§ 9. Стандартный вид числа. Решение текстовых задач

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 1: Степень с целым показателем. Страницы 63–74.

Чему научишься

• Записывать очень большие и очень маленькие числа в стандартном виде $a\cdot 10^{n}$.
• Находить значащую часть и порядок числа.
• Сравнивать числа в стандартном виде и выполнять с ними действия.
• Считать абсолютную и относительную погрешность приближённого значения.
• Округлять числа и понимать запись $x = x_1 \pm h$.

Разминка

• Чему равно $10^{3}$? $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.
• Чему равно $10^{-2}$? $\frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0{,}01$.
• Как изменится число, если запятую сдвинуть на 3 знака вправо? Оно увеличится в $10^3 = 1000$ раз.
• Чему равно $10^{5}\cdot 10^{-2}$? Показатели складываем: $10^{3}$.
• Как округлить $5{,}748$ до сотых? Смотрим на цифру после сотых: это 8, значит, округляем вверх, получится $5{,}75$.

Разбираемся

Зачем нужна особая запись

Расстояние от Земли до Солнца — около 150 000 000 км. Диаметр молекулы ДНК — 0,000 000 002 м. Нули считать неудобно, а ошибиться в одном нуле — значит ошибиться в 10 раз. Поэтому придумали короткую запись.

📌 Стандартный вид числа — это запись $a\cdot 10^{n}$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $a$ называют значащей частью, число $n$ — порядком числа.

Например, $1{,}5\cdot 10^{8}$ км — расстояние до Солнца. Значащая часть $1{,}5$, порядок $8$. А диаметр ДНК: $2\cdot 10^{-9}$ м, значащая часть $2$, порядок $-9$.

💡 Порядок — это «масштаб» числа. Если порядок равен $3$, число лежит между $1000$ и $10,000$. Если порядок $-2$, число между $0{,}01$ и $0{,}1$. Большой положительный порядок — число огромное, большой отрицательный — число крошечное.

Как записать число в стандартном виде

Делаем три шага. Покажем на примере диаметра Солнца, 1 300 000 км.

С маленькими числами наоборот. В числе $0{,}000,000,000,000,005$ сдвигаем запятую вправо на 15 знаков и получаем $5$. Мы увеличили число в $10^{15}$ раз, поэтому умножаем на $10^{-15}$. Итог: $5\cdot 10^{-15}$ м — это диаметр атомного ядра.

⚠️ Частая ошибка. Запись $50\cdot 10^{4}$ не стандартный вид: $50$ не меньше десяти. Правильно: $5\cdot 10^{5}$. И $0{,}5\cdot 10^{9}$ тоже не стандартный: $0{,}5 < 1$. Правильно: $5\cdot 10^{8}$.

Сравниваем числа

Действия с числами в стандартном виде

• Сложение и вычитание с одинаковым порядком. Складываем (вычитаем) значащие части, порядок оставляем: $3{,}5\cdot 10^{7} + 2\cdot 10^{7} = 5{,}5\cdot 10^{7}$.
• С разными порядками. Сначала приводим к одному порядку: $2\cdot 10^{6} = 0{,}2\cdot 10^{7}$, тогда $3{,}5\cdot 10^{7} + 0{,}2\cdot 10^{7} = 3{,}7\cdot 10^{7}$.
• Умножение. Значащие части умножаем, порядки складываем: $(3{,}5\cdot 10^{7})(2\cdot 10^{5}) = 7\cdot 10^{12}$.
• Деление. Значащие части делим, порядки вычитаем: $(3{,}5\cdot 10^{7}) : (2\cdot 10^{5}) = 1{,}75\cdot 10^{2}$.

📌 После действий проверь, что ответ в стандартном виде. Если получилось $18\cdot 10^{3}$, перепиши как $1{,}8\cdot 10^{4}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка записать в стандартном виде что-нибудь «из жизни»: население Казахстана (около 20 млн), площадь страны (около 2,7 млн км²), толщину волоса (около 0,00005 м). Сразу видно, понял ли он, куда двигается запятая.

Приближённые значения и погрешность

Мы почти никогда не измеряем величины «до последней молекулы». Длину участка округляют до метра, муку взвешивают до грамма. Значит, мы работаем с приближёнными значениями.

📌 Пусть $x$ — точное значение, а $x_1$ — приближённое. Абсолютная погрешность — это $\Delta = |x - x_1|$. Модуль нужен, чтобы погрешность не была отрицательной: важно, насколько мы промахнулись, а не в какую сторону.

