§ 39. Сложение и вычитание алгебраических дробей

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 6: Алгебраические дроби. Страницы 231–240.

Чему научишься

• Складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями.
• Приводить дроби с разными знаменателями к общему знаменателю.
• Менять знак в знаменателе, когда он «зеркальный»: $a-b$ и $b-a$.
• Упрощать выражения, где дробь стоит рядом с целым выражением.
• Доказывать тождества, преобразуя одну часть равенства.

Разминка

• Сколько будет $\frac38+\frac28$? Складываем числители, знаменатель оставляем: $\frac58$.
• Как сложить $\frac12+\frac13$? Общий знаменатель 6: $\frac36+\frac26=\frac56$.
• Как разложить $a^2-9$? $(a-3)(a+3)$.
• Как вынести общий множитель в $5a-15$? $5(a-3)$.

Разбираемся

Одинаковые знаменатели: числители складываем, знаменатель не трогаем

Если у двух дробей один и тот же знаменатель, достаточно сложить числители:

$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\quad(c\ne0).$

С вычитанием так же:

$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}.$

Секрет в том, что деление на $c$ можно «вынести за скобки»: $a\cdot\frac1c+b\cdot\frac1c=(a+b)\cdot\frac1c$.

⚠️ Частая ошибка. Когда вычитаешь дробь с многочленом в числителе, ставь скобки: $\frac{5x}{y}-\frac{x-2}{y}=\frac{5x-(x-2)}{y}=\frac{4x+2}{y}$. Без скобок получится $5x-x-2$, то есть потерян знак у двойки.

Знаменатели «зеркальные»

Знаменатели $a-b$ и $b-a$ противоположны. Поменяй знаки в одной дроби: минус из знаменателя выносим перед дробью.

$\frac{3}{x-2}+\frac{5}{2-x}=\frac{3}{x-2}-\frac{5}{x-2}=\frac{-2}{x-2}.$

📌 $\dfrac{A}{b-a}=-\dfrac{A}{a-b}$. Один минус можно переносить между числителем, знаменателем и местом перед дробью.

Разные знаменатели

Сначала приводим дроби к общему знаменателю, потом действуем как выше. Всегда подойдёт «крест-накрест»:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd},\qquad \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}.$

Но чаще удобнее найти наименьший общий знаменатель. Для этого разложи знаменатели на множители и возьми каждый множитель по одному разу (с наибольшей степенью).

Пример: $\frac{5}{6x}+\frac{1}{4x^2}$. $6x=2\cdot3\cdot x$, $4x^2=2^2\cdot x^2$. Общий знаменатель $12x^2$:

$\frac{5\cdot2x}{12x^2}+\frac{1\cdot3}{12x^2}=\frac{10x+3}{12x^2}.$

Когда знаменатели — многочлены

Пример: $\dfrac{x+7}{x^2+xy}-\dfrac{y-7}{xy+y^2}$.

1. Раскладываем: $x^2+xy=x(x+y)$, $xy+y^2=y(x+y)$.
2. Общий знаменатель: $xy(x+y)$. Дополнительные множители: $y$ и $x$.
3. $\dfrac{(x+7)y-(y-7)x}{xy(x+y)}=\dfrac{xy+7y-xy+7x}{xy(x+y)}=\dfrac{7(x+y)}{xy(x+y)}=\dfrac{7}{xy}.$

Целое выражение плюс дробь

Представь целое выражение дробью со знаменателем 1. Пример: $b-2-\dfrac{b^2+5}{b+2}$.

$\frac{(b-2)(b+2)-(b^2+5)}{b+2}=\frac{b^2-4-b^2-5}{b+2}=-\frac{9}{b+2}.$

💡 Все $b^2$ ушли, получилась дробь без $b$ в числителе. Такое сокращение часто подсказывает, что вы на верном пути.

👨‍👩‍👧 Родителю. Эта тема любит аккуратность: скобки при вычитании, знаки при замене $a-b$ на $b-a$, полное разложение знаменателей. Попросите ребёнка проверить ответ подстановкой любого допустимого числа в исходное выражение и в результат: значения должны совпасть.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как сложить дроби с одинаковыми знаменателями? Сложить числители, знаменатель оставить.
• Как вычесть? Из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, знаменатель оставить.
• Почему правило работает и для трёх дробей, и для четырёх? Складываем по две: первые две в одну, к ней третью и так далее. Знаменатель всё время тот же.
• Как доказать, что $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$? Вычитание обратно сложению: если $\frac{a-b}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a}{c}$ (по правилу сложения), то разность равна $\frac{a-b}{c}$.
• Когда общий знаменатель равен произведению знаменателей? Когда у них нет общих множителей.
• А когда — одному из знаменателей? Когда этот знаменатель делится на другой.
• При каких значениях букв выполняется сложение и вычитание? При всех допустимых: когда знаменатели не равны нулю.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 39.1

Используя тождество $\frac{a+b}{c}=\frac ac+\frac bc$, представь дробь в виде суммы дробей: 1) $\frac{2a+b}{x}$; 2) $\frac{2a^2+5a}{4y}$; 3) $\frac{x^2+6y^2}{2xy}$; 4) $\frac{12a^2+y^3}{6ay}$; 5) $\frac{2a^2-3y^3}{3ay^3}$; 6) $\frac{12a^2+y^4+5y}{8ay^3}$.

Как думать. Тождество читаем справа налево, а здесь слева направо: каждое слагаемое числителя делим на общий знаменатель. Сокращать не обязательно.

Решение.

1. $\frac{2a}{x}+\frac{b}{x}$.
2. $\frac{2a^2}{4y}+\frac{5a}{4y}$.
3. $\frac{x^2}{2xy}+\frac{6y^2}{2xy}$.
4. $\frac{12a^2}{6ay}+\frac{y^3}{6ay}$.
5. $\frac{2a^2}{3ay^3}-\frac{3y^3}{3ay^3}$.
6. $\frac{12a^2}{8ay^3}+\frac{y^4}{8ay^3}+\frac{5y}{8ay^3}$.

Ответ: см. решение: каждое слагаемое числителя записано над прежним знаменателем.

