§ 8. Преобразование выражений, содержащих степени

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 1: Степень с целым показателем. Страницы 56–63.

Чему научишься

• Упрощать выражения, где степени умножаются, делятся и возводятся в степень.
• Считать значения громоздких выражений, не вычисляя огромные числа.
• Сравнивать степени, приводя их к одинаковым основаниям или показателям.
• Доказывать тождества и то, что значение выражения не зависит от переменной.
• Находить последнюю цифру большой степени.

Разминка

Это задания «Подготовьтесь к овладению новыми знаниями» из прошлого параграфа.

• Чему равно $183^0 \cdot 5^3 : 3^2 + \frac{2}{9}$? $\frac{125}{9} + \frac{2}{9} = \frac{127}{9} = 14\frac{1}{9}$.
• Чему равно $100^2 \cdot 5^2 : 2^3$? $10000 \cdot 25 : 8 = 31250$.
• Почему $\frac{x^4}{x^4} + x^0$ всегда равно $2$ (при $x \ne 0$)? Потому что $\frac{x^4}{x^4} = 1$ и $x^0 = 1$.
• Как упростить $\frac{x^5}{x^4}$? Вычитаем показатели: $x^{5-4} = x$.

Разбираемся

Скорость света работает на нас

Задача. Свет идёт со скоростью $3 \cdot 10^8$ м/с. Расстояние от Земли до Луны около $3{,}84 \cdot 10^8$ м. За сколько секунд луч долетит от Луны до Земли?

Путь равен скорости, умноженной на время: $s = v \cdot t$. Значит, $t = \frac{s}{v}$.

$t = \frac{3{,}84 \cdot 10^8}{3 \cdot 10^8} = 1{,}28 \cdot 10^{8-8} = 1{,}28 \cdot 10^0 = 1{,}28$ секунды.

🌟 Свет от Солнца до Земли идёт 500 секунд, это 8 минут 20 секунд. Так что мы видим Солнце таким, каким оно было больше восьми минут назад. Проверь: $\frac{1{,}5 \cdot 10^{11}}{3 \cdot 10^8} = 0{,}5 \cdot 10^3 = 500$.

Три секрета упрощения

1. Приведи все числа к одному основанию. $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $25 = 5^2$.
2. Раскрой скобки: возведи степень в степень, произведение и дробь в степень.
3. Сложи или вычти показатели у одинаковых оснований.

Пример 2. Вычисляем, не считая гигантов

Вычислим 1) $\frac{(3^2)^3 \cdot 81}{27^3}$; 2) $\frac{4^5 \cdot 9^4}{6^7}$.

1. $\frac{3^6 \cdot 3^4}{(3^3)^3} = \frac{3^{10}}{3^9} = 3$.

2. $\frac{(2^2)^5 \cdot (3^2)^4}{(2 \cdot 3)^7} = \frac{2^{10} \cdot 3^8}{2^7 \cdot 3^7} = 2^{10-7} \cdot 3^{8-7} = 2^3 \cdot 3 = 24$.

Пример 3. Дроби с несколькими основаниями

Найдём $\frac{7^4 \cdot 3^5}{7 \cdot 3^3} : \frac{7^5 \cdot 3^2}{7^3 \cdot 3}$.

Упрощаем каждую дробь отдельно: $\frac{7^4 \cdot 3^5}{7 \cdot 3^3} = 7^3 \cdot 3^2$ и $\frac{7^5 \cdot 3^2}{7^3 \cdot 3} = 7^2 \cdot 3$. Делим: $7^{3-2} \cdot 3^{2-1} = 7 \cdot 3 = 21$.

Пример 4. Что больше?

Сравним $2^{30} \cdot 3^{30}$ и $35^{15}$.

Приводим к одинаковому показателю: $2^{30} \cdot 3^{30} = (2 \cdot 3)^{30} = 6^{30} = (6^2)^{15} = 36^{15}$. Теперь показатели равны, значит, больше та степень, у которой больше основание: $36^{15} > 35^{15}$.

📌 Сравниваем степени так: приводим к одинаковым основаниям (тогда больше та, где показатель больше, если основание больше 1) или к одинаковым показателям (тогда больше та, где основание больше).

Пример 5. Всё к одному основанию

Вычислим $\frac{4^{-3} \cdot 8^{-4}}{2^{-18}}$.

$4^{-3} = 2^{-6}$, $8^{-4} = 2^{-12}$. Тогда $\frac{2^{-6} \cdot 2^{-12}}{2^{-18}} = 2^{-6-12-(-18)} = 2^0 = 1$.

Пример 6. Упрощаем с двумя буквами

Упростим $\left(-\frac{1}{2}x^3y^{-5}\right)^{-2} \cdot 4^{-1}x^{7}y^{-10}$.

1. Возводим каждый множитель в степень $-2$: $\left(-\frac{1}{2}\right)^{-2} = (-2)^2 = 4$, $(x^3)^{-2} = x^{-6}$, $(y^{-5})^{-2} = y^{10}$.
2. Умножаем: $4 \cdot x^{-6} \cdot y^{10} \cdot \frac{1}{4} \cdot x^7 \cdot y^{-10} = x^{-6+7} \cdot y^{10-10} = x \cdot y^0 = x$.

