§ 7. Свойства степени с целым показателем

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 1: Степень с целым показателем. Страницы 50–56.

Чему научишься

• Объяснять, что все пять свойств степеней работают и для нулевых и отрицательных показателей.
• Умножать и делить степени с одинаковым основанием, когда показатели отрицательные.
• Возводить в степень произведение, частное и степень, не боясь минусов в показателе.
• Упрощать выражения со степенями и считать их значения при заданных переменных.
• Решать уравнения и неравенства, где коэффициенты записаны степенями.

Разминка

Вот пять свойств для натуральных $n$ и $m$ (основания не равны нулю). Вспомни их.

• Как умножить $a^n \cdot a^m$? Основание оставляем, показатели складываем: $a^{n+m}$.
• Как разделить $a^n : a^m$? Показатели вычитаем: $a^{n-m}$.
• Как возвести степень в степень $(a^m)^n$? Показатели перемножаем: $a^{mn}$.
• Как возвести в степень произведение $(ab)^n$? В степень возводим каждый множитель: $a^n b^n$.
• Как возвести в степень дробь $\left(\frac{a}{b}\right)^n$? Отдельно числитель и знаменатель: $\frac{a^n}{b^n}$.
• Чему равно $a^{-n}$? Это $\frac{1}{a^n}$, а $a^0 = 1$ при $a \ne 0$.

Разбираемся

Главная новость

Раньше правила проверялись для натуральных показателей: $2, 3, 10$. Теперь показатели могут быть любыми целыми, в том числе $0$ и отрицательными. И самое приятное: правила остаются теми же. Менять ничего не нужно.

📌 Для любых целых $m$, $n$ и $a \ne 0$, $b \ne 0$:

1. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$; 2) $a^n : a^m = a^{n-m}$; 3) $(a^m)^n = a^{mn}$; 4) $(ab)^n = a^n b^n$; 5) $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Почему это правда: проверяем на числах

Прежде чем разбирать строгое доказательство, посмотри, как правило работает с отрицательным показателем. Возьмём $2^5 \cdot 2^{-3}$.

Как устроено доказательство (по-человечески)

Доказываем свойство 1: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Разбираем случаи, чтобы свести всё к натуральным показателям, где свойство уже доказано.

Случай 1: один показатель положительный, другой отрицательный. Пусть $m = k$, $n = -p$, где $k$ и $p$ натуральные. Тогда

$a^k \cdot a^{-p} = a^k \cdot \frac{1}{a^p} = \frac{a^k}{a^p}$.

Дальше три варианта:

• $k > p$: по знакомому правилу деления $\frac{a^k}{a^p} = a^{k-p}$;
• $k < p$: сокращаем на $a^k$, получаем $\frac{1}{a^{p-k}} = a^{-(p-k)} = a^{k-p}$;
• $k = p$: дробь равна $1 = a^0 = a^{k-p}$.

Во всех трёх случаях получилось $a^{k-p} = a^{k+(-p)} = a^{m+n}$. Готово.

Случай 2: оба показателя отрицательные. Пусть $m = -k$, $n = -p$. Тогда

$a^{-k} \cdot a^{-p} = \frac{1}{a^k} \cdot \frac{1}{a^p} = \frac{1}{a^k \cdot a^p} = \frac{1}{a^{k+p}} = a^{-(k+p)} = a^{-k-p} = a^{m+n}$.

Случай 3: один из показателей равен нулю. Это ты можешь проверить сам: $a^0 \cdot a^n = 1 \cdot a^n = a^n = a^{0+n}$. Вот и всё.

💡 Свойства 2–5 доказываются так же: всё сводим к натуральным показателям. Например, свойство 2: $a^n : a^m = a^n \cdot a^{-m} = a^{n+(-m)} = a^{n-m}$. А свойство 5: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = (a \cdot b^{-1})^n = a^n \cdot b^{-n} = \frac{a^n}{b^n}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Не нужно заучивать доказательство слово в слово. Достаточно, чтобы ребёнок понял идею: отрицательный показатель превращается в дробь, а потом работают старые знакомые правила. Попросите показать на числах: $3^4 \cdot 3^{-6}$.

Три примера с разбором

Пример 1. Упростим $c^{12} \cdot c^{-5}$, где $c \ne 0$. Показатели складываем: $c^{12+(-5)} = c^7$.