№ 39.2

Выполни сложение: 1) $\frac x5+\frac y5$; 2) $\frac a4+\frac b4$; 3) $\frac ay+\frac{2a}{y}$; 4) $\frac{5b^2}{3a}+\frac{13b^2}{3a}$; 5) $\frac{x+y}{19}+\frac{2x}{19}$; 6) $\frac{2c-x}{2b}+\frac{x}{2b}$.

Как думать. Знаменатели одинаковые: складываем числители.

Решение.

1. $\frac{x+y}{5}$.
2. $\frac{a+b}{4}$.
3. $\frac{a+2a}{y}=\frac{3a}{y}$.
4. $\frac{18b^2}{3a}=\frac{6b^2}{a}$.
5. $\frac{x+y+2x}{19}=\frac{3x+y}{19}$.
6. $\frac{2c-x+x}{2b}=\frac{2c}{2b}=\frac cb$.

Ответ: 1) $\frac{x+y}{5}$; 2) $\frac{a+b}{4}$; 3) $\frac{3a}{y}$; 4) $\frac{6b^2}{a}$; 5) $\frac{3x+y}{19}$; 6) $\frac cb$.

№ 39.3

Выполни действия: 1) $\frac{17-12x}{x}-\frac{10}{x}$; 2) $\frac{12p-1}{3p^2}-\frac{1+3p}{3p^2}$; 3) $\frac{6y-3}{5y}-\frac{y+2}{5y}$; 4) $\frac{5b}{6}-\frac{3a-2b}{6}$; 5) $\frac{5y-3}{7y}-\frac{3y+2}{7y}$; 6) $\frac{11x-5}{14x}+\frac{3x-2}{14x}$; 7) $\frac{7y-13}{10y}-\frac{2y+3}{10y}$; 8) $\frac{8c+25}{6c}+\frac{5-2c}{6c}$.

Как думать. При вычитании второй числитель берём в скобки.

Решение.

1. $\frac{17-12x-10}{x}=\frac{7-12x}{x}$.
2. $\frac{12p-1-1-3p}{3p^2}=\frac{9p-2}{3p^2}$.
3. $\frac{6y-3-y-2}{5y}=\frac{5y-5}{5y}=\frac{y-1}{y}$.
4. $\frac{5b-3a+2b}{6}=\frac{7b-3a}{6}$.
5. $\frac{5y-3-3y-2}{7y}=\frac{2y-5}{7y}$.
6. $\frac{14x-7}{14x}=\frac{7(2x-1)}{14x}=\frac{2x-1}{2x}$.
7. $\frac{7y-13-2y-3}{10y}=\frac{5y-16}{10y}$.
8. $\frac{8c+25+5-2c}{6c}=\frac{6c+30}{6c}=\frac{c+5}{c}$.

Ответ: 1) $\frac{7-12x}{x}$; 2) $\frac{9p-2}{3p^2}$; 3) $\frac{y-1}{y}$; 4) $\frac{7b-3a}{6}$; 5) $\frac{2y-5}{7y}$; 6) $\frac{2x-1}{2x}$; 7) $\frac{5y-16}{10y}$; 8) $\frac{c+5}{c}$.

№ 39.4

Выполни действия: 1) $\frac{3p-q}{5p}-\frac{2p+6q}{5p}+\frac{p-4q}{5p}$; 2) $\frac{5c-2d}{4c}-\frac{3d}{4c}+\frac{d-5c}{4c}$; 3) $\frac{2a}{b}-\frac{1-6a}{b}+\frac{13-8a}{b}$; 4) $\frac{4b-2}{5b}-\frac{2b-1}{5b}+\frac1{5b}$; 5) $\frac{7y-5}{12y}-\frac{10y-19}{12y}+\frac{10-15y}{12y}$; 6) $\frac{11a-2b}{2a}+\frac{2a-3b}{2a}-\frac{a-b}{2a}$.

Как думать. Всё над одним знаменателем. Собираем числитель целиком, скобки при минусе.

Решение.

1. $3p-q-2p-6q+p-4q=2p-11q$: $\frac{2p-11q}{5p}$.
2. $5c-2d-3d+d-5c=-4d$: $\frac{-4d}{4c}=-\frac dc$.
3. $2a-1+6a+13-8a=12$: $\frac{12}{b}$.
4. $4b-2-2b+1+1=2b$: $\frac{2b}{5b}=\frac25$.
5. $7y-5-10y+19+10-15y=-18y+24$: $\frac{24-18y}{12y}=\frac{6(4-3y)}{12y}=\frac{4-3y}{2y}$.
6. $11a-2b+2a-3b-a+b=12a-4b$: $\frac{12a-4b}{2a}=\frac{6a-2b}{a}$.

Ответ: 1) $\frac{2p-11q}{5p}$; 2) $-\frac dc$; 3) $\frac{12}{b}$; 4) $\frac25$; 5) $\frac{4-3y}{2y}$; 6) $\frac{6a-2b}{a}$.

№ 39.5

Выполни действия: 1) $\frac{5a+b^5}{8b}-\frac{5a-7b^5}{8b}$; 2) $\frac{2x-3y}{4xy}+\frac{11y-2x}{4xy}$; 3) $\frac{3x-y^4}{4y^5}-\frac{y^4+3x}{4y^5}$; 4) $\frac{a-2}{7a}+\frac{2a+5}{7a}-\frac{3-a}{7a}$; 5) $\frac{7y-5}{11y}-\frac{10y-9}{11y}+\frac{10-5y}{11y}$; 6) $\frac{21a+2b}{6a}+\frac{21a-3b}{6a}-\frac{36a-b}{6a}$.

Как думать. Тот же приём. В конце сократи, если можно.

Решение.

1. $5a+b^5-5a+7b^5=8b^5$: $\frac{8b^5}{8b}=b^4$.
2. $2x-3y+11y-2x=8y$: $\frac{8y}{4xy}=\frac2x$.
3. $3x-y^4-y^4-3x=-2y^4$: $\frac{-2y^4}{4y^5}=-\frac{1}{2y}$.
4. $a-2+2a+5-3+a=4a$: $\frac{4a}{7a}=\frac47$.
5. $7y-5-10y+9+10-5y=-8y+14$: $\frac{14-8y}{11y}$.
6. $21a+2b+21a-3b-36a+b=6a$: $\frac{6a}{6a}=1$.

