§ 36. Решение текстовых задач

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 5: Формулы сокращенного умножения. Страницы 210–218.

Чему научишься

• Выбирать неизвестную величину и обозначать её буквой.
• Переводить условие задачи на язык математики: составлять уравнение, неравенство или систему.
• Решать задачи на движение, работу, проценты, части, площади и объёмы.
• Проверять ответ по условию, а не только по вычислениям.
• Записывать ответ так, чтобы он отвечал на вопрос задачи.

Разминка

Текстовые задачи держатся на умении решать простые уравнения и неравенства. Быстро повтори.

• Реши: $3x + 5 = 20$. $3x = 15$, $x = 5$.
• Реши: $2x - 7 = x + 4$. Переносим: $2x - x = 4 + 7$, $x = 11$.
• Реши: $5(x - 2) = 30$. $x - 2 = 6$, $x = 8$.
• Чему равен путь, если скорость 60 км/ч, а время 3 ч? $s = vt = 60 \cdot 3 = 180$ км.
• Реши неравенство $4x \ge 20$. $x \ge 5$.

Разбираемся

Шесть шагов к ответу

Любую текстовую задачу можно решить по одному и тому же плану. Его называют алгоритмом.

📌 План решения алгебраическим способом.

1. Неизвестное обозначь буквой ($x$, $y$, $z$).
2. Найди связи между данными и неизвестными.
3. Составь уравнение, неравенство или систему. Это и есть математическая модель.
4. Реши то, что составил.
5. Проверь результат по условию задачи.
6. Запиши ответ.

Задачу можно решить и арифметически: только действиями над числами, без букв. А алгебраически значит через уравнение. Когда условие запутанное, буква спасает.

💡 Математическая модель может быть не только уравнением. Бывает таблица, схема, рисунок. Хороший чертёж часто делает половину работы.

Пример 1. Ящики на складе

На складе овощей яблоки и груши в ящиках. Яблок вдвое больше, чем груш. Если отправить со склада 6 ящиков яблок и привезти 4 ящика груш, то яблок станет на 10 ящиков больше, чем груш. Сколько ящиков всего?

⚠️ Частая ошибка. Найти $x$ и остановиться. В задаче спрашивали про всего ящиков, а $x$ это только груши. Перечитай вопрос перед ответом.

Пример 2. Встречное движение

Из двух городов, между которыми по шоссе 450 км, навстречу друг другу выехали две машины. Вторая едет на 10 км/ч быстрее первой, но выехала на 1 ч позже. Они встретились через 4 ч после выезда первой. Найди скорость каждой.

Главная формула: $s = v \cdot t$. Пусть скорость первой $x$ км/ч, тогда второй $x + 10$ км/ч. Первая была в пути 4 ч, вторая $4 - 1 = 3$ ч. Вместе они проехали весь путь:

$4x + 3(x + 10) = 450.$

Раскрываем: $4x + 3x + 30 = 450$, $7x = 420$, $x = 60$. Значит, первая едет 60 км/ч, вторая 70 км/ч.

Проверка: $60 \cdot 4 = 240$ км и $70 \cdot 3 = 210$ км, вместе $450$ км. Верно.

Пример 3. Когда нужно неравенство

Автобус выехал из Астаны в сторону Караганды со скоростью 60 км/ч. Через час за ним выехала машина. Расстояние 300 км. Какой должна быть скорость машины, чтобы догнать автобус до его прибытия?

Автобус будет ехать до конца $300 : 60 = 5$ ч. Машина выехала на час позже, значит, на дорогу у неё не больше 5 - 1 = 4 ч. Пусть скорость машины $x$ км/ч. Её время в пути $\frac{300}{x}$ часов, и оно не должно превышать 4:

$\frac{300}{x} \le 4 ;\Rightarrow; 4x \ge 300 ;\Rightarrow; x \ge 75.$

Скорость машины должна быть не меньше 75 км/ч.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка перед решением пересказать условие своими словами и сказать, что обозначено буквой. Если ответ «не знаю, что такое $x$», дальше идти бессмысленно. Проверка в конце так же важна, как само решение.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что такое «математическая модель задачи»? Условие задачи, переведённое на язык математики: уравнение, система, неравенство, таблица или схема.
• Чем решение «алгебраическим способом» отличается от «арифметического»? Арифметический способ: только действия над числами. Алгебраический: неизвестное обозначают буквой и составляют уравнение.
• Как проверить, правильно ли решена задача? Подставить найденные значения в условие и убедиться, что всё в нём выполняется. Одной проверки уравнения мало: надо проверять именно слова задачи.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 36.1

Библиотекарь расставляет учебники. По 20 книг на полку, и две полки останутся пустыми. По 15 книг на полку, и на всех полках книг поровну. Сколько учебников получено?

