§ 40. Умножение, возведение в степень и деление алгебраических дробей

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 6: Алгебраические дроби. Страницы 240–248.

Чему научишься

• Умножать алгебраические дроби: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.
• Возводить дробь в степень, в том числе в отрицательную.
• Делить дробь на дробь, заменяя деление умножением на «перевёрнутую» дробь.
• Раскладывать числители и знаменатели на множители и сокращать результат.
• Помнить, при каких значениях букв всё это имеет смысл.

Разминка

Вспомним то, что ты уже умеешь с обычными числами.

• Чему равно $\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{9}$? Перемножаем верх и низ: $\frac{3\cdot 8}{4\cdot 9}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$. Можно было сократить сразу: 3 с 9, 8 с 4.
• Как разделить $\frac{5}{6}:\frac{10}{3}$? Вторую дробь переворачиваем и умножаем: $\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{10}=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$.
• Чему равно $\left(\frac{2}{3}\right)^3$? В степень возводим и числитель, и знаменатель: $\frac{8}{27}$.
• Как разложить на множители $x^2-9$ и $a^2+2ab+b^2$? Это формулы сокращённого умножения: $x^2-9=(x-3)(x+3)$ и $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$.
• Что можно делать с одинаковым множителем сверху и снизу? Сокращать: $\frac{5a}{5b}=\frac{a}{b}$, если $b \ne 0$.

Разбираемся

Умножаем дроби: верх на верх, низ на низ

С числами ты это делал сто раз: $\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$. С буквами правило то же самое.

📌 Умножение дробей. $\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$. Равенство верно при $b\ne 0$ и $d\ne 0$, то есть везде, где обе дроби вообще имеют смысл.

Почему это правда? Обозначим $\frac{a}{b}=m$ и $\frac{c}{d}=n$. Тогда $a=bm$ и $c=dn$. Перемножим: $ac=bm\cdot dn=(bd)(mn)$. Делим обе части на $bd$ и получаем $mn=\frac{ac}{bd}$. А $mn$ это и есть произведение наших дробей.

Три дроби? Сначала перемножь две, потом результат умножь на третью: $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\cdot\frac{m}{n}=\frac{ac}{bd}\cdot\frac{m}{n}=\frac{acm}{bdn}$. Так же поступаем с четырьмя, пятью и любым числом дробей: каждый раз присоединяем по одной.

Сначала раскладываем, потом сокращаем

Если в дробях есть многочлены, не торопись их перемножать. Разложи всё на множители: вынеси общий множитель или примени формулу. Тогда сокращение увидится само.

Возьмём $\dfrac{x^2-9}{x^2y^3}\cdot\dfrac{x^3y^2}{3y-xy}$.

1. $x^2-9=(x-3)(x+3)$ и $3y-xy=y(3-x)$.
2. Записываем одну дробь: $\dfrac{(x-3)(x+3)\cdot x^3y^2}{x^2y^3\cdot y(3-x)}$.
3. Множитель $x-3$ и $3-x$ отличаются только знаком: $x-3=-(3-x)$. Сокращаем и ставим минус.
4. $x^3:x^2=x$, а $y^2:(y^3\cdot y)=\frac{1}{y^2}$.

Получаем $-\dfrac{x(x+3)}{y^2}$.

⚠️ Частая ошибка. Путают $x-3$ и $3-x$. Это не одно и то же: $3-x=-(x-3)$. Потерянный минус портит весь ответ.

Ещё один пример, с тремя дробями: $\dfrac{3q+q^2}{4-q^2}\cdot\dfrac{q+2}{q+3}\cdot\dfrac{q-2}{q}$. Раскладываем: $3q+q^2=q(q+3)$ и $4-q^2=(2-q)(2+q)$. После сокращения остаётся $\dfrac{q-2}{2-q}=-1$. Ответ: $-1$. Выражение с буквой превратилось в число!

А если дробь надо умножить на многочлен, представь многочлен как дробь со знаменателем 1:

$\dfrac{2m+3n}{4m^2-9n^2}\cdot(4m^2-12mn+9n^2)=\dfrac{(2m+3n)(2m-3n)^2}{(2m-3n)(2m+3n)}=2m-3n.$

Возводим дробь в степень

Чтобы возвести дробь в степень, возводим в неё и числитель, и знаменатель.

📌 Степень дроби. $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$, где $n$ целое, а $b\ne 0$.

Пример: $\left(\dfrac{2a^2}{3b^3}\right)^3=\dfrac{2^3\cdot(a^2)^3}{3^3\cdot(b^3)^3}=\dfrac{8a^6}{27b^9}$. Не забудь возвести в степень число и умножить показатели у букв.

Откуда это правило? Для натурального $n$ ты просто перемножаешь $n$ одинаковых дробей: верх даёт $a^n$, низ даёт $b^n$. Для $n=0$ обе стороны равны 1. Для отрицательного показателя $n=-k$ считаем так: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-k}=\frac{1}{(a/b)^k}=\frac{b^k}{a^k}$, и это снова $\frac{a^{-k}}{b^{-k}}$.

💡 Хитрость для отрицательного показателя: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-k}=\left(\frac{b}{a}\right)^k$. Дробь переворачивается, минус из показателя уходит.

Делим дроби: переворачиваем и умножаем

С числами: $\frac{7}{9}:\frac{4}{5}=\frac{7}{9}\cdot\frac{5}{4}=\frac{35}{36}$. С буквами тоже.

📌 Деление дробей. $\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{bc}$. Нужно, чтобы $b\ne 0$, $c\ne 0$ и $d\ne 0$.

Заметь: здесь добавилось условие $c\ne 0$. Если $c=0$, то делитель $\frac{c}{d}$ равен нулю, а на ноль делить нельзя.

