a+4)$; 2) $(1-x^2)(1+x^2+x^4)$; 3) $(k-5)(k^2+5k+25)$; 4) $(3+m)(9-3m+m^2)$; 5) $(1+a^3)(1-a^3+a^6)$; 6) $(4-n^2)(16+4n^2+n^4)$; 7) $(25-5y^2+y^4)(5+y^2)$; 8) $(64+8z^3+z^6)(8-z^3)$.

Как думать. Это формулы справа налево: узнаём «скобка + неполный квадрат» и сразу пишем кубы.

Решение.

1. $a^3+2^3=a^3+8$.
2. $1^3-(x^2)^3=1-x^6$.
3. $k^3-5^3=k^3-125$.
4. $3^3+m^3=27+m^3$.
5. $1^3+(a^3)^3=1+a^9$.
6. $4^3-(n^2)^3=64-n^6$.
7. $5^3+(y^2)^3=125+y^6$.
8. $8^3-(z^3)^3=512-z^9$.

Ответ: 1) $a^3+8$; 2) $1-x^6$; 3) $k^3-125$; 4) $27+m^3$; 5) $1+a^9$; 6) $64-n^6$; 7) $125+y^6$; 8) $512-z^9$.

№ 34.5

Упростите выражения: 1) $(x-10)(x^2+10x+100)-x^3$; 2) $216-(a+6)(a^2-6a+36)$; 3) $y^3+(7-y)(49+7y+y^2)$; 4) $600-(8-z)(z^2+8z+64)$.

Как думать. Произведение в скобках — это куб в чистом виде. Сворачиваем и считаем.

Решение.

1. $(x^3-1000)-x^3=-1000$.
2. $216-(a^3+216)=-a^3$.
3. $y^3+(343-y^3)=343$.
4. $600-(512-z^3)=88+z^3$.

Ответ: 1) $-1000$; 2) $-a^3$; 3) $343$; 4) $z^3+88$.

№ 34.6

Упростите выражения: 1) $(a-1)(a^2+a+1)-a^2(a-8)$; 2) $(b+2)(b^2-2b+4)-b(b^2-1)$; 3) $2x^3+7(x^2-x+1)(x+1)$; 4) $y^3-(y-3)(y^2+3y+9)$.

Как думать. Сворачиваем куб, раскрываем остальные скобки, приводим подобные.

Решение.

1. $(a^3-1)-a^3+8a^2=8a^2-1$.
2. $(b^3+8)-b^3+b=8+b$.
3. $2x^3+7(x^3+1)=9x^3+7$.
4. $y^3-(y^3-27)=27$.

Ответ: 1) $8a^2-1$; 2) $8+b$; 3) $9x^3+7$; 4) $27$. Совпало с ответами учебника.

№ 34.7

Решите уравнение: 1) $(2x-3)(4x^2+6x+9)-8x^3=2{,}7x$; 2) $(3+4x)(16x^2-12x+9)-64x^3=-10x$; 3) $(5-2x)(4x^2+10x+25)=2{,}5x-8x^3$; 4) $(6-5x)(36+30x+25x^2)=108x-125x^3$.

Как думать. Скобки собираются в разность или сумму кубов, кубы сокращаются, остаётся линейное уравнение.

Решение.

1. $(2x)^3-27-8x^3=-27$. Тогда $-27=2{,}7x$, $x=-10$.
2. $27+64x^3-64x^3=27$. Тогда $27=-10x$, $x=-2{,}7$.
3. $125-8x^3=2{,}5x-8x^3$. Тогда $125=2{,}5x$, $x=50$.
4. $216-125x^3=108x-125x^3$. Тогда $216=108x$, $x=2$.

Ответ: 1) $-10$; 2) $-2{,}7$; 3) $50$; 4) $2$.

№ 34.8

Решите неравенство: 1) $(1-4x)(1+4x+16x^2)-6x^3\leqslant10x-70x^3$; 2) $99x^3-(1+5x)(1-5x+25x^2)\geqslant12x-26x^3$.

Как думать. Тот же приём. Следи за знаком при делении на отрицательное число.

Решение.