Пример. Дробь $\frac{3}{7}$ заменили на $0{,}42$. Погрешность: $\Delta = \left|\frac{3}{7} - \frac{21}{50}\right| = \left|\frac{150 - 147}{350}\right| = \frac{3}{350}.$

Запись $x = x_1 \pm h$ значит: $x_1$ — приближённое значение, а погрешность не больше $h$. Из неё получается двойное неравенство: $x_1 - h \le x \le x_1 + h$.

Например, $x = 1{,}4 \pm 0{,}05$ означает $1{,}35 \le x \le 1{,}45$. Числа $1{,}35$ и $1{,}45$ — приближения с недостатком и с избытком.

Округление и верные цифры

Округляем $5{,}748$ до сотых. С недостатком получится $5{,}74$ (погрешность $0{,}008$), с избытком $5{,}75$ (погрешность $0{,}002$). Второй вариант точнее.

📌 Правило округления. Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, берём значение с недостатком. Если 5 или больше — с избытком.

При округлении считают, что погрешность не больше единицы последнего оставленного разряда, а все цифры верные. Для числа $a\cdot 10^{n}$ верными считаются все цифры значащей части $a$. Например, расстояние в световой год $9{,}46\cdot 10^{12}$ км: тут $9{,}46 \pm 0{,}01$.

Относительная погрешность

Сравни два измерения: $x = 0{,}2 \pm 0{,}1$ см и $y = 200{,}0 \pm 0{,}1$ см. Погрешность одна и та же, $0{,}1$ см. Но для $0{,}2$ см это огромный промах, а для $200$ см — пустяк. Чтобы это увидеть, считают относительную погрешность.

📌 $\varepsilon = \dfrac{|x - x_1|}{|x_1|}$, а оценка: $\varepsilon \le \dfrac{h}{|x_1|}$. Её часто выражают в процентах, умножая на $100%$.

Для $x$: $\varepsilon \le \frac{0{,}1}{0{,}2}\cdot 100% = 50%$. Для $y$: $\varepsilon \le \frac{0{,}1}{200}\cdot 100% = 0{,}05%$. Теперь видно, что второе измерение в 1000 раз качественнее.

Ещё пример. Число $x = 7{,}45\cdot 10^{22}$. Последняя верная цифра стоит в сотых, поэтому $h = 0{,}01\cdot 10^{22} = 10^{20}$. Относительная погрешность $\frac{10^{20}}{7{,}45\cdot 10^{22}}\cdot 100% = \frac{1}{7{,}45}% \approx 0{,}134%$.

🌟 Световой год — расстояние, которое свет проходит за год: примерно $9{,}46\cdot 10^{12}$ км. До ближайшей к нам звезды после Солнца свет летит больше четырёх лет.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие величины получаются при измерении? Приближённые значения: длина, масса, время и т. п. измеряются с какой-то точностью, а не абсолютно точно.
• Любое ли число можно записать в стандартном виде? Любое положительное число можно: $a\cdot 10^{n}$, где $1\le a<10$. Для отрицательного числа перед записью ставим минус. Нуль в стандартном виде записать нельзя.
• Какие числа записаны в стандартном виде: $1{,}5\cdot 10^{3}$; $0{,}5\cdot 10^{9}$; $50\cdot 10^{4}$; $2{,}3\cdot 10^{2}$? Первое и четвёртое: $1{,}5\cdot 10^{3}$ и $2{,}3\cdot 10^{2}$. У остальных значащая часть не от 1 до 10.
• Что показывает абсолютная погрешность? Насколько приближённое значение отличается от точного (по модулю).
• Как связаны абсолютная и относительная погрешности? Относительная погрешность — это отношение абсолютной к модулю приближённого значения: $\varepsilon = \frac{\Delta}{|x_1|}$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 9.1

Назвать порядок числа: 1) $4{,}3\cdot 10^{5}$; 2) $2{,}34\cdot 10^{-3}$; 3) $8{,}3\cdot 10^{-13}$; 4) $9{,}123\cdot 10^{-1}$; 5) $5{,}31\cdot 10^{12}$; 6) $7{,}1\cdot 10^{-32}$.

Как думать. Числа уже в стандартном виде. Порядок — это показатель степени десятки.

Решение. Просто читаем показатель: 1) $5$; 2) $-3$; 3) $-13$; 4) $-1$; 5) $12$; 6) $-32$.

Ответ: 1) $5$; 2) $-3$; 3) $-13$; 4) $-1$; 5) $12$; 6) $-32$.

№ 9.2

Записать число в стандартном виде и назвать значащую часть: 1) $23,000,000,000$; 2) $3,043,000,000$; 3) $153,000,000$; 4) $0{,}0,000,012$; 5) $600{,}32\cdot 10^{5}$; 6) $0{,}00,000,203$.

