§ 37. Алгебраическая дробь

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 6: Алгебраические дроби. Страницы 221–226.

Чему научишься

• Отличать целые выражения от дробных, а многочлен от алгебраической дроби.
• Находить значение алгебраической дроби при заданных значениях букв.
• Понимать, когда дробь не имеет смысла.
• Находить допустимые значения переменной и записывать их промежутками.
• Составлять дробь с нужным числителем, знаменателем или «запретными» числами.

Разминка

• Что такое многочлен? Сумма одночленов: $3x^2 - 5x + 1$, $-2a^2b^5$ (это одночлен), $x^3 + 0{,}12y^3$ (двучлен).
• Можно ли на нуль делить? Нет. Выражение вроде $\frac{5}{0}$ не имеет смысла.
• Как найти произведение двух множителей, равное нулю? Оно равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: $x(x-3)=0$ при $x=0$ или $x=3$.

Разбираемся

Целые и дробные выражения

Представь, что у тебя есть буква и пять действий. Если ты только складываешь, вычитаешь и умножаешь (и делишь на обычное число), получается целое выражение, то есть многочлен. Например, $\frac{b-36}{2}$ тоже многочлен: делим на число 2, а это то же самое, что умножить на $\frac12$.

Но стоит поделить на выражение с буквой, и получится дробное выражение, или алгебраическая дробь.

📌 Алгебраическая (рациональная) дробь — это выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — многочлены. $A$ называют числителем, $B$ — знаменателем. Целые и дробные выражения вместе называют рациональными.

Подставляем числа

Значение дроби находят так же, как значение любого выражения: подставляем числа вместо букв и считаем. Возьмём $\frac{2a-b}{ab}$ при $a=3$, $b=-1$:

$\frac{2\cdot 3-(-1)}{3\cdot(-1)}=\frac{7}{-3}=-2\frac13.$

Знак минус у знаменателя не беда: просто делим семь на минус три.

Когда дробь «ломается»

Целое выражение имеет смысл при любых числах. С дробью иначе: если знаменатель стал нулём, считать нельзя. Дробь $\frac{10x-12}{x}$ не имеет смысла при $x=0$, а при всех остальных $x$ всё в порядке.

📌 Допустимые значения переменной — те, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

⚠️ Частая ошибка. Проверять нужно знаменатель, а не числитель. Дробь $\frac{x-3}{x+1}$ при $x=3$ имеет смысл: получается $\frac{0}{4}=0$. А вот при $x=-1$ не имеет смысла.

Как искать допустимые значения

Берём знаменатель, приравниваем к нулю, решаем уравнение. Все найденные числа — «запретные». Остальные подходят.

Пример: $\frac{7+8x}{x(x-3)}$. Решаем $x(x-3)=0$: получаем $x=0$ или $x=3$. Значит, допустимы все числа, кроме $0$ и $3$:

$(-\infty;,0)\cup(0;,3)\cup(3;,+\infty).$

🌟 Знак $\cup$ читается «объединение». Он нужен, чтобы сказать «и это, и это, и это сразу». А пустой кружок на луче означает: сама точка не входит.

👨‍👩‍👧 Родителю. Спросите: «При каких числах знаменатель превращается в ноль?» Если ребёнок сразу ищет корни знаменателя, а не числителя, тема усвоена. Заодно напомните: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Верно ли, что любое дробное выражение является рациональным? Да, рациональные — это целые и дробные вместе.
• Верно ли, что любое рациональное выражение дробное? Нет: многочлен — рациональное, но целое выражение.
• Верно ли, что любое рациональное выражение целое? Нет, есть ещё дробные.
• Верно ли, что любое целое выражение рациональное? Да.
• Верно ли, что любая алгебраическая дробь — дробное выражение? Да, это одно и то же.
• Верно ли, что любой многочлен — целое выражение? Да.
• Какие значения переменных рационального выражения могут быть недопустимыми? Те, при которых знаменатель дроби равен нулю. У целого выражения недопустимых значений нет.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 37.1

Выбери дробно-рациональные выражения: 1) $\frac{2x}{3}+\frac47$; 2) $\frac{2-5x}{7{,}3}-\frac{4x+3}{3}$; 3) $\frac{3}{x-2}$; 4) $\frac{3x+4}{x-2}+\frac{x}{7}$; 5) $\frac{3y}{2{,}7-\frac37}$; 6) $\frac{4y-5}{3-0{,}2y}+\frac{2y-3}{8}$.

Как думать. Ищем деление на выражение с буквой. Деление на обычное число (даже дробное, как $7{,}3$ или $2{,}7-\frac37$) выражение целым не портит.

Решение.

