§ 35. Преобразования выражений с помощью формул сокращенного умножения

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 5: Формулы сокращенного умножения. Страницы 205–210.

Чему научишься

• Выбирать нужную формулу из семи изученных: по виду выражения.
• Упрощать длинные выражения, где вперемешку квадраты, кубы и произведения.
• Решать уравнения и неравенства, в которых «лишние» степени сокращаются.
• Доказывать тождества и находить наибольшее и наименьшее целое решение неравенства.
• Применять формулы в рассуждениях про числа и фигуры.

Разминка

Здесь нет упражнений из учебника, зато есть вопросы на память. Ответы под нажатие.

• Как раскладывается $a^2-b^2$? $(a-b)(a+b)$.
• Чему равен $(a-b)^2$? $a^2-2ab+b^2$.
• Чему равен $(a+b)^3$? $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
• Как раскладывается $a^3+b^3$? $(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
• Как решить уравнение $3x-5=7$? $3x=12$, $x=4$.

Разбираемся

Семь формул в одном месте

Вот вся «коллекция». Теперь сравни их: их надо не зубрить, а узнавать глазами.

📌 Все эти семь равенств называют формулами сокращённого умножения: они позволяют не перемножать скобки по одной, а сразу писать результат.

💡 Как выбрать формулу. Видишь скобку в квадрате — квадрат суммы или разности. Видишь скобку в кубе — куб. Видишь две скобки $(a-b)(a+b)$ — разность квадратов. Видишь «скобку и неполный квадрат» — сумма или разность кубов.

Пример 1: упрощаем выражение

Упростим $(5-2a)^2-6a(2a+1)+(3a-5)(5+3a)$.

Пример 2: решаем неравенство

Решим $(3-2x)^2-5x\leqslant2x(2x-3)+4$. Раскрываем: $9-12x+4x^2-5x\leqslant4x^2-6x+4$. Слагаемые $4x^2$ сокращаются, остаётся $9-17x\leqslant-6x+4$. Переносим: $5\leqslant11x$, то есть $x\geqslant\frac5{11}$.

⚠️ Частая ошибка. При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный. Например, из $-16x\leqslant-16$ получаем $x\geqslant1$.

Пример 3: доказываем тождество

Докажем: $(b+2)^3-(b-2)^3-12b^2=16$.

Раскрываем: $(b+2)^3=b^3+6b^2+12b+8$ и $(b-2)^3=b^3-6b^2+12b-8$. Разность: $12b^2+16$. Вычитаем $12b^2$ — остаётся $16$. Переменная исчезла, значит тождество верно.

👨‍👩‍👧 Родителю. Это урок-«тренажёр»: выражения длинные, ошибки случаются от невнимательности, а не от незнания формул. Предложите ребёнку писать каждое слагаемое в отдельной строке и подчёркивать подобные слагаемые одинаковыми линиями (как в учебнике).

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как использовать формулы сокращённого умножения для рационального вычисления? Узнать в выражении квадрат, куб или пару скобок и записать результат сразу. Например, $99\cdot101=(100-1)(100+1)=10000-1=9999$.
• Что делать с длинным выражением, где вперемешку всё? Раскрыть каждое слагаемое отдельно по подходящей формуле, потом привести подобные.
• Как доказать тождество? Преобразовать левую часть (или обе) до одинакового вида.
• Что значит «найти наибольшее целое решение неравенства»? Решить неравенство и выбрать самое большое целое число из получившегося промежутка.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 35.1

Упростите выражения: 1) $(m^3+6n^2)^2-(6n^2-m^3)^2$; 2) $(x^2-7y^3)^2+(x^2+7y^3)^2$; 3) $(9z+2x^4)^2-(2x^4-9z)^2$; 4) $(5a^3-4b)^2+(4b+5a^3)^2$.

Как думать. Помни: $(p+q)^2-(p-q)^2=4pq$ и $(p+q)^2+(p-q)^2=2p^2+2q^2$.

Решение.

1. $(6n^2-m^3)^2=(m^3-6n^2)^2$. Тогда выражение $=(m^3+6n^2)^2-(m^3-6n^2)^2=4\cdot m^3\cdot6n^2=24m^3n^2$.
2. $2\cdot(x^2)^2+2\cdot(7y^3)^2=2x^4+98y^6$.
3. $(2x^4+9z)^2-(2x^4-9z)^2=4\cdot2x^4\cdot9z=72x^4z$.
4. $(5a^3-4b)^2+(5a^3+4b)^2=2\cdot25a^6+2\cdot16b^2=50a^6+32b^2$.

Ответ: 1) $24m^3n^2$; 2) $2x^4+98y^6$; 3) $72x^4z$; 4) $50a^6+32b^2$. Пункт 3 совпал с ответом учебника.

№ 35.2

Упростите выражения: 1) $(1{,}1x^2-6y)^2-(1{,}1x^2-6y)(1{,}1x^2+6y)$; 2) $(2{,}3a-7b^3)(2{,}3a+7b^3)-(2{,}3a+7b^3)^2$; 3) $(3{,}1n^3-5m)^2+(5m-3{,}1n^3)(5m+3{,}1n^3)$.

Как думать. В каждом пункте есть общая скобка. Вынеси её.