Как думать. Сдвигаем запятую, пока слева не останется одна ненулевая цифра, и считаем, на сколько знаков сдвинули. Влево — порядок плюс, вправо — минус. В пятом пункте число уже с множителем, поэтому там сначала приводим $600{,}32$ к виду $6{,}0032\cdot 10^{2}$.

Решение.

1. $23,000,000,000$: запятую сдвигаем на 10 знаков влево, получаем $2{,}3$. Значит, $2{,}3\cdot 10^{10}$, значащая часть $2{,}3$.
2. $3,043,000,000 = 3{,}043\cdot 10^{9}$, значащая часть $3{,}043$.
3. $153,000,000 = 1{,}53\cdot 10^{8}$, значащая часть $1{,}53$.
4. $0{,}0000012$: запятая вправо на 6 знаков, получаем $1{,}2$. Итог: $1{,}2\cdot 10^{-6}$, значащая часть $1{,}2$.
5. $600{,}32\cdot 10^{5} = 6{,}0032\cdot 10^{2}\cdot 10^{5} = 6{,}0032\cdot 10^{7}$, значащая часть $6{,}0032$.
6. $0{,}00000203$: запятая вправо на 6 знаков, получаем $2{,}03$. Итог: $2{,}03\cdot 10^{-6}$, значащая часть $2{,}03$.

Ответ: 1) $2{,}3\cdot 10^{10}$; $2{,}3$. 2) $3{,}043\cdot 10^{9}$; $3{,}043$. 3) $1{,}53\cdot 10^{8}$; $1{,}53$. 4) $1{,}2\cdot 10^{-6}$; $1{,}2$. 5) $6{,}0032\cdot 10^{7}$; $6{,}0032$. 6) $2{,}03\cdot 10^{-6}$; $2{,}03$.

№ 9.3

Представить число в виде степени десяти и найти значащую часть: 1) $1000$; 2) $10,000,000$; 3) $0{,}00,001$; 4) $0{,}00,000,001$.

Как думать. Это «круглые» числа: единица и нули. Значащая часть у них всегда $1$. Считаем нули.

Решение.

1. $1000 = 10^{3}$.
2. $10,000,000 = 10^{7}$ (семь нулей).
3. $0{,}00001 = 10^{-5}$ (единица на пятом месте после запятой).
4. $0{,}00000001 = 10^{-8}$ (единица на восьмом месте).

Ответ: 1) $10^{3}$; 2) $10^{7}$; 3) $10^{-5}$; 4) $10^{-8}$. Во всех случаях значащая часть равна $1$.

№ 9.4

Записать в стандартном виде число из предложения: 1) диаметр булавки $0{,}001$ м; 2) диаметр атома водорода $0{,}00,000,000,003$ м; 3) площадь Мирового океана $361,000,000$ км²; 4) площадь Балхаша $22,000$ км²; 5) площадь Каспия $370,000$ км²; 6) энергия при ударе по клавише $0{,}1$ Дж; 7) энергия взмаха крыла пчелы $0{,}0009$ Дж; 8) масса атома водорода $0{,}000,000,000,000,000,000,000,000,167$ г; 9) масса Земли $6,000,000,000,000,000,000,000,000$ кг.

Как думать. Тот же приём. Для больших чисел порядок положительный, для малых — отрицательный. Порядок равен числу знаков, на которые мы сдвинули запятую.

Решение.

1. $0{,}001 = 1\cdot 10^{-3}$ м.
2. $0{,}00000000003 = 3\cdot 10^{-10}$ м (запятую двигаем на 10 знаков).
3. $361,000,000 = 3{,}61\cdot 10^{8}$ км².
4. $22,000 = 2{,}2\cdot 10^{4}$ км².
5. $370,000 = 3{,}7\cdot 10^{5}$ км².
6. $0{,}1 = 1\cdot 10^{-1}$ Дж.
7. $0{,}0009 = 9\cdot 10^{-4}$ Дж.
8. $1{,}67\cdot 10^{-24}$ г.
9. $6\cdot 10^{24}$ кг.

Ответ: 1) $10^{-3}$ м; 2) $3\cdot 10^{-10}$ м; 3) $3{,}61\cdot 10^{8}$ км²; 4) $2{,}2\cdot 10^{4}$ км²; 5) $3{,}7\cdot 10^{5}$ км²; 6) $10^{-1}$ Дж; 7) $9\cdot 10^{-4}$ Дж; 8) $1{,}67\cdot 10^{-24}$ г; 9) $6\cdot 10^{24}$ кг.

№ 9.5

Записать в стандартном виде числа из текста про Казахстан: площадь $2,724,902$ км²; граница с Россией $6467$ км; с Узбекистаном $2300$ км; с Кыргызстаном $980$ км; с Туркменистаном $380$ км; с Китаем $1460$ км; общая протяжённость границ $12,200$ км; по Каспию $600$ км; железные дороги $21,000$ км; автодороги $95,000$ км.

