Проверь себя! Раздел V

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 5: Формулы сокращенного умножения. Страницы 218–221.

Этот тест подводит итог раздела «Формулы сокращённого умножения»: квадрат суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов, разложение на множители и текстовые задачи. По каждому вопросу ниже ход решения и верная буква. Сначала реши сам, потом сверься.

Напомним главное.

⚠️ Частая ошибка. $(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$: забыли удвоенное произведение $2ab$. И в сумме кубов в скобке стоит $a^2 - ab + b^2$, а не $(a+b)^2$.

Решаем упражнения

№ 1

Выбери неверное равенство: A. $(3b - c)(3b + c) = 9b^2 - c^2$; B. $(x+4)(4-x) = 16 - x^2$; C. $36n^2 - 49 = (6n+7)(7-6n)$; D. $y^4 - 25 = (y^2-5)(y^2+5)$.

Как думать. Проверяем каждое равенство формулой разности квадратов.

Решение.

1. A: $(3b)^2 - c^2 = 9b^2 - c^2$, верно.
2. B: $(4+x)(4-x) = 16 - x^2$, верно.
3. C: $36n^2 - 49 = (6n-7)(6n+7)$. А в записи множитель $(7 - 6n)$ имеет противоположный знак: $(6n+7)(7-6n) = 49 - 36n^2$. Неверно.
4. D: $(y^2)^2 - 5^2 = (y^2-5)(y^2+5)$, верно.

Ответ: C.

№ 2

В выражении $n^2 + x + 0{,}04$ замени $x$ одночленом так, чтобы получился квадрат двучлена: A. $0{,}2n$ и $-0{,}2n$; B. $4n$ или $-4n$; C. $2n$ или $-2n$; D. $0{,}4n$ и $-0{,}4n$.

Как думать. $0{,}04 = 0{,}2^2$, значит нужен квадрат $(n \pm 0{,}2)^2$, и средний член равен $2 \cdot n \cdot 0{,}2$.

Решение. $(n \pm 0{,}2)^2 = n^2 \pm 0{,}4n + 0{,}04$. Значит, $x = \pm 0{,}4n$.

Ответ: D.

№ 3

Выбери верное равенство: A. $(3 + a^2)^2 = 9 + 3a + a^2$; B. $(k-5)^2 = k^2 - 10k + 10$; C. $(x + 2y^2)^2 = x^2 + 4xy^2 + 4y^4$; D. $16a^4 - 24a^2b + 9b^2 = (8a^2 - 3b)^2$.

Решение.

1. A: $(3+a^2)^2 = 9 + 6a^2 + a^4$. Неверно.
2. B: $(k-5)^2 = k^2 - 10k + 25$. Неверно.
3. C: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 2y^2 + (2y^2)^2 = x^2 + 4xy^2 + 4y^4$. Верно.
4. D: $16a^4 - 24a^2b + 9b^2 = (4a^2 - 3b)^2$, а не $(8a^2-3b)^2$. Неверно.

Ответ: C.

№ 4

Разложи на множители $a^4b^6 - 16c^8$: A. $(a^2b^3 - 4c^4)^2$; B. $(a^2b^3 + 4c^4)^2$; C. $(a^2b^3 - 4c^4)(a^2b^3 + 4c^4)$; D. $(a^2b^3 + 4c^4)(4c^4 - a^2b^3)$.

Решение. $a^4b^6 = (a^2b^3)^2$ и $16c^8 = (4c^4)^2$. Разность квадратов даёт $(a^2b^3 - 4c^4)(a^2b^3 + 4c^4)$. Вариант D отличается знаком.

Ответ: C.

№ 5

Реши уравнение $4x^2 - 25 = 0$: A. 2,5; B. $-2{,}5$; C. $-2{,}5$; 2,5; D. $-10$; 10.

Решение. $4x^2 = 25$, $x^2 = \frac{25}{4}$, $x = \pm 2{,}5$. Оба корня подходят.

Ответ: C.