Ответ: 1) $b^4$; 2) $\frac2x$; 3) $-\frac1{2y}$; 4) $\frac47$; 5) $\frac{14-8y}{11y}$; 6) $1$.

№ 39.6

Найди значение выражения: 1) $\frac{x^2+1}{x-3}-\frac{10}{x-3}$ при $x=57$; 2) $\frac{y+7}{y^2-25}-\frac{2y+2}{y^2-25}$ при $y=5{,}7$; 3) $\frac{a^2-16}{a-3}+\frac{7}{a-3}$ при $a=33{,}25$; 4) $\frac{9b-1}{b^2-9}-\frac{6b-10}{b^2-9}$ при $b=4{,}5$.

Как думать. Сначала упрости, потом подставляй: числа получатся простые.

Решение.

1. $\frac{x^2+1-10}{x-3}=\frac{x^2-9}{x-3}=x+3=60$.
2. $\frac{y+7-2y-2}{y^2-25}=\frac{5-y}{(y-5)(y+5)}=-\frac{1}{y+5}=-\frac{1}{10{,}7}=-\frac{10}{107}$.
3. $\frac{a^2-16+7}{a-3}=\frac{a^2-9}{a-3}=a+3=36{,}25$.
4. $\frac{9b-1-6b+10}{b^2-9}=\frac{3b+9}{(b-3)(b+3)}=\frac{3}{b-3}=\frac{3}{1{,}5}=2$.

Ответ: 1) $60$; 2) $-\frac{10}{107}$; 3) $36{,}25$; 4) $2$.

№ 39.7

Найди значение выражения: 1) $\frac{x^2-19}{x-3}+\frac{10}{x-3}$ при $x=77$; 2) $\frac{y+7}{y^2-25}-\frac{2y+2}{y^2-25}$ при $y=-25{,}1$; 3) $\frac{a^2-43}{a-6}-\frac{7}{6-a}$ при $a=-10{,}25$; 4) $\frac{9b-1}{b^2-9}-\frac{6b-10}{b^2-9}$ при $b=-10$.

Как думать. Упрощаем, как в № 39.6. В третьем пункте знаменатель $6-a$ противоположен $a-6$.

Решение.

1. $\frac{x^2-19+10}{x-3}=\frac{x^2-9}{x-3}=x+3=80$.
2. Как в № 39.6: $-\frac{1}{y+5}=-\frac{1}{-20{,}1}=\frac{1}{20{,}1}=\frac{10}{201}$.
3. $-\frac{7}{6-a}=\frac{7}{a-6}$. Сумма $\frac{a^2-43+7}{a-6}=\frac{a^2-36}{a-6}=a+6=-4{,}25$.
4. $\frac{3}{b-3}=\frac{3}{-13}=-\frac{3}{13}$.

Ответ: 1) $80$; 2) $\frac{10}{201}$; 3) $-4{,}25$; 4) $-\frac3{13}$.

№ 39.8

Упрости выражение: 1) $\frac{12-2x}{x-2}+\frac{10-x}{2-x}$; 2) $\frac{12p^3-1}{3p^2}-\frac{1-3p^3}{3p^2}$; 3) $\frac{3x+5}{2x-1}+\frac{7x+3}{1-2x}$; 4) $\frac{5x+1}{5x-20}+\frac{x+17}{20-5x}$; 5) $\frac{x^2}{x^2-16}-\frac{8(x-2)}{x^2-16}$; 6) $\frac{64-2ab}{(a-8)^2}+\frac{2ab-a^2}{(8-a)^2}$; 7) $\frac{x^2}{x^2-4}-\frac{4(x-1)}{x^2-4}$; 8) $\frac{x^2+6}{x^2-9}-\frac{3(2x-1)}{9-x^2}$.

Как думать. Если знаменатели противоположны, меняем знак у одного из них (и у дроби). У квадратов $(a-8)^2$ и $(8-a)^2$ менять ничего не надо: они равны.

Решение.

1. $\frac{10-x}{2-x}=\frac{x-10}{x-2}$. Сумма: $\frac{12-2x+x-10}{x-2}=\frac{2-x}{x-2}=-1$.
2. $\frac{12p^3-1-1+3p^3}{3p^2}=\frac{15p^3-2}{3p^2}$.
3. $\frac{7x+3}{1-2x}=-\frac{7x+3}{2x-1}$. Сумма: $\frac{3x+5-7x-3}{2x-1}=\frac{2-4x}{2x-1}=-2$.
4. $\frac{x+17}{20-5x}=-\frac{x+17}{5x-20}$. Сумма: $\frac{5x+1-x-17}{5(x-4)}=\frac{4(x-4)}{5(x-4)}=\frac45$.
5. $\frac{x^2-8x+16}{x^2-16}=\frac{(x-4)^2}{(x-4)(x+4)}=\frac{x-4}{x+4}$.
6. $\frac{64-2ab+2ab-a^2}{(a-8)^2}=\frac{(8-a)(8+a)}{(a-8)^2}=-\frac{a+8}{a-8}$.
7. $\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{x+2}$.
8. $-\frac{3(2x-1)}{9-x^2}=\frac{3(2x-1)}{x^2-9}$. Сумма: $\frac{x^2+6+6x-3}{x^2-9}=\frac{x^2+6x+3}{x^2-9}$.

Ответ: 1) $-1$; 2) $\frac{15p^3-2}{3p^2}$; 3) $-2$; 4) $\frac45$; 5) $\frac{x-4}{x+4}$; 6) $-\frac{a+8}{a-8}$; 7) $\frac{x-2}{x+2}$; 8) $\frac{x^2+6x+3}{x^2-9}$.

📕 В ответах учебника к пункту 7 напечатано «$\frac{x+6}{x-6}$», но правильно $\frac{x-2}{x+2}$: так выходит при сокращении; ответ $\frac{x+6}{x-6}$ относится к № 39.9 (1). Проверка при $x=3$: $\frac95-\frac85=\frac15$, а $\frac{x-2}{x+2}=\frac15$.