Как думать. Число книг то же самое, меняется только способ расстановки. Запишем его двумя способами и приравняем.

Решение.

1. Пусть всего $n$ полок. По 20 книг заполняют $n - 2$ полки: $20(n - 2)$ книг.
2. По 15 книг заполняют все $n$ полок: $15n$ книг.
3. $20(n - 2) = 15n$, значит $20n - 40 = 15n$, $5n = 40$, $n = 8$.
4. Книг: $15 \cdot 8 = 120$. Проверка: $20 \cdot 6 = 120$.

Ответ: 120 учебников.

№ 36.2

В шахматном турнире 20 учеников из 6 и 7 классов. Семиклассников в 1,5 раза больше, чем шестиклассников. Сколько участников от каждого класса?

Как думать. За $x$ берём меньшую группу, тогда большая выражается через неё.

Решение.

1. Шестиклассников $x$, семиклассников $1{,}5x$.
2. $x + 1{,}5x = 20$, $2{,}5x = 20$, $x = 8$.
3. Семиклассников $1{,}5 \cdot 8 = 12$. Проверка: $8 + 12 = 20$, $12 : 8 = 1{,}5$.

Ответ: 8 шестиклассников и 12 семиклассников.

№ 36.3

В седьмых классах девочек в 1,4 раза больше, чем мальчиков, и на 16 больше. Сколько мальчиков и сколько девочек?

Как думать. Здесь известна именно разница, поэтому уравнение составляем на разницу.

Решение.

1. Мальчиков $x$, девочек $1{,}4x$.
2. $1{,}4x - x = 16$, $0{,}4x = 16$, $x = 40$.
3. Девочек $1{,}4 \cdot 40 = 56$. Проверка: $56 - 40 = 16$.

Ответ: 40 мальчиков и 56 девочек.

№ 36.4

В одной коробке яблок втрое больше, чем в другой. Если из неё взять 17 яблок, а в другую добавить 35, яблок станет поровну. Сколько яблок было в каждой?

Как думать. После перекладывания количества равны. Это и есть уравнение.

Решение.

1. В меньшей коробке $x$ яблок, в большей $3x$.
2. $3x - 17 = x + 35$, $2x = 52$, $x = 26$.
3. В большей $3 \cdot 26 = 78$. Проверка: $78 - 17 = 61$ и $26 + 35 = 61$.

Ответ: 78 яблок и 26 яблок.

№ 36.5

Сумма двух чисел 77. Найди числа, если $\frac{2}{3}$ одного составляют 0,8 другого.

Как думать. Выразим одно число через другое, а потом используем сумму.

Решение.

1. Пусть $a$ и $b$ числа, $a + b = 77$ и $\frac{2}{3}a = 0{,}8b$.
2. Тогда $a = 0{,}8b : \frac{2}{3} = 0{,}8 \cdot \frac{3}{2}, b = 1{,}2b$.
3. $1{,}2b + b = 77$, $2{,}2b = 77$, $b = 35$, $a = 42$.
4. Проверка: $\frac{2}{3} \cdot 42 = 28$ и $0{,}8 \cdot 35 = 28$.

Ответ: 42 и 35.

№ 36.6

Персики на 50 тг/кг дороже абрикосов. Купили 4 кг персиков и 6 кг абрикосов за 4 200 тг. По какой цене куплены фрукты?

Как думать. Цена абрикосов $x$, персиков $x + 50$. Общий чек складывается из двух покупок.

Решение.

1. $4(x + 50) + 6x = 4200$.
2. $4x + 200 + 6x = 4200$, $10x = 4000$, $x = 400$.
3. Персики $400 + 50 = 450$. Проверка: $4 \cdot 450 + 6 \cdot 400 = 1800 + 2400 = 4200$.

Ответ: абрикосы по 400 тг/кг, персики по 450 тг/кг.

№ 36.7

Периметр треугольника $ABC$ равен 92 см. Сторона $AB$ вдвое меньше $BC$ и на 8 см меньше $AC$. Найди стороны.