Пример 7. Упрощаем, а потом подставляем

Найдём значение $\frac{7}{5^2}x^3y^2 \cdot 25x^{-3}y^{-4}$ при $y = \frac{1}{7}$.

$\frac{7}{25} \cdot 25 = 7$; $x^3 \cdot x^{-3} = x^0 = 1$; $y^2 \cdot y^{-4} = y^{-2}$. Выражение стало $7y^{-2}$. При $y = \frac{1}{7}$: $7 \cdot 7^2 = 343$.

Пример 8. Доказываем тождество

Докажем: $\left(-\frac{1}{3}a^{-2}b\right)^2 \cdot 9a^5b^{-2} = a$.

Упрощаем левую часть: $\frac{1}{9}a^{-4}b^2 \cdot 9a^5b^{-2} = a^{-4+5} \cdot b^{2-2} = a$. Левая часть равна правой, тождество доказано. Здесь мы использовали три правила: степень произведения, степень степени и умножение степеней с одинаковым основанием.

Пример 9. Выражение не зависит от переменной

Докажем, что значение $\frac{2^{-3n} \cdot 3^{-2}}{8^{-n} \cdot 9^{-1} \cdot 5^{-1}}$ не зависит от $n$.

$8^{-n} = (2^3)^{-n} = 2^{-3n}$ — он сокращается с числителем. Остаётся $\frac{3^{-2}}{9^{-1} \cdot 5^{-1}} = \frac{3^{-2}}{3^{-2} \cdot 5^{-1}} = 5$. Получилось число $5$, а $n$ исчезло. Значит, значение от $n$ не зависит.

⚠️ Частая ошибка. $-3^2 \ne (-3)^2$. Первое равно $-9$ (минус стоит снаружи), второе равно $9$. И $(-9)^{-1}$ не то же самое, что $-9^{-1}$: первое $-\frac{1}{9}$, второе тоже $-\frac{1}{9}$, но $(-3)^{-2} = \frac{1}{9}$, а $-3^{-2} = -\frac{1}{9}$. Смотри, где стоит скобка.

⚠️ Частая ошибка. Нельзя складывать основания: $2^3 \cdot 3^3 \ne 5^3$, а $2^3 \cdot 3^3 = 6^3$. Одинаковые показатели позволяют перемножить основания.

👨‍👩‍👧 Родителю. Спросите ребёнка: «С чего начинается упрощение?» Правильный ответ: приведу всё к простым основаниям (2, 3, 5…). Если он сразу берётся за калькулятор, это сигнал, что идея пока не усвоена.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие свойства степени использованы при доказательстве тождества из примера 8? Возведение произведения в степень, возведение степени в степень и умножение степеней с одинаковыми основаниями (сложение показателей).
• Объясните, что равенство $\frac{2^{-22}}{2^{-22}} = 1$ верно. Числитель и знаменатель — одно и то же число, отличное от нуля. А любое такое число, разделённое само на себя, даёт $1$. Если считать по правилу, то $2^{-22-(-22)} = 2^0 = 1$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 8.1

Упростите: 1) $(a^5)^2 : a^9 \cdot a^3$; 2) $a^{21} \cdot (a^4)^3 : (a^3)^{10}$; 3) $b^{40} : (b^2)^{11} : (b^4)^2$; 4) $(b^6)^4 : (b^7)^3 \cdot (b^2)^3$.

Как думать. Сначала возводим степень в степень, потом выполняем действия слева направо.

Решение.

1. $a^{10} : a^9 \cdot a^3 = a \cdot a^3 = a^4$.
2. $a^{21} \cdot a^{12} : a^{30} = a^{33-30} = a^3$.
3. $b^{40} : b^{22} : b^8 = b^{18} : b^8 = b^{10}$.
4. $b^{24} : b^{21} \cdot b^6 = b^3 \cdot b^6 = b^9$.

Ответ: 1) $a^4$; 2) $a^3$; 3) $b^{10}$; 4) $b^9$.

№ 8.2

Упростите: 1) $(x^2y)^6 : (x^5y^3)^2 \cdot xy$; 2) $(xy^3)^7 \cdot (x^6y^4)^3 : (x^{24}y^{32})$; 3) $\left(\frac{x}{y}\right)^8 : \left(\frac{x^2}{y}\right)^4 \cdot xy^5$; 4) $x^5y^8 \cdot (xy)^5 : (x^5y^3)^2$.

Как думать. Показатели у $x$ и у $y$ считаем отдельно.

Решение.

1. $\frac{x^{12}y^6}{x^{10}y^6} \cdot xy = x^2 \cdot xy = x^3y$.
2. $x^7y^{21} \cdot x^{18}y^{12} = x^{25}y^{33}$. Делим на $x^{24}y^{32}$: $xy$.
3. $\frac{x^8}{y^8} : \frac{x^8}{y^4} = \frac{x^8}{y^8} \cdot \frac{y^4}{x^8} = \frac{1}{y^4}$. Тогда $\frac{1}{y^4} \cdot xy^5 = xy$.
4. $x^5y^8 \cdot x^5y^5 = x^{10}y^{13}$. Делим на $x^{10}y^6$: $y^7$.

Ответ: 1) $x^3y$; 2) $xy$; 3) $xy$; 4) $y^7$.