Проверим правило. Умножим результат на делитель: $\frac{ad}{bc}\cdot\frac{c}{d}=\frac{adc}{bcd}=\frac{a}{b}$. Получили делимое, значит частное найдено верно.

Теперь большой пример: $\left(\dfrac{y-1}{y^2+2y}\right)^2:\left(\dfrac{y^2-2y+1}{3y+6}\right)^2$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Если ребёнок застрял, попросите его назвать порядок: сначала степень, потом деление через умножение, потом разложение на множители, в конце сокращение. И пусть каждый раз проверяет, что знаменатели не обращаются в ноль.

Проверь себя

• В чём сходство и различие правил умножения и деления обыкновенных и алгебраических дробей? Сходство полное: умножение делаем «верх на верх, низ на низ», а деление заменяем умножением на перевёрнутую дробь. Различие в том, что вместо чисел стоят выражения с буквами, их часто надо раскладывать на множители, а ответ годится не всегда, а только когда знаменатели не равны нулю.
• При каких значениях переменных выполняются умножение и деление алгебраических дробей? Умножение: когда знаменатели обеих дробей не равны нулю. Деление: когда к тому же не равна нулю и сама дробь-делитель, то есть её числитель отличен от нуля.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 40.1

Представь дробь в виде произведения или частного двух дробно-рациональных выражений: 1) $\frac{3xy-2y}{5x^2}$; 2) $\frac{4x^3y-2y^2}{3xy^2}$; 3) $\frac{3xy^3+12y}{5x^2a}$; 4) $\frac{7xy-25y^3}{5a^2-x}$.

Как думать. Выносим общий множитель в числителе и «разрезаем» дробь на две части. Ответов можно придумать много, годится любой верный.

Решение.

1. $3xy-2y=y(3x-2)$, а $5x^2=5x\cdot x$. Получаем $\dfrac{y}{5x}\cdot\dfrac{3x-2}{x}$. Можно и как частное: $\dfrac{y}{5x}:\dfrac{x}{3x-2}$.
2. $4x^3y-2y^2=2y(2x^3-y)$, а $3xy^2=3x\cdot y\cdot y$. Получаем $\dfrac{2}{3x}\cdot\dfrac{2x^3-y}{y}$.
3. $3xy^3+12y=3y(xy^2+4)$, а $5x^2a=5ax\cdot x$. Получаем $\dfrac{3y}{5ax}\cdot\dfrac{xy^2+4}{x}$.
4. $7xy-25y^3=y(7x-25y^2)$. Получаем $y\cdot\dfrac{7x-25y^2}{5a^2-x}$.

Ответ: 1) $\dfrac{y}{5x}:\dfrac{x}{3x-2}$; 2) $\dfrac{2}{3x}\cdot\dfrac{2x^3-y}{y}$; 3) $\dfrac{3y}{5ax}\cdot\dfrac{xy^2+4}{x}$; 4) $y\cdot\dfrac{7x-25y^2}{5a^2-x}$.

№ 40.2

Выполни умножение: 1) $\frac{9}{2a}\cdot\frac{5a}{3}$; 2) $\frac{5a}{8y}\cdot\frac{7}{10}$; 3) $\frac{b^2}{10}\cdot\frac{5}{b}$; 4) $\frac{12x^5}{25}\cdot\frac{15}{8x^2}$; 5) $\frac{5}{3a}\cdot\frac{2b}{3}$; 6) $\frac{3x}{4}\cdot\frac{1}{x}$; 7) $\frac{3b^2}{10}\cdot\frac{15}{b^3}$; 8) $\frac{16x^5}{35}\cdot\frac{5}{8x^3}$; 9) $\frac{5a}{8y}\cdot\frac{7}{10}$; 10) $\frac{9}{2a}\cdot\frac{5a}{3}$; 11) $\frac{18}{c^4}\cdot\frac{c^3}{24}$; 12) $\frac{3}{4a^3}\cdot\frac{16a^2}{9}$; 13) $\frac{15x^3}{4}\cdot\frac{12}{5x}$; 14) $\frac{15}{3ab}\cdot\frac{12b^3}{3}$; 15) $\frac{18}{c^4}\cdot\frac{c^3}{24}$.

Как думать. Перемножаем верх и низ, потом сокращаем числа и одинаковые буквы (у степеней показатели вычитаем).

Решение.

1. $\dfrac{45a}{6a}=\dfrac{15}{2}=7{,}5$.
2. $\dfrac{35a}{80y}=\dfrac{7a}{16y}$.
3. $\dfrac{5b^2}{10b}=\dfrac{b}{2}$.
4. $\dfrac{180x^5}{200x^2}=\dfrac{9x^3}{10}$.
5. $\dfrac{10b}{9a}$. Сокращать нечего.
6. $\dfrac{3x}{4x}=\dfrac{3}{4}$.
7. $\dfrac{45b^2}{10b^3}=\dfrac{9}{2b}$.
8. $\dfrac{80x^5}{280x^3}=\dfrac{2x^2}{7}$.
9. Это то же самое, что в пункте 2: $\dfrac{7a}{16y}$.
10. Это то же самое, что в пункте 1: $\dfrac{15}{2}$.
11. $\dfrac{18c^3}{24c^4}=\dfrac{3}{4c}$.
12. $\dfrac{48a^2}{36a^3}=\dfrac{4}{3a}$.
13. $\dfrac{180x^3}{20x}=9x^2$.
14. $\dfrac{15}{3ab}=\dfrac{5}{ab}$, затем $\dfrac{5}{ab}\cdot 4b^3=\dfrac{20b^3}{ab}=\dfrac{20b^2}{a}$.
15. Это то же самое, что в пункте 11: $\dfrac{3}{4c}$.