Как думать. Самая короткая сторона $AB$, через неё выражаем остальные.

Решение.

1. $AB = x$, $BC = 2x$, $AC = x + 8$.
2. $x + 2x + x + 8 = 92$, $4x = 84$, $x = 21$.
3. $BC = 42$, $AC = 29$. Проверка: $21 + 42 + 29 = 92$.

Ответ: $AB = 21$ см, $AC = 29$ см, $BC = 42$ см.

№ 36.8

Между двумя пристанями 80 км. Катер проплывает это расстояние по течению за 4 ч, против течения за 5 ч. Найди собственную скорость катера и скорость течения.

Как думать. По течению скорости складываются, против течения вычитаются. Сначала находим обе скорости на этом пути.

Решение.

1. По течению: $80 : 4 = 20$ км/ч. Против: $80 : 5 = 16$ км/ч.
2. Пусть $v$ собственная скорость, $u$ скорость течения: $v + u = 20$, $v - u = 16$.
3. Сложим: $2v = 36$, $v = 18$. Тогда $u = 20 - 18 = 2$.

Ответ: 18 км/ч и 2 км/ч.

№ 36.9

Из пунктов $A$ и $B$ (30 км) навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода и встретились через 3 ч 20 мин. Если бы первый вышел на 2 ч раньше второго, встреча была бы через 2 ч 30 мин после выхода второго. Найди скорость второго.

Как думать. Два сценария дают два уравнения с двумя скоростями. Время переводим в часы: 3 ч 20 мин $= \frac{10}{3}$ ч.

Решение.

1. Скорости $a$ и $b$ км/ч. Первый сценарий: $\frac{10}{3}(a + b) = 30$, значит $a + b = 9$.
2. Второй: первый шёл $2 + 2{,}5 = 4{,}5$ ч, второй 2,5 ч: $4{,}5a + 2{,}5b = 30$.
3. Подставим $a = 9 - b$: $40{,}5 - 4{,}5b + 2{,}5b = 30$, $2b = 10{,}5$, $b = 5{,}25$.
4. Тогда $a = 3{,}75$. Проверка: $4{,}5 \cdot 3{,}75 + 2{,}5 \cdot 5{,}25 = 16{,}875 + 13{,}125 = 30$.

Ответ: 5,25 км/ч.

№ 36.10

Двое рабочих вместе сделали 678 деталей. Первый работал 8 дней, второй 11 дней. Сколько деталей делал каждый за день, если второй за 4 дня делает на 22 детали больше, чем первый за 3 дня?

Как думать. Две неизвестные, значит нужны два условия. Одно про всю работу, второе про сравнение.

Решение. Система $8x + 11y = 678$, $4y = 3x + 22$ даёт $y = 34$, $x = 38$.

Ответ: 38 деталей в день у первого, 34 у второго.

Уровень B

№ 36.11

Три бригады сделали за смену 96 деталей. Первая сделала на 18 больше второй, третья $\frac{5}{11}$ того, что сделали первая и вторая вместе. 1) Сколько деталей у каждой бригады? 2) Сколько заработал каждый, если за деталь платят 56 тг? 3) На сколько процентов заработок первой больше третьей?

Как думать. Сначала найдём вторую бригаду. Первая и вторая вместе, это $x + (x + 18)$, а третья составляет от них долю $\frac{5}{11}$. Тогда всего это $1 + \frac{5}{11} = \frac{16}{11}$ от суммы первых двух.

Решение.

1. Вторая $x$, первая $x + 18$, первые две вместе $2x + 18$. Всего $(2x + 18) \cdot \frac{16}{11} = 96$, значит $2x + 18 = 66$, $x = 24$. Вторая 24, первая 42, третья $96 - 66 = 30$ (и $\frac{5}{11} \cdot 66 = 30$).
2. $42 \cdot 56 = 2352$ тг, $24 \cdot 56 = 1344$ тг, $30 \cdot 56 = 1680$ тг.
3. $\frac{2352 - 1680}{1680} = \frac{672}{1680} = 0{,}4$, то есть на 40%.

Ответ: 1) 42, 24 и 30 деталей; 2) 2352 тг, 1344 тг, 1680 тг; 3) на 40%.