1. $(1-64x^3)-6x^3\leqslant10x-70x^3$, то есть $1-70x^3\leqslant10x-70x^3$. Сокращаем: $1\leqslant10x$, $x\geqslant0{,}1$.
2. $(1+5x)(1-5x+25x^2)=1+125x^3$. Тогда $99x^3-1-125x^3=-26x^3-1$. Неравенство: $-26x^3-1\geqslant12x-26x^3$. Сокращаем: $-1\geqslant12x$, $x\leqslant-\frac1{12}$.

Ответ: 1) $[0{,}1;\ +\infty)$; 2) $\left(-\infty;\ -\frac1{12}\right]$. Совпало с ответами учебника.

№ 34.9

Докажите тождество: 1) $(5x-6)(25x^2+30x+36)-0{,}25(500x^3-864)=0$; 2) $91x^3-(3x-4)(9x^2+12x+16)-(3+4x)(9-12x+16x^2)=37$.

Как думать. Скобки превращаются в кубы, и $x$ должен исчезнуть.

Решение.

1. $(5x)^3-6^3=125x^3-216$. $0{,}25\cdot500x^3=125x^3$, $0{,}25\cdot864=216$, значит вычитаем $125x^3-216$. Получаем $0$. ✓
2. $(3x-4)(9x^2+12x+16)=27x^3-64$; $(3+4x)(9-12x+16x^2)=27+64x^3$. Тогда $91x^3-27x^3+64-27-64x^3=37$. ✓

Ответ: левая часть равна правой, тождества доказаны.

Уровень B

№ 34.10

Разложите на множители многочлен: 1) $a^3-27b^3$; 2) $m^3n^3+k^3$; 3) $x^6-y^6$; 4) $k^6+(pq)^6$; 5) $(a-b)^3+b^3$; 6) $(x-2)^3-27$; 7) $8a^3+(a-b)^3$; 8) $27x^3-y^3(x-y)^3$.

Как думать. Иногда «основание» куба — целое выражение в скобках: тогда в формулу вместо $a$ или $b$ подставляем скобку целиком. В 3) можно разложить и как разность квадратов, и как разность кубов.

Решение.

1. $(a-3b)(a^2+3ab+9b^2)$.
2. $(mn+k)(m^2n^2-mnk+k^2)$.
3. $x^6-y^6=(x^3-y^3)(x^3+y^3)=(x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)(x^2-xy+y^2)$.
4. $k^6=(k^2)^3$ и $(pq)^6=(p^2q^2)^3$: $(k^2+p^2q^2)(k^4-k^2p^2q^2+p^4q^4)$.
5. Здесь $a-b$ и $b$: $(a-b+b)\left((a-b)^2-(a-b)b+b^2\right)=a(a^2-2ab+b^2-ab+b^2+b^2)=a(a^2-3ab+3b^2)$.
6. $(x-2)^3-3^3=(x-2-3)\left((x-2)^2+3(x-2)+9\right)=(x-5)(x^2-4x+4+3x-6+9)=(x-5)(x^2-x+7)$.
7. $(2a)^3+(a-b)^3=(2a+a-b)\left(4a^2-2a(a-b)+(a-b)^2\right)=(3a-b)(4a^2-2a^2+2ab+a^2-2ab+b^2)=(3a-b)(3a^2+b^2)$.
8. $(3x)^3-\left(y(x-y)\right)^3=(3x-xy+y^2)\left(9x^2+3xy(x-y)+y^2(x-y)^2\right)$.

Ответ: 1) $(a-3b)(a^2+3ab+9b^2)$; 2) $(mn+k)(m^2n^2-mnk+k^2)$; 3) $(x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$; 4) $(k^2+p^2q^2)(k^4-k^2p^2q^2+p^4q^4)$; 5) $a(a^2-3ab+3b^2)$; 6) $(x-5)(x^2-x+7)$; 7) $(3a-b)(3a^2+b^2)$; 8) $(3x-xy+y^2)\left(9x^2+3xy(x-y)+y^2(x-y)^2\right)$.