Ответ: 1) $\frac{15}{2}$; 2) $\frac{7a}{16y}$; 3) $\frac{b}{2}$; 4) $\frac{9x^3}{10}$; 5) $\frac{10b}{9a}$; 6) $\frac{3}{4}$; 7) $\frac{9}{2b}$; 8) $\frac{2x^2}{7}$; 9) $\frac{7a}{16y}$; 10) $\frac{15}{2}$; 11) $\frac{3}{4c}$; 12) $\frac{4}{3a}$; 13) $9x^2$; 14) $\frac{20b^2}{a}$; 15) $\frac{3}{4c}$.

№ 40.3

Выполни деление: 1) $35x^5y:\frac{7x^3}{34}$; 2) $\frac{12p^2}{7d^4}:\frac{6p^3}{35d^2}$; 3) $\frac{3ab}{4xy}:\left(-\frac{12a^2b}{10x^2y}\right)$; 4) $-\frac{a^2}{12b}:\frac{ab}{36}$; 5) $-\frac{9y^2}{20x^3}:\frac{y^5}{16x}$; 6) $\frac{18a^2b^2}{5cd}:\left(-\frac{9ab^3}{5c^2d^4}\right)$; 7) $-\frac{8c}{21d^2}:\frac{6c^2}{7d}$; 8) $-\frac{11x}{4y^2}:(-22x^2)$; 9) $\frac{18c^4}{7d}:(-9c^2d)$; 10) $\frac{14}{9x^3}:\frac{7x}{2y^2}$; 11) $\frac{3x}{10a^3}:\frac{1}{5a^2}$; 12) $27a^3:\frac{18a^4}{7b^2}$.

Как думать. Делитель переворачиваем и дальше умножаем. Целое выражение (например $35x^5y$) считаем дробью со знаменателем 1. Знак минус считаем отдельно: минус на минус даёт плюс.

Решение.

1. $35x^5y\cdot\dfrac{34}{7x^3}=5\cdot 34,x^2y=170x^2y$.
2. $\dfrac{12p^2}{7d^4}\cdot\dfrac{35d^2}{6p^3}=\dfrac{420p^2d^2}{42p^3d^4}=\dfrac{10}{pd^2}$.
3. $\dfrac{3ab}{4xy}\cdot\left(-\dfrac{10x^2y}{12a^2b}\right)=-\dfrac{30abx^2y}{48a^2bxy}=-\dfrac{5x}{8a}$.
4. $-\dfrac{a^2}{12b}\cdot\dfrac{36}{ab}=-\dfrac{36a^2}{12ab^2}=-\dfrac{3a}{b^2}$.
5. $-\dfrac{9y^2}{20x^3}\cdot\dfrac{16x}{y^5}=-\dfrac{144xy^2}{20x^3y^5}=-\dfrac{36}{5x^2y^3}$.
6. $\dfrac{18a^2b^2}{5cd}\cdot\left(-\dfrac{5c^2d^4}{9ab^3}\right)=-\dfrac{90a^2b^2c^2d^4}{45ab^3cd}=-\dfrac{2acd^3}{b}$.
7. $-\dfrac{8c}{21d^2}\cdot\dfrac{7d}{6c^2}=-\dfrac{56cd}{126c^2d^2}=-\dfrac{4}{9cd}$.
8. $-\dfrac{11x}{4y^2}\cdot\left(-\dfrac{1}{22x^2}\right)=\dfrac{11x}{88x^2y^2}=\dfrac{1}{8xy^2}$.
9. $\dfrac{18c^4}{7d}\cdot\left(-\dfrac{1}{9c^2d}\right)=-\dfrac{18c^4}{63c^2d^2}=-\dfrac{2c^2}{7d^2}$.
10. $\dfrac{14}{9x^3}\cdot\dfrac{2y^2}{7x}=\dfrac{28y^2}{63x^4}=\dfrac{4y^2}{9x^4}$.
11. $\dfrac{3x}{10a^3}\cdot 5a^2=\dfrac{15a^2x}{10a^3}=\dfrac{3x}{2a}$.
12. $27a^3\cdot\dfrac{7b^2}{18a^4}=\dfrac{189a^3b^2}{18a^4}=\dfrac{21b^2}{2a}$.

Ответ: 1) $170x^2y$; 2) $\frac{10}{pd^2}$; 3) $-\frac{5x}{8a}$; 4) $-\frac{3a}{b^2}$; 5) $-\frac{36}{5x^2y^3}$; 6) $-\frac{2acd^3}{b}$; 7) $-\frac{4}{9cd}$; 8) $\frac{1}{8xy^2}$; 9) $-\frac{2c^2}{7d^2}$; 10) $\frac{4y^2}{9x^4}$; 11) $\frac{3x}{2a}$; 12) $\frac{21b^2}{2a}$.

№ 40.4

Выполни действия: 1) $\frac{2a^2b}{3xy}\cdot\frac{3x^2y}{4ab^2}\cdot\frac{6ax}{15b^2}$; 2) $\frac{x^2-xy}{4y}\cdot\frac{y^2}{x}\cdot\frac{2x^3}{x-y}$; 3) $\frac{6m^3n^2}{35p^3}\cdot\frac{49n^4}{m^5p^3}\cdot\frac{5m^4p^2}{42n^6}$; 4) $\frac{m-n}{mn}\cdot\frac{2mn}{mn-m^2}$; 5) $\frac{ma-mb}{3n^2}\cdot\frac{2m}{nb-na}$; 6) $\frac{3a}{b^2}\cdot\frac{ab+b^2}{9}\cdot\frac{6}{a}$; 7) $\frac{4ab}{cx+dx}\cdot\frac{ax+bx}{2ab}$; 8) $\frac{ax-ay}{5x^2y^2}\cdot\left(-\frac{5xy}{by-bx}\right)$; 9) $\frac{cx-cy}{35x^2y^2}\cdot\left(-\frac{15xy}{ny-nx}\right)$.

