§ 6. Степень с целым показателем

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 1: Степень с целым показателем. Страницы 46–50.

Чему научишься

• Понимать, что такое нулевой и отрицательный показатель степени.
• Заменять степень $a^{-n}$ дробью $\frac1{a^n}$ и обратно.
• Вычислять значения выражений с отрицательными показателями.
• Записывать дробь в виде степени с целым показателем.
• Знать, почему у нуля нет отрицательных степеней.

Разминка

• Чему равно $10^2$, $10^3$, $10^4$? $100$, $1000$, $10,000$. С каждым шагом показатель растёт на 1, а число становится в 10 раз больше.
• Как найти $5^3$? $5\cdot5\cdot5=125$.
• Во сколько раз уменьшится число, если показатель степени у десятки уменьшить на 1? В 10 раз: например, от $10^4=10,000$ к $10^3=1000$.
• Что получится, если 1000 разделить на 10 три раза подряд? $1000\to100\to10\to1$. Запомни этот ответ: единица, а не ноль.

Разбираемся

Идём по степеням десятки вниз

Посмотри на столбик: каждая строка в 10 раз меньше предыдущей, а показатель уменьшается на 1.

Закономерность не обрывается на единице: продолжаем делить на 10. Получаем: нулевой показатель даёт $1$, а отрицательный — дроби.

📌 Определение. Для $a\ne0$ и натурального $n$: $a^{-n}=\dfrac1{a^n}$. Минус в показателе значит «взять обратное число».

Заодно запомним: любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. $a^0=1$ при $a\ne0$.

Как с этим работать

Примеры:

• $12^{-2}=\frac1{12^2}=\frac1{144}$.
• $(-7)^{-3}=\frac1{(-7)^3}=\frac1{-343}=-\frac1{343}$.
• $\left(-\frac13\right)^{-4}=\frac1{\left(-\frac13\right)^4}=\frac1{\frac1{81}}=81$.

Последний пример показывает ловкий приём: дробь в отрицательной степени можно просто перевернуть. $\left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n$. Например, $\left(\frac23\right)^{-2}=\left(\frac32\right)^2=\frac94$.

⚠️ Частая ошибка. Думают, что $2^{-3}$ — это $-8$ или $-6$. Нет! Минус в показателе не делает число отрицательным: $2^{-3}=\frac18$, это положительная дробь. Знак числа зависит только от основания: $(-2)^{-3}=-\frac18$.

⚠️ Частая ошибка 2. $-4^{-3}$ и $(-4)^{-3}$ — разные числа. В первом случае минус стоит перед степенью: $-4^{-3}=-\frac1{64}$. Во втором основание $-4$: $(-4)^{-3}=-\frac1{64}$. Совпало случайно из-за нечётного показателя. А вот $-4^{-2}=-\frac1{16}$, но $(-4)^{-2}=+\frac1{16}$.

Почему нельзя нулём

Можно ли вычислить $0^{-1}$? По определению это $\frac1{0}$, а делить на нуль нельзя. Поэтому у нуля нет отрицательных степеней. Нулевая степень $0^0$ в этом курсе тоже не рассматривается.

А $2^{-1}$ и $3^{-2}$ посчитать можно: $\frac12$ и $\frac19$.

🌟 Отрицательные показатели ввёл французский математик Никола Шюке в рукописи «Наука о числах» в 1484 году. Он писал их ещё не так, как мы, но идея та же.

👨‍👩‍👧 Родителю. Тема нужна для стандартного вида числа (в § 9): так записывают очень большие и очень маленькие величины, например размер вируса или массу пылинки. Помогите ребёнку усвоить главное: минус в показателе — это «единица делить на степень», а не отрицательное число.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как изменится значение степени числа 3, если показатель уменьшить на 1? увеличить на 2? уменьшить на 2? Уменьшили на 1 — значение станет в 3 раза меньше. Увеличили на 2 — в $3^2=9$ раз больше. Уменьшили на 2 — в 9 раз меньше.
• Каким может быть основание степени с отрицательным показателем? Любым числом, кроме нуля.
• Почему нуль может быть основанием степени с натуральным показателем, а с целым не может? $0^5=0\cdot0\cdot0\cdot0\cdot0=0$, и это нормально. А $0^{-5}=\frac1{0^5}=\frac10$, делить на нуль нельзя.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 6.1

Замени дробью степень с отрицательным показателем: 1) $7^{-3}$; 2) $13^{-2}$; 3) $11^{-1}$; 4) $12^{-3}$; 5) $16^{-3}$; 6) $25^{-4}$.