Пример 2. Упростим $d^4 : d^9$, где $d \ne 0$. Показатели вычитаем: $d^{4-9} = d^{-5}$. Можно записать и дробью: $\frac{1}{d^5}$.

Пример 3. Упростим $(2x^{-3}y^2)^{-4}$. Сначала возводим в степень каждый множитель: $2^{-4} \cdot (x^{-3})^{-4} \cdot (y^2)^{-4} = \frac{1}{16} \cdot x^{12} \cdot y^{-8} = \frac{x^{12}}{16y^8}$.

⚠️ Частая ошибка. Минус в показателе не делает число отрицательным! $2^{-3} = \frac{1}{8}$, а не $-8$. Отрицательный показатель «переворачивает» дробь, но знак числа не меняет.

⚠️ Частая ошибка. Нельзя умножать показатели, когда нужно складывать: $a^3 \cdot a^{-2} = a^{1}$, а не $a^{-6}$. Умножаем показатели только при возведении степени в степень.

💡 Почему основание не может быть нулём? Потому что $0^{-1} = \frac{1}{0}$, а на нуль делить нельзя. Все наши правила работают только при $a \ne 0$ и $b \ne 0$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Почему при использовании свойств степеней с целыми показателями основания не должны равняться нулю? Потому что отрицательная степень нуля означает деление на нуль ($0^{-2} = \frac{1}{0^2}$), а на нуль делить нельзя. Нулевая степень нуля тоже не определена.
• Может ли в результате деления степеней с одинаковыми основаниями получиться $0$? Нет. Результат $a^{n-m}$ — это степень числа, не равного нулю, а такая степень никогда не равна нулю. Например, $2^{-5} = \frac{1}{32}$: число маленькое, но не нуль.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 7.1

Упростите, используя свойства степени с целым показателем: 1) $2a^{-2} \cdot 3a^4$; 2) $24a^5 : (6a^{-3})$; 3) $(2c^{-3})^2$; 4) $2(3^{-3}b^3)^2 \cdot 3b^{-4}$.

Как думать. Числа и буквы разбираем отдельно: коэффициенты умножаем или делим, у одинаковых букв складываем или вычитаем показатели.

Решение.

1. $2 \cdot 3 \cdot a^{-2+4} = 6a^2$.
2. $24 : 6 = 4$, $a^{5-(-3)} = a^8$, получаем $4a^8$.
3. $2^2 \cdot c^{-6} = 4c^{-6}$.
4. $2 \cdot 3^{-6} b^6 \cdot 3 b^{-4} = 2 \cdot 3^{-6+1} \cdot b^{6-4} = 2 \cdot 3^{-5} b^2 = \frac{2b^2}{243}$.

Ответ: 1) $6a^2$; 2) $4a^8$; 3) $4c^{-6}$; 4) $2 \cdot 3^{-5}b^2 = \frac{2b^2}{243}$.

№ 7.2

Представьте в виде степени с целым показателем: 1) $125 \cdot 5^{-4}$; 2) $27 \cdot \frac{1}{9} \cdot 3^{-4} : 3^{-2}$; 3) $\frac{1}{32} \cdot 2^7 : 64$; 4) $100^2 \cdot 10^{-3}$.

Как думать. Все числа записываем как степени одного основания (5, 3, 2, 10), а потом работаем с показателями.

Решение.

1. $125 = 5^3$, значит $5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{-1}$.
2. $27 = 3^3$, $\frac{1}{9} = 3^{-2}$: $3^3 \cdot 3^{-2} \cdot 3^{-4} : 3^{-2} = 3^{3-2-4+2} = 3^{-1}$.
3. $\frac{1}{32} = 2^{-5}$, $64 = 2^6$: $2^{-5} \cdot 2^7 : 2^6 = 2^{-5+7-6} = 2^{-4}$.
4. $100^2 = 10^4$: $10^4 \cdot 10^{-3} = 10^1$.

Ответ: 1) $5^{-1}$; 2) $3^{-1}$; 3) $2^{-4}$; 4) $10^1$ $(=10)$.

№ 7.3

Вычислите: 1) $64^{-1} \cdot 32^2$; 2) $(6^3)^2 : 36^5$; 3) $\frac{4^{-3} \cdot 2^5}{8^{-4}}$; 4) $\frac{(3^{-3})^3 \cdot 3^7}{27^2}$.

Как думать. Приводим к одному основанию и считаем показатели.