Решение.

1. Общая скобка $(1{,}1x^2-6y)$: $(1{,}1x^2-6y)\left((1{,}1x^2-6y)-(1{,}1x^2+6y)\right)=(1{,}1x^2-6y)(-12y)=-13{,}2x^2y+72y^2$.
2. Общая скобка $(2{,}3a+7b^3)$: $(2{,}3a+7b^3)\left((2{,}3a-7b^3)-(2{,}3a+7b^3)\right)=(2{,}3a+7b^3)(-14b^3)=-32{,}2ab^3-98b^6$.
3. $(3{,}1n^3-5m)^2=(5m-3{,}1n^3)^2$. Общая скобка $(5m-3{,}1n^3)$: $(5m-3{,}1n^3)\left((5m-3{,}1n^3)+(5m+3{,}1n^3)\right)=(5m-3{,}1n^3)\cdot10m=50m^2-31mn^3$.

Ответ: 1) $72y^2-13{,}2x^2y$; 2) $-98b^6-32{,}2ab^3$; 3) $50m^2-31mn^3$. Пункт 2 совпал с ответом учебника.

№ 35.3

Упростите выражения: 1) $1000+a^6-(a^2+10)(a^4-10a^2+100)$; 2) $(a^3-9)(a^6+9a^3+81)-a^9-729$; 3) $0{,}512t^3-100+(0{,}8t+5)(0{,}64t^2-4t+25)$; 4) $(1{,}1d-c^3)(1{,}21d^2+1{,}1c^3d+c^6)-1{,}331d^3+2c^9$.

Как думать. Видим «скобка на неполный квадрат» — сворачиваем в сумму или разность кубов.

Решение.

1. $(a^2+10)(a^4-10a^2+100)=a^6+1000$. Тогда $1000+a^6-a^6-1000=0$.
2. $(a^3-9)(a^6+9a^3+81)=a^9-729$. Тогда $a^9-729-a^9-729=-1458$.
3. $(0{,}8t+5)(0{,}64t^2-4t+25)=0{,}512t^3+125$. Тогда $0{,}512t^3-100+0{,}512t^3+125=1{,}024t^3+25$.
4. $(1{,}1d-c^3)(\dots)=1{,}331d^3-c^9$. Тогда $1{,}331d^3-c^9-1{,}331d^3+2c^9=c^9$.

Ответ: 1) $0$; 2) $-1458$; 3) $1{,}024t^3+25$; 4) $c^9$.

№ 35.4

Упростите выражения: 1) $(2+a^4)(a^8-2a^4+4)+a^{10}(1-a^2)$; 2) $k^5(k+1)-(3+k^2)(k^4-3k^2+9)$; 3) $(25-5y^4+y^8)(5+y^4)-y^6(y^6-1)$; 4) $(z^6+7z^3+49)(z^3-7)+z(1-z^8)$.

Как думать. Опять сворачиваем кубы, а потом раскрываем оставшиеся скобки.

Решение.

1. $(2+a^4)(a^8-2a^4+4)=8+a^{12}$. Тогда $8+a^{12}+a^{10}-a^{12}=a^{10}+8$.
2. $k^6+k^5-(27+k^6)=k^5-27$.
3. $(5+y^4)(25-5y^4+y^8)=125+y^{12}$. Тогда $125+y^{12}-y^{12}+y^6=y^6+125$.
4. $(z^3-7)(z^6+7z^3+49)=z^9-343$. Тогда $z^9-343+z-z^9=z-343$.

Ответ: 1) $a^{10}+8$; 2) $k^5-27$; 3) $y^6+125$; 4) $z-343$. Пункт 3 совпал с ответом учебника.

№ 35.5

Решите уравнения: 1) $35+(5x-1)(5x+1)=(5x+2)^2$; 2) $3+(2x+3)^2=4(x-6)(6+x)$; 3) $6-x+(2x-1)^2=4(x+3)^2$; 4) $39x+(4x+3)^2=2+4(2x+1)^2$.

Как думать. Раскрой всё по формулам, квадраты $x^2$ сократятся, останется линейное уравнение.

Решение.

1. $35+25x^2-1=25x^2+20x+4$. Тогда $34=20x+4$, $x=1{,}5$.
2. $3+4x^2+12x+9=4(x^2-36)$. Тогда $4x^2+12x+12=4x^2-144$, $12x=-156$, $x=-13$.
3. $6-x+4x^2-4x+1=4x^2+24x+36$. Тогда $7-5x=24x+36$, $-29=29x$, $x=-1$.
4. $39x+16x^2+24x+9=2+16x^2+16x+4$. Тогда $63x+9=16x+6$, $47x=-3$, $x=-\frac3{47}$.

Ответ: 1) $1{,}5$; 2) $-13$; 3) $-1$; 4) $-\frac3{47}$.

№ 35.6

Решите уравнения: 1) $7x-(x-2)^3=13-x^2(x-6)$; 2) $10+(3-x)^3=x^2(9-x)-17$; 3) $-16+(4+x)^3=x^2(x+12)$; 4) $11-x^2(x+9)=8x-(x+3)^3$.

Как думать. Куб скобки раскрываем по формуле, $x^3$ и $x^2$ сокращаются.

Решение.