№ 39.9

Упрости выражение: 1) $\frac{x^2}{(x-6)^2}-\frac{36}{(6-x)^2}$; 2) $\frac{x^2+25}{(x-5)^2}-\frac{10x}{(5-x)^2}$; 3) $\frac{10p}{p-c}+\frac{3p+7c}{c-p}$; 4) $\frac{5a}{a-b}+\frac{5b}{b-a}$; 5) $\frac{2x-5}{x-2}-\frac{1}{2-x}$; 6) $\frac{a}{2a-b}+\frac{3a-b}{b-2a}$; 7) $\frac{a}{a^2-9}-\frac{3}{9-a^2}$; 8) $\frac{y^2}{y-1}+\frac{1}{1-y}$.

Как думать. Привести к одному знаменателю и использовать формулы разности квадратов и квадрата разности.

Решение.

1. $(6-x)^2=(x-6)^2$: $\frac{x^2-36}{(x-6)^2}=\frac{(x-6)(x+6)}{(x-6)^2}=\frac{x+6}{x-6}$.
2. $\frac{x^2+25-10x}{(x-5)^2}=\frac{(x-5)^2}{(x-5)^2}=1$.
3. $\frac{3p+7c}{c-p}=-\frac{3p+7c}{p-c}$. Сумма: $\frac{10p-3p-7c}{p-c}=\frac{7(p-c)}{p-c}=7$.
4. $\frac{5b}{b-a}=-\frac{5b}{a-b}$: $\frac{5a-5b}{a-b}=5$.
5. $-\frac{1}{2-x}=\frac{1}{x-2}$. Сумма: $\frac{2x-5+1}{x-2}=\frac{2(x-2)}{x-2}=2$.
6. $\frac{3a-b}{b-2a}=-\frac{3a-b}{2a-b}$. Сумма: $\frac{a-3a+b}{2a-b}=\frac{b-2a}{2a-b}=-1$.
7. $-\frac{3}{9-a^2}=\frac{3}{a^2-9}$. Сумма: $\frac{a+3}{a^2-9}=\frac{1}{a-3}$.
8. $\frac{1}{1-y}=-\frac{1}{y-1}$. Сумма: $\frac{y^2-1}{y-1}=y+1$.

Ответ: 1) $\frac{x+6}{x-6}$; 2) $1$; 3) $7$; 4) $5$; 5) $2$; 6) $-1$; 7) $\frac{1}{a-3}$; 8) $y+1$.

№ 39.10

Убедись, что при любых значениях переменных значение выражения: 1) $\frac{(a+b)^2}{ab}-\frac{(a-b)^2}{ab}$ равно 4; 2) $\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+\frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}$ равно 2.

Как думать. Приводим выражение к виду «число». Значит, все буквы должны сократиться.

Решение.

1. $\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{ab}=\frac{a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2}{ab}=\frac{4ab}{ab}=4$.
2. $\frac{a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2}{a^2+b^2}=\frac{2a^2+2b^2}{a^2+b^2}=2$.

Ответ: обе суммы равны числам: 4 и 2 (при допустимых значениях букв: в пункте 1 $a\ne0$, $b\ne0$).

№ 39.11

Представь в виде рациональной дроби выражение: 1) $\frac x4+\frac y3$; 2) $\frac c6-\frac d{12}$; 3) $\frac pq+\frac qp$; 4) $\frac ab-\frac{b^2}{a}$; 5) $\frac3{2x}-\frac2{3x}$; 6) $\frac a{5c}+\frac{3a}{4c}$; 7) $\frac{5x}{8y}+\frac x{4y}$; 8) $\frac{17y}{24c}-\frac{25y}{36c}$; 9) $\frac{5a}{18b}-\frac{7a}{45b}$; 10) $\frac3{2a}+\frac{3a-b}{2a}$; 11) $\frac a{7b}+\frac{4a-b}{7b}$; 12) $\frac{2a-3b}{2a-b}+\frac{7a-b}{b-2a}$.

Как думать. Находим общий знаменатель, дописываем дополнительные множители, складываем.

Решение.

1. НОЗ 12: $\frac{3x+4y}{12}$.
2. НОЗ 12: $\frac{2c-d}{12}$.
3. НОЗ $pq$: $\frac{p^2+q^2}{pq}$.
4. НОЗ $ab$: $\frac{a^2-b^3}{ab}$.
5. НОЗ $6x$: $\frac{9-4}{6x}=\frac{5}{6x}$.
6. НОЗ $20c$: $\frac{4a+15a}{20c}=\frac{19a}{20c}$.
7. НОЗ $8y$: $\frac{5x+2x}{8y}=\frac{7x}{8y}$.
8. НОЗ $72c$: $\frac{51y-50y}{72c}=\frac{y}{72c}$.
9. НОЗ $90b$: $\frac{25a-14a}{90b}=\frac{11a}{90b}$.
10. Знаменатели одинаковы: $\frac{3+3a-b}{2a}$.
11. $\frac{a+4a-b}{7b}=\frac{5a-b}{7b}$.
12. $\frac{7a-b}{b-2a}=-\frac{7a-b}{2a-b}$. Сумма: $\frac{2a-3b-7a+b}{2a-b}=\frac{-5a-2b}{2a-b}=-\frac{5a+2b}{2a-b}$.

Ответ: 1) $\frac{3x+4y}{12}$; 2) $\frac{2c-d}{12}$; 3) $\frac{p^2+q^2}{pq}$; 4) $\frac{a^2-b^3}{ab}$; 5) $\frac{5}{6x}$; 6) $\frac{19a}{20c}$; 7) $\frac{7x}{8y}$; 8) $\frac{y}{72c}$; 9) $\frac{11a}{90b}$; 10) $\frac{3+3a-b}{2a}$; 11) $\frac{5a-b}{7b}$; 12) $-\frac{5a+2b}{2a-b}$.