Как думать. Десять чисел, все большие. Для каждого запятая идёт влево, порядок положительный.

Решение. Площадь: $2,724,902 = 2{,}724902\cdot 10^{6}$ км². Остальные:

• Россия: $6467 = 6{,}467\cdot 10^{3}$ км;
• Узбекистан: $2300 = 2{,}3\cdot 10^{3}$ км;
• Кыргызстан: $980 = 9{,}8\cdot 10^{2}$ км;
• Туркменистан: $380 = 3{,}8\cdot 10^{2}$ км;
• Китай: $1460 = 1{,}46\cdot 10^{3}$ км;
• все границы: $12,200 = 1{,}22\cdot 10^{4}$ км;
• Каспий: $600 = 6\cdot 10^{2}$ км;
• железные дороги: $21,000 = 2{,}1\cdot 10^{4}$ км;
• автодороги: $95,000 = 9{,}5\cdot 10^{4}$ км.

Ответ: $2{,}724902\cdot 10^{6}$; $6{,}467\cdot 10^{3}$; $2{,}3\cdot 10^{3}$; $9{,}8\cdot 10^{2}$; $3{,}8\cdot 10^{2}$; $1{,}46\cdot 10^{3}$; $1{,}22\cdot 10^{4}$; $6\cdot 10^{2}$; $2{,}1\cdot 10^{4}$; $9{,}5\cdot 10^{4}$.

№ 9.6

Найти расстояния от планет до Солнца в справочниках и заполнить таблицу: по одной колонке дан стандартный вид, по другой десятичная запись.

Как думать. Данные в учебнике частично уже в таблице. Нужно перевести из одной записи в другую. Это значения из справочников, проверь их по источнику.

Решение. Число $a\cdot 10^{n}$ при $n>0$ переводим в десятичную запись сдвигом запятой вправо на $n$ знаков. Обратно: запятую влево до одной цифры.

Ответ: таблица выше (Меркурий — $57,900,000$, Венера — $1{,}082\cdot 10^{8}$, Земля — $149,500,000$, Марс — $228,000,000$, Юпитер — $7{,}781\cdot 10^{8}$, Сатурн — $1{,}427\cdot 10^{9}$, Уран — $2{,}871\cdot 10^{9}$, Нептун — $4,497,000,000$).

№ 9.7

Заполнить таблицу: даны числа $25609$; $0{,}003$; $0{,}00087$; $2,570,000$ и частично стандартный вид, значащая часть и порядок. Нужно найти недостающее в каждой строке.

Как думать. В каждой строке достаточно знать две вещи: значащую часть и порядок. По ним собираются и стандартный вид, и обычная запись.

Решение.

• $25609 = 2{,}5609\cdot 10^{4}$: значащая часть $2{,}5609$, порядок $4$.
• $0{,}003 = 3\cdot 10^{-3}$: значащая часть $3$, порядок $-3$.
• Стандартный вид $9{,}13\cdot 10^{5}$: число $913,000$, порядок $5$.
• Стандартный вид $7{,}2\cdot 10^{-2}$: число $0{,}072$, значащая часть $7{,}2$.
• Число $0{,}00087$, значащая часть $8{,}7$: стандартный вид $8{,}7\cdot 10^{-4}$, порядок $-4$.
• Число $2,570,000$, порядок $6$: стандартный вид $2{,}57\cdot 10^{6}$, значащая часть $2{,}57$.
• Значащая часть $6{,}41$, порядок $-3$: стандартный вид $6{,}41\cdot 10^{-3}$, число $0{,}00641$.
• Значащая часть $1{,}5$, порядок $4$: стандартный вид $1{,}5\cdot 10^{4}$, число $15,000$.

Ответ: таблица выше.

№ 9.8

Даны $x = 1{,}3\cdot 10^{6}$; $y = 2{,}4\cdot 10^{4}$; $z = 2\cdot 10^{-2}$. Найти: 1) $x+y$; 2) $z-y$; 3) $x\cdot y$; 4) $x:z$; 5) $y+z-x$; 6) $x\cdot y:z$.

Как думать. Для сложения и вычитания приводим к одному порядку, для умножения и деления работаем отдельно со значащими частями и с порядками.

Решение.