1. $7x-x^3+6x^2-12x+8=13-x^3+6x^2$. Тогда $-5x+8=13$, $x=-1$.
2. $10+27-27x+9x^2-x^3=9x^2-x^3-17$. Тогда $37-27x=-17$, $54=27x$, $x=2$.
3. $-16+64+48x+12x^2+x^3=x^3+12x^2$. Тогда $48+48x=0$, $x=-1$.
4. $11-x^3-9x^2=8x-x^3-9x^2-27x-27$. Тогда $11=-19x-27$, $38=-19x$, $x=-2$.

Ответ: 1) $-1$; 2) $2$; 3) $-1$; 4) $-2$.

№ 35.7

Найдите корни уравнения: 1) $(x-7)^2-49=0$; 2) $(6+y)^2-81=0$; 3) $100-(z-19)^2=0$; 4) $25-(13+t)^2=0$.

Как думать. Тут видна разность квадратов: $49=7^2$, $81=9^2$. Или напрямую: если квадрат числа равен $49$, то само число равно $7$ или $-7$.

Решение.

1. $(x-7)^2=49$, значит $x-7=7$ или $x-7=-7$. Корни $x=14$ и $x=0$.
2. $(6+y)^2=81$, значит $6+y=9$ или $6+y=-9$. Корни $y=3$ и $y=-15$.
3. $(z-19)^2=100$, значит $z-19=10$ или $z-19=-10$. Корни $z=29$ и $z=9$.
4. $(13+t)^2=25$, значит $13+t=5$ или $13+t=-5$. Корни $t=-8$ и $t=-18$.

Ответ: 1) $14$ и $0$; 2) $3$ и $-15$; 3) $29$ и $9$; 4) $-8$ и $-18$. Пункты 1 и 4 совпали с ответами учебника.

№ 35.8

Решите уравнения: 1) $x(0{,}25x-3)-(0{,}5x+1)(0{,}5x-1)=0$; 2) $(1{,}2-x)(x+1{,}2)+1{,}8x+x^2=0$; 3) $0{,}49x^2-3x-(0{,}7x+2)(0{,}7x-2)=0$; 4) $(1{,}6x+1)(1-1{,}6x)-64x(1-0{,}04x)=0$.

Как думать. Везде разность квадратов, и квадраты $x^2$ сокращаются.

Решение.

1. $0{,}25x^2-3x-(0{,}25x^2-1)=-3x+1=0$, $x=\frac13$.
2. $(1{,}2-x)(1{,}2+x)=1{,}44-x^2$. Тогда $1{,}44-x^2+1{,}8x+x^2=0$, $1{,}8x=-1{,}44$, $x=-0{,}8$.
3. $0{,}49x^2-3x-(0{,}49x^2-4)=-3x+4=0$, $x=\frac43$.
4. $(1+1{,}6x)(1-1{,}6x)=1-2{,}56x^2$, а $64x\cdot0{,}04x=2{,}56x^2$. Тогда $1-2{,}56x^2-64x+2{,}56x^2=0$, $1-64x=0$, $x=\frac1{64}$.

Ответ: 1) $\frac13$; 2) $-0{,}8$; 3) $\frac43$; 4) $\frac1{64}$.

№ 35.9

Решите уравнения: 1) $(7x-5)^2+67x-49x^2=-2$; 2) $196x^2-(14x+3)^2+80x=-5$; 3) $-2{,}89x^2+(1{,}7x+2)^2+0{,}2x=11$; 4) $(2{,}4x-1)^2-0{,}2x-5{,}76x^2=3$.

Как думать. Квадрат разности даёт $49x^2$ (или $196x^2$, $2{,}89x^2$, $5{,}76x^2$), и он сокращается с соседом.

Решение.

1. $49x^2-70x+25+67x-49x^2=-2$. Тогда $-3x+25=-2$, $x=9$.
2. $196x^2-196x^2-84x-9+80x=-5$. Тогда $-4x-9=-5$, $x=-1$.
3. $-2{,}89x^2+2{,}89x^2+6{,}8x+4+0{,}2x=11$. Тогда $7x+4=11$, $x=1$.
4. $5{,}76x^2-4{,}8x+1-0{,}2x-5{,}76x^2=3$. Тогда $-5x+1=3$, $x=-0{,}4$.

Ответ: 1) $9$; 2) $-1$; 3) $1$; 4) $-0{,}4$. Пункты 1–3 совпали с ответами учебника.

№ 35.10

Решите уравнения: 1) $5(2+x)^3-5x^3=28x+30x^2$; 2) $54x^2-6(x-3)^3=162+6x^3$; 3) $(x+9)(x^2-9x+81)=-7-4x+x^3$; 4) $x^3-2x-331=(x^2-11x+121)(x+11)$.

Как думать. В 3) и 4) слева видна сумма кубов: $x^3+729$ и $x^3+1331$.

Решение.

