§ 5. Возведение произведения и частного в степень

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 1: Степень с целым показателем. Страницы 41–46.

Чему научишься

• Возводить произведение в степень: $(ab)^n=a^nb^n$.
• Возводить дробь в степень: $\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.
• Собирать множители с одинаковым показателем обратно в одну степень.
• Упрощать и считать выражения, где скобки, дроби и степени идут вперемешку.
• Замечать, когда равенство только выглядит верным.

Разминка

• Что значит $x^4$? Четыре одинаковых множителя: $x\cdot x\cdot x\cdot x$.
• Как умножить две дроби? Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель: $\frac23\cdot\frac23=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 3}$.
• Можно ли менять множители местами? Да, от перестановки произведение не меняется. Это очень пригодится.
• Чему равно $(a^3)^2$? $a^6$, показатели перемножаем (§ 4).

Разбираемся

Раздаём степень каждому множителю

Возьмём $(3\cdot 8)^4$. По смыслу степени это четыре множителя $(3\cdot 8)$:

$(3\cdot 8)^4=(3\cdot 8)(3\cdot 8)(3\cdot 8)(3\cdot 8).$

Множители можно переставлять. Соберём четыре тройки вместе, а четыре восьмёрки отдельно: $3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot8\cdot8\cdot8\cdot8=3^4\cdot 8^4$.

📌 Правило 1. Чтобы возвести произведение в степень, возводим в эту степень каждый множитель и результаты перемножаем: $(ab)^m=a^mb^m$.

Удобный пример: $(2\cdot 10)^4=2^4\cdot 10^4=16\cdot 10,000=160,000$. Считать так проще, чем $20^4$.

А если вместо произведения дробь

Возьмём $\left(\frac23\right)^4$. Это четыре одинаковые дроби, перемножаем:

$\left(\frac23\right)^4=\frac23\cdot\frac23\cdot\frac23\cdot\frac23=\frac{2\cdot2\cdot2\cdot2}{3\cdot3\cdot3\cdot3}=\frac{2^4}{3^4}.$

📌 Правило 2. Чтобы возвести дробь в степень, возводим в неё числитель и знаменатель отдельно: $\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ (при $b\ne0$).

Как это использовать

Пример 1. $(a^3c^5)^6=(a^3)^6\cdot(c^5)^6=a^{18}c^{30}$. Сначала раздали шестёрку, потом перемножили показатели (§ 4).

Пример 2. $\left(\frac{a^3}{c^4}\right)^5=\frac{(a^3)^5}{(c^4)^5}=\frac{a^{15}}{c^{20}}$.

⚠️ Частая ошибка. Забывают возвести в степень число или знаменатель. Например, $(2a)^3$ — это $8a^3$, а не $2a^3$. И $\left(\frac a3\right)^2=\frac{a^2}{9}$, а не $\frac{a^2}{3}$.

⚠️ Частая ошибка 2. Правило работает для произведения и частного, но не для суммы. Проверь: $(2+3)^2=25$, а $2^2+3^2=13$. Это разные числа!

Правило работает и в обратную сторону

Если у двух множителей одинаковый показатель, их можно собрать в одну степень: $2^5\cdot b^5=(2b)^5$, $\frac{7^{13}}{y^{13}}=\left(\frac7y\right)^{13}$. Это пригодится, когда нужно упростить выражение или посчитать ловкий пример.

🌟 Хитрость с отрицательным: $(-ab)^2=a^2b^2$, потому что знак минус ($-1$) тоже множитель и тоже возводится в степень: $(-1)^2=1$. А вот $(-ab)^3=-a^3b^3$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка проверять любое «новое» правило на простых числах. Например, $(2\cdot 3)^2=36$ и $2^2\cdot3^2=4\cdot 9=36$. Привычка подставить числа спасает от большинства ошибок в этой теме.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какими могут быть основания и показатели, чтобы применить правило возведения в степень произведения? Множители $a$ и $b$ — любые числа, показатель $m$ — натуральное число. Для дроби: числитель целое число, знаменатель $b\ne 0$ и показатель натуральный.
• Может ли при возведении произведения или частного в натуральную степень получиться отрицательное число или нуль? Да. Отрицательное — если результат содержит нечётную степень отрицательного числа: $(-2\cdot 3)^3=-216$. Нуль — если один из множителей (или числитель) равен нулю: $(0\cdot 5)^4=0$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 5.1

Представь в виде произведения степеней: 1) $(ax)^7$; 2) $(yz)^{10}$; 3) $(nm)^{15}$; 4) $(cd)^{20}$.