№ 36.12

Нужно оклеить стены комнаты с квадратным полом площадью 9 м². Высота 3 м, дверь 1,8 м², окно 1,5 м², рулон покрывает 7,2 м². 1) Сколько рулонов? 2) Сколько платить при цене 6500 тг за рулон?

Как думать. Из квадрата с площадью 9 м² сторона 3 м. Стены это боковая поверхность: периметр на высоту. Дверь и окно не оклеиваем.

Решение.

1. Сторона пола $3$ м, периметр $4 \cdot 3 = 12$ м. Стены: $12 \cdot 3 = 36$ м². Вычтем дверь и окно: $36 - 1{,}8 - 1{,}5 = 32{,}7$ м². Рулонов $32{,}7 : 7{,}2 \approx 4{,}54$, берём целое с запасом: 5.
2. $5 \cdot 6500 = 32,500$ тг.

Ответ: 1) 5 рулонов; 2) 32 500 тг.

№ 36.13

Сколько литров воды нужно для пустого аквариума в форме прямоугольного параллелепипеда, если объём воды равен объёму куба со стороной 30 см?

Как думать. Размеры аквариума не нужны: объём воды равен объёму куба. 1 л = 1000 см³.

Решение. $V = 30^3 = 27,000$ см³ $= 27$ дм³ $= 27$ л.

Ответ: 27 л.

№ 36.14

Клумба прямоугольная, стороны относятся как $3 : 4$, площадь 4 800 дм². Найди размеры.

Как думать. Отношение $3 : 4$ значит, что стороны $3k$ и $4k$ для одного числа $k$.

Решение.

1. $3k \cdot 4k = 12k^2 = 4800$, $k^2 = 400$, $k = 20$.
2. Стороны $60$ дм и $80$ дм. Проверка: $60 \cdot 80 = 4800$.

Ответ: 60 дм и 80 дм.

№ 36.15

Ширина клумбы составляет $\frac{5}{7}$ длины. 1) Найди размеры, если площадь 3 500 дм². 2) Сколько блоков ограждения по 50 см нужно, чтобы её огородить?

Как думать. Длина $l$, ширина $\frac{5}{7}l$. Для ограды нужен периметр, а блоки измеряются в сантиметрах: переведём дециметры.

Решение.

1. $l \cdot \frac{5}{7}l = 3500$, $l^2 = 4900$, $l = 70$ дм, ширина $50$ дм.
2. Периметр $2(70 + 50) = 240$ дм $= 2400$ см. Блоков $2400 : 50 = 48$.

Ответ: 1) 70 дм и 50 дм; 2) 48 блоков.

№ 36.16

Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как $2 : 3 : 4$, объём 192 дм³. Найди измерения.

Как думать. Измерения $2k$, $3k$, $4k$. Объём это произведение трёх.

Решение.

1. $2k \cdot 3k \cdot 4k = 24k^3 = 192$, $k^3 = 8$, $k = 2$.
2. Измерения $4$, $6$, $8$ дм. Проверка: $4 \cdot 6 \cdot 8 = 192$.

Ответ: 4 дм, 6 дм, 8 дм.

№ 36.17

Здание в форме прямоугольного параллелепипеда: ширина в 6 раз меньше длины и в 3 раза меньше высоты. Найди высоту, если площадь боковой поверхности 8 232 м².

Как думать. Всё выражаем через ширину $w$. Боковая поверхность это периметр основания на высоту.

Решение.

1. Ширина $w$, длина $6w$, высота $3w$.
2. $2(w + 6w) \cdot 3w = 42w^2 = 8232$, $w^2 = 196$, $w = 14$.
3. Высота $3 \cdot 14 = 42$ м.

Ответ: 42 м.

№ 36.18

Если из числителя дроби вычесть 4, а знаменатель умножить на 4, получится $\frac{1}{12}$. Если числитель умножить на 2, а из знаменателя вычесть 2, получится 2. Найди дробь.

Как думать. Числитель $n$, знаменатель $d$. Два условия, две неизвестные.

Решение.

1. $\frac{n - 4}{4d} = \frac{1}{12}$, значит $12(n - 4) = 4d$, $d = 3n - 12$.
2. $\frac{2n}{d - 2} = 2$, значит $d - 2 = n$, $d = n + 2$.
3. $3n - 12 = n + 2$, $n = 7$, $d = 9$. Проверка: $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ и $\frac{14}{7} = 2$.

Ответ: $\frac{7}{9}$.