1. $5(8+12x+6x^2+x^3)-5x^3=40+60x+30x^2$. Тогда $40+60x+30x^2=28x+30x^2$, $32x=-40$, $x=-1{,}25$.
2. Раскроем: $54x^2-6x^3+54x^2-162x+162=162+6x^3$. Тогда $-12x^3+108x^2-162x=0$, то есть $-6x(2x^2-18x+27)=0$. Один корень $x=0$. Остальные получаются из квадратного уравнения $2x^2-18x+27=0$: $x=\frac{9\pm3\sqrt3}{2}$. Но для 7 класса такое решать не предполагается, поэтому здесь, скорее всего, опечатка: если перед $6(x-3)^3$ стоит плюс, то $54x^2+6(x-3)^3=6x^3+162x-162$, и уравнение $6x^3+162x-162=162+6x^3$ даёт $x=2$.
3. $(x+9)(x^2-9x+81)=x^3+729$. Тогда $x^3+729=-7-4x+x^3$, $4x=-736$, $x=-184$.
4. $(x^2-11x+121)(x+11)=x^3+1331$. Тогда $x^3-2x-331=x^3+1331$, $-2x=1662$, $x=-831$.

Ответ: 1) $-1{,}25$; 2) по условию как напечатано: $0$ и $\frac{9\pm3\sqrt3}{2}$ (при знаке «+» перед $6(x-3)^3$ было бы $2$); 3) $-184$; 4) $-831$.

№ 35.11

Решите неравенства: 1) $(x+8)^2-x^2\leqslant11x$; 2) $x^2-(9-x)^2>-2x$; 3) $(12+x)^2\geqslant x^2+21x$; 4) $x^2<(25-x)^2+25x$.

Как думать. Раскрой квадрат, $x^2$ уйдёт, получится линейное неравенство.

Решение.

1. $x^2+16x+64-x^2\leqslant11x$. Тогда $16x+64\leqslant11x$, $5x\leqslant-64$, $x\leqslant-12{,}8$.
2. $x^2-(81-18x+x^2)>-2x$. Тогда $18x-81>-2x$, $20x>81$, $x>4{,}05$.
3. $144+24x+x^2\geqslant x^2+21x$. Тогда $3x\geqslant-144$, $x\geqslant-48$.
4. $x^2<625-50x+x^2+25x$. Тогда $0<625-25x$, $25x<625$, $x<25$.

Ответ: 1) $(-\infty;\ -12{,}8]$; 2) $(4{,}05;\ +\infty)$; 3) $[-48;\ +\infty)$; 4) $(-\infty;\ 25)$.

№ 35.12

Решите неравенства: 1) $(y+7)^3-y^3-21y^2\geqslant0$; 2) $-24y^2+(8-y)^3+y^3\leqslant0$; 3) $(6-y)^3+y^3-18y^2<0$; 4) $y^3-27y^2-(y-9)^3>0$.

Как думать. Куб раскрываем, $y^3$ и $y^2$ сокращаются.

Решение.

1. $(y+7)^3=y^3+21y^2+147y+343$. Тогда $147y+343\geqslant0$, $y\geqslant-\frac{343}{147}=-\frac73=-2\frac13$.
2. $(8-y)^3=512-192y+24y^2-y^3$. Тогда $512-192y\leqslant0$, $y\geqslant\frac{512}{192}=\frac83=2\frac23$.
3. $(6-y)^3=216-108y+18y^2-y^3$. Тогда $216-108y<0$, $y>2$.
4. $(y-9)^3=y^3-27y^2+243y-729$. Тогда $y^3-27y^2-y^3+27y^2-243y+729>0$, $729>243y$, $y<3$.

Ответ: 1) $\left[-2\frac13;\ +\infty\right)$; 2) $\left[2\frac23;\ +\infty\right)$; 3) $(2;\ +\infty)$; 4) $(-\infty;\ 3)$. Пункты 1 и 4 совпали с ответами учебника.

№ 35.13

Решите неравенства: 1) $(10+x)(100-10x+x^2)-x^3-500x<0$; 2) $-x^3+675x-(15-x)(225+15x+x^2)>0$; 3) $(169+13x+x^2)(x-13)-x^3-2262x\leqslant0$; 4) $1331x-x^3+(11+x)(x^2-11x+121)\geqslant0$.

Как думать. Скобки собираются в сумму или разность кубов, кубы сокращаются.

Решение.

1. $(10+x)(100-10x+x^2)=1000+x^3$. Тогда $1000-500x<0$, $x>2$.
2. $(15-x)(225+15x+x^2)=3375-x^3$. Тогда $-x^3+675x-3375+x^3>0$, $675x>3375$, $x>5$.
3. $(x-13)(x^2+13x+169)=x^3-2197$. Тогда $-2197-2262x\leqslant0$, $x\geqslant-\frac{2197}{2262}=-\frac{169}{174}$.
4. $(11+x)(x^2-11x+121)=x^3+1331$. Тогда $1331x+1331\geqslant0$, $x\geqslant-1$.

Ответ: 1) $(2;\ +\infty)$; 2) $(5;\ +\infty)$; 3) $\left[-\frac{169}{174};\ +\infty\right)$; 4) $[-1;\ +\infty)$.

№ 35.14

Докажите тождества: 1) $(3x+4y)^2-(4y-3x)^2=48xy$; 2) $(1{,}5x-2y)^2+(2x+1{,}5y)^2=6{,}25(x^2+y^2)$; 3) $(2a-3b)^3-(2a+3b)^3=-18b(4a^2+3b^2)$; 4) $(3a-2b)^3+(3a+2b)^3=18a(3a^2+4b^2)$.