1. В первом знаменатели 3 и 7 — числа. Целое.
2. Во втором знаменатели 7,3 и 3 — числа. Целое.
3. В третьем знаменатель $x-2$ с буквой. Дробное.
4. В четвёртом дробь $\frac{3x+4}{x-2}$ делит на $x-2$. Дробное.
5. В пятом знаменатель $2{,}7-\frac37$ — просто число. Целое.
6. В шестом знаменатель $3-0{,}2y$ с буквой. Дробное.

Ответ: 3), 4), 6).

№ 37.2

Найди значение выражения: 1) $\frac{2x-1}{x}$ при $x=3;,1;,-5;,\frac12;,-1{,}6;,100$; 2) $\frac{3a-7}{2a+5}$ при $a=-2;,-0{,}4;,0;,2{,}5$; 3) $\frac{b^2+6}{3b-4}$ при $b=3;,4{,}4;,5;,6$; 4) $2x+\frac{8}{x+1}$ при $x=-\frac12;,0{,}5;,1;,3$; 5) $\frac{y+3}{2y}+\frac{2y}{y-3}$ при $y=1{,}5;,2{,}5;,4;,4{,}5$; 6) $\frac{x+3}{x}+\frac{x}{x-3}$ при $x=-\frac12;,1{,}5;,2;,3$.

Как думать. Подставляем число, считаем числитель и знаменатель отдельно, потом делим. Перед этим убедись, что знаменатель не нуль.

Решение.

1. $x=3$: $\frac{5}{3}=1\frac23$. $x=1$: $\frac11=1$. $x=-5$: $\frac{-11}{-5}=2{,}2$. $x=\frac12$: числитель $2\cdot\frac12-1=0$, значит $0$. $x=-1{,}6$: $\frac{-4{,}2}{-1{,}6}=2\frac58$. $x=100$: $\frac{199}{100}=1{,}99$.

2. $a=-2$: $\frac{-13}{1}=-13$. $a=-0{,}4$: $\frac{-8{,}2}{4{,}2}=-\frac{41}{21}=-1\frac{20}{21}$. $a=0$: $\frac{-7}{5}=-1{,}4$. $a=2{,}5$: $\frac{0{,}5}{10}=0{,}05$.

3. $b=3$: $\frac{15}{5}=3$. $b=4{,}4$: $\frac{25{,}36}{9{,}2}=\frac{317}{115}=2\frac{87}{115}$. $b=5$: $\frac{31}{11}=2\frac{9}{11}$. $b=6$: $\frac{42}{14}=3$.

4. $x=-\frac12$: $-1+\frac{8}{0{,}5}=-1+16=15$. $x=0{,}5$: $1+\frac{8}{1{,}5}=1+5\frac13=6\frac13$. $x=1$: $2+4=6$. $x=3$: $6+2=8$.

5. $y=1{,}5$: $\frac{4{,}5}{3}+\frac{3}{-1{,}5}=1{,}5-2=-0{,}5$. $y=2{,}5$: $\frac{5{,}5}{5}+\frac{5}{-0{,}5}=1{,}1-10=-8{,}9$. $y=4$: $\frac78+\frac81=8\frac78$. $y=4{,}5$: $\frac{7{,}5}{9}+\frac{9}{1{,}5}=\frac56+6=6\frac56$.

6. $x=-\frac12$: $\frac{2{,}5}{-0{,}5}+\frac{-0{,}5}{-3{,}5}=-5+\frac17=-4\frac67$. $x=1{,}5$: $\frac{4{,}5}{1{,}5}+\frac{1{,}5}{-1{,}5}=3-1=2$. $x=2$: $\frac52+\frac{2}{-1}=2{,}5-2=0{,}5$. $x=3$: второе слагаемое $\frac{3}{0}$, значения нет.

Ответ: 1) $1\frac23$; $1$; $2{,}2$; $0$; $2\frac58$; $1{,}99$. 2) $-13$; $-1\frac{20}{21}$; $-1{,}4$; $0{,}05$. 3) $3$; $2\frac{87}{115}$; $2\frac9{11}$; $3$. 4) $15$; $6\frac13$; $6$; $8$. 5) $-0{,}5$; $-8{,}9$; $8\frac78$; $6\frac56$. 6) $-4\frac67$; $2$; $0{,}5$; при $x=3$ не имеет смысла.

№ 37.3

Заполни таблицу значений дроби $\frac{x+5}{x-3}$ при $x=-13;,-5;,-0{,}2;,0;,\frac12;,1;,5;,7$.

Как думать. Восемь подстановок в одну формулу. $x=3$ среди чисел нет, значит, все значения существуют.

Решение.

Ответ: $0{,}5$; $0$; $-1{,}5$; $-1\frac23$; $-2{,}2$; $-3$; $5$; $3$.