№ 34.11

Запишите в виде многочлена произведение: 1) $\left(x+\frac13\right)\left(\frac19-\frac13x+x^2\right)$; 2) $\left(n-\frac12\right)\left(n^2+\frac12n+\frac14\right)$; 3) $\left(\frac12a+\frac13b\right)\left(\frac14a^2-\frac16ab+\frac19b^2\right)$; 4) $\left(\frac14y^2-yz+4z^2\right)\left(\frac12y+2z\right)$.

Как думать. Узнаём формулу: одна скобка — $a\pm b$, другая — неполный квадрат. Проверь, что середина второй скобки равна именно $ab$.

Решение.

1. $a=x$, $b=\frac13$: $ab=\frac13x$ ✓, $b^2=\frac19$ ✓. Итог $x^3+\frac1{27}$.
2. $a=n$, $b=\frac12$: $n^3-\frac18$.
3. Первое выражение $\frac12a$, второе $\frac13b$: их произведение $\frac16ab$ ✓, квадраты $\frac14a^2$ и $\frac19b^2$ ✓. Итог $\frac18a^3+\frac1{27}b^3$.
4. Первая скобка во втором множителе: $\frac12y+2z$. Тогда $A=\frac12y$, $B=2z$: $A^2=\frac14y^2$ ✓, $AB=yz$ ✓, $B^2=4z^2$ ✓. Итог $\frac18y^3+8z^3$.

Ответ: 1) $x^3+\frac1{27}$; 2) $n^3-\frac18$; 3) $\frac18a^3+\frac1{27}b^3$; 4) $\frac18y^3+8z^3$.

№ 34.12

Представьте в виде произведения многочлен: 1) $m^3-n^3+2n-2m$; 2) $3a^3-3b^3+5a^2-5b^2$; 3) $x^6+y^6+x^2+y^2$; 4) $a^3-b^3+a^2-b^2$; 5) $x^4+xy^3-x^3y-y^4$; 6) $a^4-a^3b+ab^3-b^4$.

Как думать. Группируем слагаемые парами так, чтобы в каждой паре можно было применить формулу кубов или квадратов, а потом выносим общую скобку.

Решение.

1. $(m^3-n^3)-2(m-n)=(m-n)(m^2+mn+n^2)-2(m-n)=(m-n)(m^2+mn+n^2-2)$.
2. $3(a^3-b^3)+5(a^2-b^2)=(a-b)\left(3(a^2+ab+b^2)+5(a+b)\right)=(a-b)(3a^2+3ab+3b^2+5a+5b)$.
3. $(x^6+y^6)+(x^2+y^2)=(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)+(x^2+y^2)=(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4+1)$.
4. $(a-b)(a^2+ab+b^2)+(a-b)(a+b)=(a-b)(a^2+ab+b^2+a+b)$.
5. $(x^4-y^4)-xy(x^2-y^2)=(x^2-y^2)(x^2+y^2)-xy(x^2-y^2)=(x^2-y^2)(x^2-xy+y^2)=(x-y)(x+y)(x^2-xy+y^2)$.
6. $(a^4-b^4)-ab(a^2-b^2)=(a^2-b^2)(a^2+b^2-ab)=(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Ответ: 1) $(m-n)(m^2+mn+n^2-2)$; 2) $(a-b)(3a^2+3ab+3b^2+5a+5b)$; 3) $(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4+1)$; 4) $(a-b)(a^2+ab+b^2+a+b)$; 5) $(x-y)(x+y)(x^2-xy+y^2)$; 6) $(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

№ 34.13

Упростите выражения: 1) $2a^3+9-2(a+1)(a^2-a+1)$; 2) $x(x+2)(x-2)-(x-3)(x^2+3x+9)$; 3) $3(b-1)^2+(b+2)(b^2-2b+4)-(b+1)^3$; 4) $(a-1)^3-4a(a+1)(a-1)+3(a-1)(a^2+a+1)$.

Как думать. Используем и кубы, и квадраты: $(x+2)(x-2)=x^2-4$, $(a+1)(a-1)=a^2-1$.

Решение.