Как думать. Три дроби перемножаем сразу: всё в один числитель и один знаменатель. Многочлены раскладываем: $x^2-xy=x(x-y)$, $mn-m^2=m(n-m)$ и так далее.

Решение.

1. Числа: $\frac{2\cdot 3\cdot 6}{3\cdot 4\cdot 15}=\frac{36}{180}=\frac{1}{5}$. Буквы: $\frac{a^3bx^3y}{axy,b^4}=\frac{a^2x^2}{b^3}$. Итого $\dfrac{a^2x^2}{5b^3}$.
2. $x^2-xy=x(x-y)$. Числитель: $x(x-y)\cdot y^2\cdot 2x^3$, знаменатель: $4y\cdot x\cdot(x-y)$. Сокращаем $(x-y)$, $x$, $y$ и число 2 с 4: $\dfrac{x^3y}{2}$.
3. Числа: $\frac{6\cdot 49\cdot 5}{35\cdot 42}=\frac{1470}{1470}=1$. Буквы: $\frac{m^7n^6p^2}{m^5p^6n^6}=\frac{m^2}{p^4}$. Итого $\dfrac{m^2}{p^4}$.
4. $mn-m^2=m(n-m)$ и $n-m$ противоположно $m-n$: $\dfrac{(m-n)\cdot 2mn}{mn\cdot m(n-m)}=-\dfrac{2}{m}$.
5. $ma-mb=m(a-b)$, $nb-na=n(b-a)=-n(a-b)$. Получаем $-\dfrac{2m^2}{3n^3}$.
6. $ab+b^2=b(a+b)$: $\dfrac{3a\cdot b(a+b)\cdot 6}{b^2\cdot 9\cdot a}=\dfrac{18ab(a+b)}{9ab^2}=\dfrac{2(a+b)}{b}$.
7. $cx+dx=x(c+d)$, $ax+bx=x(a+b)$: $\dfrac{4ab\cdot x(a+b)}{x(c+d)\cdot 2ab}=\dfrac{2(a+b)}{c+d}$.
8. $ax-ay=a(x-y)$, $by-bx=-b(x-y)$. Два минуса дают плюс: $\dfrac{a(x-y)\cdot 5xy}{5x^2y^2\cdot b(x-y)}=\dfrac{a}{bxy}$.
9. $cx-cy=c(x-y)$, $ny-nx=-n(x-y)$: $\dfrac{c\cdot 15xy}{35x^2y^2\cdot n}=\dfrac{3c}{7nxy}$.

Ответ: 1) $\frac{a^2x^2}{5b^3}$; 2) $\frac{x^3y}{2}$; 3) $\frac{m^2}{p^4}$; 4) $-\frac{2}{m}$; 5) $-\frac{2m^2}{3n^3}$; 6) $\frac{2(a+b)}{b}$; 7) $\frac{2(a+b)}{c+d}$; 8) $\frac{a}{bxy}$; 9) $\frac{3c}{7nxy}$.

№ 40.5

Выполни действия: 1) $(x+3y):(x^2-9y^2)$; 2) $\frac{ab^2}{a^2-1}:\frac{5b}{a-a^2}$; 3) $(a^2+6ab+9b^2):(a^2-9b^2)$; 4) $\frac{x^2-4y^2}{xy}:\frac{x^2-2xy}{3y}$; 5) $\frac{a^2-3a}{a^2-25}:\frac{a^2-9}{a^2+5a}$; 6) $\frac{3m^2-3n^2}{m^2+mp}:\frac{6m-6n}{p+m}$.

Как думать. Переворачиваем делитель, раскладываем всё по формулам и сокращаем.

Решение.

1. $\dfrac{x+3y}{(x-3y)(x+3y)}=\dfrac{1}{x-3y}$.
2. $\dfrac{ab^2}{(a-1)(a+1)}\cdot\dfrac{a(1-a)}{5b}$. Так как $1-a=-(a-1)$, получаем $-\dfrac{a^2b}{5(a+1)}$.
3. $\dfrac{(a+3b)^2}{(a-3b)(a+3b)}=\dfrac{a+3b}{a-3b}$.
4. $\dfrac{(x-2y)(x+2y)}{xy}\cdot\dfrac{3y}{x(x-2y)}=\dfrac{3(x+2y)}{x^2}$.
5. См. шаги выше: $\dfrac{a^2}{(a-5)(a+3)}$.
6. $\dfrac{3(m-n)(m+n)}{m(m+p)}\cdot\dfrac{p+m}{6(m-n)}=\dfrac{m+n}{2m}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{x-3y}$; 2) $-\frac{a^2b}{5(a+1)}$; 3) $\frac{a+3b}{a-3b}$; 4) $\frac{3(x+2y)}{x^2}$; 5) $\frac{a^2}{(a-5)(a+3)}$; 6) $\frac{m+n}{2m}$.

№ 40.6

Найди значение выражения: 1) $\frac{3mn-m}{4m+n}\cdot\frac{16m^2-n^2}{3n-1}$, если $m=\frac{1}{4}$, $n=-5$; 2) $\frac{(x-2)^2}{4y^2-9}\cdot\frac{2y+3}{x^2-4}$, если $x=0{,}5$; $y=-1{,}5$.

Как думать. Сначала упрости, потом подставляй числа. Так считать проще и ошибок меньше.

Решение.