1. $y = 0{,}024\cdot 10^{6}$, тогда $x+y = (1{,}3+0{,}024)\cdot 10^{6} = 1{,}324\cdot 10^{6}$.
2. $z - y = 0{,}02 - 24,000 = -23,999{,}98 = -2{,}399998\cdot 10^{4}$.
3. $x\cdot y = (1{,}3\cdot 2{,}4)\cdot 10^{6+4} = 3{,}12\cdot 10^{10}$.
4. $x : z = (1{,}3:2)\cdot 10^{6-(-2)} = 0{,}65\cdot 10^{8} = 6{,}5\cdot 10^{7}$.
5. $y + z - x = 24,000{,}02 - 1,300,000 = -1,275,999{,}98 = -1{,}27599998\cdot 10^{6}$.
6. $x\cdot y : z = 3{,}12\cdot 10^{10} : (2\cdot 10^{-2}) = 1{,}56\cdot 10^{12}$.

Ответ: 1) $1{,}324\cdot 10^{6}$; 2) $-2{,}399998\cdot 10^{4}$; 3) $3{,}12\cdot 10^{10}$; 4) $6{,}5\cdot 10^{7}$; 5) $-1{,}27599998\cdot 10^{6}$; 6) $1{,}56\cdot 10^{12}$.

№ 9.9

Даны $x = 6\cdot 10^{2}$; $y = 1{,}2\cdot 10^{4}$; $z = 1{,}2\cdot 10^{-2}$; $t = 2\cdot 10^{-3}$. Сравнить: 1) $y$ и $z$; 2) $x$ и $y$; 3) $z$ и $t$.

Как думать. Смотрим на порядки. Если значащие части равны, решает порядок. Если порядки равны, решает значащая часть. Иначе приводим к одному порядку.

Решение.

1. Значащие части равны ($1{,}2$), порядки $4$ и $-2$. Больше то, где порядок больше: $y > z$.
2. Порядки $2$ и $4$. Приведём $x = 0{,}06\cdot 10^{4}$. Тогда $0{,}06 < 1{,}2$, значит $x < y$.
3. Приведём $t = 0{,}2\cdot 10^{-2}$. Сравниваем $1{,}2$ и $0{,}2$ при одинаковом порядке: $z > t$.

Ответ: 1) $y > z$; 2) $x < y$; 3) $z > t$.

№ 9.10

Объяснить запись: 1) $a = 4{,}7\pm 0{,}2$; 2) $a = 43{,}74\pm 0{,}05$; 3) $a = -3{,}45\pm 0{,}15$; 4) $0{,}97\pm 0{,}01$.

Как думать. Запись $x_1 \pm h$ значит: приближённое значение $x_1$, а настоящее число отличается от него не больше чем на $h$.

Решение.

1. Приближённое значение $4{,}7$, погрешность не больше $0{,}2$: $4{,}5 \le a \le 4{,}9$.
2. Приближённое значение $43{,}74$, точность $0{,}05$: $43{,}69 \le a \le 43{,}79$.
3. Приближённое значение $-3{,}45$, точность $0{,}15$: $-3{,}6 \le a \le -3{,}3$.
4. Число около $0{,}97$ с точностью $0{,}01$: оно лежит между $0{,}96$ и $0{,}98$.

Ответ: 1) от $4{,}5$ до $4{,}9$; 2) от $43{,}69$ до $43{,}79$; 3) от $-3{,}6$ до $-3{,}3$; 4) от $0{,}96$ до $0{,}98$.

№ 9.11

Записать равенство в виде двойного неравенства: 1) $x = 43{,}32\pm 0{,}05$; 2) $x = -513{,}2\pm 0{,}05$; 3) $x = 433\pm 0{,}1$.

Как думать. От приближённого значения отнимаем и прибавляем погрешность.

Решение.

1. $43{,}32 - 0{,}05 = 43{,}27$ и $43{,}32 + 0{,}05 = 43{,}37$.
2. $-513{,}2 - 0{,}05 = -513{,}25$ и $-513{,}2 + 0{,}05 = -513{,}15$.
3. $433 - 0{,}1 = 432{,}9$ и $433 + 0{,}1 = 433{,}1$.

Ответ: 1) $43{,}27 \le x \le 43{,}37$; 2) $-513{,}25 \le x \le -513{,}15$; 3) $432{,}9 \le x \le 433{,}1$.

№ 9.12

Найти абсолютную погрешность приближённого значения, все цифры которого верны: 1) $x\approx 2{,}74$; 2) $x \approx 35{,}274$; 3) $x\approx -4{,}004$; 4) $x\approx 0{,}740$.

Как думать. Если все цифры верные, то погрешность не превосходит единицы последнего разряда. Смотрим, где стоит последняя цифра. Нуль в конце тоже считается: $0{,}740$ записано до тысячных.

Решение.

1. Последняя цифра в сотых: $\Delta \le 0{,}01$.
2. Последняя цифра в тысячных: $\Delta \le 0{,}001$.
3. Тоже тысячные: $\Delta \le 0{,}001$.
4. Нуль на конце сохранён, значит, точность до тысячных: $\Delta \le 0{,}001$.