Как думать. Степень достаётся каждой из двух букв.

Решение. Просто записываем каждую букву в этой степени.

Ответ: 1) $a^7x^7$; 2) $y^{10}z^{10}$; 3) $n^{15}m^{15}$; 4) $c^{20}d^{20}$.

№ 5.2

Представь в виде произведения степеней: 1) $(2a)^{20}$; 2) $(1{,}5b)^5$; 3) $\left(\frac2{17}c\right)^7$; 4) $(-4d)^{12}$.

Как думать. Число перед буквой тоже множитель, и степень достаётся ему тоже.

Решение.

1. $2^{20}a^{20}$.
2. $1{,}5^5b^5$.
3. $\left(\frac2{17}\right)^7c^7$.
4. $(-4)^{12}d^{12}$. Показатель чётный, поэтому можно записать и $4^{12}d^{12}$.

Ответ: 1) $2^{20}a^{20}$; 2) $1{,}5^5b^5$; 3) $\left(\frac2{17}\right)^7c^7$; 4) $(-4)^{12}d^{12}=4^{12}d^{12}$.

№ 5.3

Представь в виде частного степеней: 1) $\left(\frac ay\right)^3$; 2) $\left(\frac nm\right)^{10}$; 3) $\left(\frac kc\right)^{19}$; 4) $\left(\frac dx\right)^{31}$.

Как думать. Степень идёт и в числитель, и в знаменатель.

Решение. Пишем числитель в степени сверху и знаменатель в той же степени снизу.

Ответ: 1) $\frac{a^3}{y^3}$; 2) $\frac{n^{10}}{m^{10}}$; 3) $\frac{k^{19}}{c^{19}}$; 4) $\frac{d^{31}}{x^{31}}$.

№ 5.4

Представь в виде частного степеней: 1) $\left(\frac2b\right)^5$; 2) $\left(\frac d7\right)^4$; 3) $\left(\frac5a\right)^{11}$; 4) $\left(-\frac6n\right)^8$.

Решение.

1. $\frac{2^5}{b^5}=\frac{32}{b^5}$.
2. $\frac{d^4}{7^4}=\frac{d^4}{2401}$.
3. $\frac{5^{11}}{a^{11}}$.
4. Минус в чётной степени пропадает: $\frac{6^8}{n^8}$.

Ответ: 1) $\frac{2^5}{b^5}$; 2) $\frac{d^4}{7^4}$; 3) $\frac{5^{11}}{a^{11}}$; 4) $\frac{6^8}{n^8}$.

№ 5.5

Запиши в виде степени: 1) $2^8a^8$; 2) $5^5b^5$; 3) $\left(\frac13\right)^7c^7$; 4) $\left(\frac2{15}\right)^{10}d^{10}$; 5) $4^6a^6b^6$; 6) $8^9c^9d^9$; 7) $\left(\frac4{11}\right)^{11}n^{11}m^{11}$; 8) $x^{13}y^{13}z^{13}$; 9) $\frac{4^{10}}{x^{10}}$; 10) $\frac{7^{13}}{y^{13}}$; 11) $\frac{z^{21}}{6^{21}}$; 12) $\frac{t^{39}}{9^{39}}$.

Как думать. Это правило наоборот: смотрим на одинаковые показатели и «заворачиваем» множители в одну скобку.

Решение.

1. $(2a)^8$. 2) $(5b)^5$. 3) $\left(\frac c3\right)^7$. 4) $\left(\frac{2d}{15}\right)^{10}$.
2. $(4ab)^6$. 6) $(8cd)^9$. 7) $\left(\frac{4nm}{11}\right)^{11}$. 8) $(xyz)^{13}$.
3. $\left(\frac4x\right)^{10}$. 10) $\left(\frac7y\right)^{13}$. 11) $\left(\frac z6\right)^{21}$. 12) $\left(\frac t9\right)^{39}$.

Ответ: см. выше по пунктам: 1) $(2a)^8$; 2) $(5b)^5$; 3) $\left(\frac c3\right)^7$; 4) $\left(\frac{2d}{15}\right)^{10}$; 5) $(4ab)^6$; 6) $(8cd)^9$; 7) $\left(\frac{4nm}{11}\right)^{11}$; 8) $(xyz)^{13}$; 9) $\left(\frac4x\right)^{10}$; 10) $\left(\frac7y\right)^{13}$; 11) $\left(\frac z6\right)^{21}$; 12) $\left(\frac t9\right)^{39}$.