№ 6

Разложи на множители $169 - (z+7)^2$: A. $(6-z)(20+z)$; B. $(6-z)(20-z)$; C. $(6-z)(z-20)$; D. $(z-6)(20-z)$.

Как думать. $169 = 13^2$. Это разность квадратов $13^2 - (z+7)^2$.

Решение. $(13 - (z+7))(13 + (z+7)) = (13 - z - 7)(13 + z + 7) = (6 - z)(20 + z)$.

Ответ: A.

№ 7

Выбери верное равенство: A. $8t^3 + 1 = (2t-1)(4t^2 + 2t + 1)$; B. $216a^3 - b^6 = (6a + b^2)(36a^2 - 6ab^2 - b^3)$; C. $27x^3 - 64y^3 = (3x - 4y)(9x^2 + 12xy + 16y^2)$; D. $\frac{8}{27}a^3 - \frac{1}{64}b^3 = (\frac{2}{3}a - \frac{1}{2}b)(\frac{4}{9}a^2 + \frac{1}{12}ab + \frac{1}{4}b^2)$.

Решение.

1. A: $8t^3 + 1$ сумма кубов, раскладывается $(2t+1)(4t^2 - 2t + 1)$. Неверно.
2. B: $216a^3 - b^6 = (6a - b^2)(36a^2 + 6ab^2 + b^4)$. Неверно.
3. C: $(3x)^3 - (4y)^3 = (3x - 4y)(9x^2 + 12xy + 16y^2)$. Верно.
4. D: $\frac{8}{27}a^3 = (\frac{2}{3}a)^3$, $\frac{1}{64}b^3 = (\frac{1}{4}b)^3$. Должно быть $(\frac{2}{3}a - \frac{1}{4}b)(\ldots)$. Неверно.

Ответ: C.

№ 8

На какое число делится $41^3 + 14^3$: A. 2; B. 7; C. 14; D. 55.

Как думать. Сумма кубов делится на сумму оснований: $a^3 + b^3 = (a+b)(\ldots)$.

Решение. $41^3 + 14^3 = (41 + 14)(41^2 - 41 \cdot 14 + 14^2)$, значит, делится на $55$. Проверим другие: число нечётное (нечётное плюс чётное), поэтому не делится на 2 и 14, а при делении на 7 даёт остаток $-1$.

Ответ: D.

№ 9

В выражении $0{,}25a^2 - {}ab + 9b^2$ вставь число вместо звёздочки так, чтобы получился квадрат разности: A. 1,5; B. $-1{,}5$; C. 3; D. $-3$.*

Решение. $0{,}25a^2 = (0{,}5a)^2$, $9b^2 = (3b)^2$. Квадрат разности: $(0{,}5a - 3b)^2 = 0{,}25a^2 - 2 \cdot 0{,}5 \cdot 3,ab + 9b^2 = 0{,}25a^2 - 3ab + 9b^2$. Значит, $* = 3$.

Ответ: C.

№ 10

Вычисли $\frac{5{,}2^2 - 4{,}8^2}{1{,}1^2 - 2 \cdot 1{,}1 + 1}$: A. 400; B. 40; C. $-40$; D. $-400$.

Решение.

1. Числитель: $(5{,}2 - 4{,}8)(5{,}2 + 4{,}8) = 0{,}4 \cdot 10 = 4$.
2. Знаменатель: $(1{,}1 - 1)^2 = 0{,}1^2 = 0{,}01$.
3. $4 : 0{,}01 = 400$.

Ответ: A.

№ 11

Реши уравнение $5x^3 - 125x = 0$: A. 0,5; B. $-5$; C. 0; D. $-5$; 0; 5.

Решение. $5x(x^2 - 25) = 5x(x-5)(x+5) = 0$. Корни: $0$, $5$, $-5$.

Ответ: D.

№ 12

Упрости $(8+x)(8-x) + (x+2)^2$: A. $68 - 4x$; B. $68 + 4x$; C. $60 - 4x$; D. $60 + 4x$.

Решение. $64 - x^2 + x^2 + 4x + 4 = 68 + 4x$.