№ 36.19

Вкладчик открыл депозит под 10% годовых. Через год снял 60 000 тг, и на депозите осталась половина первоначального взноса. Сколько будет на депозите в конце второго года?

Как думать. За год вклад растёт в $1{,}1$ раза. После снятия остаётся $0{,}5S$, потом снова рост в $1{,}1$ раза.

Решение.

1. $1{,}1S - 60,000 = 0{,}5S$, $0{,}6S = 60,000$, $S = 100,000$.
2. После первого года и снятия: $50,000$ тг.
3. Ещё через год: $50,000 \cdot 1{,}1 = 55,000$ тг.

Ответ: 55 000 тг.

Уровень C

Здесь задачи потруднее. Если получилось хотя бы составить уравнение, это уже успех.

№ 36.20

От пристани $A$ отошёл плот. Одновременно от пристани $B$ вверх по течению к $A$ отплыла моторная лодка. Найди собственную скорость лодки, если плот и лодка встретились через 2 ч, а вместе они прошли 16 км.

Как думать. Плот плывёт со скоростью течения $c$ по течению, лодка идёт против течения со скоростью $v - c$. Скорость сближения: $c + (v - c) = v$. Течение сокращается!

Решение.

1. Скорость сближения $v$ км/ч, за 2 ч они прошли расстояние между пристанями, то есть 16 км.
2. $2v = 16$, $v = 8$.

Ответ: 8 км/ч.

№ 36.21

Лодка отплыла от пристани вниз по течению, её скорость в стоячей воде 12 км/ч. Через 1 ч от той же пристани вверх по реке отправился катер со скоростью 18 км/ч (собственной). Найди скорость течения, если через 3 ч после выхода лодки пройденные ими пути в сумме 75 км.

Как думать. Лодка в пути 3 ч, катер 2 ч. Лодка плывёт со скоростью $12 + c$, катер $18 - c$.

Решение.

1. $3(12 + c) + 2(18 - c) = 75$.
2. $36 + 3c + 36 - 2c = 75$, $c = 3$.
3. Проверка: $3 \cdot 15 + 2 \cdot 15 = 45 + 30 = 75$.

Ответ: 3 км/ч.

№ 36.22

Из 400 000 жителей города 60% не интересуются футболом. Среди болельщиков 75% смотрели финал Лиги чемпионов. 1) Сколько жителей смотрели матч? 2) Какой процент жителей смотрели? 3) Какой процент не смотрели?

Как думать. Сначала болельщики: $100% - 60% = 40%$ города. Потом 75% от них.

Решение.

1. Болельщиков $0{,}4 \cdot 400,000 = 160,000$.
2. Смотрели $0{,}75 \cdot 160,000 = 120,000$.
3. Доля города: $120,000 : 400,000 = 0{,}3 = 30%$.
4. Не смотрели: $100% - 30% = 70%$.

Ответ: 1) 120 000 человек; 2) 30%; 3) 70%.

№ 36.23

Глава семьи положил на депозиты 250 000 тг. Часть он положил на счёт под 10% годовых, остальное на депозит под 9% годовых (с него можно снимать деньги до неснижаемого остатка 50 000 тг). Через год на депозитах было 274 000 тг. 1) Сколько положили под 10%? 2) Сколько было через год на депозите под 9%? 3) На сколько выгоднее положить всю сумму под 10%?

Как думать. Пусть под 10% положили $x$, остальное $250,000 - x$ под 9%. Через год каждая часть выросла, сумма $274,000$.

Решение.

1. $1{,}1x + 1{,}09(250,000 - x) = 274,000$, то есть $0{,}01x + 272,500 = 274,000$, $x = 150,000$.
2. Под 9% лежало $100,000$, через год там $100,000 \cdot 1{,}09 = 109,000$ тг. (Проверка: $165,000 + 109,000 = 274,000$.)
3. Вся сумма под 10%: $250,000 \cdot 1{,}1 = 275,000$. Если сравнивать со всей суммой под 9% ($272,500$), выгода $2500$ тг. Это ответ учебника. А по сравнению с «разделённым» вариантом выгода $1000$ тг.

Ответ: 1) 150 000 тг; 2) 109 000 тг; 3) на 2500 тг (если сравнивать со вкладом всей суммы под 9%).