№ 5.6

Упрости: 1) $\frac{(ab)^3}{b^2}$; 2) $\left(\frac xy\right)^5\cdot y^7$; 3) $\frac{(dt)^9}{d^7}$; 4) $\frac{(xy)^6}{x^5}$; 5) $\frac{(ac)^{10}}{c^8}$; 6) $m^{12}\cdot\left(\frac nm\right)^{10}$; 7) $\frac{(x^5y^6)^4}{x^{20}y^{22}}$; 8) $\left(\frac{a^4}{b^3}\right)^5\cdot b^{17}$; 9) $\frac{(x^8y^4)^3}{x^{23}y^{12}}$.

Как думать. Сначала раздаём степень по правилу, потом сокращаем одинаковые буквы вычитанием показателей.

Решение.

1. $\frac{a^3b^3}{b^2}=a^3b$.
2. $\frac{x^5}{y^5}\cdot y^7=x^5y^2$.
3. $\frac{d^9t^9}{d^7}=d^2t^9$.
4. $\frac{x^6y^6}{x^5}=xy^6$.
5. $\frac{a^{10}c^{10}}{c^8}=a^{10}c^2$.
6. $m^{12}\cdot\frac{n^{10}}{m^{10}}=m^2n^{10}$.
7. $\frac{x^{20}y^{24}}{x^{20}y^{22}}=y^2$.
8. $\frac{a^{20}}{b^{15}}\cdot b^{17}=a^{20}b^2$.
9. $\frac{x^{24}y^{12}}{x^{23}y^{12}}=x$.

Ответ: 1) $a^3b$; 2) $x^5y^2$; 3) $d^2t^9$; 4) $xy^6$; 5) $a^{10}c^2$; 6) $m^2n^{10}$; 7) $y^2$; 8) $a^{20}b^2$; 9) $x$. Пункты 6 и 9 совпадают с ответами учебника.

№ 5.7

Найди значение: 1) $(a^4b^5)^2:(a^2b^2)^3$ при $a=-0{,}5$, $b=2$; 2) $(x^7y^4)^3:(x^{10}y^5)^2$ при $x=-3$, $y=\frac23$; 3) $(-2a^6b^3)^3:(5a^8b^4)^2$ при $a=\frac78$, $b=-\frac3{25}$; 4) $(3a^9b^3)^2:(-4a^4b)^4$ при $a=-\frac59$, $b=-16$.

Как думать. Всегда сначала упрощаем. Тогда числа получатся маленькими.

Решение.

1. Числитель $a^8b^{10}$, знаменатель $a^6b^6$. Остаётся $a^2b^4$. При $a=-0{,}5$, $b=2$: $0{,}25\cdot 16=4$.
2. Числитель $x^{21}y^{12}$, знаменатель $x^{20}y^{10}$. Остаётся $xy^2$. При $x=-3$, $y=\frac23$: $-3\cdot\frac49=-\frac43=-1\frac13$.
3. $(-2a^6b^3)^3=-8a^{18}b^9$, $(5a^8b^4)^2=25a^{16}b^8$. Дробь $-\frac{8}{25}a^2b$. При $a=\frac78$, $b=-\frac3{25}$: $a^2=\frac{49}{64}$, тогда $-\frac8{25}\cdot\frac{49}{64}\cdot\left(-\frac3{25}\right)=\frac{8\cdot49\cdot3}{25\cdot64\cdot25}=\frac{147}{5000}=0{,}0294$.
4. Как в виджете выше: $2\frac79$.

Ответ: 1) 4; 2) $-1\frac13$; 3) $\frac{147}{5000}=0{,}0294$; 4) $2\frac79$. Пункт 4 совпадает с ответом учебника, для остальных ответов в учебнике нет.

Уровень B

№ 5.8

Докажи тождество: 1) $\left(\frac23\right)^5\cdot(2^5)^3\cdot3^7:(2^{10}\cdot3)^2=1$; 2) $(7^2)^8\cdot(6^3)^4:(7^4\cdot6^3)^4=1$; 3) $\left(\frac45\right)^6\cdot(4^3)^3\cdot5^8:(4^7\cdot5)^2=4$; 4) $(9^4\cdot8^3)^5:(9^{10})^2:(8^2)^7=8$.

Как думать. Всё раскладываем на простые степени и считаем показатели у каждого основания отдельно.