№ 8.3

Упростите и найдите значения: 1) $a^{10}b^{17} : (a^4b^8)^2$ при $a = 3\frac{1}{2}$, $b = \frac{4}{7}$; 2) $(x^{14})^2 \cdot (y^{20})^3 : (x^9y^{19})^3$ при $x = \frac{6}{11}$, $y = -11$; 3) $(m^6)^4 \cdot (n^8)^2 : (m^{11}n^7)^2$ при $m = -\frac{8}{9}$, $n = 0{,}81$; 4) $(c^{10}d^6)^3 : (c^9)^3 : (d^2)^8$ при $c = -0{,}25$, $d = \frac{4}{5}$.

Как думать. Упрощаем, пока не останутся маленькие степени, и только потом подставляем.

Решение.

1. $a^{10}b^{17} : (a^8b^{16}) = a^2b$. Подставляем: $\left(\frac{7}{2}\right)^2 \cdot \frac{4}{7} = \frac{49}{4} \cdot \frac{4}{7} = 7$.
2. $x^{28}y^{60} : (x^{27}y^{57}) = xy^3$. Подставляем: $\frac{6}{11} \cdot (-11)^3 = \frac{6}{11} \cdot (-1331) = -6 \cdot 121 = -726$.
3. $m^{24}n^{16} : (m^{22}n^{14}) = m^2n^2$. Подставляем: $\frac{64}{81} \cdot 0{,}6561 = 64 \cdot 0{,}0081 = 0{,}5184$.
4. $c^{30}d^{18} : c^{27} : d^{16} = c^3d^2$. Подставляем: $(-0{,}25)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2 = -\frac{1}{64} \cdot \frac{16}{25} = -\frac{1}{100} = -0{,}01$.

Ответ: 1) $7$; 2) $-726$; 3) $0{,}5184$; 4) $-0{,}01$.

№ 8.4

Найдите недостающие члены числовой последовательности: 1) $5^1, 5^2, ?, 5^4, 5^5, ?$ (по возрастанию степеней числа 5); 2) $6, 36, ?, ?$ (степени числа 6); 3) $\frac{2}{3}, \frac{4}{9}, ?, \frac{16}{81}, ?$ (степени числа $\frac{2}{3}$).

Как думать. Каждый следующий член — это следующая степень того же числа.

Решение.

1. Пропущены $5^3 = 125$ и $5^6 = 15625$.
2. $6 = 6^1$, $36 = 6^2$; дальше $6^3 = 216$ и $6^4 = 1296$.
3. $\frac{2}{3} = \left(\frac{2}{3}\right)^1$, $\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$. Пропущены $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$ и $\left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{32}{243}$.

Ответ: 1) $5^3 = 125$; $5^6 = 15625$; 2) $216$; $1296$; 3) $\frac{8}{27}$; $\frac{32}{243}$.

№ 8.5

При каком значении $m$ верно равенство: 1) $303 - 7^3 + (2^4)^2 = m^3$; 2) $(-3)^5 + (-5)^2 + 282 = m^3$; 3) $-16{,}31 - (-1{,}3)^2 + (-19)^2 = m^3$; 4) $49\frac{1}{8} + \left(-\frac{1}{2}\right)^3 + (-24)^2 = m^2$?

Как думать. Считаем левую часть, потом ищем число, которое в нужной степени даёт этот результат.

Решение.

1. $303 - 343 + 256 = 216 = 6^3$, значит $m = 6$.
2. $-243 + 25 + 282 = 64 = 4^3$, значит $m = 4$.
3. $-16{,}31 - 1{,}69 + 361 = 343 = 7^3$, значит $m = 7$.
4. $49\frac{1}{8} - \frac{1}{8} + 576 = 49 + 576 = 625 = m^2$, значит $m = 25$ или $m = -25$.

Ответ: 1) $6$; 2) $4$; 3) $7$; 4) $-25$ и $25$.

№ 8.6

Вместо звёздочки вставьте число, чтобы равенство было верным: 1) $10^4 - 9375 = 5^$; 2) $-2015 + 14^3 = 9^$; 3) $3^9 - 11,683 = (20)^$; 4) $1199 + 7^4 = (60)^$.

Как думать. Считаем левую часть и узнаём, какая это степень.

Решение.

1. $10000 - 9375 = 625 = 5^4$. Звёздочка $4$.
2. $-2015 + 2744 = 729 = 9^3$. Звёздочка $3$.
3. $19683 - 11683 = 8000 = 20^3$. Звёздочка $3$.
4. $1199 + 2401 = 3600 = 60^2$. Звёздочка $2$.

Ответ: 1) $4$; 2) $3$; 3) $3$; 4) $2$.

№ 8.7

Докажите, что при любых значениях переменных равно единице значение выражения: 1) $(a^5)^6 \cdot (a^4b^2)^7 : (a^{29}b^7)^2$; 2) $(a^4b^5)^3 \cdot (a^8b^9) : (a^{10}b^{12})^2$; 3) $(c^8)^6 \cdot (d^{18})^3 : (c^8d^9)^6$; 4) $(x^{11}y^2)^4 \cdot (y^5)^2 : (x^{22}y^9)^2$.

Как думать. Считаем показатели каждой буквы в числителе и знаменателе. Они должны совпасть. (Буквы не равны нулю.)

Решение.