1. $3mn-m=m(3n-1)$ и $16m^2-n^2=(4m-n)(4m+n)$. После сокращения остаётся $m(4m-n)$. При $m=\frac{1}{4}$, $n=-5$: $\frac{1}{4}\cdot(1+5)=\frac{6}{4}=1{,}5$.
2. $4y^2-9=(2y-3)(2y+3)$ и $x^2-4=(x-2)(x+2)$. После сокращения: $\dfrac{x-2}{(2y-3)(x+2)}$. При $x=0{,}5$, $y=-1{,}5$: $\dfrac{-1{,}5}{(-6)\cdot 2{,}5}=\dfrac{-1{,}5}{-15}=0{,}1$.

Ответ: 1) $1{,}5$; 2) $0{,}1$.

№ 40.7

Упрости выражение: 1) $\frac{12x^4}{m^3n^3}:\frac{x^3}{4mn^2}$; 2) $\frac{a^2b^3}{22mn^2}:\left(-\frac{4ab^3}{33mn}\right)$; 3) $\frac{16mx^2}{3y^3}:(4m^3x)$; 4) $\frac{35x^2y}{12ab}:\frac{7xy}{8ab^2}$; 5) $-\frac{6xy^2}{5ab}:\left(\frac{9x^2y^2}{10ab}\right)$; 6) $45a^2bx\cdot\frac{b^2}{30x^2a^3}$.

Решение.

1. $\dfrac{12x^4}{m^3n^3}\cdot\dfrac{4mn^2}{x^3}=\dfrac{48x^4mn^2}{m^3n^3x^3}=\dfrac{48x}{m^2n}$.
2. $\dfrac{a^2b^3}{22mn^2}\cdot\left(-\dfrac{33mn}{4ab^3}\right)=-\dfrac{33a^2b^3mn}{88ab^3mn^2}=-\dfrac{3a}{8n}$.
3. $\dfrac{16mx^2}{3y^3}\cdot\dfrac{1}{4m^3x}=\dfrac{16mx^2}{12m^3xy^3}=\dfrac{4x}{3m^2y^3}$.
4. $\dfrac{35x^2y}{12ab}\cdot\dfrac{8ab^2}{7xy}=\dfrac{280x^2yab^2}{84abxy}=\dfrac{10bx}{3}=3\frac{1}{3}bx$.
5. $-\dfrac{6xy^2}{5ab}\cdot\dfrac{10ab}{9x^2y^2}=-\dfrac{60xy^2ab}{45abx^2y^2}=-\dfrac{4}{3x}$.
6. $\dfrac{45a^2bx\cdot b^2}{30x^2a^3}=\dfrac{45b^3}{30xa}=\dfrac{3b^3}{2ax}$.

Ответ: 1) $\frac{48x}{m^2n}$; 2) $-\frac{3a}{8n}$; 3) $\frac{4x}{3m^2y^3}$; 4) $3\frac{1}{3}bx$; 5) $-\frac{4}{3x}$; 6) $\frac{3b^3}{2ax}$.

№ 40.8

Выполни действия: 1) $\frac{(y-5)^2}{2y+12}\cdot\frac{y^2-36}{2y-10}$; 2) $\frac{(a+3)^2}{2x-4}\cdot\frac{x^2-4}{2x+9}$; 3) $\frac{a^2+2bc}{b+3}\cdot\frac{5b+15}{b^2-4c^2}$; 4) $\frac{a^2-1}{a-b}\cdot\frac{7a-7b}{a^2+a}$.

Решение.

1. $2y+12=2(y+6)$, $y^2-36=(y-6)(y+6)$, $2y-10=2(y-5)$. После сокращения: $\dfrac{(y-5)(y-6)}{4}$.
2. $2x-4=2(x-2)$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Сокращаем $(x-2)$: $\dfrac{(a+3)^2(x+2)}{2(2x+9)}$.
3. $5b+15=5(b+3)$, $b^2-4c^2=(b-2c)(b+2c)$. Сокращаем $(b+3)$: $\dfrac{5(a^2+2bc)}{(b-2c)(b+2c)}$.
4. $7a-7b=7(a-b)$, $a^2+a=a(a+1)$, $a^2-1=(a-1)(a+1)$. Остаётся $\dfrac{7(a-1)}{a}$.

Ответ: 1) $\frac{(y-5)(y-6)}{4}$; 2) $\frac{(a+3)^2(x+2)}{2(2x+9)}$; 3) $\frac{5(a^2+2bc)}{(b-2c)(b+2c)}$; 4) $\frac{7(a-1)}{a}$.

№ 40.9

Возведи в степень выражение: 1) $\left(\frac{a^3}{c^2}\right)^4$; 2) $\left(\frac{2a^3}{3b^4}\right)^5$; 3) $\left(\frac{3x^2y^4}{4m^3}\right)^2$; 4) $\left(-\frac{10m^2}{3n^2p^3}\right)^3$; 5) $\left(-\frac{5a^3}{3b^2c^4}\right)^4$; 6) $\left(-\frac{b^3c^2}{8a^3}\right)^2$.

Как думать. В степень идёт всё: число, каждая буква. Показатели у букв перемножаем. Чётная степень убирает минус, нечётная оставляет.

Решение.

1. $\dfrac{a^{12}}{c^8}$.
2. $\dfrac{2^5a^{15}}{3^5b^{20}}=\dfrac{32a^{15}}{243b^{20}}$.
3. $\dfrac{3^2x^4y^8}{4^2m^6}=\dfrac{9x^4y^8}{16m^6}$.
4. Степень нечётная, минус остаётся: $-\dfrac{1000m^6}{27n^6p^9}$.
5. Степень чётная, минус пропадает: $\dfrac{625a^{12}}{81b^8c^{16}}$.
6. $\dfrac{b^6c^4}{64a^6}$.