Ответ: 1) $0{,}01$; 2) $0{,}001$; 3) $0{,}001$; 4) $0{,}001$.

№ 9.13

Найти абсолютную и относительную погрешности при округлении: 1) $12{,}4$ до единиц; 2) $5{,}65$ до десятых; 3) $876$ до десятков; 4) $733{,}46$ до тысяч.

Как думать. Сначала округляем по правилу. Абсолютная погрешность — модуль разности точного и округлённого. Относительная — её отношение к округлённому значению.

Решение.

1. $12{,}4 \approx 12$ (первая отброшенная цифра 4). $\Delta = |12{,}4 - 12| = 0{,}4$. $\varepsilon = \frac{0{,}4}{12} = \frac{1}{30} \approx 3{,}3%$.
2. $5{,}65 \approx 5{,}7$ (отброшена цифра 5, округляем вверх). $\Delta = |5{,}65 - 5{,}7| = 0{,}05$. $\varepsilon = \frac{0{,}05}{5{,}7} \approx 0{,}0088 \approx 0{,}88%$.
3. $876 \approx 880$. $\Delta = 4$. $\varepsilon = \frac{4}{880} = \frac{1}{220} \approx 0{,}45%$.
4. $733{,}46 \approx 1000$ (отброшенная цифра 7 в сотнях). $\Delta = 1000 - 733{,}46 = 266{,}54$. $\varepsilon = \frac{266{,}54}{1000} \approx 26{,}7%$.

Ответ: 1) $\Delta = 0{,}4$; $\varepsilon \approx 3{,}3%$. 2) $0{,}05$; $\approx 0{,}88%$. 3) $4$; $\approx 0{,}45%$. 4) $266{,}54$; $\approx 26{,}7%$.

Уровень B

№ 9.14

Записать в стандартном виде числа из предложений. 1) Масса океанов $1,450,000,000,000,000,000,000$ кг, масса Земли $5,980,000,000,000,000,000,000,000$ кг; записать эти массы в тоннах. 2) Площадь Солнца $6,000,000,000,000$ км², Земли $510,200,000$ км², Луны $38,000,000$ км²; записать площади в гектарах.

Как думать. Сначала переводим единицы, потом пишем стандартный вид. В $1$ т — $1000$ кг, то есть $10^{3}$ кг. В $1$ км² — $100$ га, то есть $10^{2}$ га.

Решение.

1. Океаны: $1,450,000,000,000,000,000,000 = 1{,}45\cdot 10^{21}$ кг. Делим на $10^{3}$: $1{,}45\cdot 10^{18}$ т. Земля: $5{,}98\cdot 10^{24}$ кг $= 5{,}98\cdot 10^{21}$ т.
2. Солнце: $6\cdot 10^{12}$ км². Умножаем на $10^{2}$: $6\cdot 10^{14}$ га. Земля: $5{,}102\cdot 10^{8}$ км² $= 5{,}102\cdot 10^{10}$ га. Луна: $3{,}8\cdot 10^{7}$ км² $= 3{,}8\cdot 10^{9}$ га.

Ответ: 1) $1{,}45\cdot 10^{18}$ т; $5{,}98\cdot 10^{21}$ т. 2) $6\cdot 10^{14}$ га; $5{,}102\cdot 10^{10}$ га; $3{,}8\cdot 10^{9}$ га.

№ 9.15

Выразить: 1) $2{,}7\cdot 10^{4}$ т в граммах; 2) $8{,}321\cdot 10^{5}$ кг в тоннах; 3) $1{,}3\cdot 10^{-3}$ т в килограммах; 4) $5{,}36\cdot 10^{13}$ г в миллиграммах; 5) $5{,}23\cdot 10^{12}$ дм в километрах; 6) $4{,}31\cdot 10^{5}$ см в метрах; 7) $1{,}32\cdot 10^{5}$ км в метрах; 8) $2{,}51\cdot 10^{7}$ мм в сантиметрах.

Как думать. Выписываем, во сколько раз новая единица больше или меньше: 1 т $= 10^{6}$ г, 1 т $= 10^{3}$ кг, 1 г $= 10^{3}$ мг, 1 км $= 10^{4}$ дм, 1 м $= 10^{2}$ см, 1 км $= 10^{3}$ м, 1 см $= 10$ мм. Если единица мельче, показатель растёт, если крупнее — уменьшается.

Решение.