1. $2a^3+9-2(a^3+1)=7$.
2. $x(x^2-4)-(x^3-27)=x^3-4x-x^3+27=27-4x$.
3. $3b^2-6b+3+b^3+8-b^3-3b^2-3b-1=10-9b$.
4. $a^3-3a^2+3a-1-4a^3+4a+3a^3-3=-3a^2+7a-4$.

Ответ: 1) $7$; 2) $27-4x$; 3) $10-9b$; 4) $-3a^2+7a-4$.

№ 34.14

Упростите выражения: 1) $(x+2)(x^2-2x+4)-x(x-3)(x+3)-42$; 2) $(x-3)(x^2+3x+9)-x(x^2-16)+21$; 3) $(2x-1)(4x^2+2x+1)-23-4x(2x^2+3)$; 4) $16x(4x^2-5)+17-(4x+1)(16x^2-4x+1)$.

Как думать. Те же приёмы: кубы из скобок, разность квадратов $(x-3)(x+3)=x^2-9$.

Решение.

1. $x^3+8-x(x^2-9)-42=x^3+8-x^3+9x-42=9x-34$.
2. $x^3-27-x^3+16x+21=16x-6$.
3. $8x^3-1-23-8x^3-12x=-12x-24$.
4. $64x^3-80x+17-64x^3-1=16-80x$.

Ответ: 1) $9x-34$; 2) $16x-6$; 3) $-12x-24$; 4) $16-80x$. Совпало с ответами учебника для пунктов 1 и 3.

Уровень C

Это задачи повышенной трудности. Решил хотя бы одну — уже отличный результат.

№ 34.15

Упростите выражение: 1) $6(x+1)^2+2(x-1)(x^2+x+1)-2(x+1)^3$; 2) $5x(x-3)^2-5(x-1)^3+15(x+2)(x-2)$; 3) $(x+2)^3-x(3x+1)^2+(2x+1)(4x^2-2x+1)$.

Как думать. Здесь есть и кубы суммы, и разность кубов, и квадраты. Раскрывай по одному слагаемому и записывай результат.

Решение.

1. $6x^2+12x+6+2(x^3-1)-2(x^3+3x^2+3x+1)=6x^2+12x+6+2x^3-2-2x^3-6x^2-6x-2=6x+2$.
2. $5x(x^2-6x+9)=5x^3-30x^2+45x$; $-5(x^3-3x^2+3x-1)=-5x^3+15x^2-15x+5$; $15(x^2-4)=15x^2-60$. Складываем: $30x-55$.
3. $x^3+6x^2+12x+8-9x^3-6x^2-x+8x^3+1=11x+9$.

Ответ: 1) $6x+2$; 2) $30x-55$; 3) $11x+9$. Пункт 1 совпал с ответом учебника.

№ 34.16

Решите уравнение: 1) $x^3-(x-3)(x^2+3x+9)+9x=-18x$; 2) $(x+4)(16-4x+x^2)-x(x^2+8)=-192$; 3) $y(y^2-5)-(y-2)(y^2+2y+4)+3y=0$; 4) $(5+y)(25-5y+y^2)-20y-y^3=0$.

Как думать. Скобки собираются в кубы, кубы сокращаются, остаётся линейное уравнение.

Решение.

1. $x^3-(x^3-27)+9x=-18x$. Слева $27+9x$. Тогда $27=-27x$, $x=-1$.
2. $x^3+64-x^3-8x=-192$. Тогда $64-8x=-192$, $8x=256$, $x=32$.
3. $y^3-5y-(y^3-8)+3y=0$. Тогда $8-2y=0$, $y=4$.
4. $125+y^3-20y-y^3=0$. Тогда $125=20y$, $y=6{,}25$.

Ответ: 1) $-1$; 2) $32$; 3) $4$; 4) $6{,}25$. Совпало с ответами учебника.

№ 34.17

Докажите тождества: 1) $(x+y)^3-(x-y)^3-6y(x^2-y^2)=8y^3$; 2) $(m+n)^3-(m-n)^3-2n(m^2+n^2)=4m^2n$; 3) $x^3-4-(x+2)^2+x(4+x)=x^3-8$.

Как думать. Раскрываем левую часть и приводим подобные.

Решение.