№ 37.4

При каких значениях переменной выражение не имеет смысла: 1) $\frac{x}{x-2}$; 2) $\frac{b+4}{b^2+7}$; 3) $\frac{y^2-1}{y}+\frac{y}{y-3}$; 4) $\frac{a+10}{a(a-1)}-1$; 5) $\frac{y^3-1}{2-y}-\frac{2y}{3y-3}$; 6) $\frac{c^2-1}{3c}+\frac{4c}{2c-3}$?

Как думать. Приравниваем каждый знаменатель к нулю и решаем.

Решение.

1. $x-2=0$, $x=2$.
2. $b^2+7\ge7$ при любом $b$, нуля не будет. Таких значений нет.
3. $y=0$ или $y-3=0$, то есть $y=0$ и $y=3$.
4. $a(a-1)=0$, значит $a=0$ или $a=1$.
5. $2-y=0$ даёт $y=2$; $3y-3=0$ даёт $y=1$.
6. $3c=0$ даёт $c=0$; $2c-3=0$ даёт $c=1{,}5$.

Ответ: 1) $2$; 2) таких нет; 3) $0$ и $3$; 4) $0$ и $1$; 5) $1$ и $2$; 6) $0$ и $1{,}5$.

№ 37.5

Составь дробь, у которой: 1) числитель — произведение $x$ и $y$, знаменатель — сумма $2x$ и $3y$; 2) числитель — разность выражений $2a$ и $b-1$, знаменатель — их произведение.

Как думать. Переводим слова на язык формул. Разность и произведение двух выражений берём в скобки, если в них больше одного члена.

Решение.

1. Числитель $x\cdot y=xy$, знаменатель $2x+3y$.
2. Числитель $2a-(b-1)=2a-b+1$, знаменатель $2a(b-1)$.

Ответ: 1) $\frac{xy}{2x+3y}$; 2) $\frac{2a-b+1}{2a(b-1)}$.

Уровень B

№ 37.6

Найди допустимые значения переменной: 1) $\frac{5y-8}{11}$; 2) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$; 3) $\frac{y-10}{y^2+3}$; 4) $\frac{32}{5y}-\frac{3y+1}{2y+7}$.

Как думать. Находим «запретные» числа из знаменателей и вычёркиваем их из всей числовой прямой.

Решение.

1. Знаменатель 11 — число, ограничений нет.
2. $y^2-2y=y(y-2)=0$ при $y=0$ и $y=2$.
3. $y^2+3\ge3$, нуля нет, ограничений нет.
4. $5y=0$ при $y=0$; $2y+7=0$ при $y=-3{,}5$.

Ответ: 1) $(-\infty;+\infty)$; 2) $(-\infty;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty)$; 3) $(-\infty;+\infty)$; 4) $(-\infty;-\frac72)\cup(-\frac72;0)\cup(0;+\infty)$.

№ 37.7

Укажи допустимые значения переменной: 1) $\frac4x-\frac{1}{2x-6}$; 2) $\frac{2x+3}{x(x+1)}+\frac{4}{3x}$; 3) $\frac{5y-7}{(y-3)(2y+5)}-\frac5y$.

Как думать. Ищем нули всех знаменателей. Исключаем сразу все.

Решение.

1. $x=0$; $2x-6=0$, $x=3$.
2. $x(x+1)=0$: $x=0$, $x=-1$; $3x=0$: $x=0$. Итого $0$ и $-1$.
3. $y-3=0$: $y=3$; $2y+5=0$: $y=-2{,}5$; $y=0$.

Ответ: 1) $(-\infty;0)\cup(0;3)\cup(3;+\infty)$; 2) $(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;+\infty)$; 3) $(-\infty;-2{,}5)\cup(-2{,}5;0)\cup(0;3)\cup(3;+\infty)$.

№ 37.8

Запиши дробь с переменной $x$, которая имеет смысл при всех $x$, кроме: 1) $3$; 2) $4$; 3) $-2$; 4) $-1$ и $2$; 5) $3$ и $5$; 6) $-\frac23$ и $7$.

Как думать. Идём в обратную сторону. Чтобы знаменатель обнулялся при $x=3$, берём множитель $x-3$. Если нужно два числа, перемножаем два множителя. Числитель любой, например $1$.

Решение.

1. $\frac{1}{x-3}$.
2. $\frac{1}{x-4}$.
3. $\frac{1}{x+2}$.
4. $\frac{1}{(x+1)(x-2)}$.
5. $\frac{1}{(x-3)(x-5)}$.
6. $\frac{1}{(3x+2)(x-7)}$: множитель $3x+2$ обращается в нуль при $x=-\frac23$.