Ответ: 1) $\frac{a^{12}}{c^8}$; 2) $\frac{32a^{15}}{243b^{20}}$; 3) $\frac{9x^4y^8}{16m^6}$; 4) $-\frac{1000m^6}{27n^6p^9}$; 5) $\frac{625a^{12}}{81b^8c^{16}}$; 6) $\frac{b^6c^4}{64a^6}$.

Уровень B

№ 40.10

Докажи, что значение выражения не зависит от допустимых значений переменной: 1) $\frac{a^2-1}{a-b}\cdot\frac{7a-7b}{a^2+a}:\frac{a-1}{a}$; 2) $\frac{(x+3)^2}{2x-4}\cdot\frac{x^2-4}{3x+9}\cdot\frac{2}{(x+3)(x+2)}$; 3) $\frac{(y-5)^2}{2y+12}\cdot\frac{y^2-36}{2y-10}\cdot\frac{2}{(y-5)(x+6)}$; 4) $\frac{n^2+2nc}{n+3}\cdot\frac{5n+15}{n^2-4c^2}\cdot\frac{n-2c}{n}$.

Как думать. «Не зависит от переменной» значит, что после упрощения букв не останется, а останется число. Так и докажем: упростим и получим число.

Решение.

1. Из № 40.8(4) первые две дроби дают $\dfrac{7(a-1)}{a}$. Делим на $\dfrac{a-1}{a}$: $\dfrac{7(a-1)}{a}\cdot\dfrac{a}{a-1}=7$.
2. $\dfrac{(x+3)^2}{2(x-2)}\cdot\dfrac{(x-2)(x+2)}{3(x+3)}\cdot\dfrac{2}{(x+3)(x+2)}=\dfrac{2(x+3)^2(x-2)(x+2)}{6(x-2)(x+3)^2(x+2)}=\dfrac{1}{3}$.
3. Первые две дроби (из № 40.8(1)) дают $\dfrac{(y-5)(y-6)}{4}$. Если умножить это на $\dfrac{2}{(y-5)(x+6)}$, то получим $\dfrac{y-6}{2(x+6)}$. Здесь остаются буквы $x$ и $y$, значит число не получается.
4. $\dfrac{n(n+2c)}{n+3}\cdot\dfrac{5(n+3)}{(n-2c)(n+2c)}\cdot\dfrac{n-2c}{n}=5$.

Ответ: 1) 7; 2) $\frac{1}{3}$; 4) 5; пункт 3 смотри в примечании.

⚠️ Осторожно, пункт 3. В том виде, как он напечатан (с множителем $(x+6)$ в знаменателе), значение зависит от $x$ и $y$. Похоже на опечатку: если последний множитель $\dfrac{2}{(y-5)(y-6)}$, то получается число $\dfrac{1}{2}$, по образцу пунктов 1, 2 и 4.

№ 40.11

Выполни действия: 1) $\frac{mx^2-my^2}{2m+8}\cdot\frac{3m+12}{my+mx}:(x-y)$; 2) $\frac{a^2-1}{a^3+1}\cdot\frac{a^2-a+1}{a^2+2a+1}\cdot(a+1)$; 3) $\frac{ax+ay}{x^2-2xy+y^2}\cdot\frac{x^2-xy}{7x+7y}:ax$; 4) $\frac{b^3-8}{b^2-9}\cdot\frac{b+3}{b^2+2b+4}$; 5) $\frac{x^3-y^3}{x+y}\cdot\frac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2}:(x-y)$; 6) $\frac{c^2+6c+9}{c^3+27}\cdot\frac{c^2-3c+9}{3c+9}:(c-3)$.

Как думать. Тут в ход идут формулы: $a^3\pm b^3$ и разность квадратов. Помни: $a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)$, $b^3-8=(b-2)(b^2+2b+4)$.

Решение.

1. $mx^2-my^2=m(x-y)(x+y)$, $2m+8=2(m+4)$, $3m+12=3(m+4)$, $my+mx=m(x+y)$. Произведение: $\dfrac{m(x-y)(x+y)\cdot 3(m+4)}{2(m+4)\cdot m(x+y)}=\dfrac{3(x-y)}{2}$. Делим на $(x-y)$: $\dfrac{3}{2}$.
2. $a^2-1=(a-1)(a+1)$, $a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)$, $a^2+2a+1=(a+1)^2$. Сокращаем всё лишнее: $\dfrac{(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)(a+1)^2}=\dfrac{a-1}{a+1}$.
3. $ax+ay=a(x+y)$, $x^2-xy=x(x-y)$, $7x+7y=7(x+y)$, $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$. Произведение: $\dfrac{a(x+y)\cdot x(x-y)}{(x-y)^2\cdot 7(x+y)}=\dfrac{ax}{7(x-y)}$. Делим на $ax$: $\dfrac{1}{7(x-y)}$.
4. $\dfrac{(b-2)(b^2+2b+4)(b+3)}{(b-3)(b+3)(b^2+2b+4)}=\dfrac{b-2}{b-3}$.
5. $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. Произведение даёт $(x-y)^2$. Делим на $(x-y)$: $x-y$.
6. $c^2+6c+9=(c+3)^2$, $c^3+27=(c+3)(c^2-3c+9)$, $3c+9=3(c+3)$. Произведение: $\dfrac{(c+3)^2(c^2-3c+9)}{(c+3)(c^2-3c+9)\cdot 3(c+3)}=\dfrac{1}{3}$. Делим на $(c-3)$: $\dfrac{1}{3(c-3)}$.