Решение.

1. $2^{-6} \cdot 2^{10} = 2^4 = 16$.
2. $6^6 : 6^{10} = 6^{-4} = \frac{1}{1296}$.
3. $4^{-3} = 2^{-6}$, $8^{-4} = 2^{-12}$: $\frac{2^{-6} \cdot 2^5}{2^{-12}} = 2^{-1+12} = 2^{11} = 2048$.
4. $\frac{3^{-9} \cdot 3^7}{3^6} = \frac{3^{-2}}{3^6} = 3^{-8} = \frac{1}{6561}$.

Ответ: 1) 16; 2) $\frac{1}{1296}$; 3) 2048; 4) $\frac{1}{6561}$.

№ 7.4

Найдите значение выражения: 1) $10^{-3} : 0{,}001$; 2) $13^0 \cdot (13^{-2}) : 13^{-4}$; 3) $\frac{(3^{-2})^{-2} \cdot 9^{-1}}{27}$; 4) $\frac{25^{-2} \cdot 125}{5^3}$.

Как думать. $0{,}001$ — это $10^{-3}$. Остальное приводим к степеням тройки и пятёрки.

Решение.

1. $0{,}001 = 10^{-3}$, значит $10^{-3} : 10^{-3} = 1$.
2. $13^{0-2+4} = 13^2 = 169$.
3. $(3^{-2})^{-2} = 3^4$, $9^{-1} = 3^{-2}$, $27 = 3^3$: $\frac{3^4 \cdot 3^{-2}}{3^3} = 3^{4-2-3} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
4. $25^{-2} = 5^{-4}$, $125 = 5^3$: $\frac{5^{-4} \cdot 5^3}{5^3} = 5^{-4} = \frac{1}{625}$.

Ответ: 1) 1; 2) 169; 3) $\frac{1}{3}$; 4) $\frac{1}{625}$.

№ 7.5

Представьте в виде степени и найдите значение: 1) $5(5a^{-3})^{-2} a^{-2}$ при $a = (0{,}2)^{-1}$; 2) $(0{,}5a^{-9})^{-2} : (32a^5)^3$ при $a = (0{,}5)^{-4}$; 3) $(2^3a^{-3})^{-1} \cdot 64a^{-4} : a^{-5}$ при $a = -0{,}125$; 4) $27(-3^2a^{-4}) : (3^3a^{-1})^3$ при $a = -0{,}1$.

Как думать. Сначала упрощаем выражение до одной степени $a$ с числовым множителем, и только потом подставляем число. Так проще и меньше ошибок.

Решение.

1. $5 \cdot 5^{-2} a^{6} \cdot a^{-2} = 5^{-1} a^4$. Здесь $a = (0{,}2)^{-1} = 5$. Тогда $5^{-1} \cdot 5^4 = 5^3 = 125$.
2. $(0{,}5)^{-2} a^{18} : (2^{15} a^{15}) = 4a^{18} : (2^{15}a^{15}) = 2^{-13}a^3$. Здесь $a = 2^4 = 16$, $a^3 = 2^{12}$. Тогда $2^{-13} \cdot 2^{12} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
3. $2^{-3}a^3 \cdot 2^6 a^{-4} \cdot a^5 = 2^3 a^4$. Здесь $a = -\frac{1}{8}$, $a^4 = \frac{1}{4096}$. Тогда $8 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{1}{512}$.
4. $27 \cdot (-9)a^{-4} : (3^9 a^{-3}) = -3^5 a^{-4} \cdot 3^{-9} a^{3} = -3^{-4}a^{-1}$. Здесь $a^{-1} = -10$. Тогда $-\frac{1}{81} \cdot (-10) = \frac{10}{81}$.

Ответ: 1) $5^{-1}a^4 = 125$; 2) $2^{-13}a^3 = \frac{1}{2}$; 3) $2^3a^4 = \frac{1}{512}$; 4) $-3^{-4}a^{-1} = \frac{10}{81}$.

№ 7.6

Решите уравнение: 1) $2^{-2} + 3^{-1}x = 0{,}25$; 2) $3^{-1}x + 3^{-2}x = 9^{-2} + x$; 3) $2{,}25x = 5{,}125 - 4^{-1}x$; 4) $4^{-1}x - 2^{-2}x = 8^2 + x$.

Как думать. Степени с минусом превращаем в обычные дроби, потом решаем линейное уравнение.