Ответ: B.

№ 13

Упрости $(9-b)(9+b) - (3-b)(9+3b+b^2)$ и найди значение при $b = -1$: A. 52; B. 53; C. 56; D. 108.

Решение. $81 - b^2 - 27 + b^3 = b^3 - b^2 + 54$. При $b = -1$: $-1 - 1 + 54 = 52$.

Ответ: A.

№ 14

В выражении $m^2 + 2{} + 0{,}04$ вставь одночлен вместо звёздочки так, чтобы получился квадрат разности: A. $0{,}1m$ или $-0{,}1m$; B. $0{,}2m$; C. $-0{,}2m$; D. $0{,}2m$ и $-0{,}2m$.*

Как думать. Квадрат разности $(m - 0{,}2)^2$, средний член отрицательный.

Решение. $(m - 0{,}2)^2 = m^2 - 0{,}4m + 0{,}04$. Здесь $2 \cdot {} = -0{,}4m$, значит $ = -0{,}2m$. Вариант $+0{,}2m$ давал бы квадрат суммы, а нужна именно разность.

Ответ: C.

№ 15

Преобразуй $(5x-2)(x+1) - (5-2x)^2$ в многочлен стандартного вида: A. $x^2 + 23x - 27$; B. $9x^2 + 23x - 27$; C. $9x^2 - 27x - 27$; D. $x^2 + 23x + 27$.

Решение.

1. $(5x-2)(x+1) = 5x^2 + 5x - 2x - 2 = 5x^2 + 3x - 2$.
2. $(5-2x)^2 = 25 - 20x + 4x^2$.
3. Разность: $5x^2 + 3x - 2 - 25 + 20x - 4x^2 = x^2 + 23x - 27$.

Ответ: A.

№ 16

Разложи на множители $2x + y + y^2 - 4x^2$: A. $(2x+y)(y-2x)$; B. $(2x+y)(1+y-2x)$; C. $(y+2x)(y-2x-1)$; D. $(y+2x)(2x-y-1)$.

Как думать. Сгруппируем: $y^2 - 4x^2$ разность квадратов, а $2x + y$ уже готовый множитель.

Решение. $(2x + y) + (y^2 - 4x^2) = (2x+y) + (y-2x)(y+2x) = (2x+y)(1 + y - 2x)$.

Ответ: B.

№ 17

Упрости $(2-a)(4+2a+a^2) - (3+a)(9-6a+a^2)$ и найди значение при $a = -2$: A. $-3$; B. 37; C. $-37$; D. $-19$.

Как думать. Первое произведение это разность кубов: $8 - a^3$. Второе, судя по замыслу авторов, сумма кубов $27 + a^3$.

Решение.

1. $(2-a)(4+2a+a^2) = 8 - a^3$.
2. Если во втором множителе $9 - 3a + a^2$, то $(3+a)(9-3a+a^2) = 27 + a^3$.
3. Разность: $8 - a^3 - 27 - a^3 = -19 - 2a^3$.
4. При $a = -2$: $-19 - 2 \cdot (-8) = -19 + 16 = -3$.

📕 В условии напечатано $9 - 6a + a^2$, но по смыслу должно быть $9 - 3a + a^2$: тогда это формула суммы кубов, и ответ $-3$ есть среди вариантов. Если считать буквально, получится $-9$, а такого варианта нет.

Ответ: A ($-3$).

№ 18

Вычисли $\frac{18^3 - 7^3}{18^2 + 18 \cdot 7 + 7^2}$: A. 18; B. 21; C. 11; D. 25.

Как думать. В числителе разность кубов, в знаменателе вторая скобка её разложения.

Решение. $18^3 - 7^3 = (18-7)(18^2 + 18 \cdot 7 + 7^2)$. Скобка сокращается, остаётся $18 - 7 = 11$.

Ответ: C.

№ 19

Разложи на множители $(b-4)^2 - (a+3)^2$: A. $(b-a-7)(b-a+1)$; B. $(b-a-7)(b+a-1)$; C. $(b+a-7)(b-a+1)$; D. $(b-a+7)(b-a-1)$.