Ответ: 1) $1{,}5$; 2) $\frac{a-1}{a+1}$; 3) $\frac{1}{7(x-y)}$; 4) $\frac{b-2}{b-3}$; 5) $x-y$; 6) $\frac{1}{3(c-3)}$.

№ 40.12

Упрости выражение: 1) $\frac{n^2-10n+25}{3a+12}\cdot\frac{a^2-16}{2n-10}$; 2) $\frac{y^2-25}{y^2+12y+36}\cdot\frac{3y+18}{2y+10}$; 3) $\frac{4-a^2}{4a+8b}\cdot\frac{a^2+4ab+4b^2}{6-3a}$; 4) $\frac{a^3+8}{18a^2+27a}\cdot\frac{2a+3}{a^2-2a+4}$.

Решение.

1. $n^2-10n+25=(n-5)^2$, $3a+12=3(a+4)$, $a^2-16=(a-4)(a+4)$, $2n-10=2(n-5)$: $\dfrac{(n-5)^2(a-4)(a+4)}{3(a+4)\cdot 2(n-5)}=\dfrac{(n-5)(a-4)}{6}$.
2. $y^2+12y+36=(y+6)^2$, $3y+18=3(y+6)$, $2y+10=2(y+5)$: $\dfrac{(y-5)(y+5)\cdot 3(y+6)}{(y+6)^2\cdot 2(y+5)}=\dfrac{3(y-5)}{2(y+6)}$.
3. $4-a^2=(2-a)(2+a)$, $4a+8b=4(a+2b)$, $a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2$, $6-3a=3(2-a)$: $\dfrac{(2-a)(2+a)(a+2b)^2}{4(a+2b)\cdot 3(2-a)}=\dfrac{(a+2)(a+2b)}{12}$.
4. $a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4)$, $18a^2+27a=9a(2a+3)$: $\dfrac{(a+2)(a^2-2a+4)(2a+3)}{9a(2a+3)(a^2-2a+4)}=\dfrac{a+2}{9a}$.

Ответ: 1) $\frac{(n-5)(a-4)}{6}$; 2) $\frac{3(y-5)}{2(y+6)}$; 3) $\frac{(a+2)(a+2b)}{12}$; 4) $\frac{a+2}{9a}$.

№ 40.13

Найди значение выражения: 1) $\frac{8x^2-8x}{x+3}:(2x-2)\cdot x$, если $x=2{,}5$; $-3{,}4$; 2) $(3a-6b):\frac{2a^2-8b^2}{a-2b}$, если $a=2{,}6$; $b=-1{,}2$.

Как думать. Как всегда: упрощаем, потом подставляем. Действия идут слева направо.

Решение.

1. $8x^2-8x=8x(x-1)$ и $2x-2=2(x-1)$. Деление: $\dfrac{8x(x-1)}{x+3}\cdot\dfrac{1}{2(x-1)}=\dfrac{4x}{x+3}$. Затем умножение на $x$: $\dfrac{4x^2}{x+3}$. При $x=2{,}5$: $\dfrac{4\cdot 6{,}25}{5{,}5}=\dfrac{25}{5{,}5}=\dfrac{50}{11}=4\frac{6}{11}$. При $x=-3{,}4$: $\dfrac{4\cdot 11{,}56}{-0{,}4}=-115{,}6$.
2. $2a^2-8b^2=2(a-2b)(a+2b)$. Деление: $3(a-2b)\cdot\dfrac{a-2b}{2(a-2b)(a+2b)}=\dfrac{3(a-2b)}{2(a+2b)}$. При $a=2{,}6$, $b=-1{,}2$: $a-2b=5$, $a+2b=0{,}2$, значит $\dfrac{3\cdot 5}{2\cdot 0{,}2}=\dfrac{15}{0{,}4}=37{,}5$.

Ответ: 1) $\frac{50}{11}$ при $x=2{,}5$ и $-115{,}6$ при $x=-3{,}4$; 2) $37{,}5$.

Уровень C

Это самые трудные задания. Если получилось хотя бы начать, уже молодец.

№ 40.14

Докажи, что при любых допустимых значениях переменных целым числом является значение выражения: 1) $\frac{a^2+4a+4}{16-b^4}:\frac{4-a^2}{4+b^2}\cdot\frac{(2-a)(4-b^2)}{a+2}$; 2) $\frac{4m^2-25n^2}{m^3+8}:\frac{2m+5n}{m^2-2m+4}\cdot\frac{m+2}{2m-5n}$.

Решение.

1. $a^2+4a+4=(a+2)^2$, $16-b^4=(4-b^2)(4+b^2)$, $4-a^2=(2-a)(2+a)$. Деление: $\dfrac{(a+2)^2}{(4-b^2)(4+b^2)}\cdot\dfrac{4+b^2}{(2-a)(2+a)}=\dfrac{a+2}{(4-b^2)(2-a)}$. Умножаем на $\dfrac{(2-a)(4-b^2)}{a+2}$ и всё сокращается: получается $1$.
2. $4m^2-25n^2=(2m-5n)(2m+5n)$, $m^3+8=(m+2)(m^2-2m+4)$. Деление: $\dfrac{(2m-5n)(2m+5n)}{(m+2)(m^2-2m+4)}\cdot\dfrac{m^2-2m+4}{2m+5n}=\dfrac{2m-5n}{m+2}$. Умножаем на $\dfrac{m+2}{2m-5n}$: получается $1$.

Единица это целое число, значит, утверждение доказано.

Ответ: 1) $1$; 2) $1$.

№ 40.15

Упрости выражение: 1) $\frac{a-3}{2a+4}\cdot\frac{a^2-4}{a^3-27}\cdot\frac{a^2+3a+9}{a^2-2a}$; 2) $\frac{ab-2b}{a^2+8a+16}\cdot\frac{a^2-16}{2a-a^2}:\frac{a-4}{4b}$.