Решение.

1. $\frac{2^5}{3^5}\cdot2^{15}\cdot3^7:(2^{20}\cdot3^2)$. Двойки: $5+15-20=0$. Тройки: $-5+7-2=0$. Получилось $1$.
2. $7^{16}\cdot6^{12}:(7^{16}\cdot6^{12})=1$.
3. $\frac{4^6}{5^6}\cdot4^9\cdot5^8:(4^{14}\cdot5^2)$. Четвёрки: $6+9-14=1$. Пятёрки: $-6+8-2=0$. Получилось $4$.
4. $(9^4\cdot8^3)^5=9^{20}\cdot8^{15}$. Делим на $9^{20}$ и на $8^{14}$: остаётся $8^{15-14}=8$.

Ответ: все четыре тождества доказаны.

№ 5.9

Упрости: 1) $(2x^5y^7)^3:(x^{14}y^{20})-(3xy^5)^3:(x^2y^{14})$; 2) $(-3a^4b^5)^2\cdot(-2a^2b^3)^3:(-72(a^6b^9)^2)+a^2b$; 3) $(5x^6y^2)^3\cdot(-x^8y^7)^2:(-0{,}2x^{15}y^{10})^2-10x^4$; 4) $(-2a^{10}b^{20})^2:(-a^2b^3)^3:(-2a^5b^{24})^2$.

Как думать. Работаем по порядку: возводим в степень, потом умножаем и делим. Следи за знаками: нечётная степень сохраняет минус, чётная убирает.

Решение.

1. $8x^{15}y^{21}:(x^{14}y^{20})=8xy$. $27x^3y^{15}:(x^2y^{14})=27xy$. Разность $8xy-27xy=-19xy$.
2. $(-3a^4b^5)^2=9a^8b^{10}$; $(-2a^2b^3)^3=-8a^6b^9$; произведение $-72a^{14}b^{19}$. Делитель $-72a^{12}b^{18}$. Частное $a^{2}b$ (показатели: $14-12=2$ и $19-18=1$). Тогда $a^2b+a^2b=2a^2b$.
3. $(5x^6y^2)^3=125x^{18}y^6$; $(-x^8y^7)^2=x^{16}y^{14}$; произведение $125x^{34}y^{20}$. Делитель $0{,}04x^{30}y^{20}$. Частное $3125x^4$. Тогда $3125x^4-10x^4=3115x^4$.
4. $4a^{20}b^{40}:(-a^6b^9)=-4a^{14}b^{31}$. Потом делим на $4a^{10}b^{48}$: $-a^{4}b^{-17}=-\frac{a^4}{b^{17}}$.

Ответ: 1) $-19xy$; 2) $2a^2b$; 3) $3115x^4$; 4) $-\frac{a^4}{b^{17}}$. Пункты 1 и 2 совпадают с ответами учебника.

№ 5.10

Вычисли: 1) $\frac{7^{12}\cdot(7^4)^2}{(7^5)^4}$; 2) $\frac{3^2\cdot(3^3)^2}{81^2}$; 3) $\frac{5^5\cdot(5^3)^4}{5^{13}}$; 4) $\frac{(2^8)^3\cdot2^6}{2^{22}}$; 5) $\frac{(3^5)^2}{3^6\cdot9}$; 6) $\frac{4^9\cdot6^4}{(4^4)^3}$.

Как думать. Приводим всё к одному основанию. Для $81$ это $3^4$, для $9$ это $3^2$.

Решение.

1. $\frac{7^{12}\cdot7^8}{7^{20}}=1$.
2. $81^2=(3^4)^2=3^8$; $\frac{3^2\cdot3^6}{3^8}=1$.
3. $\frac{5^5\cdot5^{12}}{5^{13}}=5^4=625$.
4. $\frac{2^{24}\cdot2^6}{2^{22}}=2^8=256$.
5. $9=3^2$; $\frac{3^{10}}{3^6\cdot3^2}=3^2=9$.
6. $\frac{4^9\cdot6^4}{4^{12}}=\frac{6^4}{4^3}=\frac{1296}{64}=20\frac14$.

Ответ: 1) 1; 2) 1; 3) 625; 4) 256; 5) 9; 6) $20\frac14$ (то есть $20{,}25$).

№ 5.11

Найди значение: 1) $(a^3b^5)^5:(a^7b^{12})^2\cdot(ab)^3$ при $a=-2$, $b=-\frac12$; 2) $\left(\frac{a^4}{b^5}\right)^2\cdot\left(\frac{b^6}{a^3}\right)^2:(ab)$ при $a=-\frac13$, $b=-3$.