1. $a^{30} \cdot a^{28}b^{14} = a^{58}b^{14}$. Знаменатель: $a^{58}b^{14}$. Дробь $= 1$.
2. Числитель: $a^{12}b^{15} \cdot a^8b^9 = a^{20}b^{24}$. Знаменатель: $a^{20}b^{24}$. Дробь $= 1$.
3. Числитель: $c^{48}d^{54}$. Знаменатель: $c^{48}d^{54}$. Дробь $= 1$.
4. Числитель: $x^{44}y^8 \cdot y^{10} = x^{44}y^{18}$. Знаменатель: $x^{44}y^{18}$. Дробь $= 1$.

Ответ: во всех четырёх случаях значение равно $1$.

№ 8.8

Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной: 1) $((n^3)^2)^4 : (n^7)^2 - 5 - n^{10}$; 2) $m^{30} : ((m^3)^2)^3 + 17 - (m^6)^2$; 3) $((a^2)^2)^2 \cdot a^4 + 19 - (a^4)^3$; 4) $-23 - b^{40} + ((b^5)^4)^2$.

Как думать. Переменные должны сократиться, останется число.

Решение.

1. $n^{24} : n^{14} - 5 - n^{10} = n^{10} - 5 - n^{10} = -5$.
2. $m^{30} : m^{18} + 17 - m^{12} = m^{12} + 17 - m^{12} = 17$.
3. $a^8 \cdot a^4 + 19 - a^{12} = a^{12} + 19 - a^{12} = 19$.
4. $-23 - b^{40} + b^{40} = -23$.

Ответ: 1) $-5$; 2) $17$; 3) $19$; 4) $-23$.

№ 8.9

Найдите закономерность числовой последовательности и запишите следующие три члена: 1) $4, 16, 64, \dots$; 2) $7^1, 7^3, 7^5, \dots$; 3) $3^1, 3^4, 3^7, \dots$

Как думать. Смотрим, как меняется следующий член: умножается на число или растёт показатель.

Решение.

1. Каждый член больше предыдущего в 4 раза ($4 = 4^1$, $16 = 4^2$, $64 = 4^3$). Дальше $4^4 = 256$, $4^5 = 1024$, $4^6 = 4096$.
2. Показатель растёт на $2$. Дальше $7^7$, $7^9$, $7^{11}$.
3. Показатель растёт на $3$. Дальше $3^{10}$, $3^{13}$, $3^{16}$.

Ответ: 1) $256; 1024; 4096$; 2) $7^7; 7^9; 7^{11}$; 3) $3^{10}; 3^{13}; 3^{16}$.

№ 8.10

Найдите значение выражения: 1) $\frac{17^2 \cdot 17^{-4}}{17^{-3}}$; 2) $\frac{0{,}7^7 \cdot 0{,}7^{-3}}{0{,}7^3} \cdot 3$; 3) $\frac{0{,}5^4 \cdot 2^5}{4^2} : 8^2$; 4) $1{,}33^{-5} \cdot 1{,}33^6 : \pi^0$.

Как думать. Если основание одно и то же, работаем только с показателями.

Решение.

1. $17^{2-4-(-3)} = 17^1 = 17$.
2. $0{,}7^{7-3-3} \cdot 3 = 0{,}7 \cdot 3 = 2{,}1$.
3. $0{,}5^4 = 2^{-4}$, $4^2 = 2^4$, $8^2 = 2^6$. Тогда $2^{-4+5-4-6} = 2^{-9} = \frac{1}{512}$.
4. $1{,}33^{-5+6} : 1 = 1{,}33$.

Ответ: 1) $17$; 2) $2{,}1$; 3) $\frac{1}{512}$; 4) $1{,}33$.

№ 8.11

Даны первые три члена числовой последовательности: 1) $(0{,}5)^{-1}; 4; \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}; \dots$ 2) $0{,}0016; \frac{1}{125}; 0{,}04; \dots$ а) Представьте члены в виде степеней с одинаковыми основаниями и натуральным показателем; б) найдите закономерность и запишите следующие два члена.

Как думать. Превращаем члены в степени одного числа и смотрим, как меняется показатель.

Решение.

1. $(0{,}5)^{-1} = 2 = 2^1$; $4 = 2^2$; $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3$. Показатель растёт на 1. Следующие члены: $2^4 = 16$ и $2^5 = 32$.
2. $0{,}0016 = 0{,}2^4$; $\frac{1}{125} = 0{,}008 = 0{,}2^3$; $0{,}04 = 0{,}2^2$. Показатель убывает на 1. Следующие члены: $0{,}2^1 = 0{,}2$ и $0{,}2^0 = 1$ (в виде натуральной степени после $0{,}2^1$ уже нужен нулевой показатель).

Ответ: 1) а) $2^1, 2^2, 2^3$; б) $2^4 = 16$, $2^5 = 32$; 2) а) $0{,}2^4, 0{,}2^3, 0{,}2^2$; б) $0{,}2$ и $1$.

№ 8.12

Вместо звёздочки запишите число, чтобы равенство было верным: 1) $2^5 \cdot 2^{-2} \cdot * = 2^7$; 2) $4^5 \cdot 8^{-2} \cdot * = 4^7$; 3) $5^5 \cdot 5^{-2} \cdot * = 5^7$.

Как думать. Показатель звёздочки находим как «нужный минус уже есть».

Решение.