1. $(x+y)^3-(x-y)^3=6x^2y+2y^3$. Вычитаем $6y(x^2-y^2)=6x^2y-6y^3$: остаётся $8y^3$. ✓
2. $(m+n)^3-(m-n)^3=6m^2n+2n^3$. Вычитаем $2n(m^2+n^2)=2m^2n+2n^3$: остаётся $4m^2n$. ✓
3. $x^3-4-x^2-4x-4+4x+x^2=x^3-8$. ✓

Ответ: левые части приводятся к правым, тождества доказаны.

№ 34.18

Докажите тождества: 1) $(a^2-3)^3-(a^2-4)(a^2+4)-a^2(a^4-10a^2+27)+27=16$; 2) $(b^2+3)^3-(b^2+3)(b^4-3b^2+9)-9b^2(b^2+3)=0$; 3) $(m^2-1)(m^4+m^2+1)-(m^2-1)^3+3(m^2-1)=3m^4-3$.

Как думать. Замечай формулы: $(a^2-4)(a^2+4)=a^4-16$, $(b^2+3)(b^4-3b^2+9)=b^6+27$.

Решение.

1. $(a^2-3)^3=a^6-9a^4+27a^2-27$. Тогда $a^6-9a^4+27a^2-27-a^4+16-a^6+10a^4-27a^2+27=16$ (все $a$ сократились). ✓
2. $(b^2+3)^3=b^6+9b^4+27b^2+27$, $(b^2+3)(b^4-3b^2+9)=b^6+27$. Разность: $9b^4+27b^2$. Вычтем $9b^4+27b^2$: получим $0$. ✓
3. $(m^2-1)(m^4+m^2+1)=m^6-1$; $(m^2-1)^3=m^6-3m^4+3m^2-1$. Разность: $3m^4-3m^2$. Прибавим $3m^2-3$: $3m^4-3$. ✓

Ответ: тождества доказаны.

Готовимся к следующей теме

№ 34.19

Решите неравенство: 1) $(x+2)^2-10\leqslant12x+x^2$; 2) $24-(3-x)^2>8x-x^2$.

Как думать. Квадраты $x^2$ сократятся, и неравенство станет линейным.

Решение.

1. $x^2+4x+4-10\leqslant12x+x^2$. Сокращаем $x^2$: $4x-6\leqslant12x$, $-6\leqslant8x$, $x\geqslant-\frac34$.
2. $24-9+6x-x^2>8x-x^2$. Сокращаем: $15+6x>8x$, $15>2x$, $x<7{,}5$.

Ответ: 1) $\left[-\frac34;\ +\infty\right)$; 2) $(-\infty;\ 7{,}5)$.

№ 34.20

Найдите периметр и площадь фигуры, изображённой на рисунке 34.1.

Как думать. Фигура похожа на прямоугольник $15\times8$ с вырезом сверху и «ножкой» снизу. По рисунку: ширина трёх частей $5+5+5=15$, высота основной части $8$, вырез сверху шириной $5$ и глубиной $4$, ножка снизу шириной $5$ и высотой $4$.

Решение.

1. Площадь: прямоугольник $15\cdot8=120$. Вырез убирает $5\cdot4=20$, ножка добавляет $5\cdot4=20$. Итого $120-20+20=120$.
2. Периметр. Прямоугольник $15\times8$ имеет периметр $2(15+8)=46$. Вырез вместо верхней стороны $5$ даёт путь $4+5+4=13$, то есть на $8$ длиннее. Ножка вместо нижней стороны $5$ даёт путь $4+5+4=13$, тоже на $8$ длиннее. Итого $46+8+8=62$.

Ответ: периметр $62$, площадь $120$ (в условных единицах рисунка).

Шпаргалка

• В сумме кубов первая скобка с плюсом, а во второй посередине минус.
• В разности кубов первая скобка с минусом, а во второй все плюсы.
• Во второй скобке нет двойки: посередине просто $ab$.
• Скобка целиком тоже может быть «основанием куба»: $(x-2)^3-27$.
• Если в задаче видишь «скобка на неполный квадрат» — сворачивай в сумму или разность кубов.

Мини-тест