Решение.

1. $a^{15}b^{25}:(a^{14}b^{24})=ab$; потом $ab\cdot(ab)^3=(ab)^4$. Здесь $ab=-2\cdot\left(-\frac12\right)=1$, значит, значение 1.
2. $\frac{a^8}{b^{10}}\cdot\frac{b^{12}}{a^6}=a^2b^2$. Делим на $ab$: получаем $ab$. $ab=-\frac13\cdot(-3)=1$.

Ответ: 1) 1; 2) 1.

Уровень C

Вот это уже серьёзно, но правило то же. Любая попытка засчитывается.

№ 5.12

Упрости: 1) $(4^k3^n)^2:(4^{k-1}3^{n-1})^2$; 2) $(7^m9^n)^3:(7^{m-2}9^n)^3$; 3) $(11^k5^t)^4:(11^k5^{t-1})^4$; 4) $(13^m6^k)^3:(13^m6^{k-1})^3$.

Как думать. Показатель буквенный, но делим степени с одним основанием: показатели вычитаем. Заметь: оба выражения в скобках отличаются только одним множителем.

Решение.

1. $4^{2k-(2k-2)}\cdot3^{2n-(2n-2)}=4^2\cdot 3^2=16\cdot 9=144$.
2. $7^{3m-(3m-6)}\cdot9^{3n-3n}=7^6\cdot 1=7^6$.
3. $11^{4k-4k}\cdot5^{4t-(4t-4)}=5^4=625$.
4. $13^0\cdot6^{3k-(3k-3)}=6^3=216$.

Ответ: 1) 144; 2) $7^6$; 3) 625; 4) 216. Пункты 1 и 2 совпадают с учебником.

№ 5.13

Вычисли: 1) $(100^{10}\cdot9^3)^7\cdot(100^{20}\cdot9^6)^2:(100^{109}\cdot9^{33})$; 2) $(0{,}15^{16}\cdot3^7)^5\cdot(3^3\cdot0{,}15^{10})^3:(3^{20}\cdot0{,}15^{55})^2$; 3) $\left(\left(\frac34\right)^3\cdot\left(\frac45\right)^6\right)^{10}:\left(\left(\frac45\right)^{12}\cdot\left(\frac34\right)^6\right)^5$; 4) $\left(\left(\frac56\right)^7\cdot\left(\frac67\right)^3\right)^8:\left(\left(\frac67\right)^{11}\cdot\left(\frac56\right)^{27}\right)^2$.

Как думать. Считаем показатели у каждого основания отдельно.

Решение.

1. $100^{70}\cdot9^{21}\cdot100^{40}\cdot9^{12}:(100^{109}\cdot9^{33})$. У 100: $70+40-109=1$. У 9: $21+12-33=0$. Значение $100$.
2. $0{,}15^{80}\cdot3^{35}\cdot3^9\cdot0{,}15^{30}:(3^{40}\cdot0{,}15^{110})$. У $0{,}15$: $80+30-110=0$. У 3: $35+9-40=4$. Значение $3^4=81$.
3. $\left(\frac34\right)^{30}\left(\frac45\right)^{60}:\left(\left(\frac45\right)^{60}\left(\frac34\right)^{30}\right)=1$.
4. $\left(\frac56\right)^{56}\left(\frac67\right)^{24}:\left(\left(\frac67\right)^{22}\left(\frac56\right)^{54}\right)=\left(\frac56\right)^2\left(\frac67\right)^2=\left(\frac57\right)^2=\frac{25}{49}$.

Ответ: 1) 100; 2) 81; 3) 1; 4) $\frac{25}{49}$. Совпадает с ответами учебника.

№ 5.14

Докажи, что значение выражения равно нулю: 1) $((a^2)^3)^5\cdot(a^{15}b)^2:a^{60}-b^2$; 2) $(x^5y)^3\cdot((y^4)^3)^4:y^{51}-x^{15}$.

Как думать. Тройная скобка: показатели перемножаются подряд ($2\cdot3\cdot5$).

Решение.

1. $((a^2)^3)^5=a^{30}$; $(a^{15}b)^2=a^{30}b^2$. Тогда $a^{30}\cdot a^{30}b^2:a^{60}=b^2$. Вычитаем $b^2$: получается $0$.
2. $(x^5y)^3=x^{15}y^3$; $((y^4)^3)^4=y^{48}$. Тогда $x^{15}y^3\cdot y^{48}:y^{51}=x^{15}$. Вычитаем $x^{15}$: получается $0$.