1. $2^5 \cdot 2^{-2} = 2^3$. Нужно $2^7$, значит $* = 2^{7-3} = 2^4 = 16$.
2. $4^5 = 2^{10}$, $8^{-2} = 2^{-6}$, их произведение $2^4 = 16$. А $4^7 = 2^{14}$. Значит $* = 2^{14-4} = 2^{10} = 1024$.
3. $5^5 \cdot 5^{-2} = 5^3$. Нужно $5^7$, значит $* = 5^4 = 625$.

Ответ: 1) $16$; 2) $1024$; 3) $625$.

№ 8.13

Расположите в порядке возрастания числа: $3^{-1}; 3^3; 9^2; 27^{-2}; 81^0; -3^2; -9^{-1}$.

Как думать. Считаем каждое число: отрицательные, потом дробные, единица, большие.

Решение. $3^{-1} = \frac{1}{3}$; $3^3 = 27$; $9^2 = 81$; $27^{-2} = \frac{1}{729}$; $81^0 = 1$; $-3^2 = -9$; $-9^{-1} = -\frac{1}{9}$. По возрастанию: $-9 < -\frac{1}{9} < \frac{1}{729} < \frac{1}{3} < 1 < 27 < 81$.

Ответ: $-3^2; -9^{-1}; 27^{-2}; 3^{-1}; 81^0; 3^3; 9^2$.

№ 8.14

Расположите в порядке убывания числа: $5^{-1}; 5^3; 25^2; 27^{-2}; 521^0; -8^2; -4^{-2}$.

Решение. $5^{-1} = 0{,}2$; $5^3 = 125$; $25^2 = 625$; $27^{-2} = \frac{1}{729}$; $521^0 = 1$; $-8^2 = -64$; $-4^{-2} = -\frac{1}{16}$. По убыванию: $625 > 125 > 1 > 0{,}2 > \frac{1}{729} > -\frac{1}{16} > -64$.

Как думать. То же, что в 8.13, только порядок обратный: от самого большого к самому маленькому.

Ответ: $25^2; 5^3; 521^0; 5^{-1}; 27^{-2}; -4^{-2}; -8^2$.

№ 8.15

Докажите, что отрицательное число — значение выражения: 1) $\frac{(-3)^3 \cdot 9^{-2}}{(-81)^2}$; 2) $\frac{(-4)^4 \cdot 9^{-2}}{-11^2}$; 3) $\frac{(-3)^3 \cdot (-9^{-2})}{-8^2}$.

Как думать. Не нужно считать точно: достаточно определить знак числителя и знаменателя.

Решение.

1. Числитель: $(-3)^3 < 0$, умножаем на $9^{-2} > 0$ — число отрицательное. Знаменатель: $(-81)^2 > 0$. Отрицательное, делённое на положительное, — отрицательное число. Точное значение: $-\frac{27}{81 \cdot 6561} = -\frac{1}{19683}$.
2. Числитель: $(-4)^4 > 0$ и $9^{-2} > 0$, значит положительный. Знаменатель: $-11^2 = -121 < 0$. Результат отрицательный. Точно: $-\frac{256}{9801}$.
3. Числитель: $(-3)^3 = -27$ и $-9^{-2} = -\frac{1}{81}$. Произведение двух отрицательных: $\frac{1}{3} > 0$. Знаменатель $-8^2 = -64 < 0$. Результат отрицательный. Точно: $-\frac{1}{192}$.

Ответ: во всех случаях значение отрицательно.

№ 8.16

Докажите, что положительное число — значение выражения: 1) $21^0 - 3^{-2} - 4^{-2}$; 2) $2^{-3} + 3^{-1} + (-4)^2$; 3) $9^{-1} - \frac{(-3)^2}{(-5^2)}$.

Как думать. Считаем точно: здесь числа небольшие.

Решение.

1. $1 - \frac{1}{9} - \frac{1}{16} = \frac{144 - 16 - 9}{144} = \frac{119}{144} > 0$.
2. $\frac{1}{8} + \frac{1}{3} + 16 = 16\frac{11}{24} > 0$.
3. $\frac{(-3)^2}{(-5^2)} = \frac{9}{-25} = -\frac{9}{25}$. Тогда $\frac{1}{9} - \left(-\frac{9}{25}\right) = \frac{1}{9} + \frac{9}{25} = \frac{25 + 81}{225} = \frac{106}{225} > 0$.

Ответ: 1) $\frac{119}{144}$; 2) $16\frac{11}{24}$; 3) $\frac{106}{225}$ — все числа положительны.

Уровень B

№ 8.17

Докажите тождество: 1) $x^3 : (x^{-1})^3 + \pi^0 = 1 + x^6$; 2) $(b^4 - b^3) : b^2 = b^2 - b$; 3) $\frac{2^4 : 4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^2 = \frac{4}{a^{-4}}$.

Как думать. Упрощаем левую часть и сравниваем с правой.

Решение.

1. $(x^{-1})^3 = x^{-3}$. Тогда $x^3 : x^{-3} = x^6$, а $\pi^0 = 1$. Получили $x^6 + 1 = 1 + x^6$. Верно.
2. Делим каждое слагаемое: $\frac{b^4}{b^2} - \frac{b^3}{b^2} = b^2 - b$. Верно.
3. $2^4 : 4 = 4$, $14^0 = 1$: $\frac{4}{a^{-2}} \cdot a^2 = 4a^2 \cdot a^2 = 4a^4$. Правая часть: $\frac{4}{a^{-4}} = 4a^4$. Верно.