№ 39.12

Упрости выражение: 1) $\frac{a^2+16}{a-4}+\frac{8a}{4-a}$; 2) $\frac{x^2+4y^2}{x-2y}+\frac{4xy}{2y-x}$; 3) $\frac{x^2+25y^2}{x-5y}+\frac{10xy}{5y-x}$; 4) $\frac{9a^2+4y^2}{3a-2y}+\frac{12ay}{2y-3a}$; 5) $\frac{a}{2a-yb}+\frac{3a-by}{by-2a}$; 6) $\frac{a^2x^2+25y^2}{ax-5y}+\frac{10axy}{5y-ax}$.

Как думать. Все шесть примеров устроены одинаково: после смены знака в числителе появляется квадрат разности.

Решение.

1. $a-4$ (см. шаги).
2. $\frac{x^2+4y^2-4xy}{x-2y}=\frac{(x-2y)^2}{x-2y}=x-2y$.
3. $\frac{x^2+25y^2-10xy}{x-5y}=x-5y$.
4. $\frac{9a^2+4y^2-12ay}{3a-2y}=3a-2y$.
5. $\frac{by-2a}{2a-by}$ после смены знака: $\frac{a-(3a-by)}{2a-by}=\frac{by-2a}{2a-by}=-1$.
6. $\frac{a^2x^2+25y^2-10axy}{ax-5y}=ax-5y$.

Ответ: 1) $a-4$; 2) $x-2y$; 3) $x-5y$; 4) $3a-2y$; 5) $-1$; 6) $ax-5y$.

№ 39.13

Докажи, что при любом значении переменной значение выражения является рациональным числом: 1) $\frac{-2x}{x-4}-\frac{8}{4-x}$; 2) $\frac{0{,}1y}{y-3}+\frac{0{,}3}{3-y}$; 3) $\frac{3{,}1y}{y-0{,}1}+\frac{0{,}31}{0{,}1-y}$; 4) $\frac{0{,}1y^2}{y^2-3}+\frac{0{,}3}{3-y^2}$.

Как думать. Покажем, что всё выражение равно одному постоянному числу. Раз число постоянное и дробное (или целое), оно рациональное.

Решение.

1. $\frac{8}{4-x}=-\frac{8}{x-4}$, значит $-\frac{8}{4-x}=\frac{8}{x-4}$. Сумма: $\frac{-2x+8}{x-4}=\frac{-2(x-4)}{x-4}=-2$.
2. $\frac{0{,}3}{3-y}=-\frac{0{,}3}{y-3}$. Сумма: $\frac{0{,}1y-0{,}3}{y-3}=\frac{0{,}1(y-3)}{y-3}=0{,}1$.
3. $\frac{0{,}31}{0{,}1-y}=-\frac{0{,}31}{y-0{,}1}$. Сумма: $\frac{3{,}1y-0{,}31}{y-0{,}1}=\frac{3{,}1(y-0{,}1)}{y-0{,}1}=3{,}1$.
4. $\frac{0{,}1y^2-0{,}3}{y^2-3}=\frac{0{,}1(y^2-3)}{y^2-3}=0{,}1$.

Ответ: выражения равны постоянным числам: 1) $-2$; 2) $0{,}1$; 3) $3{,}1$; 4) $0{,}1$. Это рациональные числа.

№ 39.14

Докажи, что равенство верно: 1) $12-\frac1a-\frac1b-\frac{12a-1}{a}=-1$; 2) $2a+3b-\frac{a^2+b^2}{a}-\frac{b(3a-b)}{a}=-1$; 3) $\frac{a+b}{a}-\frac{2a-b}{b}-\frac{b^2-2a^2}{ab}=2$.

Как думать. Приведём левую часть к общему знаменателю и упростим.

Решение. 3) Общий знаменатель $ab$: $\frac{b(a+b)-a(2a-b)-(b^2-2a^2)}{ab}=\frac{ab+b^2-2a^2+ab-b^2+2a^2}{ab}=\frac{2ab}{ab}=2$. Равенство верно.

1. $12-\frac1a-\frac{12a-1}{a}=12-\frac{1+12a-1}{a}=12-12=0$. Остаётся $-\frac1b$. Значит, левая часть равна $-\frac1b$, а не $-1$: например, при $a=1$, $b=2$ слева $12-1-0{,}5-11=-0{,}5$.

2. $\frac{a^2+b^2+3ab-b^2}{a}=\frac{a^2+3ab}{a}=a+3b$. Левая часть: $2a+3b-a-3b=a$. Например, при $a=1$, $b=1$ слева $5-2-2=1$, а не $-1$.

Ответ: пункт 3 доказан (левая часть равна 2). Пункты 1 и 2 в таком виде неверны: левые части равны $-\frac1b$ и $a$.

📕 В пунктах 1 и 2 этого задания равенства напечатаны неверно: левая часть пункта 1 равна $-\frac1b$ (а не $-1$), пункта 2 равна $a$ (а не $-1$). Проверка: при $a=1$, $b=2$ в пункте 1 получается $-0{,}5$. Скорее всего, в условии опечатка.

Уровень B

№ 39.15

Выполни действия: 1) $\frac{4a}{5(a+y)}-\frac{2y}{3(a+y)}$; 2) $\frac{p}{7a-14}+\frac1{2-a}$; 3) $\frac{3}{ax-ay}+\frac{2}{by-bx}$; 4) $\frac{13c}{bm-bn}-\frac{12b}{cn-cm}$; 5) $\frac a{2x+4}-\frac a{3x+6}$; 6) $\frac{a^2}{5(a-b)}-\frac{b^2}{4(a-b)}$.

Как думать. Раскладываем знаменатели, ищем общий, при необходимости меняем знак.

Решение.

1. НОЗ $15(a+y)$: $\frac{12a-10y}{15(a+y)}$.
2. $7a-14=7(a-2)$; $\frac1{2-a}=-\frac1{a-2}$. НОЗ $7(a-2)$: $\frac{p-7}{7(a-2)}$.
3. $ax-ay=a(x-y)$; $by-bx=-b(x-y)$. НОЗ $ab(x-y)$: $\frac{3b-2a}{ab(x-y)}$.
4. $bm-bn=b(m-n)$; $cn-cm=-c(m-n)$, значит $-\frac{12b}{cn-cm}=\frac{12b}{c(m-n)}$. НОЗ $bc(m-n)$: $\frac{13c^2+12b^2}{bc(m-n)}$.
5. $2x+4=2(x+2)$, $3x+6=3(x+2)$. НОЗ $6(x+2)$: $\frac{3a-2a}{6(x+2)}=\frac{a}{6(x+2)}$.
6. НОЗ $20(a-b)$: $\frac{4a^2-5b^2}{20(a-b)}$.