Ответ: одна из возможных дробей: 1) $\frac1{x-3}$; 2) $\frac1{x-4}$; 3) $\frac1{x+2}$; 4) $\frac1{(x+1)(x-2)}$; 5) $\frac1{(x-3)(x-5)}$; 6) $\frac1{(3x+2)(x-7)}$. Подойдёт и любой другой числитель, например $5x$ или $7$.

Уровень C

Эти задания самые сложные. Если не получилось с первого раза, это нормально: главное, что ты решил попробовать!

№ 37.9

Из городов $A$ и $B$, расстояние между которыми по железной дороге $s$ км, навстречу друг другу одновременно вышли два поезда со скоростями $v_1$ км/ч и $v_2$ км/ч. Через $t$ ч они встретились. Вырази $t$ через $s$, $v_1$, $v_2$ и найди $t$, если 1) $s=350$, $v_1=55$, $v_2=45$; 2) $s=465$, $v_1=85$, $v_2=70$.

Как думать. Едут навстречу, значит, расстояние между ними сокращается со скоростью $v_1+v_2$. Время — это путь, делённый на скорость.

Решение.

1. За $t$ часов первый проедет $v_1t$, второй $v_2t$. Вместе они проедут весь путь: $v_1t+v_2t=s$, то есть $(v_1+v_2)t=s$.
2. $t=\frac{s}{v_1+v_2}$.
3. Пункт 1: $t=\frac{350}{55+45}=\frac{350}{100}=3{,}5$ ч.
4. Пункт 2: $t=\frac{465}{85+70}=\frac{465}{155}=3$ ч.

Ответ: $t=\frac{s}{v_1+v_2}$; 1) $3{,}5$ ч; 2) $3$ ч.

№ 37.10

1) Найди значение дроби $\frac{3x}{x^3-3x^2}$, если она существует, при $x=0;,0{,}5;,2;,4{,}6;,3$. 2) Вычисли значение дроби $\frac{2c-3}{2c^3-3c^2}$, если она существует, при $c=-2;,4{,}5;,6\frac14;,\frac23;,1{,}5$.

Как думать. Сначала разложи знаменатель на множители. Так сразу видно, где дробь не существует, и можно сократить.

Решение.

1. $x^3-3x^2=x^2(x-3)$, он нуль при $x=0$ и $x=3$. Для остальных $\frac{3x}{x^2(x-3)}=\frac{3}{x(x-3)}$.

• $x=0$ и $x=3$: дроби нет.
• $x=0{,}5$: $\frac{3}{0{,}5\cdot(-2{,}5)}=\frac{3}{-1{,}25}=-2{,}4$.
• $x=2$: $\frac{3}{2\cdot(-1)}=-1{,}5$.
• $x=4{,}6$: $\frac{3}{4{,}6\cdot1{,}6}=\frac{3}{7{,}36}=\frac{75}{184}$.

2. Дробь равна $\frac{1}{c^2}$ при $c\ne0$ и $c\ne1{,}5$.

• $c=-2$: $\frac14$.
• $c=4{,}5$: $\frac{1}{20{,}25}=\frac{4}{81}$.
• $c=6\frac14=\frac{25}{4}$: $\frac{16}{625}$.
• $c=\frac23$: $\frac94=2\frac14$.
• $c=1{,}5$: знаменатель $2\cdot3{,}375-3\cdot2{,}25=0$, дроби нет.

Ответ: 1) не существует при $0$ и $3$; $-2{,}4$; $-1{,}5$; $\frac{75}{184}$. 2) $\frac14$; $\frac4{81}$; $\frac{16}{625}$; $2\frac14$; при $1{,}5$ не существует.

Готовимся к следующей теме

№ 37.11

Известно, что $\frac{x-4y}{y}=12$. Найди значение выражения: 1) $\frac xy$; 2) $\frac yx$.

Как думать. Разрежем дробь на две части по числителю: так $\frac xy$ появится сама.

Решение.

1. $\frac{x-4y}{y}=\frac xy-4=12$.
2. Значит, $\frac xy=16$.
3. $\frac yx$ — перевёрнутая дробь: $\frac{1}{16}$.

Ответ: 1) $16$; 2) $\frac1{16}$.

№ 37.12

Выпиши верные равенства: 1) $\frac{65}{85}=\frac{13}{17}$; 2) $\frac{46}{79}=\frac{138}{237}$.

Как думать. Дроби равны, если числитель и знаменатель одной получены из другой умножением (или делением) на одно число.

Решение.

1. $65:5=13$, $85:5=17$. Равенство верно.
2. $46\cdot3=138$, $79\cdot3=237$. Равенство верно.

Ответ: оба равенства верны.

Шпаргалка

• Целое выражение имеет смысл при любых значениях переменных.
• Дробь не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю.
• Числитель может быть нулём: тогда дробь равна нулю.
• Несколько знаменателей — исключаем нули каждого.

Мини-тест