Как думать. Раскрываем левую часть и смотрим, что осталось.

Решение.

1. $(4y+3x)^2-(4y-3x)^2=4\cdot4y\cdot3x=48xy$. ✓
2. $2{,}25x^2-6xy+4y^2+4x^2+6xy+2{,}25y^2=6{,}25x^2+6{,}25y^2=6{,}25(x^2+y^2)$. ✓
3. $(2a-3b)^3-(2a+3b)^3=-2\left(3\cdot4a^2\cdot3b+27b^3\right)=-72a^2b-54b^3=-18b(4a^2+3b^2)$. ✓
4. $(3a-2b)^3+(3a+2b)^3=2\left(27a^3+3\cdot3a\cdot4b^2\right)=54a^3+72ab^2=18a(3a^2+4b^2)$. ✓

Ответ: левые части приводятся к правым, тождества доказаны.

№ 35.15

Докажите тождества: 1) $(5z^2-6k)^2-(5z^2+3k)^2+90z^2k=27k^2$; 2) $(m^2-n^2)(m^2+n^2)-m^2(m^2-n^2)-m^2n^2=-n^4$; 3) $(1{,}2x^4-7y^2)(1{,}2x^4+7y^2)+0{,}56x^8+49y^4=2x^8$; 4) $(1{,}4a^3-5b^2)(1{,}4a^3+5b^2)-2{,}96a^6+25b^4=-a^6$.

Как думать. Здесь почти везде разность квадратов, и всё лишнее сокращается.

Решение.

1. $25z^4-60z^2k+36k^2-25z^4-30z^2k-9k^2+90z^2k=27k^2$. ✓
2. $m^4-n^4-m^4+m^2n^2-m^2n^2=-n^4$. ✓
3. $1{,}44x^8-49y^4+0{,}56x^8+49y^4=2x^8$. ✓
4. $1{,}96a^6-25b^4-2{,}96a^6+25b^4=-a^6$. ✓

Ответ: тождества доказаны.

Уровень B

№ 35.16

Упростите выражения: 1) $(4x^3-1)(9x^3+5)-(6x^3-1)^2$; 2) $(x^4-1)^2-(x^4+4)(x^4-6)$; 3) $(x^7-3)(x^7+7)-(x^7+2)^2$; 4) $(x^8+9)(11-x^8)-(x^8+1)^2$.

Как думать. Если степень повторяется, обозначь её буквой: $u=x^3$, $u=x^4$ и т. д. Тогда это обычные многочлены.

Решение.

1. $u=x^3$: $(4u-1)(9u+5)-(6u-1)^2=36u^2+11u-5-36u^2+12u-1=23u-6$. Ответ $23x^3-6$.
2. $u=x^4$: $(u-1)^2-(u+4)(u-6)=u^2-2u+1-u^2+2u+24=25$.
3. $u=x^7$: $(u-3)(u+7)-(u+2)^2=u^2+4u-21-u^2-4u-4=-25$.
4. $u=x^8$: $(u+9)(11-u)-(u+1)^2=-u^2+2u+99-u^2-2u-1=98-2u^2$. Ответ $98-2x^{16}$.

Ответ: 1) $23x^3-6$; 2) $25$; 3) $-25$; 4) $98-2x^{16}$.

№ 35.17

Упростите выражения: 1) $(a^3+b^3)^3-(a^3-b^3)^3-2b^9$; 2) $(1-a^3b^3)^3-(a^3b^3-1)^3-2$; 3) $3a^4b^4(a^4-b^4)-(a^4-b^4)^2$; 4) $(c^2+d^2)^3-3c^2d^2(c^2+d^2)$.

Как думать. Сначала подставь буквенную замену для крупных блоков ($u=a^3$, $v=b^3$ и т. п.).

Решение.

1. $(u+v)^3-(u-v)^3=6u^2v+2v^3$. При $u=a^3$, $v=b^3$ это $6a^6b^3+2b^9$. Вычитаем $2b^9$: остаётся $6a^6b^3$.
2. Пусть $w=a^3b^3$. Тогда $(a^3b^3-1)^3=-(1-w)^3$, и выражение равно $2(1-w)^3-2=2(1-3w+3w^2-w^3)-2=-6w+6w^2-2w^3$. Ответ: $-6a^3b^3+6a^6b^6-2a^9b^9$.
3. По условию напечатано $(a^4-b^4)^2$. Раскроем: $3a^8b^4-3a^4b^8-(a^8-2a^4b^4+b^8)=3a^8b^4-3a^4b^8-a^8+2a^4b^4-b^8$.
4. $(c^2+d^2)\left((c^2+d^2)^2-3c^2d^2\right)=(c^2+d^2)(c^4-c^2d^2+d^4)=c^6+d^6$.

Ответ: 1) $6a^6b^3$; 2) $-2a^9b^9+6a^6b^6-6a^3b^3$; 3) $3a^8b^4-3a^4b^8-a^8+2a^4b^4-b^8$; 4) $c^6+d^6$.