Решение.

1. $\frac{1}{4} + \frac{x}{3} = \frac{1}{4}$, значит $\frac{x}{3} = 0$ и $x = 0$.
2. $\frac{x}{3} + \frac{x}{9} = \frac{1}{81} + x$. Слева $\frac{4x}{9}$. Тогда $\frac{4x}{9} - x = \frac{1}{81}$, то есть $-\frac{5x}{9} = \frac{1}{81}$, откуда $x = -\frac{9}{5 \cdot 81} = -\frac{1}{45}$.
3. $2{,}25x + 0{,}25x = 5{,}125$, то есть $2{,}5x = 5{,}125$, $x = 2{,}05 = \frac{41}{20}$.
4. $\frac{x}{4} - \frac{x}{4} = 64 + x$. Слева ноль: $0 = 64 + x$, значит $x = -64$.

Ответ: 1) $0$; 2) $-\frac{1}{45}$; 3) $\frac{41}{20}$; 4) $-64$.

Уровень B

№ 7.7

Решите неравенство: 1) $7^{-1}x - 2^{-2}x \geq 2\frac{4}{7}$; 2) $3{,}125 + x \leq 5{,}125 - 4^{-1}x$; 3) $7{,}25 + 2x > 5{,}125 - 5^{-1}x$; 4) $12{,}5x - 5{,}125 < 2^{-3} - 4^{-1}x$.

Как думать. Как уравнение: все $x$ влево, числа вправо. Но помни: при делении на отрицательное число знак неравенства переворачивается.

Решение.

1. $\frac{x}{7} - \frac{x}{4} = -\frac{3x}{28} \geq \frac{18}{7}$. Умножаем на $-\frac{28}{3}$ и переворачиваем знак: $x \leq -\frac{18 \cdot 28}{7 \cdot 3} = -24$.
2. $x + 0{,}25x \leq 5{,}125 - 3{,}125$, то есть $1{,}25x \leq 2$, $x \leq 1{,}6$.
3. $2x + 0{,}2x > 5{,}125 - 7{,}25$, то есть $2{,}2x > -2{,}125$, $x > -\frac{2125}{2200} = -\frac{85}{88}$.
4. $12{,}5x + 0{,}25x < 0{,}125 + 5{,}125$, то есть $12{,}75x < 5{,}25$, $x < \frac{5{,}25}{12{,}75} = \frac{7}{17}$.

Ответ: 1) $x \leq -24$; 2) $x \leq 1{,}6$; 3) $x > -\frac{85}{88}$; 4) $x < \frac{7}{17}$.

№ 7.8

Докажите тождество: 1) $27^{-1} \cdot 81^2 \cdot (3^{-3})^3 : 81^{-3} = 9^4$; 2) $7^{-2} \cdot 21^2 \cdot (6^{-3})^2 : 14^{-3} : 343 = 2^{-3}9^{-2}$; 3) $4^{-1} \cdot 8^2 \cdot (a^{-3})^3 : (8a^{-3})^2 = 0{,}25a^{-3}$; 4) $a^{-1} \cdot (ab)^2 \cdot (b^{-3})^3 : b^{-3} = ab^{-4}$.

Как думать. «Доказать» значит упростить левую часть и получить правую. В 1) и 2) раскладываем числа на простые множители.

Решение.

1. $27^{-1} = 3^{-3}$, $81^2 = 3^8$, $(3^{-3})^3 = 3^{-9}$, $81^{-3} = 3^{-12}$. Показатель: $-3 + 8 - 9 - (-12) = 8$. Получили $3^8 = (3^2)^4 = 9^4$. Верно.
2. $21^2 = 3^2 7^2$, $(6^{-3})^2 = 2^{-6}3^{-6}$, $14^{-3} = 2^{-3}7^{-3}$, $343 = 7^3$. Двойки: $-6 - (-3) = -3$. Тройки: $2 - 6 = -4$. Семёрки: $-2 + 2 - (-3) - 3 = 0$. Получили $2^{-3}3^{-4} = 2^{-3}(3^2)^{-2} = 2^{-3}9^{-2}$. Верно.
3. Числа: $4^{-1} \cdot 8^2 = 2^{-2+6} = 2^4$. Знаменатель $(8a^{-3})^2 = 2^6 a^{-6}$. Тогда $2^{4-6} \cdot a^{-9-(-6)} = 2^{-2}a^{-3} = 0{,}25a^{-3}$. Верно.
4. $a^{-1} \cdot a^2b^2 \cdot b^{-9} : b^{-3} = a^{-1+2} \cdot b^{2-9+3} = ab^{-4}$. Верно.