Как думать. $a^{-n}=\frac1{a^n}$. Просто переносим степень в знаменатель.

Решение.

1. $\frac1{7^3}=\frac1{343}$. 2) $\frac1{13^2}=\frac1{169}$. 3) $\frac1{11}$. 4) $\frac1{12^3}=\frac1{1728}$. 5) $\frac1{16^3}=\frac1{4096}$. 6) $\frac1{25^4}=\frac1{390,625}$.

Ответ: 1) $\frac1{343}$; 2) $\frac1{169}$; 3) $\frac1{11}$; 4) $\frac1{1728}$; 5) $\frac1{4096}$; 6) $\frac1{390,625}$.

№ 6.2

Замени степенью с отрицательным показателем дробь: 1) $\frac1{81}$; 2) $\frac1{64}$; 3) $\frac1{121}$; 4) $\frac1{625}$; 5) $\frac1{841}$; 6) $\frac1{256}$.

Как думать. Ищем, чьей степенью является знаменатель. Часто есть несколько вариантов.

Решение.

1. $81=3^4$, значит, $\frac1{81}=3^{-4}$. Или $9^{-2}$.
2. $64=2^6$, значит, $2^{-6}$. Подойдёт и $8^{-2}$, и $4^{-3}$.
3. $121=11^2$, значит, $11^{-2}$.
4. $625=5^4$, значит, $5^{-4}$. Или $25^{-2}$.
5. $841=29^2$, значит, $29^{-2}$.
6. $256=2^8$, значит, $2^{-8}$. Или $4^{-4}$, или $16^{-2}$.

Ответ: 1) $3^{-4}$; 2) $2^{-6}$; 3) $11^{-2}$; 4) $5^{-4}$; 5) $29^{-2}$; 6) $2^{-8}$ (возможны другие верные записи).

№ 6.3

Представь числа $5$; $25$; $125$; $625$; $\frac15$; $\frac1{25}$; $\frac1{125}$; $\frac1{625}$: 1) в виде степени с основанием $5$; 2) в виде степени с основанием $\frac15$.

Как думать. С основанием 5 всё просто. С основанием $\frac15$ — «наоборот»: большие числа получают отрицательный показатель, маленькие дроби — положительный.

Решение.

1. $5=5^1$; $25=5^2$; $125=5^3$; $625=5^4$; $\frac15=5^{-1}$; $\frac1{25}=5^{-2}$; $\frac1{125}=5^{-3}$; $\frac1{625}=5^{-4}$.
2. Здесь $\left(\frac15\right)^{-1}=5$, значит: $5=\left(\frac15\right)^{-1}$; $25=\left(\frac15\right)^{-2}$; $125=\left(\frac15\right)^{-3}$; $625=\left(\frac15\right)^{-4}$; $\frac15=\left(\frac15\right)^1$; $\frac1{25}=\left(\frac15\right)^2$; $\frac1{125}=\left(\frac15\right)^3$; $\frac1{625}=\left(\frac15\right)^4$.

Ответ: 1) $5^1,5^2,5^3,5^4,5^{-1},5^{-2},5^{-3},5^{-4}$; 2) $\left(\frac15\right)^{-1},\left(\frac15\right)^{-2},\left(\frac15\right)^{-3},\left(\frac15\right)^{-4},\left(\frac15\right)^{1},\left(\frac15\right)^{2},\left(\frac15\right)^{3},\left(\frac15\right)^{4}$.

№ 6.4

Вычисли: 1) $2^{-3}$; 2) $(-3)^{-3}$; 3) $(-1)^{-22}$; 4) $\left(\frac25\right)^3$; 5) $0{,}02^{-3}$; 6) $1{,}25^{-2}$; 7) $-4^{-3}$; 8) $(-0{,}3)^{-2}$; 9) $\left(\frac25\right)^3$; 10) $(2{,}25)^{-1}$; 11) $-(-2{,}3)^{-1}$; 12) $-\left(-2\frac13\right)^{-2}$.