Ответ: 1) $\frac{12a-10y}{15(a+y)}$; 2) $\frac{p-7}{7(a-2)}$; 3) $\frac{3b-2a}{ab(x-y)}$; 4) $\frac{13c^2+12b^2}{bc(m-n)}$; 5) $\frac{a}{6(x+2)}$; 6) $\frac{4a^2-5b^2}{20(a-b)}$.

№ 39.16

Упрости выражение: 1) $\frac1{xy}+\frac1{ax}+\frac1{ay}$; 2) $\frac{xy-y}{x}-\frac{xy-x}{y}-\frac{x^2-y^2}{xy}$; 3) $\frac{3ac+2c^2}{ac}-\frac{a+2c}{a}+\frac{a-2c}{c}$.

Как думать. Общий знаменатель — произведение всех букв, которые встречаются.

Решение.

1. НОЗ $axy$: $\frac{a+y+x}{axy}$.
2. НОЗ $xy$: $\frac{y(xy-y)-x(xy-x)-(x^2-y^2)}{xy}=\frac{xy^2-y^2-x^2y+x^2-x^2+y^2}{xy}=\frac{xy^2-x^2y}{xy}=\frac{xy(y-x)}{xy}=y-x$.
3. НОЗ $ac$: $\frac{3ac+2c^2-c(a+2c)+a(a-2c)}{ac}=\frac{3ac+2c^2-ac-2c^2+a^2-2ac}{ac}=\frac{a^2}{ac}=\frac ac$.

Ответ: 1) $\frac{a+x+y}{axy}$; 2) $y-x$; 3) $\frac ac$.

№ 39.17

Выполни действия: 1) $\frac{y}{2x-6y}+\frac{y}{15y-5x}-\frac{x}{10x-30y}$; 2) $\frac1{x^2-4x}-\frac1{8x-32}+\frac1{8x-2x^2}$; 3) $\frac a{ax+2x}-\frac2{5a+10}-\frac{5a-x}{5ax+10x}$.

Как думать. Сначала разложи все знаменатели на множители, а потом выбирай общий.

Решение.

1. $-0{,}1$ (см. шаги).
2. $x^2-4x=x(x-4)$; $8x-32=8(x-4)$; $8x-2x^2=-2x(x-4)$. НОЗ $8x(x-4)$: $\frac{8-x-4}{8x(x-4)}=\frac{4-x}{8x(x-4)}=-\frac{1}{8x}$.
3. $ax+2x=x(a+2)$; $5a+10=5(a+2)$; $5ax+10x=5x(a+2)$. НОЗ $5x(a+2)$: $\frac{5a-2x-(5a-x)}{5x(a+2)}=\frac{-x}{5x(a+2)}=-\frac{1}{5(a+2)}=-\frac1{5a+10}$.

Ответ: 1) $-0{,}1$; 2) $-\frac{1}{8x}$; 3) $-\frac{1}{5a+10}$.

№ 39.18

Найди значение выражения: 1) $\frac{y-25}{5y-25}+\frac{3y+5}{y^2-5y}$ при $y=2{,}5$; 2) $\frac{2}{y^2-yx}-\frac{2}{yx-x^2}$ при $x=2$, $y=-3$.

Как думать. Упрощаем выражение до подстановки.

Решение.

1. $5y-25=5(y-5)$, $y^2-5y=y(y-5)$. НОЗ $5y(y-5)$: $\frac{y(y-25)+5(3y+5)}{5y(y-5)}=\frac{y^2-10y+25}{5y(y-5)}=\frac{(y-5)^2}{5y(y-5)}=\frac{y-5}{5y}$. При $y=2{,}5$: $\frac{-2{,}5}{12{,}5}=-0{,}2$.
2. $y^2-yx=y(y-x)$, $yx-x^2=x(y-x)$. $\frac{2x-2y}{xy(y-x)}=\frac{-2(y-x)}{xy(y-x)}=-\frac{2}{xy}$. При $x=2$, $y=-3$: $-\frac{2}{-6}=\frac13$.

Ответ: 1) $-0{,}2$; 2) $\frac13$.

Уровень C

Эти задания трудные. Если запутался, это нормально: просто сверяй шаги и пробуй снова.

№ 39.19

Упрости выражение: 1) $\frac{2a+n}{a-n}-\frac{3n}{a-n}$; 2) $\frac{a^2+b^2}{a-b}-a$; 3) $m-n+\frac{n^2}{m+n}$; 4) $a+b-\frac{a^2+b^2}{a+b}$; 5) $x-\frac9{x-3}-3$; 6) $a^2-\frac{a^4+1}{a^2-1}+1$; 7) $2m+2n+\frac{4n^2}{2m-2n}$; 8) $2a-n+\frac{n^2+2an}{2a+n}$.

Как думать. Целое выражение представь дробью со знаменателем 1 и приведи к общему знаменателю.

Решение.

1. $\frac{2a+n-3n}{a-n}=\frac{2(a-n)}{a-n}=2$.
2. $\frac{a^2+b^2-a(a-b)}{a-b}=\frac{b^2+ab}{a-b}=\frac{b(a+b)}{a-b}$.
3. $\frac{(m-n)(m+n)+n^2}{m+n}=\frac{m^2}{m+n}$.
4. $\frac{(a+b)^2-a^2-b^2}{a+b}=\frac{2ab}{a+b}$.
5. $x-3-\frac{9}{x-3}=\frac{(x-3)^2-9}{x-3}=\frac{x^2-6x}{x-3}$.
6. $a^2+1-\frac{a^4+1}{a^2-1}=\frac{(a^2+1)(a^2-1)-a^4-1}{a^2-1}=\frac{a^4-1-a^4-1}{a^2-1}=-\frac{2}{a^2-1}$.
7. $\frac{4n^2}{2m-2n}=\frac{2n^2}{m-n}$. $2(m+n)+\frac{2n^2}{m-n}=\frac{2(m^2-n^2)+2n^2}{m-n}=\frac{2m^2}{m-n}$.
8. $n^2+2an=n(n+2a)$, дробь равна $n$ (при $2a+n\ne0$). Итого $2a-n+n=2a$.