№ 35.18

Решите уравнения: 1) $8(x-10)^2-11(x+5)^2=-3x^2-170x+1600$; 2) $2{,}5(4+x)^2+7(5-x)(5+x)=295-4{,}5x^2$; 3) $1{,}9(y+20)(20-y)-1{,}6(y+20)^2=116-3{,}5y^2$; 4) $30(1{,}8-y)^2+20(y+1{,}8)(y-1{,}8)=50y^2+140{,}4$.

Как думать. Раскрывай квадраты и разность квадратов, квадраты сократятся.

Решение.

1. $8x^2-160x+800-11x^2-110x-275=-3x^2-270x+525$. Тогда $-270x+525=-170x+1600$, $-100x=1075$, $x=-10{,}75$.
2. $2{,}5(16+8x+x^2)=40+20x+2{,}5x^2$; $7(25-x^2)=175-7x^2$. Слева $215+20x-4{,}5x^2$. Тогда $20x+215=295$, $x=4$.
3. $1{,}9(400-y^2)=760-1{,}9y^2$; $1{,}6(y^2+40y+400)=1{,}6y^2+64y+640$. Слева $120-64y-3{,}5y^2$. Тогда $120-64y=116$, $y=\frac1{16}=0{,}0625$.
4. $30(3{,}24-3{,}6y+y^2)=97{,}2-108y+30y^2$; $20(y^2-3{,}24)=20y^2-64{,}8$. Слева $50y^2-108y+32{,}4$. Тогда $-108y+32{,}4=140{,}4$, $y=-1$.

Ответ: 1) $-10{,}75$; 2) $4$; 3) $0{,}0625$; 4) $-1$. Пункты 1, 2, 4 совпали с ответами учебника.

№ 35.19

Решите уравнения: 1) $(2{,}3x-10)(5{,}29x^2+23x+100)-125x=12{,}167x^3$; 2) $(20+1{,}7x)(2{,}89x^2-34x+400)-400x=4{,}913x^3$; 3) $5(x-6)^3-13(2+x)^3+32=-8x^2(x+21)$; 4) $-6(4+x)^3+3(5-x)^3=1017-9x^2(3+x)$.

Как думать. В 1) и 2) — формулы кубов с числами $2{,}3^3=12{,}167$ и $1{,}7^3=4{,}913$. В 3) и 4) — раскрываем кубы.

Решение.

1. $(2{,}3x-10)(\dots)=12{,}167x^3-1000$. Тогда $-1000-125x=0$, $x=-8$.
2. $(20+1{,}7x)(\dots)=8000+4{,}913x^3$. Тогда $8000-400x=0$, $x=20$.
3. $5(x^3-18x^2+108x-216)-13(x^3+6x^2+12x+8)+32=-8x^3-168x^2+384x-1152$. Справа $-8x^3-168x^2$. Тогда $384x=1152$, $x=3$.
4. $-6(x^3+12x^2+48x+64)+3(125-75x+15x^2-x^3)=-9x^3-27x^2-513x-9$. Справа $1017-27x^2-9x^3$. Тогда $-513x=1026$, $x=-2$.

Ответ: 1) $-8$; 2) $20$; 3) $3$; 4) $-2$. Пункты 1, 3, 4 совпали с ответами учебника.

№ 35.20

Решите неравенства: 1) $(9x-7)^2-10\leqslant(9x+3)(9x-5)$; 2) $(3+7x)^2-x\leqslant-26+x(49x-8)$; 3) $(11+25x)x+7<(5x-7)^2-3x$; 4) $4+(6-11x)^2>25x+x(121x+3)$.

Как думать. Опять квадраты сокращаются. Следи за знаком при делении на отрицательное число.

Решение.

1. $81x^2-126x+49-10\leqslant81x^2-18x-15$. Тогда $-126x+39\leqslant-18x-15$, $54\leqslant108x$, $x\geqslant\frac12$.
2. $9+42x+49x^2-x\leqslant-26+49x^2-8x$. Тогда $9+41x\leqslant-26-8x$, $49x\leqslant-35$, $x\leqslant-\frac57$.
3. $11x+25x^2+7<25x^2-70x+49-3x$. Тогда $11x+7<-73x+49$, $84x<42$, $x<\frac12$.
4. $4+36-132x+121x^2>25x+121x^2+3x$. Тогда $40-132x>28x$, $40>160x$, $x<\frac14$.

Ответ: 1) $\left[\frac12;\ +\infty\right)$; 2) $\left(-\infty;\ -\frac57\right]$; 3) $\left(-\infty;\ \frac12\right)$; 4) $\left(-\infty;\ \frac14\right)$.

№ 35.21

Решите неравенства: 1) $13+x^2(x-9)\geqslant(x-3)^3+11$; 2) $26+(2+x)^3<x^2(6+x)$; 3) $3x-x^2(15+x)>-(x+5)^3-4x$; 4) $(4+x)^3-6x\geqslant x^2(x+12)+1$.

Как думать. Те же шаги: куб раскрыли, сократили $x^3$ и $x^2$.

Решение.

1. $13+x^3-9x^2\geqslant x^3-9x^2+27x-27+11$. Тогда $13\geqslant27x-16$, $29\geqslant27x$, $x\leqslant\frac{29}{27}$.
2. $26+8+12x+6x^2+x^3<6x^2+x^3$. Тогда $34+12x<0$, $x<-\frac{17}6$.
3. $3x-15x^2-x^3>-x^3-15x^2-75x-125-4x$. Тогда $3x>-79x-125$, $82x>-125$, $x>-\frac{125}{82}$.
4. $64+48x+12x^2+x^3-6x\geqslant x^3+12x^2+1$. Тогда $63+42x\geqslant0$, $x\geqslant-1{,}5$.