1. $2{,}7\cdot 10^{4}\cdot 10^{6} = 2{,}7\cdot 10^{10}$ г.
2. $8{,}321\cdot 10^{5} : 10^{3} = 8{,}321\cdot 10^{2}$ т.
3. $1{,}3\cdot 10^{-3}\cdot 10^{3} = 1{,}3$ кг.
4. $5{,}36\cdot 10^{13}\cdot 10^{3} = 5{,}36\cdot 10^{16}$ мг.
5. $5{,}23\cdot 10^{12} : 10^{4} = 5{,}23\cdot 10^{8}$ км. (В $1$ км $10,000$ дм.)
6. $4{,}31\cdot 10^{5} : 10^{2} = 4{,}31\cdot 10^{3}$ м.
7. $1{,}32\cdot 10^{5}\cdot 10^{3} = 1{,}32\cdot 10^{8}$ м.
8. $2{,}51\cdot 10^{7} : 10 = 2{,}51\cdot 10^{6}$ см.

Ответ: 1) $2{,}7\cdot 10^{10}$ г; 2) $8{,}321\cdot 10^{2}$ т; 3) $1{,}3$ кг; 4) $5{,}36\cdot 10^{16}$ мг; 5) $5{,}23\cdot 10^{8}$ км; 6) $4{,}31\cdot 10^{3}$ м; 7) $1{,}32\cdot 10^{8}$ м; 8) $2{,}51\cdot 10^{6}$ см.

№ 9.16

Даны $x = 9\cdot 10^{3}$; $y = 1{,}2\cdot 10^{5}$; $z = 6\cdot 10^{-2}$; $t = 3\cdot 10^{-4}$. Сравнить: 1) $x$ и $(y+z)$; 2) $y$ и $(x:t)$; 3) $(x:z)$ и $(y\cdot t)$.

Как думать. Сначала вычисляем каждое выражение, потом сравниваем.

Решение.

1. $y + z = 120,000 + 0{,}06 = 120,000{,}06 \approx 1{,}2\cdot 10^{5}$, а $x = 9000 = 0{,}09\cdot 10^{5}$. Значит, $x < y + z$.
2. $x : t = (9:3)\cdot 10^{3-(-4)} = 3\cdot 10^{7}$. Сравниваем с $y = 1{,}2\cdot 10^{5}$: порядок $7$ больше $5$, поэтому $y < x : t$.
3. $x : z = (9:6)\cdot 10^{3+2} = 1{,}5\cdot 10^{5}$. $y\cdot t = 1{,}2\cdot 3\cdot 10^{5-4} = 3{,}6\cdot 10^{1} = 36$. Тогда $x : z > y\cdot t$.

Ответ: 1) $x < y+z$; 2) $y < x:t$; 3) $x:z > y\cdot t$.

Уровень C

Здесь задачи потруднее, но ты уже умеешь всё нужное. Даже попытка засчитывается!

№ 9.17

Во сколько раз диаметр Земли больше диаметра атомного ядра, если диаметр Земли $1{,}2756\cdot 10^{7}$ м, а диаметр ядра $5\cdot 10^{-15}$ м?

Как думать. «Во сколько раз больше» — это деление.

Решение. См. шаги выше.

Ответ: в $2{,}5512\cdot 10^{21}$ раз.

№ 9.18

Масса Земли $5{,}98\cdot 10^{24}$ кг, масса Юпитера $1{,}90\cdot 10^{27}$ кг. Что больше и во сколько раз?

Как думать. Порядок у Юпитера на 3 больше, значит, он тяжелее. Для ответа «во сколько раз» делим большую массу на меньшую.

Решение. $(1{,}90\cdot 10^{27}) : (5{,}98\cdot 10^{24}) = (1{,}90 : 5{,}98)\cdot 10^{3} \approx 0{,}3177\cdot 10^{3} \approx 318$.

Ответ: масса Юпитера больше, примерно в $318$ раз ($\approx 3{,}18\cdot 10^{2}$).

№ 9.19

Записать в стандартном виде значение выражения: 1) $(7{,}5\cdot 10^{4})\cdot(2{,}4\cdot 10^{-1})$; 2) $(4{,}3\cdot 10^{4})\cdot(3{,}7\cdot 10^{-3})$; 3) $(3{,}4\cdot 10^{4})\cdot(5{,}4\cdot 10^{-2})^{2}$; 4) $(5{,}5\cdot 10^{-3})\cdot(2{,}4\cdot 10^{2})^{3}$.

Как думать. Перемножаем значащие части, складываем порядки. Степень применяем к обеим частям: $(a\cdot 10^{n})^{k} = a^{k}\cdot 10^{nk}$. В конце возвращаем стандартный вид.

Решение.