Как думать. Превращаем отрицательную степень в дробь, потом считаем. Десятичные дроби удобно перевести в обыкновенные: $0{,}02=\frac1{50}$, $1{,}25=\frac54$.

Решение.

1. $\frac1{2^3}=\frac18$.
2. $\frac1{(-3)^3}=-\frac1{27}$.
3. $\frac1{(-1)^{22}}=\frac11=1$.
4. $\left(\frac25\right)^3=\frac8{125}$ (показатель $3$ положительный, как напечатано).
5. $0{,}02^{-3}=\left(\frac1{50}\right)^{-3}=50^3=125,000$.
6. $1{,}25^{-2}=\left(\frac54\right)^{-2}=\left(\frac45\right)^2=\frac{16}{25}=0{,}64$.
7. $-4^{-3}=-\frac1{64}$.
8. $(-0{,}3)^{-2}=\frac1{0{,}09}=\frac{100}9=11\frac19$.
9. $\frac8{125}$ (то же, что в пункте 4).
10. $(2{,}25)^{-1}=\frac1{2{,}25}=\frac49$.
11. $(-2{,}3)^{-1}=-\frac1{2{,}3}$, перед ним минус, значит, $+\frac1{2{,}3}=\frac{10}{23}$.
12. $\left(-2\frac13\right)^{-2}=\left(-\frac73\right)^{-2}=\left(\frac37\right)^2=\frac9{49}$, и минус перед скобкой: $-\frac9{49}$.

Ответ: 1) $\frac18$; 2) $-\frac1{27}$; 3) 1; 4) $\frac8{125}$; 5) $125,000$; 6) $0{,}64$; 7) $-\frac1{64}$; 8) $11\frac19$; 9) $\frac8{125}$; 10) $\frac49$; 11) $\frac{10}{23}$; 12) $-\frac9{49}$.

№ 6.5

Найди значения выражений $\left(\frac13\right)^{-4}$; $\left(\frac12\right)^{-5}$; $3^3$; $\left(\frac14\right)^{-3}$; $\left(\frac13\right)^{-2}$ и расположи их по убыванию. 1) Во сколько раз наибольшее значение больше наименьшего? 2) Найди медиану этого ряда.

Как думать. Дробь в отрицательной степени переворачиваем: $\left(\frac13\right)^{-4}=3^4$.

Решение. Считаем: $\left(\frac13\right)^{-4}=3^4=81$; $\left(\frac12\right)^{-5}=2^5=32$; $3^3=27$; $\left(\frac14\right)^{-3}=4^3=64$; $\left(\frac13\right)^{-2}=3^2=9$. По убыванию: $81;\ 64;\ 32;\ 27;\ 9$.

1. $81:9=9$.
2. Всего 5 чисел, медиана стоит в середине упорядоченного ряда — это третье число, 32.

Ответ: порядок: 81, 64, 32, 27, 9. 1) в 9 раз; 2) медиана равна 32.

Уровень B

№ 6.6

Замени дробью степень с целым отрицательным показателем: 1) $(25)^{-1}$; 2) $(0{,}125)^{-2}$; 3) $(-2{,}5)^{-2}$; 4) $\left(\frac25\right)^{-1}$; 5) $\left(2\frac13\right)^{-3}$; 6) $\left(-\frac27\right)^{-2}$.

Как думать. Применяем определение, а затем, если нужно, считаем значение. Для дробей достаточно перевернуть основание.

Решение.

1. $\frac1{25}$.
2. $\frac1{0{,}125^2}=\frac1{0{,}015625}=64$ (проще: $0{,}125=\frac18$, переворачиваем: $8^2=64$).
3. $\frac1{(-2{,}5)^2}=\frac1{6{,}25}=\frac4{25}=0{,}16$.
4. $\frac1{\frac25}=\frac52=2\frac12$.
5. $2\frac13=\frac73$, переворачиваем: $\left(\frac37\right)^3=\frac{27}{343}$.
6. Переворачиваем: $\left(-\frac72\right)^2=\frac{49}4=12\frac14$.