№ 36.24

Первый оператор набирает рукопись за 9 ч, второй за 6 ч. Первый проработал 3 ч, потом остаток набрал второй. 1) За сколько часов второй набрал остаток? 2) За какое время выполнена вся работа? 3) За какое время будет готова работа, если половину сделает один, а половину другой? 4) За какое время сделают вместе?

Как думать. Вся рукопись это 1. Первый делает $\frac{1}{9}$ работы в час, второй $\frac{1}{6}$.

Решение.

1. За 3 ч первый сделал $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ работы. Осталось $\frac{2}{3}$. Второй: $\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = 4$ ч.
2. Вся работа: $3 + 4 = 7$ ч.
3. Половина первым: $\frac{1}{2} \cdot 9 = 4{,}5$ ч. Половина вторым: $\frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ ч. Всего $7{,}5$ ч.
4. Вместе: $\frac{1}{9} + \frac{1}{6} = \frac{5}{18}$ работы в час, значит $1 : \frac{5}{18} = 3{,}6$ ч (3 ч 36 мин).

Ответ: 1) 4 ч; 2) 7 ч; 3) 7,5 ч; 4) 3,6 ч.

№ 36.25

Найди двузначные числа с суммой цифр не больше 12, у которых цифра десятков втрое больше цифры единиц.

Как думать. Если единицы $u$, десятки $3u$. Цифры не больше 9, и сумма $4u \le 12$.

Решение.

1. $3u \le 9$ даёт $u \le 3$. Ноль не подходит: цифра десятков должна быть не ноль.
2. $u = 1$: число 31 (сумма 4). $u = 2$: 62 (сумма 8). $u = 3$: 93 (сумма 12).

Ответ: 31; 62; 93.

№ 36.26

Средняя скорость автобуса больше 60 км/ч, но меньше 80 км/ч. 1) За какое время автобус может пройти 240 км? 2) Какой должна быть скорость, чтобы проехать это расстояние не более чем за 3 ч 20 мин?

Как думать. Время $t = \frac{240}{v}$. Чем больше скорость, тем меньше время.

Решение.

1. $60 < v < 80$, значит $\frac{240}{80} < t < \frac{240}{60}$, то есть $3 < t < 4$ ч.
2. $3$ ч $20$ мин $= \frac{10}{3}$ ч. Условие $\frac{240}{v} \le \frac{10}{3}$ даёт $v \ge 72$. Учитывая $v < 80$, получаем $72 \le v < 80$.

Ответ: 1) от 3 до 4 ч; 2) от 72 (включительно) до 80 км/ч.

№ 36.27

Сумма двух двузначных чисел 36, разность их квадратов 432. Найди числа.

Как думать. Разность квадратов раскладывается: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Решение.

1. $(a - b) \cdot 36 = 432$, $a - b = 12$.
2. $a + b = 36$, $a - b = 12$, значит $a = 24$, $b = 12$.
3. Проверка: $24^2 - 12^2 = 576 - 144 = 432$.

Ответ: 24 и 12.

№ 36.28

При делении 48 на сумму цифр другого двузначного числа получается 4. Разность квадратов его цифр равна 24. Найди число.

Как думать. Сначала найдём сумму цифр, потом применим разность квадратов.

Решение.

1. $48 : s = 4$, $s = 12$. Цифры $a + b = 12$.
2. $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) = 24$, $a - b = 2$.
3. $a = 7$, $b = 5$. Число 75 (если разность считать «десятки минус единицы»). Если наоборот, цифры меняются местами: 57.

Ответ: 75 или 57.

№ 36.29

1) Расстояние от $A$ до $B$ 180 км. Если автомобиль увеличит скорость на 20 км/ч, за 2 ч он проедет больше 180 км. Если уменьшит на 20 км/ч, то даже за 3 ч не доедет. Какова скорость? 2) Озеро, расстояние между пристанями 36 км. Если лодка увеличит скорость на 3 км/ч, за 3 ч проплывёт более 36 км. Если уменьшит на 2 км/ч, за 4 ч ещё не доплывёт. Какова скорость? 3) Два мотоциклиста в 7 км друг от друга, скорости 14 и 16 км/ч. Через какое время расстояние станет 1 км, если: а) едут в одном направлении; б) в разных? (Все варианты.)

Как думать. Пункты 1 и 2 дают систему двух неравенств. Пункт 3 надо разбирать по случаям: кто за кем едет и в какую сторону.