Ответ: 1) $\left(-\infty;\ \frac{29}{27}\right]$; 2) $\left(-\infty;\ -\frac{17}6\right)$; 3) $\left(-\frac{125}{82};\ +\infty\right)$; 4) $[-1{,}5;\ +\infty)$.

Уровень C

Здесь самые трудные задания. Если справился хотя бы с одним — ты настоящий молодец!

№ 35.22

Найдите наибольшее целое число, являющееся решением неравенства: 1) $(3-x)(9+3x+x^2)-2x+x^3\leqslant-7x+7$; 2) $(x-7)(x^2+7x+49)<-4x+x^3+17$; 3) $7x-x^3>27x-(x+8)(x^2-8x+64)$; 4) $16x(32x^2+1)\leqslant-32+(8x-1)(64x^2+8x+1)$.

Как думать. Решаем неравенство, а потом выбираем самое большое целое число в промежутке. Если граница не включена, учти это.

Решение.

1. $27-x^3-2x+x^3\leqslant-7x+7$. Тогда $27-2x\leqslant-7x+7$, $5x\leqslant-20$, $x\leqslant-4$. Наибольшее целое $-4$.
2. $x^3-343<-4x+x^3+17$. Тогда $-343<-4x+17$, $4x<360$, $x<90$. Наибольшее целое $89$ (само $90$ не подходит).
3. $(x+8)(x^2-8x+64)=x^3+512$. Тогда $7x-x^3>27x-x^3-512$, $512>20x$, $x<25{,}6$. Наибольшее целое $25$.
4. $512x^3+16x\leqslant-32+512x^3-1$. Тогда $16x\leqslant-33$, $x\leqslant-\frac{33}{16}=-2{,}0625$. Наибольшее целое $-3$.

Ответ: 1) $-4$; 2) $89$; 3) $25$; 4) $-3$. Совпало с ответами учебника.

№ 35.23

Найдите наименьшее целое число, являющееся решением неравенства: 1) $(x+9)^2-x^2>15x+97$; 2) $x^2-(11-x)^2<23x+19$; 3) $(x-8)^3+24x^2\geqslant x^3+64x$; 4) $x^3-(7+x)^3\leqslant-21x^2-490$.

Как думать. Тот же алгоритм, только ищем наименьшее целое число справа от границы.

Решение.

1. $18x+81>15x+97$. Тогда $3x>16$, $x>5\frac13$. Наименьшее целое $6$.
2. $x^2-(121-22x+x^2)=22x-121<23x+19$. Тогда $-140<x$. Наименьшее целое $-139$.
3. $(x-8)^3+24x^2=x^3+192x-512$. Тогда $192x-512\geqslant64x$, $128x\geqslant512$, $x\geqslant4$. Наименьшее целое $4$.
4. $x^3-(x^3+21x^2+147x+343)\leqslant-21x^2-490$. Тогда $-147x-343\leqslant-490$, $-147x\leqslant-147$, $x\geqslant1$. Наименьшее целое $1$.

Ответ: 1) $6$; 2) $-139$; 3) $4$; 4) $1$.

№ 35.24

Докажите тождества: 1) $\left((a^7-8b^4)(8b^4+a^7)+63b^8\right)^2-a^{14}(-2b^8+a^{14})=b^{16}$; 2) $b^{24}-\left(82c^{10}+(b^6-9c^5)(9c^5+b^6)\right)^2+c^{20}=-2c^{10}b^{12}$; 3) $(x^3-9y^4)^2-(x^3+9y^4)^2+36x^3(y^4-x)=-36x^4$; 4) $0{,}5z^4(40zt^2-5)-(z^5+10t^2)^2+(10t^2-z^5)^2=-2{,}5z^4-20z^5t^2$.

Как думать. Работаем изнутри наружу: сначала внутренние скобки по формуле разности квадратов.

Решение.

1. Внутри: $a^{14}-64b^8+63b^8=a^{14}-b^8$. Квадрат: $a^{28}-2a^{14}b^8+b^{16}$. Вычитаем $a^{28}-2a^{14}b^8$: остаётся $b^{16}$. ✓
2. Внутри: $82c^{10}+b^{12}-81c^{10}=b^{12}+c^{10}$. Квадрат: $b^{24}+2b^{12}c^{10}+c^{20}$. Тогда $b^{24}-b^{24}-2b^{12}c^{10}-c^{20}+c^{20}=-2b^{12}c^{10}$. ✓
3. $(x^3-9y^4)^2-(x^3+9y^4)^2=-4\cdot x^3\cdot9y^4=-36x^3y^4$. Дальше $+36x^3y^4-36x^4$. Итог $-36x^4$. ✓
4. $20z^5t^2-2{,}5z^4$. $(10t^2-z^5)^2-(z^5+10t^2)^2=-4\cdot10t^2\cdot z^5=-40z^5t^2$. Сумма: $-2{,}5z^4-20z^5t^2$. ✓

Ответ: тождества доказаны.