Ответ: все три тождества доказаны.

№ 8.18

Упростите выражение: 1) $\frac{(b^5)^3 \cdot (b^7)^7}{b^{19} \cdot b^{38}}$; 2) $\frac{c^{50} \cdot c^{11}}{(c^{20})^2 \cdot (c^2)^5}$; 3) $\frac{(a^9)^3 \cdot (a^3)^4 \cdot a^{23}}{a^{40} \cdot a^{18}}$; 4) $\frac{d^{13} \cdot (d^8)^3 \cdot (d^7)^2}{(d^3)^{10} \cdot (d^6)^2}$.

Как думать. Считаем показатель числителя, показатель знаменателя, вычитаем.

Решение.

1. Числитель: $b^{15} \cdot b^{49} = b^{64}$ (в первой скобке $(b^5)^3 = b^{15}$, во второй $(b^7)^7 = b^{49}$). Знаменатель: $b^{19+38} = b^{57}$. Итог $b^{64-57} = b^7$.
2. Числитель: $c^{61}$. Знаменатель: $c^{40} \cdot c^{10} = c^{50}$. Итог $c^{11}$.
3. Числитель: $a^{27} \cdot a^{12} \cdot a^{23} = a^{62}$. Знаменатель: $a^{58}$. Итог $a^4$.
4. Числитель: $d^{13+24+14} = d^{51}$. Знаменатель: $d^{30+12} = d^{42}$. Итог $d^9$.

Ответ: 1) $b^7$; 2) $c^{11}$; 3) $a^4$; 4) $d^9$.

№ 8.19

Дана числовая последовательность $2^1, 4^2, 8^3, 16^4, 32^5, \dots$ 1) Найдите закономерность и запишите следующий член; 2) запишите последовательность в виде степеней числа 2.

Как думать. Основания — степени двойки: $2^1, 2^2, 2^3, \dots$ И показатель равен номеру члена.

Решение.

1. Основание: $2, 4, 8, 16, 32$ — удваивается. Показатель: $1, 2, 3, 4, 5$ — растёт на $1$. Следующий член $64^6$.
2. $2^1$; $4^2 = (2^2)^2 = 2^4$; $8^3 = (2^3)^3 = 2^9$; $16^4 = (2^4)^4 = 2^{16}$; $32^5 = (2^5)^5 = 2^{25}$. Показатели: $1, 4, 9, 16, 25$ — это квадраты номеров. Следующий $64^6 = (2^6)^6 = 2^{36}$.

Ответ: 1) $64^6$; 2) $2^1, 2^4, 2^9, 2^{16}, 2^{25}, \dots$ — общий член $2^{n^2}$; следующий $2^{36}$.

№ 8.20

Какой цифрой оканчивается значение выражения: 1) $4^{13} + 5^{10} - 2^{16}$; 2) $7^{11} + 15^{10} - 3^{13}$; 3) $2^{23} + 6^{19} - 9^{18}$; 4) $8^{15} + 7^{10} - 9^{16}$?

Как думать. Последняя цифра степени повторяется по кругу. Для $2$: $2, 4, 8, 6$; для $3$: $3, 9, 7, 1$; для $7$: $7, 9, 3, 1$; для $8$: $8, 4, 2, 6$ (период 4). Для $4$: $4, 6$; для $9$: $9, 1$. Для $5$ и $6$ цифра всегда $5$ и $6$. Номер в круге определяем по остатку от деления показателя на $4$.

Решение.

1. $4^{13}$: нечётный показатель, цифра $4$. $5^{10}$ даёт $5$. $2^{16}$: $16$ делится на $4$, цифра $6$. Считаем: $4 + 5 - 6 = 3$.
2. $7^{11}$: остаток $11 : 4 = 3$, третья в круге $7, 9, 3, 1$ — цифра $3$. $15^{10}$ даёт $5$. $3^{13}$: остаток $1$, цифра $3$. Считаем: $3 + 5 - 3 = 5$.
3. $2^{23}$: остаток $3$, цифра $8$. $6^{19}$ даёт $6$. $9^{18}$: чётный показатель, цифра $1$. Считаем: $8 + 6 - 1 = 13$, последняя цифра $3$.
4. $8^{15}$: остаток $3$, цифра $2$. $7^{10}$: остаток $2$, цифра $9$. $9^{16}$: цифра $1$. Считаем: $2 + 9 - 1 = 10$, последняя цифра $0$.

Ответ: 1) $3$; 2) $5$; 3) $3$; 4) $0$.

№ 8.21

Найдите значение выражения: 1) $\frac{\left(\frac{1}{9}\right)^{-3} \cdot \frac{1}{9}}{3^3}$; 2) $45 \cdot \frac{5^{-2}}{9^2}$; 3) $\frac{34^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot 8^2$.

Как думать. Раскладываем числа: $9 = 3^2$, $34 = 2 \cdot 17$, $8 = 2^3$.

Решение.