Ответ: 1) $2$; 2) $\frac{b(a+b)}{a-b}$; 3) $\frac{m^2}{m+n}$; 4) $\frac{2ab}{a+b}$; 5) $\frac{x^2-6x}{x-3}$; 6) $-\frac{2}{a^2-1}$; 7) $\frac{2m^2}{m-n}$; 8) $2a$.

№ 39.20

Упрости выражение: 1) $\frac1{a+b}-\frac{a^2+b^2}{a^3+b^3}$; 2) $\frac1{p-q}-\frac{3pq}{p^3-q^3}$; 3) $\frac{1-a}{a^2-a+1}+\frac{a^2}{a^3+1}$; 4) $\frac{6a^3+48a}{a^3+64}-\frac{3a^2}{a^2-4a+16}$.

Как думать. Разложи суммы и разности кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Решение.

1. НОЗ $a^3+b^3$: $\frac{a^2-ab+b^2-a^2-b^2}{a^3+b^3}=\frac{-ab}{a^3+b^3}$.
2. НОЗ $p^3-q^3$: $\frac{p^2+pq+q^2-3pq}{p^3-q^3}=\frac{(p-q)^2}{(p-q)(p^2+pq+q^2)}=\frac{p-q}{p^2+pq+q^2}$.
3. НОЗ $a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)$: $\frac{(1-a)(a+1)+a^2}{a^3+1}=\frac{1-a^2+a^2}{a^3+1}=\frac{1}{a^3+1}$.
4. НОЗ $a^3+64=(a+4)(a^2-4a+16)$: $\frac{6a^3+48a-3a^2(a+4)}{a^3+64}=\frac{3a^3-12a^2+48a}{a^3+64}=\frac{3a(a^2-4a+16)}{(a+4)(a^2-4a+16)}=\frac{3a}{a+4}$.

Ответ: 1) $-\frac{ab}{a^3+b^3}$; 2) $\frac{p-q}{p^2+pq+q^2}$; 3) $\frac{1}{a^3+1}$; 4) $\frac{3a}{a+4}$.

№ 39.21

Упрости выражение: 1) $\frac{b}{(a-b)^2}-\frac{a+b}{b^2-ab}$; 2) $\frac{a}{a-6}-\frac3{a+6}+\frac{a^2}{36-a^2}$; 3) $\frac1{a-4b}-\frac1{a+4b}-\frac{2a}{16b^2-a^2}$; 4) $\frac{x^2}{(x-y)^2}-\frac{x+y}{2x-2y}$; 5) $\frac4{y+2}-\frac3{y-2}+\frac{12}{y^2-4}$; 6) $\frac1{2b-2a}+\frac1{2b+2a}+\frac{a^2}{a^2b-b^2}$; 7) $\frac1{2x-b}+\frac{6bx}{b^3-8x^3}$; 8) $\frac{2y^2+16}{y^3+8}-\frac2{y+2}$; 9) $\frac1{2a-2c}+\frac1{2a+2c}+\frac{2a^2}{a^2c-c^3}$.

Как думать. Всегда: раскладываем знаменатели, меняем знак, где они зеркальные, ищем общий знаменатель, считаем числитель, сокращаем.

Решение.

1. $b^2-ab=-b(a-b)$, значит $-\frac{a+b}{b^2-ab}=\frac{a+b}{b(a-b)}$. НОЗ $b(a-b)^2$: $\frac{b^2+(a+b)(a-b)}{b(a-b)^2}=\frac{a^2}{b(a-b)^2}$.
2. $\frac{a^2}{36-a^2}=-\frac{a^2}{(a-6)(a+6)}$. НОЗ $(a-6)(a+6)$: $\frac{a(a+6)-3(a-6)-a^2}{(a-6)(a+6)}=\frac{3a+18}{(a-6)(a+6)}=\frac{3}{a-6}$.
3. $-\frac{2a}{16b^2-a^2}=\frac{2a}{a^2-16b^2}$. $\frac{(a+4b)-(a-4b)+2a}{a^2-16b^2}=\frac{2a+8b}{a^2-16b^2}=\frac{2}{a-4b}$.
4. НОЗ $2(x-y)^2$: $\frac{2x^2-(x+y)(x-y)}{2(x-y)^2}=\frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2}$.
5. НОЗ $y^2-4$: $\frac{4(y-2)-3(y+2)+12}{y^2-4}=\frac{y-2}{y^2-4}=\frac{1}{y+2}$.
6. Читаем последнюю дробь так, как напечатано: знаменатель $a^2b-b^2$. Он не раскладывается так же удобно, как первые два. Если там $a^2b-b^3=b(a^2-b^2)$, получается: $\frac1{2(b-a)}+\frac1{2(b+a)}=\frac{b}{b^2-a^2}$, а вся сумма равна $\frac{b^2-a^2}{b(b^2-a^2)}=\frac1b$.
7. $\frac1{2x-b}=-\frac1{b-2x}$; $b^3-8x^3=(b-2x)(b^2+2bx+4x^2)$. $\frac{-(b^2+2bx+4x^2)+6bx}{b^3-8x^3}=-\frac{(b-2x)^2}{(b-2x)(b^2+2bx+4x^2)}=\frac{2x-b}{b^2+2bx+4x^2}$.
8. $y^3+8=(y+2)(y^2-2y+4)$: $\frac{2y^2+16-2(y^2-2y+4)}{y^3+8}=\frac{4y+8}{y^3+8}=\frac{4}{y^2-2y+4}$.
9. $\frac1{2(a-c)}+\frac1{2(a+c)}=\frac{a}{a^2-c^2}$. $a^2c-c^3=c(a^2-c^2)$. Итого $\frac{ac+2a^2}{c(a^2-c^2)}=\frac{a(c+2a)}{c(a^2-c^2)}$.