Ответ: все четыре тождества доказаны: левые части приведены к правым.

№ 7.9

Сравните значения выражений: 1) $128^{-2} \cdot 32^3$ и $(6^3)^2 : 36^5$; 2) $\frac{8^{-3} \cdot 2^5}{16^{-4}}$ и $\frac{(3^{-3})^3 \cdot 9^7 \cdot 2^{-2}}{81^2}$.

Как думать. Считаем оба значения и сравниваем.

Решение.

1. Слева: $2^{-14} \cdot 2^{15} = 2$. Справа: $6^6 : 6^{10} = 6^{-4} = \frac{1}{1296}$. Значит, $2 > \frac{1}{1296}$.
2. Слева: $\frac{2^{-9} \cdot 2^5}{2^{-16}} = 2^{-9+5+16} = 2^{12} = 4096$. Справа: $\frac{3^{-9} \cdot 3^{14} \cdot 2^{-2}}{3^8} = 3^{-3} \cdot 2^{-2} = \frac{1}{108}$. Значит, $4096 > \frac{1}{108}$.

Ответ: 1) первое больше; 2) первое больше.

№ 7.10

Сравните значения выражений: 1) $13^0 \cdot 3^{-3} : 2^3$ и $10^2 \cdot 5^{-2} : 2^3$; 2) $\frac{14^0 \cdot 3^2 : 4^{-2}}{2 \cdot 3^3}$ и $\frac{21^3 \cdot 9^{-2}}{7^3}$.

Решение.

1. Слева: $\frac{1}{27 \cdot 8} = \frac{1}{216}$. Справа: $\frac{100}{25 \cdot 8} = \frac{1}{2}$. Значит, $\frac{1}{216} < \frac{1}{2}$.
2. Слева: $\frac{1 \cdot 9 \cdot 16}{2 \cdot 27} = \frac{144}{54} = \frac{8}{3}$. Справа: $\frac{21^3}{7^3} = 3^3 = 27$, потом $27 \cdot 9^{-2} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$. Значит, $\frac{8}{3} > \frac{1}{3}$.

Ответ: 1) первое меньше второго; 2) первое больше второго.

№ 7.11

Представьте в виде степени и найдите значение: 1) $125(5a^{-3}b^3)^{-2} \cdot a^{-2}b^4$ при $a = 0{,}2$, $b = 0{,}5$; 2) $(0{,}5a^{-2})^{-2} : (32a^5b^2)^3$ при $a = (0{,}5)^{-4}$, $b = 0{,}25$; 3) $(2^3a^{-3}b)^{-1} \cdot 64a^{-4} : a^{-5}$ при $a = -0{,}125$, $b = 0{,}5$; 4) $27(-3^2a^3) : (3^5a^{-1}b^{-2})^3$ при $a = -0{,}1$, $b = 0{,}1$.

Как думать. Как в № 7.5: упрощаем до одной степени каждой буквы, подставляем в конце.

Решение.

1. Смотри шаги выше: $5a^4b^{-2} = \frac{4}{125} = 0{,}032$.
2. $(0{,}5)^{-2}a^{4} : (2^{15}a^{15}b^6) = 4 \cdot 2^{-15} a^{-11}b^{-6} = 2^{-13}a^{-11}b^{-6}$. Подставляем $a = 2^4$, $b = 2^{-2}$: $a^{-11} = 2^{-44}$, $b^{-6} = 2^{12}$. Итог: $2^{-13-44+12} = 2^{-45}$.
3. $2^{-3}a^3b^{-1} \cdot 2^6a^{-4} \cdot a^5 = 2^3a^4b^{-1}$. При $a = -\frac{1}{8}$, $b = \frac{1}{2}$: $8 \cdot \frac{1}{4096} \cdot 2 = \frac{16}{4096} = \frac{1}{256}$.
4. $27 \cdot (-9)a^3 : (3^{15}a^{-3}b^{-6}) = -3^{5} \cdot 3^{-15} a^{6} b^{6} = -3^{-10}a^6b^6$. При $a = -0{,}1$, $b = 0{,}1$: $a^6b^6 = 10^{-12}$. Итог: $-\frac{1}{3^{10} \cdot 10^{12}} = -\frac{1}{59,049 \cdot 10^{12}}$.