1. $\left(\frac{1}{9}\right)^{-3} = 9^3$. Тогда $\frac{9^3 \cdot 9^{-1}}{27} = \frac{81}{27} = 3$.
2. $\frac{45}{25 \cdot 81} = \frac{45}{2025} = \frac{1}{45}$.
3. $34^3 = 2^3 \cdot 17^3$, $8^2 = 2^6$. Тогда $\frac{2^3 \cdot 17^3 \cdot 2^6}{17^2 \cdot 2^4} = 2^{3+6-4} \cdot 17^{3-2} = 2^5 \cdot 17 = 32 \cdot 17 = 544$.

Ответ: 1) $3$; 2) $\frac{1}{45}$; 3) $544$.

Уровень C

Это самые трудные задания. Даже если получилось не всё, попытка очень ценна.

№ 8.22

Верны ли равенства: 1) $\frac{(2^4)^6 \cdot 4^5}{16^3 \cdot 8^7} = 2$; 2) $\frac{(17^8)^2 \cdot (17^3)^3 \cdot 16^5}{17^{22} \cdot 289 \cdot 8^6} = 68$?

Как думать. Приводим всё к степеням $2$ и $17$.

Решение.

1. $(2^4)^6 = 2^{24}$, $4^5 = 2^{10}$, $16^3 = 2^{12}$, $8^7 = 2^{21}$. Тогда $\frac{2^{34}}{2^{33}} = 2$. Равенство верно.
2. Семнадцатки: $17^{16} \cdot 17^9 = 17^{25}$; внизу $17^{22} \cdot 17^2 = 17^{24}$ (так как $289 = 17^2$); получаем $17$. Двойки: $16^5 = 2^{20}$, $8^6 = 2^{18}$; получаем $2^2 = 4$. Итого $17 \cdot 4 = 68$. Равенство верно.

Ответ: оба равенства верны.

№ 8.23

Верны ли равенства: 1) $\frac{(a^5)^6 \cdot (b^9)^4 \cdot (a^2b^2)^3}{(b^4)^{10} \cdot (a^7)^5} = ab^2$; 2) $\frac{(c^8d^5)^{11} \cdot (c^7)^3 \cdot (d^4)^2}{(d^{31})^2 \cdot (c^{25})^4} = c^9d$?

Как думать. Считаем показатели $a$, $b$ (и $c$, $d$) отдельно.

Решение.

1. Числитель: $a^{30+6} = a^{36}$ и $b^{36+6} = b^{42}$. Знаменатель: $b^{40}$ и $a^{35}$. Дробь: $a^{36-35}b^{42-40} = ab^2$. Равенство верно.
2. Числитель: $c^{88+21} = c^{109}$ и $d^{55+8} = d^{63}$. Знаменатель: $d^{62}$ и $c^{100}$. Дробь: $c^9d$. Равенство верно.

Ответ: оба равенства верны.

№ 8.24

Докажите, что при $a = 1$, $b = -1$ значения выражений равны: 1) $(a^5 \cdot b^6)^7 : (a^{33} \cdot b^{40}) + 1$ и $(a^8b^2)^2 : (a^5b)^3 + 3$; 2) $\frac{(a^4)^3 \cdot (b^{10})^2}{a^8 \cdot (b^5)^3} - 4$ и $\frac{(a^7)^4 \cdot (b^9)^2}{(a^5)^5 \cdot b^{16}} - 6$.

Как думать. Сначала упрощаем оба выражения, потом подставляем $a = 1$, $b = -1$.

Решение.

1. Первое: $a^{35}b^{42} : (a^{33}b^{40}) + 1 = a^2b^2 + 1 = 1 + 1 = 2$. Второе: $a^{16}b^4 : (a^{15}b^3) + 3 = ab + 3 = -1 + 3 = 2$. Значения равны: $2 = 2$.
2. Первое: $\frac{a^{12}b^{20}}{a^8b^{15}} - 4 = a^4b^5 - 4 = (-1) - 4 = -5$. Второе: $\frac{a^{28}b^{18}}{a^{25}b^{16}} - 6 = a^3b^2 - 6 = 1 - 6 = -5$. Значения равны: $-5 = -5$.

Ответ: 1) оба равны $2$; 2) оба равны $-5$.

№ 8.25

Выполните действия и приведите выражение к виду, не содержащему отрицательных показателей: 1) $\frac{(a^{-3} \cdot x^4)^2}{(a^{-2})^2 \cdot x^{-7}} \cdot 2^{-2}$; 2) $\frac{(b^3 \cdot y^{-3})^2}{(b^2)^2 \cdot y^7} \cdot y^{-1}$; 3) $\frac{(3^3 \cdot x^4)^{-2}}{(3^2)^2 \cdot x^{-7}} + \frac{2}{x^{-3}}$.

Как думать. Сначала упрощаем, потом «переворачиваем» отрицательные степени в знаменатель.

Решение.

1. Числитель: $a^{-6}x^8$. Знаменатель: $a^{-4}x^{-7}$. Дробь: $a^{-2}x^{15}$. Умножаем на $\frac{1}{4}$: $\frac{x^{15}}{4a^2}$.
2. Числитель: $b^6y^{-6}$. Знаменатель: $b^4y^7$. Дробь: $b^2y^{-13}$. Умножаем на $y^{-1}$: $b^2y^{-14} = \frac{b^2}{y^{14}}$.
3. Числитель: $3^{-6}x^{-8}$. Знаменатель: $3^4x^{-7}$. Дробь: $3^{-10}x^{-1} = \frac{1}{3^{10}x} = \frac{1}{59049x}$. Второе слагаемое: $\frac{2}{x^{-3}} = 2x^3$.