Ответ: 1) $\frac1{25}$; 2) $64$ (то есть $\frac1{0{,}125^2}$); 3) $\frac4{25}$; 4) $\frac52$; 5) $\frac{27}{343}$; 6) $\frac{49}4$.

№ 6.7

Вычисли: 1) $3\cdot12^{-2}$; 2) $2^{-3}+6^{-1}$; 3) $3^{-2}-(-3)^{-1}$; 4) $-2\cdot4^{-3}$; 5) $3\cdot4^{-2}+2^{-3}$; 6) $0{,}4^0-(-0{,}25)^{-3}$; 7) $-(-2{,}5)^{-2}+\left(-\frac25\right)^{-2}$; 8) $(-3)^{-3}-3{,}5^{-1}$; 9) $-4^{-3}+\left(-\frac45\right)^{-2}$; 10) $-3{,}5^{-1}+(-2{,}5)^{-2}$; 11) $3\cdot(-4)^{-2}+5^{-1}$; 12) $(-2{,}7)^0+\left(\frac17\right)^{-1}$.

Как думать. Каждую степень превращаем в обычное число или дробь, затем складываем и вычитаем. Не забывай, что $a^0=1$.

Решение.

1. $\frac3{144}=\frac1{48}$.
2. $\frac18+\frac16=\frac3{24}+\frac4{24}=\frac7{24}$.
3. $\frac19-\left(-\frac13\right)=\frac19+\frac39=\frac49$.
4. $-\frac2{64}=-\frac1{32}$.
5. $\frac3{16}+\frac18=\frac3{16}+\frac2{16}=\frac5{16}$.
6. $1-(-4)^3=1-(-64)=65$ (так как $(-0{,}25)^{-3}=(-4)^3=-64$).
7. $-\frac1{6{,}25}+\left(-\frac52\right)^2=-0{,}16+6{,}25=6{,}09$.
8. $-\frac1{27}-\frac27=-\frac7{189}-\frac{54}{189}=-\frac{61}{189}$.
9. $1\frac{35}{64}$ (в виджете выше).
10. $-\frac27+\frac4{25}=-\frac{50}{175}+\frac{28}{175}=-\frac{22}{175}$.
11. $\frac3{16}+\frac15=\frac{15}{80}+\frac{16}{80}=\frac{31}{80}$.
12. $1+7=8$.

Ответ: 1) $\frac1{48}$; 2) $\frac7{24}$; 3) $\frac49$; 4) $-\frac1{32}$; 5) $\frac5{16}$; 6) 65; 7) $6{,}09$; 8) $-\frac{61}{189}$; 9) $1\frac{35}{64}$; 10) $-\frac{22}{175}$; 11) $\frac{31}{80}$; 12) 8. Пункты 1, 2, 6, 9, 12 совпадают с ответами учебника.

№ 6.8

По таблице 6.3 выбери верные утверждения. $A=9^{-4}\cdot9^9:9^3$, $B=31^{10}:31^7\cdot31^{-2}$, $C=0{,}2^{20}:0{,}2^{24}\cdot0{,}2^2$. 1) $A<B+C$; 2) $C>B-A$; 3) $A=B+2C$; 4) $-B>2C-A$.

Как думать. Сначала найдём $A$, $B$ и $C$: складываем и вычитаем показатели.

Решение. $A$: $-4+9-3=2$, значит, $A=9^2=81$. $B$: $10-7-2=1$, значит, $B=31$. $C$: $20-24+2=-2$, значит, $C=0{,}2^{-2}=\left(\frac15\right)^{-2}=25$. Проверяем: 1) $81<31+25=56$? Нет. 2) $25>31-81=-50$? Да. 3) $81=31+2\cdot25=81$? Да. 4) $-31>2\cdot25-81=-31$? Нет: это равенство, а не «больше».

Ответ: верные утверждения 2) и 3).

Уровень C

№ 6.9

Представь в виде дроби: 1) $a^{-1}+b^{-1}$; 2) $ab^{-1}-a^{-1}b$; 3) $(x+y^{-1})(x^{-1}+y)$.

Как думать. Заменяем $a^{-1}$ на $\frac1a$, потом приводим к общему знаменателю.