Ответ: в обоих случаях значение равно нулю.

№ 5.15

Докажи тождество: 1) $\left(\frac23\right)^8\cdot\left(\frac35\right)^9\cdot\left(\frac52\right)^{10}=3{,}75$; 2) $(4\cdot7)^{10}\cdot\left(\frac34\right)^{10}:(7^5\cdot3^4)^2=9$.

Как думать. Раскладываем дроби на степени числителя и знаменателя и считаем показатели у двойки, тройки и пятёрки.

Решение.

1. Двойки: в числителе $2^8$ и в знаменателе $2^{10}$, остаётся $\frac1{2^2}=\frac14$. Тройки: $3^9$ делим на $3^8$, остаётся $3$. Пятёрки: $5^{10}$ делим на $5^9$, остаётся $5$. Итого $\frac14\cdot3\cdot5=\frac{15}4=3{,}75$.
2. $(4\cdot7)^{10}\cdot\left(\frac34\right)^{10}=4^{10}7^{10}\cdot\frac{3^{10}}{4^{10}}=7^{10}\cdot3^{10}$. Делим на $7^{10}\cdot3^8$: остаётся $3^2=9$.

Ответ: оба тождества доказаны.

№ 5.16

Представь число: 1) 64; 2) 729 в виде степени: а) с отрицательным основанием; б) с нечётным показателем.

Как думать. Отрицательное основание в чётной степени даёт положительное число. Нечётный показатель — это 1, 3, 5, … Сначала раскладываем число на простые множители: $64=2^6$, $729=3^6$.

Решение.

1. $64=2^6$. а) $64=(-2)^6=(-8)^2$. б) $64=4^3=64^1$.
2. $729=3^6$. а) $729=(-3)^6=(-27)^2$. б) $729=9^3=729^1$.

Ответ: 1) а) $(-2)^6$ или $(-8)^2$; б) $4^3$ (или $64^1$). 2) а) $(-3)^6$ или $(-27)^2$; б) $9^3$ (или $729^1$). Возможны и другие верные записи.

Готовимся к следующей теме

№ 5.17

Найди значения степеней числа 3: $3$; $3^2$; $3^3$; $3^4$; $3^5$; $3^6$; … 1) Что можно сказать о каждой следующей степени по сравнению с предыдущей? 2) А о каждой предыдущей по сравнению со следующей?

Как думать. Выписываем числа и смотрим, во сколько раз растёт каждое следующее.

Решение. $3$, $9$, $27$, $81$, $243$, $729$. Каждое следующее число в 3 раза больше предыдущего. Значит, предыдущее в 3 раза меньше следующего.

Ответ: значения: 3, 9, 27, 81, 243, 729. 1) следующая степень в 3 раза больше; 2) предыдущая в 3 раза меньше.

№ 5.18

Запиши последовательности дробей в виде последовательности степеней: 1) $\frac13;\ \frac19;\ \frac1{27};\ \frac1{81};\ \ldots$; 2) $\frac27;\ \frac4{49};\ \frac8{343};\ \frac{16}{2401};\ \ldots$

Как думать. В первой цепочке знаменатели — степени тройки. Во второй и числители, и знаменатели — степени (двойки и семёрки), то есть работает правило для дроби в степени.

Решение.

1. $\frac13=\left(\frac13\right)^1$; $\frac19=\frac1{3^2}=\left(\frac13\right)^2$; $\frac1{27}=\left(\frac13\right)^3$; $\frac1{81}=\left(\frac13\right)^4$.
2. $\frac27=\left(\frac27\right)^1$; $\frac4{49}=\frac{2^2}{7^2}=\left(\frac27\right)^2$; $\frac8{343}=\left(\frac27\right)^3$; $\frac{16}{2401}=\left(\frac27\right)^4$.

Ответ: 1) $\left(\frac13\right)^n$, $n=1,2,3,\ldots$; 2) $\left(\frac27\right)^n$, $n=1,2,3,\ldots$.

Шпаргалка

• Правило 1: $(ab)^n=a^nb^n$.
• Правило 2: $\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.
• Числа перед буквами тоже возводим в степень: $(3x)^2=9x^2$.
• Это работает для произведения и дроби, но не для суммы.

Мини-тест