Ответ: 1) $5a^4b^{-2} = \frac{4}{125}$; 2) $2^{-13}a^{-11}b^{-6} = 2^{-45}$; 3) $2^3a^4b^{-1} = \frac{1}{256}$; 4) $-3^{-10}a^6b^6 = -\frac{1}{59049 \cdot 10^{12}}$.

Уровень C

Здесь задачи самые трудные. Если справился хотя бы с половиной, это отличный результат. А попытка важнее ответа.

№ 7.12

Решите уравнение: 1) $7^{-2}x = 21 + 3^{-1}$; 2) $0{,}01 \cdot 10^3x + 5^2 - x = 2 \cdot 5^2$; 3) $\frac{3 \cdot 3^{-2}}{6^{-2}}x = 2^2 \cdot 3$; 4) $\frac{5^3 \cdot 3^3}{12^0 \cdot 15^3 \cdot 2}x = 10^{-1}$.

Как думать. Сначала считаем все степени, получаем обычное линейное уравнение.

Решение.

1. $\frac{x}{49} = 21\frac{1}{3} = \frac{64}{3}$, откуда $x = \frac{64 \cdot 49}{3} = \frac{3136}{3} = 1045\frac{1}{3}$.
2. $0{,}01 \cdot 1000 = 10$. Уравнение: $10x + 25 - x = 50$, значит $9x = 25$ и $x = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$.
3. $3 \cdot 3^{-2} = \frac{1}{3}$, $6^{-2} = \frac{1}{36}$. Дробь равна $\frac{1}{3} \cdot 36 = 12$. Уравнение $12x = 12$, значит $x = 1$.
4. $5^3 \cdot 3^3 = 15^3$, а $12^0 = 1$. Дробь равна $\frac{15^3}{15^3 \cdot 2} = \frac{1}{2}$. Уравнение $\frac{x}{2} = \frac{1}{10}$, значит $x = \frac{1}{5}$.

Ответ: 1) $1045\frac{1}{3}$; 2) $2\frac{7}{9}$; 3) $1$; 4) $\frac{1}{5}$.

№ 7.13

Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству: 1) $8^{-2}x \geq 24{,}75 + 4^{-1}$; 2) $6^2 - x \geq -4^2 \cdot x + 5^{-1}$; 3) $3^{-1}x \geq 15^{-1} - 2x$.

Как думать. Решаем неравенство, получаем границу, берём ближайшее целое число в нужную сторону.

Решение.

1. $\frac{x}{64} \geq 25$, значит $x \geq 1600$. Наименьшее целое $1600$.
2. $36 - x \geq -16x + 0{,}2$, то есть $15x \geq -35{,}8$, $x \geq -2\frac{23}{75}$ (примерно $-2{,}39$). Целые числа справа от $-2{,}39$: $-2, -1, 0, \dots$ Наименьшее $-2$.
3. $\frac{x}{3} + 2x \geq \frac{1}{15}$, то есть $\frac{7x}{3} \geq \frac{1}{15}$, $x \geq \frac{1}{35}$. Наименьшее целое $1$.

Ответ: 1) $1600$; 2) $-2$; 3) $1$.

№ 7.14

Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству: 1) $4^{-2}x \leq 12{,}75 - 4^{-1}$; 2) $12^2 + 3^4x \leq 8^2 \cdot x + 6^{-1}$; 3) $4^{-1}x \leq 13^0 - 12^{-1} - 3x$.

Решение.

1. $\frac{x}{16} \leq 12{,}5$, значит $x \leq 200$. Наибольшее целое $200$.
2. $144 + 81x \leq 64x + \frac{1}{6}$, то есть $17x \leq -143\frac{5}{6} = -\frac{863}{6}$, $x \leq -\frac{863}{102} \approx -8{,}46$. Наибольшее целое $-9$.
3. $\frac{x}{4} + 3x \leq 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$, то есть $\frac{13x}{4} \leq \frac{11}{12}$, $x \leq \frac{11}{39} \approx 0{,}28$. Наибольшее целое $0$.

Ответ: 1) $200$; 2) $-9$; 3) $0$.