Решение. Разность квадратов $X^2 - Y^2$ с $X = b - 4$, $Y = a + 3$:

1. $X - Y = b - 4 - a - 3 = b - a - 7$.
2. $X + Y = b - 4 + a + 3 = b + a - 1$.
3. Произведение: $(b - a - 7)(b + a - 1)$.

Ответ: B.

№ 20

Разложи на множители $x^6 - x^2y^4$: A. $(x^3-y^2)(x^3+y^2)$; B. $x^2(x^2-y^2)^2$; C. $x^2(x^2+y^2)^2$; D. $x^2(x^2-y^2)(x^2+y^2)$.

Решение. Вынесем $x^2$: $x^2(x^4 - y^4)$. Затем $x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$. Получаем $x^2(x^2-y^2)(x^2+y^2)$. (Можно ещё раскрыть $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, но среди вариантов этого нет.) Вариант A даёт $x^6 - y^4$, а это другое выражение.

Ответ: D.

№ 21

На рис. 1 (круговая диаграмма) показано, сколько картофеля привезли в магазин за 4 дня: I день $x%$, II день 20%, III день $y%$, IV день 10%. Всего привезли 600 кг. Значение $y$ в 0,75 раза меньше $x$. Сколько килограммов привезли в третий день: A. 240; B. 200; C. 180; D. 220.

Как думать. Вся диаграмма это 100%. Известны 20% и 10%, остальное делят $x$ и $y$, и $y = 0{,}75x$.

Решение.

1. $x + y = 100 - 20 - 10 = 70$.
2. $y = 0{,}75x$, значит $1{,}75x = 70$, $x = 40$, $y = 30$.
3. В третий день $30%$ от 600 кг: $0{,}3 \cdot 600 = 180$ кг.

Ответ: C.

№ 22

Укажи верные равенства по таблице 36.1. A: составляет 50% от числа 50. B: 125. C: равен квадрату наименьшего двузначного числа. D: составляет $\frac{1}{9}$ часть наибольшего трёхзначного числа. Равенства: 1) $B : A = 3$; 2) $C = B - 5^2$; 3) $D + 11 = 100$; 4) $B + C - D = A + 89$.

Как думать. Сначала находим числа $A$, $B$, $C$, $D$, потом проверяем каждое равенство.

Решение.

1. $A = 0{,}5 \cdot 50 = 25$. $B = 125$.
2. Наименьшее двузначное число 10, $C = 10^2 = 100$.
3. Наибольшее трёхзначное 999, $D = 999 : 9 = 111$.
4. Равенство 1: $125 : 25 = 5 \ne 3$. Неверно.
5. Равенство 2: $125 - 25 = 100 = C$. Верно.
6. Равенство 3: $111 + 11 = 122 \ne 100$. Неверно.
7. Равенство 4: $125 + 100 - 111 = 114$ и $25 + 89 = 114$. Верно.

Ответ: верны равенства 2 и 4.

№ 23

Рис. 2 показывает число страниц, напечатанных оператором за пять дней: I день 10, II день $x$, III день 24, IV день 13, V день 17. Страницы второго дня составляют 20% от всех. Сколько всего страниц: A. 80; B. 75; C. 85; D. 70.

Как думать. $x$ это 20% всей работы, значит остальные четыре дня вместе это 80%.

Решение.

1. Остальные дни: $10 + 24 + 13 + 17 = 64$ страницы. Это 80% от всего.
2. Всего: $64 : 0{,}8 = 80$ страниц. Тогда $x = 80 - 64 = 16$, и $16 : 80 = 0{,}2$.

Ответ: A.

Ключ ответов

Шпаргалка

• Чтобы проверить разложение, раскрой скобки и сравни.
• Подозрительно похожее выражение проверь по знакам: $(a - b)$ и $(b - a)$ дают противоположные результаты.
• В тесте с четырьмя ответами подстановка числа быстро отсекает неверные варианты.