Ответ: 1) $\frac{x^{15}}{4a^2}$; 2) $\frac{b^2}{y^{14}}$; 3) $\frac{1}{59049x} + 2x^3$.

№ 8.26

Верно ли, что натуральным числом является значение выражения: 1) $\frac{(3^3 \cdot x)^2}{(x^2)^3 \cdot b^2}$ при $x = 0{,}5$ и $b = \frac{1}{3}$; 2) $\frac{(a^3 \cdot x^4)^2}{(a^2)^2 \cdot x^7}$ при $a = 0{,}1$ и $x = 2$?

Как думать. Находим значение и смотрим: целое ли оно и положительное ли.

Решение.

1. $\frac{3^6x^2}{x^6b^2} = 3^6x^{-4}b^{-2}$. Подставляем: $729 \cdot 0{,}5^{-4} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 729 \cdot 16 \cdot 9 = 104,976$. Это натуральное число.
2. Смотри шаги выше: $0{,}02$.

Ответ: 1) да ($104,976$); 2) нет ($0{,}02$).

№ 8.27

Докажите, что от $n$ не зависит значение выражения: 1) $\frac{2^{-2n} \cdot 3^{-2}}{4^{-n} \cdot 3^{-1}}$; 2) $\frac{5^{-3n} \cdot 34^{-2}}{125^{-n} \cdot 17^{-1}}$; 3) $\frac{0{,}2^{-2n} \cdot 13^{-2}}{0{,}04^{-n} \cdot 23^{-1}}$.

Как думать. Знаменатель и числитель содержат одну и ту же степень с $n$. Нужно показать, что они сокращаются: $4^{-n} = 2^{-2n}$, $125^{-n} = 5^{-3n}$, $0{,}04^{-n} = 0{,}2^{-2n}$.

Решение.

1. $4^{-n} = (2^2)^{-n} = 2^{-2n}$ — сокращается. Остаётся $\frac{3^{-2}}{3^{-1}} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
2. $125^{-n} = (5^3)^{-n} = 5^{-3n}$ — сокращается. Остаётся $\frac{34^{-2}}{17^{-1}} = \frac{17}{34^2} = \frac{17}{1156} = \frac{1}{68}$.
3. $0{,}04^{-n} = (0{,}2^2)^{-n} = 0{,}2^{-2n}$ — сокращается. Остаётся $\frac{13^{-2}}{23^{-1}} = \frac{23}{169}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{3}$; 2) $\frac{1}{68}$; 3) $\frac{23}{169}$ — число $n$ исчезло, значит, значение от него не зависит.

Готовимся к следующей теме

№ 8.28

Выполните действия: 1) $15,248 : 10^4$; 2) $0{,}0174 \cdot 10^2$; 3) $7124 : 10^3$; 4) $0{,}00824 \cdot 10^3$.

Как думать. Деление на $10^n$ сдвигает запятую влево на $n$ знаков, умножение на $10^n$ сдвигает вправо.

Решение.

1. $15248 : 10000 = 1{,}5248$ (запятая на $4$ знака влево).
2. $0{,}0174 \cdot 100 = 1{,}74$ (на $2$ знака вправо).
3. $7124 : 1000 = 7{,}124$.
4. $0{,}00824 \cdot 1000 = 8{,}24$.

Ответ: 1) $1{,}5248$; 2) $1{,}74$; 3) $7{,}124$; 4) $8{,}24$.

№ 8.29

Сравните значения выражений: 1) $7200 : 10^3$ и $7{,}2$; 2) $0{,}058 \cdot 10^2$ и $5{,}8$; 3) $193,000 : 10^5$ и $1{,}93$; 4) $0{,}0002 \cdot 10^3$ и $2$.

Как думать. Сначала сдвигаем запятую, потом сравниваем.

Решение.

1. $7200 : 1000 = 7{,}2$. Равны.
2. $0{,}058 \cdot 100 = 5{,}8$. Равны.
3. $193000 : 100000 = 1{,}93$. Равны.
4. $0{,}0002 \cdot 1000 = 0{,}2$. $0{,}2 < 2$.

Ответ: 1) $=$; 2) $=$; 3) $=$; 4)

№ 8.30

Округлите числа $243{,}478$; $4076{,}237$; $15,023{,}4083$: 1) до десятых; 2) до сотых; 3) до десятков; 4) до сотен.

Как думать. Смотрим на цифру справа от нужного разряда: $5$ и больше — прибавляем единицу, меньше $5$ — оставляем.

Решение.

1. До десятых: $243{,}5$; $4076{,}2$; $15,023{,}4$.
2. До сотых: $243{,}48$; $4076{,}24$; $15,023{,}41$.
3. До десятков: $240$; $4080$; $15,020$.
4. До сотен: $200$; $4100$; $15,000$.

Ответ: см. таблицу выше.

Шпаргалка

• Начинай с простых оснований: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $9 = 3^2$, $25 = 5^2$.
• Не считай огромные числа: сначала сократи степени.
• Тождество доказываем, упростив одну часть до другой.
• Подставляй числа только после упрощения.
• Для сравнения степеней приводи их к одинаковым основаниям или показателям.

Мини-тест