Решение.

1. $2a+4=2(a+2)$, $a^2-4=(a-2)(a+2)$, $a^3-27=(a-3)(a^2+3a+9)$, $a^2-2a=a(a-2)$. После сокращения остаётся $\dfrac{1}{2a}$.
2. $ab-2b=b(a-2)$, $a^2+8a+16=(a+4)^2$, $a^2-16=(a-4)(a+4)$, $2a-a^2=a(2-a)=-a(a-2)$. Деление на $\frac{a-4}{4b}$ это умножение на $\frac{4b}{a-4}$. Получаем: $\dfrac{b(a-2)(a-4)(a+4)\cdot 4b}{(a+4)^2\cdot(-a)(a-2)(a-4)}=-\dfrac{4b^2}{a(a+4)}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{2a}$; 2) $-\frac{4b^2}{a(a+4)}$.

№ 40.16

Докажи тождество: 1) $\frac{a^2+ax+x^2}{x-1}:\frac{a^3-x^3}{x^2-1}=\frac{x+1}{a-x}$; 2) $\frac{ap^2-9a}{p^3-8}:\frac{p+3}{2p-4}=\frac{2a(p-3)}{p^2+2p+4}$.

Как думать. Преобразуем левую часть и надеемся получить правую.

Решение.

1. $a^3-x^3=(a-x)(a^2+ax+x^2)$, $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Тогда левая часть: $\dfrac{a^2+ax+x^2}{x-1}\cdot\dfrac{(x-1)(x+1)}{(a-x)(a^2+ax+x^2)}=\dfrac{x+1}{a-x}$. Это правая часть.
2. $ap^2-9a=a(p-3)(p+3)$, $p^3-8=(p-2)(p^2+2p+4)$, $2p-4=2(p-2)$. Левая часть: $\dfrac{a(p-3)(p+3)}{(p-2)(p^2+2p+4)}\cdot\dfrac{2(p-2)}{p+3}=\dfrac{2a(p-3)}{p^2+2p+4}$. Это правая часть.

Ответ: 1) верно; 2) верно.

№ 40.17

Докажи, что значение выражения не зависит от значения переменной: 1) $\frac{c^2-1}{c^3+1}:\frac{c-1}{c^2-c+1}$ при $c\ne 1$ и $c\ne -1$; 2) $\frac{a^2-4}{a^3+8}\cdot\frac{a^2-2a+4}{3a-6}$ при $a\ne 2$ и $a\ne -2$.

Решение.

1. $\dfrac{(c-1)(c+1)}{(c+1)(c^2-c+1)}\cdot\dfrac{c^2-c+1}{c-1}=1$.
2. $\dfrac{(a-2)(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)}\cdot\dfrac{a^2-2a+4}{3(a-2)}=\dfrac{1}{3}$.

В обоих случаях получилось число: значит, от переменной значение не зависит.

Ответ: 1) $1$; 2) $\frac{1}{3}$.

Готовимся к следующей теме

№ 40.18

Упрости выражение: 1) $(a-0{,}4)^2-(a+0{,}4)^2+2{,}68$; 2) $(a+0{,}1)^3+(a-0{,}1)^3-2a^3$.

Как думать. Раскрываем скобки по формулам квадрата и куба суммы и разности.

Решение.

1. $(a-0{,}4)^2=a^2-0{,}8a+0{,}16$ и $(a+0{,}4)^2=a^2+0{,}8a+0{,}16$. Разность: $-1{,}6a$. Добавляем $2{,}68$: $-1{,}6a+2{,}68$.
2. $(a+0{,}1)^3=a^3+0{,}3a^2+0{,}03a+0{,}001$ и $(a-0{,}1)^3=a^3-0{,}3a^2+0{,}03a-0{,}001$. Сумма: $2a^3+0{,}06a$. Вычитаем $2a^3$: $0{,}06a$.

Ответ: 1) $-1{,}6a+2{,}68$; 2) $0{,}06a$.

№ 40.19

Сравни значения числовых выражений: 1) $\left(\frac{2}{5}\right)^2\cdot\frac{5}{4}$ и $\frac{5}{4}\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^2$; 2) $1\frac{2}{5}+3\frac{4}{15}$ и $2\frac{3}{7}+1\frac{11}{14}$.

Решение.

1. $\frac{4}{25}\cdot\frac{5}{4}=\frac{1}{5}$ и $\frac{5}{4}\cdot\frac{9}{25}=\frac{9}{20}$. Так как $\frac{1}{5}=\frac{4}{20}<\frac{9}{20}$, первое число меньше.
2. $1\frac{2}{5}+3\frac{4}{15}=4\frac{6+4}{15}=4\frac{2}{3}$. $2\frac{3}{7}+1\frac{11}{14}=3\frac{6+11}{14}=3\frac{17}{14}=4\frac{3}{14}$. Сравниваем $4\frac{2}{3}$ и $4\frac{3}{14}$: $\frac{2}{3}=\frac{28}{42}$, $\frac{3}{14}=\frac{9}{42}$. Первое число больше.

Ответ: 1) $\frac{1}{5}<\frac{9}{20}$; 2) $4\frac{2}{3}>4\frac{3}{14}$.

Шпаргалка

• Алгоритм: заменить деление умножением, разложить числители и знаменатели, записать одну дробь, сократить.
• Многочлен можно записать как дробь со знаменателем 1 и умножать по тому же правилу.
• Если в результате остались буквы там, где ждали число, ищи потерянный знак или несокращённый множитель.
• Сначала упрощай, потом подставляй числа.

Мини-тест