№ 7.15

Докажите тождества: 1) $(0{,}25a^{-2})^2 \cdot 4^3a^3 = 2^2a^{-1}$; 2) $\frac{2^3 : 4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a = \frac{2}{a^{-3}}$; 3) $\frac{2^3 : 8}{24^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^2 = a^4$.

Как думать. Упрощаем левую часть. Дробь с $a^{-2}$ в знаменателе: $\frac{1}{a^{-2}} = a^2$.

Решение.

1. $(0{,}25)^2 = \frac{1}{16}$, $4^3 = 64$: $\frac{1}{16}a^{-4} \cdot 64a^3 = 4a^{-1} = 2^2a^{-1}$. Верно.
2. $2^3 : 4 = 2$, $14^0 = 1$: $\frac{2}{a^{-2}} \cdot a = 2a^2 \cdot a = 2a^3$. Правая часть: $\frac{2}{a^{-3}} = 2a^3$. Верно.
3. $2^3 : 8 = 1$, $24^0 = 1$: $\frac{1}{a^{-2}} \cdot a^2 = a^2 \cdot a^2 = a^4$. Верно.

Ответ: все три тождества доказаны.

№ 7.16

Докажите тождества: 1) $\left(\frac{8x^{-2}}{y^{-3}}\right)^3 \cdot \left(\frac{2^{-4}}{x^{-2}y^2}\right)^3 = 0{,}125y^3$; 2) $\frac{3^3 : 27}{17^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^3 = \frac{a^2}{a^{-3}}$; 3) $\frac{5^3 : 75}{19^0 \cdot b^{-2}} \cdot b = \frac{5}{3b^{-3}}$.

Решение.

1. Объединим дроби под одной степенью: $\left(8x^{-2}y^3 \cdot 2^{-4}x^{2}y^{-2}\right)^3 = \left(\frac{8}{16} \cdot x^{0} \cdot y\right)^3 = \left(\frac{y}{2}\right)^3 = \frac{y^3}{8} = 0{,}125y^3$. Верно.
2. $3^3 : 27 = 1$: $\frac{1}{a^{-2}} \cdot a^3 = a^2 \cdot a^3 = a^5$. Правая часть: $\frac{a^2}{a^{-3}} = a^{2+3} = a^5$. Верно.
3. $5^3 : 75 = \frac{125}{75} = \frac{5}{3}$: $\frac{5}{3} \cdot b^2 \cdot b = \frac{5b^3}{3}$. Правая часть: $\frac{5}{3b^{-3}} = \frac{5b^3}{3}$. Верно.

Ответ: все три тождества доказаны.

Готовимся к следующей теме

№ 7.17

Вычислите: 1) $183^0 \cdot 5^3 : 3^2 + \frac{2}{9}$; 2) $100^2 \cdot 5^2 : 2^3$; 3) $\frac{155^0 \cdot 3^2 \cdot 4^2}{8 \cdot 3^3}$.

Как думать. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени даёт $1$.

Решение.

1. $183^0 = 1$: $\frac{125}{9} + \frac{2}{9} = \frac{127}{9} = 14\frac{1}{9}$.
2. $10000 \cdot 25 : 8 = 250000 : 8 = 31250$.
3. $\frac{1 \cdot 9 \cdot 16}{8 \cdot 27} = \frac{144}{216} = \frac{2}{3}$.

Ответ: 1) $14\frac{1}{9}$; 2) $31250$; 3) $\frac{2}{3}$.

№ 7.18

Докажите, что значение выражения не зависит от значения $x$: 1) $2 \cdot \frac{x^4}{x^4} + x^0$; 2) $\frac{x^5}{x^4} - x + 3$.

Как думать. Упростим выражение до числа: все $x$ должны «пропасть». (Считаем, что $x \ne 0$.)

Решение.

1. $\frac{x^4}{x^4} = 1$, $x^0 = 1$. Тогда $2 \cdot 1 + 1 = 3$.
2. $\frac{x^5}{x^4} = x$. Тогда $x - x + 3 = 3$.

Ответ: в обоих случаях значение равно $3$ при любом $x \ne 0$.

Шпаргалка

• Все пять свойств верны для любых целых показателей, если основания не равны нулю.
• Доказательство: отрицательный показатель переводим в дробь и возвращаемся к натуральным показателям.
• Хочешь сравнить или посчитать: приведи числа к одному основанию.
• Прежде чем подставлять числа, упрости выражение.
• Неравенство переворачивает знак при делении на отрицательное число.

Мини-тест