№ 35.25

Докажите тождества: 1) $(a^7-t^5)(a^{14}+a^7t^5+t^{10})+(t^5-a^7)^3-3a^{14}t^5=-3a^7t^{10}$; 2) $(x^4+b^9)^3-(b^9+x^4)(b^{18}-x^4b^9+x^8)-3x^8b^9=3x^4b^{18}$.

Как думать. Здесь одновременно куб и произведение, которое сворачивается в сумму или разность кубов.

Решение.

1. $(a^7-t^5)(\dots)=a^{21}-t^{15}$. $(t^5-a^7)^3=t^{15}-3t^{10}a^7+3t^5a^{14}-a^{21}$. Сумма: $-3a^7t^{10}+3a^{14}t^5$. Вычитаем $3a^{14}t^5$: остаётся $-3a^7t^{10}$. ✓
2. $(x^4+b^9)^3=x^{12}+3x^8b^9+3x^4b^{18}+b^{27}$, а $(b^9+x^4)(\dots)=b^{27}+x^{12}$. Разность: $3x^8b^9+3x^4b^{18}$. Вычитаем $3x^8b^9$: остаётся $3x^4b^{18}$. ✓

Ответ: тождества доказаны.

Подготовьте сообщение

№ 35.26

Некоторые формулы сокращённого умножения были известны ещё около 4 тысяч лет назад: их знали вавилоняне и другие народы древности. Подготовьте сообщение о том, как изображали эти формулы в «Началах» Евклида.

Как думать. Это не задача на вычисление, а мини-проект. Образец сообщения ниже. Его можно сократить или дополнить рисунком.

Решение (образец сообщения).

Греки не писали букв и знаков, как мы. Поэтому формулы они объясняли чертежами: числа были длинами отрезков, а произведение — площадью прямоугольника. Во второй книге «Начал» Евклида (около 300 года до н. э.) есть предложения, которые по-нашему выглядят как формулы сокращённого умножения. Например, квадрат суммы: берём отрезок длины $a+b$ и строим на нём квадрат. Потом делим его линиями на четыре части: квадрат $a\times a$, квадрат $b\times b$ и два одинаковых прямоугольника $a\times b$. Складываем площади и получаем $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Похожими чертежами греки объясняли и разность квадратов, и другие равенства. Эта «геометрическая алгебра» была главным способом доказывать такие факты, пока не появились буквенные обозначения.

Ответ: образец сообщения написан; главный вывод: Евклид изображал формулы через площади частей квадрата и прямоугольников.

Готовимся к следующей теме

№ 35.27

Докажите, что разность между разностью кубов двух нечётных чисел и кубом их разности кратна 6.

Как думать. Пусть числа $a$ и $b$. Нужно показать, что $a^3-b^3-(a-b)^3$ делится на $6$.

Решение.

1. Раскроем куб разности: $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.
2. Тогда $a^3-b^3-(a-b)^3=3a^2b-3ab^2=3ab(a-b)$.
3. Числа $a$ и $b$ нечётные, значит, их разность $a-b$ чётная (делится на $2$).
4. В произведении $3ab(a-b)$ есть множитель $3$ и чётный множитель $a-b$, значит, оно делится на $3\cdot2=6$.

Ответ: разность равна $3ab(a-b)$, она кратна $6$. Например, $a=5$, $b=3$: $125-27-8=90=6\cdot15$.

№ 35.28

Докажите, что для того, чтобы возвести целое число с половиной в квадрат, можно целую часть этого числа умножить на число, которое больше её на единицу, и к результату прибавить $0{,}25$.

Как думать. Число с половиной — это $n+0{,}5$, где $n$ целое. Возводим в квадрат по формуле.

Решение.

1. $(n+0{,}5)^2=n^2+2\cdot n\cdot0{,}5+0{,}25=n^2+n+0{,}25$.
2. Заметим, что $n^2+n=n(n+1)$.
3. Значит, $(n+0{,}5)^2=n(n+1)+0{,}25$.

Ответ: $(n+0{,}5)^2=n(n+1)+0{,}25$. Например, $3{,}5^2=3\cdot4+0{,}25=12{,}25$.

№ 35.29

Длины двух противоположных сторон квадрата увеличили на 5 см каждую, а длины двух других уменьшили на столько же сантиметров. Как изменилась площадь полученной фигуры по отношению к первоначальной?

Как думать. Пусть сторона квадрата $a$ см. Получится прямоугольник со сторонами $a+5$ и $a-5$.

Решение.

1. Площадь квадрата: $a^2$.
2. Площадь прямоугольника: $(a+5)(a-5)=a^2-25$ (разность квадратов).
3. Разница: $a^2-(a^2-25)=25$.

Ответ: площадь уменьшилась на $25$ см², причём на любое значение стороны (если $a>5$).

Шпаргалка

• Сначала определи по виду, какая из семи формул нужна.
• Раскрывай слагаемые по одному и подчёркивай подобные.
• В уравнениях и неравенствах старшие степени обычно сокращаются.
• Делишь неравенство на отрицательное число — меняй знак.
• «Наибольшее целое решение»: найди промежуток и выбери самое большое целое в нём.

Мини-тест