Решение.

1. $\frac1a+\frac1b=\frac{b+a}{ab}$.
2. $\frac ab-\frac ba=\frac{a^2-b^2}{ab}$.
3. $x+\frac1y=\frac{xy+1}y$ и $\frac1x+y=\frac{1+xy}x$. Перемножаем: $\frac{(xy+1)(xy+1)}{xy}=\frac{(xy+1)^2}{xy}$.

Ответ: 1) $\frac{a+b}{ab}$; 2) $\frac{a^2-b^2}{ab}$; 3) $\frac{(xy+1)^2}{xy}$. Совпадает с ответами учебника.

№ 6.10

Представь дробь в виде степени (произведения степеней) с целым показателем: 1) $\frac{2ab^2}{c^2x^3}$; 2) $\frac{54x^3y^2}{2a^5b^4}$; 3) $\frac4{(x+y)^3}$; 4) $\frac{(a-b)^3}{(a+b)^5}$.

Как думать. Всё, что стоит в знаменателе, переносим наверх и меняем знак показателя.

Решение.

1. $\frac1{c^2}=c^{-2}$ и $\frac1{x^3}=x^{-3}$: получаем $2ab^2c^{-2}x^{-3}$.
2. Сокращаем $\frac{54}2=27$: $27x^3y^2a^{-5}b^{-4}$.
3. $4(x+y)^{-3}$.
4. $(a-b)^3(a+b)^{-5}$.

Ответ: 1) $2ab^2c^{-2}x^{-3}$; 2) $27x^3y^2a^{-5}b^{-4}$; 3) $4(x+y)^{-3}$; 4) $(a-b)^3(a+b)^{-5}$.

Подготовь сообщение

№ 6.11

Расскажи о французском математике Николе Шюке, который ввёл отрицательные и нулевые показатели степени в рукописном трактате «Наука о числах» в 1484 г.

Как думать. Задание-проект: нужен короткий рассказ на 1–2 минуты. Мы даём образец, а факты стоит проверить по энциклопедии.

Решение. Образец сообщения:

1. Кто это. Никола Шюке жил во Франции в XV веке (около 1445 — около 1488 г.), был врачом и математиком.
2. Что он написал. Рукописный трактат о числах, где собраны правила арифметики и алгебры. Рукопись долго оставалась неопубликованной.
3. Чем знаменит. Он использовал нулевой и отрицательные показатели степени: то, что мы сегодня пишем как $a^0$ и $a^{-n}$. Привычную запись показателей математики закрепили позже.
4. Почему это важно. Благодаря таким показателям можно коротко записывать очень маленькие числа, как мы делали с $10^{-3}$.

Ответ: образец сообщения написан выше; для настоящего доклада стоит найти ещё факты в книгах и энциклопедиях.

Готовимся к следующей теме

№ 6.12

Упрости: 1) $(5^3\cdot5^2)^4:5^{15}$; 2) $(3^3)^4\cdot9^2:3^{10}$; 3) $3^2\cdot(-3)^4-3^6$; 4) $25^3:5^2$; 5) $3^4\cdot9$; 6) $4^2\cdot(-4)$.

Как думать. Приводим всё к одному основанию, потом складываем и вычитаем показатели. Для $9$ это $3^2$, для $25$ это $5^2$.

Решение.

1. $(5^5)^4:5^{15}=5^{20-15}=5^5=3125$.
2. $3^{12}\cdot3^4:3^{10}=3^{6}=729$.
3. $(-3)^4=81=3^4$, значит, $3^2\cdot3^4-3^6=3^6-3^6=0$.
4. $25^3=5^6$, значит, $5^6:5^2=5^4=625$.
5. $3^4\cdot3^2=3^6=729$.
6. $16\cdot(-4)=-64$.

Ответ: 1) 3125; 2) 729; 3) 0; 4) 625; 5) 729; 6) $-64$.

Шпаргалка

• Нулевая степень даёт 1, а отрицательная — дробь.
• Минус в показателе: «единица делить на степень».
• $2^{-3}=\frac18$ положительное, а не $-8$.
• Нуль нельзя возводить в нулевую и отрицательную степень.

Мини-тест