1. $7{,}5\cdot 2{,}4 = 18$; порядок $4 + (-1) = 3$. Имеем $18\cdot 10^{3} = 1{,}8\cdot 10^{4}$.
2. $4{,}3\cdot 3{,}7 = 15{,}91$; порядок $4 + (-3) = 1$. Имеем $15{,}91\cdot 10^{1} = 1{,}591\cdot 10^{2}$.
3. $(5{,}4\cdot 10^{-2})^{2} = 29{,}16\cdot 10^{-4}$. Умножаем: $3{,}4\cdot 29{,}16 = 99{,}144$; порядок $4 + (-4) = 0$. Имеем $99{,}144 = 9{,}9144\cdot 10^{1}$.
4. $(2{,}4\cdot 10^{2})^{3} = 13{,}824\cdot 10^{6}$. Умножаем: $5{,}5\cdot 13{,}824 = 76{,}032$; порядок $-3 + 6 = 3$. Имеем $76{,}032\cdot 10^{3} = 7{,}6032\cdot 10^{4}$.

Ответ: 1) $1{,}8\cdot 10^{4}$; 2) $1{,}591\cdot 10^{2}$; 3) $9{,}9144\cdot 10^{1}$; 4) $7{,}6032\cdot 10^{4}$.

№ 9.20

Найти относительную погрешность приближённого значения $x = a\cdot 10^{n}$: 1) $x\approx 34{,}58\cdot 10^{8}$; 2) $x\approx 5{,}93\cdot 10^{7}$; 3) $x\approx 2{,}75\cdot 10^{-5}$; 4) $x\approx 11{,}55\cdot 10^{0}$; 5) $x\approx 25{,}18\cdot 10^{-9}$; 6) $x\approx 0{,}086\cdot 10^{-8}$.

Как думать. Все цифры значащей части верны, поэтому $h$ — единица последнего разряда числа $a$. Множитель $10^{n}$ в дроби сократится: $\varepsilon \le \frac{h}{a}$.

Решение.

1. $h = 0{,}01$: $\varepsilon \le \frac{0{,}01}{34{,}58} \approx 0{,}00029 \approx 0{,}029%$.
2. $\frac{0{,}01}{5{,}93} \approx 0{,}0017 \approx 0{,}17%$.
3. $\frac{0{,}01}{2{,}75} \approx 0{,}0036 \approx 0{,}36%$.
4. $\frac{0{,}01}{11{,}55} \approx 0{,}00087 \approx 0{,}087%$.
5. $\frac{0{,}01}{25{,}18} \approx 0{,}0004 \approx 0{,}040%$.
6. $h = 0{,}001$ (последняя цифра в тысячных): $\frac{0{,}001}{0{,}086} \approx 0{,}0116 \approx 1{,}16%$.

Ответ: 1) $\approx 0{,}029%$; 2) $\approx 0{,}17%$; 3) $\approx 0{,}36%$; 4) $\approx 0{,}087%$; 5) $\approx 0{,}040%$; 6) $\approx 1{,}16%$.

Готовимся к следующей теме

Эти два задания про выражения и нулевую степень. Они пригодятся в следующем разделе, где начнутся одночлены и многочлены.

№ 9.21

Какие из записей являются выражением: 1) $728 + 327$; 2) $728+327$; $7a+2b$; 3) $728+327$; $7a+2b$; $126$; 4) $728+327$; $7a+2b$; $126$; $152<200$?

Как думать. Выражение — это числа и буквы, соединённые знаками действий. Одно число тоже выражение. А неравенство — это уже сравнение, не выражение.

Решение. $728 + 327$ — выражение. $7a + 2b$ — выражение (с буквами). $126$ — выражение (одно число). $152 < 200$ — неравенство, потому что в нём знак сравнения. Значит, правильный вариант тот, где выражения без неравенства: третий.

Ответ: вариант 3).

№ 9.22

Найти значение выражения: 1) $(327\cdot 14 - 4577)\cdot 11^{0}$; 2) $(32\cdot 74 - 45\cdot 52) : 14\cdot (-3)^{0}$.

Как думать. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно $1$. Поэтому $11^{0} = 1$ и $(-3)^{0} = 1$.

Решение.

1. $327\cdot 14 = 4578$; $4578 - 4577 = 1$; $1\cdot 11^{0} = 1\cdot 1 = 1$.
2. $32\cdot 74 = 2368$; $45\cdot 52 = 2340$; $2368 - 2340 = 28$; $28 : 14 = 2$; $2\cdot (-3)^{0} = 2\cdot 1 = 2$.

Ответ: 1) $1$; 2) $2$.

Шпаргалка

• Большой положительный порядок — число огромное, большой отрицательный — число крошечное.
• Округление: первая отброшенная цифра 5 и больше — вверх, меньше 5 — вниз.
• При округлении погрешность не больше единицы последнего оставленного разряда.
• В числе $a\cdot 10^{n}$ верными считаются все цифры $a$.

Мини-тест