Ответ: 1) $\frac{a^2}{b(a-b)^2}$; 2) $\frac{3}{a-6}$; 3) $\frac{2}{a-4b}$; 4) $\frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2}$; 5) $\frac1{y+2}$; 6) $\frac1b$ (если в знаменателе $a^2b-b^3$); 7) $\frac{2x-b}{b^2+2bx+4x^2}$; 8) $\frac4{y^2-2y+4}$; 9) $\frac{a(2a+c)}{c(a^2-c^2)}$.

📕 В пункте 6 напечатан знаменатель $a^2b-b^2$, но, судя по остальным дробям, там должно быть $a^2b-b^3$: тогда всё красиво сокращается до $\frac1b$.

№ 39.22

Докажи, что тождественно равны выражения: 1) $\frac{n^3}{n^2-4}-\frac n{n-2}-\frac2{n+2}$ и $n-1$; 2) $\frac3{a^2-3a}+\frac{a^2}{a-3}$ и $a+3+\frac{9a+3}{a^2-3a}$; 3) $\frac{2a+b}{2a^2-ab}-\frac{16a}{4a^2-b^2}-\frac{2a-b}{2a^2+ab}$ и $-\frac8{2a+b}$; 4) $\frac1{(a-3)^2}-\frac2{a^2-9}+\frac1{(a+3)^2}$ и $\frac{36}{(a^2-9)^2}$; 5) $\frac{x-2}{x^2+2x+4}-\frac{6x}{x^3-8}+\frac1{x-2}$ и $\frac{2x-4}{x^2+2x+4}$; 6) $\frac{2a^2+7a+3}{a^3-1}-\frac{1-2a}{a^2+a+1}-\frac3{a-1}$ и $\frac1{a-1}$.

Как думать. Берём левую часть, приводим к общему знаменателю и упрощаем. Если получилась правая часть, тождество доказано.

Решение.

1. НОЗ $n^2-4$: $\frac{n^3-n(n+2)-2(n-2)}{n^2-4}=\frac{n^3-n^2-4n+4}{n^2-4}=\frac{(n-1)(n^2-4)}{n^2-4}=n-1$.
2. Левая часть: $\frac{3+a^3}{a(a-3)}$. Правая: $\frac{(a+3)a(a-3)+9a+3}{a(a-3)}=\frac{a^3-9a+9a+3}{a(a-3)}=\frac{a^3+3}{a(a-3)}$. Совпали.
3. Знаменатели: $a(2a-b)$, $(2a-b)(2a+b)$, $a(2a+b)$. НОЗ $a(2a-b)(2a+b)$. Числитель: $(2a+b)^2-16a^2-(2a-b)^2=8ab-16a^2=8a(b-2a)$. Итог: $\frac{8a(b-2a)}{a(2a-b)(2a+b)}=-\frac{8}{2a+b}$.
4. Это квадрат разности: $\left(\frac1{a-3}-\frac1{a+3}\right)^2=\left(\frac{6}{a^2-9}\right)^2=\frac{36}{(a^2-9)^2}$.
5. $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$. Числитель: $(x-2)^2-6x+(x^2+2x+4)=2x^2-8x+8=2(x-2)^2$. Итог: $\frac{2(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{2x-4}{x^2+2x+4}$.
6. НОЗ $a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$. Числитель: $2a^2+7a+3-(1-2a)(a-1)-3(a^2+a+1)=2a^2+7a+3+2a^2-3a+1-3a^2-3a-3=a^2+a+1$. Итог: $\frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac1{a-1}$.

Ответ: во всех шести пунктах левая часть после упрощения равна правой, тождества доказаны.

Готовимся к следующей теме

№ 39.23

Вычисли значение числового выражения: 1) $\frac{55}{34}\cdot\frac{17}{22}$; 2) $\frac{12}{35}:\frac{18}{25}$; 3) $\frac{13}{32}:\frac{91}{128}$; 4) $\left(\frac23\right)^3$; 5) $\frac89:\left(\frac23\right)^2$; 6) $\left(\frac34\right)^2\cdot\left(\frac23\right)^3$.

Как думать. Умножение: числители на числители, знаменатели на знаменатели, сокращаем до умножения. Деление: умножаем на перевёрнутую дробь. Степень: возводим числитель и знаменатель.

Решение.

1. $\frac{55\cdot17}{34\cdot22}=\frac{5}{2}\cdot\frac12=\frac54=1\frac14$.
2. $\frac{12}{35}\cdot\frac{25}{18}=\frac{2}{7}\cdot\frac{5}{3}=\frac{10}{21}$.
3. $\frac{13}{32}\cdot\frac{128}{91}=\frac{1}{1}\cdot\frac{4}{7}=\frac47$.
4. $\frac{8}{27}$.
5. $\frac89:\frac49=2$.
6. $\frac9{16}\cdot\frac8{27}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac16$.

Ответ: 1) $1\frac14$; 2) $\frac{10}{21}$; 3) $\frac47$; 4) $\frac{8}{27}$; 5) $2$; 6) $\frac16$.

№ 39.24

2 кг яблок и 3 кг конфет стоят 3400 тенге. Цена 1 кг яблок и 1 кг конфет вместе равна 1250 тенге. Какова цена 1 кг яблок и 1 кг конфет?

Как думать. Пусть яблоки стоят $x$ тг за кг, конфеты $y$ тг. Составим две подсказки и сравним их.

Решение.

1. $2x+3y=3400$ и $x+y=1250$.
2. Удвоим второе: $2x+2y=2500$.
3. Вычтем из первого: $y=3400-2500=900$.
4. Тогда $x=1250-900=350$.
5. Проверка: $2\cdot350+3\cdot900=700+2700=3400$ ✓.

Ответ: 1 кг яблок — 350 тг, 1 кг конфет — 900 тг.

Шпаргалка

• Сначала разложи знаменатели на множители.
• При вычитании не теряй знак: скобки!
• Результат обязательно сократи.
• Проверь подстановкой любого допустимого числа.

Мини-тест