Решение.

1. $2(v + 20) > 180$ даёт $v > 70$. $3(v - 20) < 180$ даёт $v < 80$. Итак, $70 < v < 80$.
2. $3(v + 3) > 36$ даёт $v > 9$. $4(v - 2) < 36$ даёт $v < 11$. Итак, $9 < v < 11$.
3. а) Одно направление. Расстояние меняется на $16 - 14 = 2$ км/ч. Если быстрый едет сзади, расстояние сокращается: $7 - 2t = 1$, $t = 3$ ч (быстрый ещё не обогнал). Потом он обгонит, и расстояние снова станет 1 км уже с другой стороны: $2t - 7 = 1$, $t = 4$ ч. Если быстрый едет впереди, расстояние только растёт, и 1 км не будет никогда. б) Разные направления. Навстречу: скорость сближения $14 + 16 = 30$ км/ч. $7 - 30t = 1$ даёт $t = 0{,}2$ ч (12 мин); после встречи $30t - 7 = 1$ даёт $t = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$ ч (16 мин). В разные стороны (удаляясь): расстояние только растёт, 1 км быть не может.

Ответ: 1) $70 < v < 80$ км/ч; 2) $9 < v < 11$ км/ч; 3) а) через 3 ч или 4 ч (если быстрый сзади), иначе никогда; б) навстречу через 12 мин или через 16 мин, при удалении никогда.

Готовимся к следующей теме

№ 36.30

Найди значение переменной, при котором выражение равно нулю: 1) $2x - 5$; 2) $36x - 4x^2$; 3) $2\frac{1}{3}x - 14$; 4) $x^2 - 16$; 5) $25 - x^2$; 6) $9x + 4x^2$.

Как думать. Приравниваем выражение к нулю. Где есть $x^2$, раскладываем на множители: произведение равно нулю, когда один из множителей нуль.

Решение.

1. $2x = 5$, $x = 2{,}5$.
2. $4x(9 - x) = 0$, значит $x = 0$ или $x = 9$.
3. $\frac{7}{3}x = 14$, $x = 14 \cdot \frac{3}{7} = 6$.
4. $(x - 4)(x + 4) = 0$, $x = \pm 4$.
5. $(5 - x)(5 + x) = 0$, $x = \pm 5$.
6. $x(9 + 4x) = 0$, значит $x = 0$ или $x = -\frac{9}{4} = -2{,}25$.

Ответ: 1) 2,5; 2) 0 и 9; 3) 6; 4) $-4$ и 4; 5) $-5$ и 5; 6) $-2{,}25$ и 0.

№ 36.31

Запиши в виде многочлена стандартного вида: 1) $\frac{2x^2 - 3x + 3}{4}$; 2) $36x - \frac{x^2 + 4x + 5}{2}$; 3) $2\frac{1}{3}x - \frac{7 - 5x + 2x^3}{3}$; 4) $x^2 + 1 - \frac{x - 3}{4} + \frac{8x^2 - 3}{4}$.

Как думать. Делим каждый член числителя на знаменатель. Если перед дробью минус, знак меняется у всех членов.

Решение.

1. $0{,}5x^2 - 0{,}75x + 0{,}75$.
2. $36x - 0{,}5x^2 - 2x - 2{,}5 = -0{,}5x^2 + 34x - 2{,}5$.
3. $\frac{7}{3}x - \frac{7}{3} + \frac{5}{3}x - \frac{2}{3}x^3 = -\frac{2}{3}x^3 + 4x - \frac{7}{3}$.
4. $x^2 + 1 + \frac{-x + 3 + 8x^2 - 3}{4} = x^2 + 1 + 2x^2 - \frac{x}{4} = 3x^2 - 0{,}25x + 1$.

Ответ: 1) $0{,}5x^2 - 0{,}75x + 0{,}75$; 2) $-0{,}5x^2 + 34x - 2{,}5$; 3) $-\frac{2}{3}x^3 + 4x - \frac{7}{3}$; 4) $3x^2 - 0{,}25x + 1$.

Шпаргалка

• Сначала прочитай вопрос и реши, что обозначить за $x$.
• Условие «в $k$ раз больше» значит умножение, «на $k$ больше» значит сложение.
• Отношение $a : b$ записывай как $ak$ и $bk$.
• Ответ пиши с единицами и так, чтобы он отвечал на вопрос.

Мини-тест